Rozwiązanie równań Maxwella dla fali płaskiej

wytworzonej przez płaszczyznę z sinusoidalnym prądem

powierzchniowym :

J

y

= J

o

cos

ω

t.

Linie strumienia pola elektrycznego i magnetycznego wytworzonego przez
fragment płaszczyzny z prądem sinusoidalnym (podobnie rozchodzi się w
kierunku -x)

B

z

(x,t) =

J

o

cos

ω

(t -

)

k

o

=

E

y

(x,t) =

J

o

cos

ω

(t - )

E

y

= c B

z

(

⊥

)

2 k

c

o

2

π

x
c

1

4π ε

ο

2 k

c

o

2

π

x
c

→

E

→

B

Równanie fali bieżącej : y = A cos

ω

(t -

) = A cos(

ω

t - kx)

v = =

λ

f;

T =

⇒

v =

ω

liczba falowa

k = ; v =

(prędkość fazowa)

Pole promieniowania rozchodzi się jako fala płaska (wzdłuż

osi x) o długości fali

z prędkością c i o amplitudach:

B

oz

=

J

o

i

E

oy

=

J

o

= cB

oz

Wyrażenia B

z

(x,t) i E

y

(x,t) są rozwiązaniami różniczkowego równania

falowego :

λ

T

2

λ

2

2

l

k

λ = 2 π

ω

c

k

c

o

2

k

c

o

x

v

π

ω

π

ω

π

2

π

2

π

2

2

2

2

2

∂ ξ

∂

= 1 ∂ ξ

∂

x

v

t

Analiza Fouriera

Jeśli prąd w obwodzie zmienia się niesinusoidalnie, to wypromieniowane
pola E i B będą opisane taką samą, niesinusoidalną, funkcją czasu. Ale
funkcję okresową można rozłożyć na nieskończoną sumę fal sinusoidalnych
(rozkład Fouriera funkcji okresowej F(t)):

F(t)=A

o

+

+

Np. funkcję piłokształtną o okresie
τ (

) można rozłożyć :

F(t) =

(już dla n = 9 dobre przybliżenie)
to znaczy, że aby wysłać falę piłokształtną
o okresie

, trzeba wytworzyć

prąd o postaci :

J = J

o

(zastosowanie zasady superpozycji)

(

sin

)

n

n

A

n t

ω

=

∞

∑

1

(

cos

)

n

n

B

n t

ω

=

∞

∑

1

ω = 2π

τ

( s in

)

1

1

n

n t

n

ω

=

∞

∑

ω = 2π

ω

( s in

)

1

1

n

t

n

ω

=

∞

∑

Promieniowanie elektromagnetyczne

Widmo fal elektromagnetycznych

1) Energia i pęd promieniowania elektromagnetycznego

Gęstość energii pola elektrycznego wynosi ,

a

pola

magnetycznego

Jaką energię przenosi promieniowanie elektromagnetyczne ?
Czy posiada pęd ?.

Rozpatrzmy „zderzenie” płaskiej fali elektromagnetycznej z cienką płytką
przewodnika, podobną do tej generującej falę.
Załóżmy, że przewodnictwo tego przewodnika jest niezbyt wysokie.

2

o

E

8 k

π

2

2

o

c B

8 k

π

j - prąd indukowany falą padającą

∆E - promieniowanie generowane przez

prąd indukowany.

Przeanalizujmy oddziaływanie pola elektrycznego fali padającej z

płytką przewodnika o wymiarach :

∆x; y

o

; z

o

. Pierwotne pole padające

E

p

indukuje prąd o gęstości j, tzn. w płytce popłynie prąd o natężeniu:

I = j z

o

∆x;

a pomiędzy górną i dolną krawędzią powstanie różnica potencjałów :

V = E y

o

Tzn., że moc pochłaniana przez płytkę (a tracona przez padającą falę)

wynosi :

P = =

I V = j E y

o

z

o

∆

x

o

Prąd indukowany j wytwarza własne promieniowanie,

∆E, rozchodzące

się w obie strony :

∆E = -

(j

∆x - gęstość prądu powierzchniowego)

dU

dt

2 k

c

j x

o

π

∆

Moc tracona

przez falę padającą, na jednostkę powierzchni płytki

(oznaczona

∆S) wynosi:

∆S = =j E ∆x = -

E

∆E

Jeśli mamy szereg cienkich płytek (np. grubą płytę wyobraźmy sobie
jako zbiór cienkich płytek) o dość niskim przewodnictwie,

to moc

tracona po przejściu jednej „płytki” jest mała i można wykazać, że fale
odbijane od odpowiednio dobranych par „płytek” zniosą się wzajemnie
(zawsze można tak dobrać pary „płytek”, aby przesunięcie fazowe fal
∆E „odbijanych” wynosiło π).

Fala

∆E wypromieniowana w kierunku promieniowania padającego jest

przesunięte w fazie o

π do pola padającego E

p

, tzn. wypadkowe pole

zmniejsza się przechodząc przez kolejne „płytki”. Dla nieskończenie
wielu „płytek” (gruba warstwa) całe pole E

p

zostanie pochłonięte. Zatem

cała moc promieniowania na jednostkę powierzchni wynosi:

S =

= -

= +

=

E

p

B

p

P

y z

dU

dt y z

o o

o o

=

1

c

2 k

o

π

∆

n

n

S

=

∞

∑

1

c

2 k

o

π

EdE

p

E

o

∫

c

4 k

o

π

p

E

2

2

o

c

2 k

π

Moc promieniowania na jednostkę powierzchni

zapisuje się w

postaci

wektora Poyntinga

=

x

kierunek i zwrot przepływu energii określa iloczyn x
Obliczmy, korzystając z wyrażenia na

, energię pola w jednostce

objętości. Przejściu fali przez powierzchnię y

o

z

o

w czasie dt odpowiada

przepływ energii:

dU = S y

o

z

o

dt = S y

o

z

o

=

dV

(dU jest energią fali zawartą w objętości dV) po przekształceniu :

Z wyrażenia na wektor Poyntinga S oraz z zależności E = c B

E B) =

=

+

=

+

czyli suma gęstości energii pola elektrycznego i magnetycznego

→

S :

→

S

2

2

c

k

o

π

→

E

→

B

→

E

→

B

→

S

dx

c

S

c

dU
dV

S

c

=

dU
dV

c

=

1

2

4

c

k

o

π

2

2

4

c B

k

o

π

1

2

2

2

4

c B

k

o

π

1

2

2

2

4

c B

k

o

π

2

8

E

k

o

π

2

2

8

c B

k

o

π

Jaki pęd jest przekazywany płytce ?

Energia przekazana płytce wynosi :

dU = j E y

o

z

o

∆

x dt = c j y

o

z

o

∆

x B dt

natężenie prądu w płytce: I = j z

o

∆x

więc :

dU = c I y

o

B dt

Płynący prąd I jest prostopadły do pola magnetycznego B, więc pole
będzie działało z siłą (

∆

mag.

= I

∆ x

):

∆

mag

= I

x

→

F

→

l

→

B

→

F

→

o

y

→

B

czyli: dU = c F

mag.

dt F

mag.

= I y

o

B bo

⊥

Ponieważ : dp = F

mag.

dt (zmiana pędu płytki, czyli pęd

przekazany przez falę)

dU = c dp ; dp = dU

Dla nieskończenie grubej płyty (po scałkowaniu):

p = U

pęd uzyskany przy pochłonięciu energii fali U

Pole promieniowania jest fizycznie realne

.

Każdy element objętości dV pola posiada

energię

:

dU = (

+

) dV

oraz

pęd:

→

o

y

→

B

1

c

1

c

2

8

E

k

o

π

2

2

8

c B

k

o

π

d =

(po podstawieniu dU = S/c dV

do : dp = 1/c dV)

→

p

1

c

S

c

dV

( )

→

Przykład

: Jaką siłą działa światło lampy 100 W skupione na czarnej

powierzchni ?

F =

; dp = dU ; F =

= P

F =

100 N = 3,3 10

-7

N

-----------

Omawiając oddziaływanie fali elektromagnetycznej ze słabym
przewodnikiem, wykazaliśmy, że fala zostanie całkowicie zaabsorbowana,
jeśli warstwa absorbująca nie jest bardzo cienka (dlatego np. płytka
grafitowa jest nieprzeźroczysta i czarna).

dt

c

c dt

c

3

8

⋅

dp

1
10

dU

1

1

1

2) Jak fala elektromagnetyczna oddziaływuje z dobrym

przewodnikiem ?

Rozpatrzmy skrajny przypadek: nadprzewodnik. Pole padające E

p

indukuje prąd powierzchniowy J taki, że wytworzone przez niego pole
promieniowania

∆E skompensuje E

p

wewnątrz nadprzewodnika.

( E

p

+

∆E = 0 gdyż przy wypadkowym polu elektrycznym różnym od

zera wewnątrz nadprzewodnika popłynąłby nieskończenie duży prąd).

Oznacza to, że również pole odbite

∆E = - E

p

, więc nastąpi całkowite

odbicie fali padającej (wynika z tego również, że indukowany prąd

powierzchniowy J =

tzn. jest taki sam jak pierwotny

prąd, który wytworzył pole promieniowania padającego E

p

).

c

k

E

c

k

E

p

2

2

π

π

∆ =

W wyniku całkowitego odbicia, nakładają się na siebie dwie fale
sinusoidalne o równych natężeniach, biegnące w przeciwnych
kierunkach (E

p

i

∆E, po lewej stronie płytki na rysunku ) - powstanie fala

stojąca.

E = E

p

+

∆

E = E

o

cos (

ω

t - kx) - E

o

cos(

ω

t - kx)

[cos(

α-β) - cos(α+β) = 2 sinαsinβ]

E = 2E

o

sin

ω

t sinkx

(równanie fali stojącej)

Amplituda (2E

o

sinkx) jest funkcją położenia;

(a) jeśli kx = n

π (n - liczba całk.), to sinnπ = 0

czyli dla x =

mamy E = 0 (

węzły

);

(b) jeśli kx = (n + )

π, to sin (n + ) π = 1 (wart. maks.)

czyli dla x = (n + ) amplituda maksymalna (

strzałki

).

n

k

n

n

π

π

π λ

λ

=

=

2

2

/

1

2

1

2

1

2

λ

2

W miejscu odbicia od zwierciadła

powstaje węzeł.

Przykład:

Płaska fala mikrofalowa odbija się od lustra. Odległość

pomiędzy kolejnymi minimami natężeń fali (węzłami) wynosi 5 cm. Jaka
jest częstotliwość fali ?

Kolejne minima (węzły): x

n

= n ; x

n+1

= (n + 1)

x

n+1

- x = (n+1) - n

= ; = 5 cm ;

λ

= 10 cm

f =

=

= 3 10

9

Hz = 3 Ghz

λ

2

λ

2

λ

2

λ

2

λ

2

λ

2

v

c

λ λ

=

3 10

0 1

8

⋅

m s

m

/

,

Co się dzieje, gdy fala pada na powierzchnię dobrego przewodnika pod

pewnym kątem

θ

(nie prostopadle) ?

Pole fali padającej E

p

indukuje w przewodniku prąd powierzchniowy J.

Indukowany prąd powierzchniowy J
wytwarza wewnątrz przewodnika taką
falę, że jej pole elektryczne

∆

E

kompensuje dokładnie pole padające E

p

tzn. że

∆

E = -E, oraz że wytworzona

wewnątrz przewodnika fala rozchodzi się
w tym samym kierunku (pod kątem

θ

),

aby mogła dokładnie nałożyć się i
zrównoważyć pole fali padającej.

Z warunku symetrii wynika, że prąd powierzchniowy J musi wysyłać takie same
fale w prawo (tzn. do wnętrza przewodnika) jak i w lewo (tzn. falę odbitą).
Wykazaliśmy więc, że fala odbije się od powierzchni przewodzącej pod takim
samym kątem

θ

, oraz, że fala odbita nie ulegnie osłabieniu (

∆

E = -E).

I-sze prawo optyki geometrycznej: Kąt padania równa się kątowi odbicia

3) Jak fala elektromagnetyczna oddziaływuje z izolatorem ?

Nie ma swobodnych elektronów, nie powstaną więc induko- wane prądy
elektronowe takie jak w przewodnikach. Ale oscylacjom będą ulegały
elektrony z powłok zewnętrznych.
Zgodnie z obliczeniami dla „chmury” elektronu z przykładu 7 (pkt.2) w
rozdziale „Indukcja elektryczna”, jeśli sferyczna „chmura” elektronu
zostanie przesunięta o y, będzie działała na nią siła ze strony rdzenia
atomowego (tzn. jądra otoczonego chmurą wewnętrznych elektronów) w
postaci:

F

atom

= - k

; a ponieważ :

=

,

to:

F

atom

= - m :

y

gdzie f

o

=

jest częstotliwością naturalną (własną) oscylacji elektronu

atomowego.

2

3

e

R

y

ο2

ω

o

e

k e

m R

2

3

ο2

ω

ο

ω

2π

Jeśli przesunięcie zostało wywołane natężeniem E

p

pola fali padającej, to

siła wypadkowa F

wyp.

= F

atom

+ (-e)E

p

Z 2-go r. Newtona:

F

wyp.

= m a; czyli F

wyp.

= m

czyli : m

= - m

y - e E

p

Jeśli fala jest sinusoidalna, to E

p

= E

o

cos

ω

(t-

), gdzie x jest odległością

od źródła fali (E

p

jest skierowane wzdłuż osi y)

Wówczas równanie różniczkowe ruchu elektronu ma postać :

= -

y -

cos

ω

(t - )

Rozwiązaniem tego równania jest :

y = -

cos

ω

(t - ),

y - wychylenie „chmury” elektronu zewnętrznego w kierunku prostopadłym
do kierunku propagacji fali o częstości

ω

i o amplitudzie E

o

, w odległości x

od źródła fali i w chwili t;

ω

o

- naturalna (własna) częstość oscylacji „chmury” elektronu.

2

2

d y

d t

2

2

d y

d t

ο2

ω

x
c

2

2

d y

d t

ο2

ω

e E

m

o

x
c

e E

m

o

o

(

)

2

2

ω

ω

−

x
c

Prędkość oscylującego elektronu dana jest wyrażeniem :

v

y

= =

sin

ω

(t - )

Fala, padając na płytkę izolatora, wywołuje oscylację (ruch ze zmienną
prędkością v

y

) elektronów zewnętrznych we wszystkich atomach płytki.

Jeśli N jest gęstością elektronów zewnętrznych (tzn. ich liczbą w
jednostce objętości), to ich ruch oznacza przepływ prądu o gęstości

j = N(-e)v

y

(bo

≡ ρ ) czyli :

j = -

sin

ω

(t - )

Jest to prąd będący „sumą” oscylujących elektronów zewnętrznych.

dy

dt

e E

m

o

o

ω

ω

ω

(

)

2

2

−

x
c

→

j

→

v

N e

E

m

o

o

2

2

2

ω

ω

ω

(

)

−

x
c

Indukowany prąd o gęstości j w płytce o grubości

∆x odpowiada gęstości

prądu powierzchniowego J = j

∆x, tzn. wypromieniowuje pole :

∆E = -

j

∆x =-

ponieważ sin

α = cos(α -

), oraz:

ω

(t- ) =

ω

t - kx (k= )

i jeśli oznaczymy :

∆E

o

=

E

o

∆x

to wypromieniowane pole ma postać :

∆E = ∆E

o

cos(

ω

t - kx - )

Wypadkowe pole promieniowania jest sumą pola fali padającej
E

p

= E

o

cos (

ω

t - kx) i pola

∆E :

E = E

p

+

∆E = E

o

cos (

ω

t - kx) +

∆E

o

cos(

ω

t - kx - )

2

π

o

k

c

2

π

o

k

c

−

−

−











N e

E

m

t

x
c

o

o

2

2

2

ω

ω

ω

ω

(

)

sin (

)

π

2

x

c

ω

c

2

2

2

2

π

ω

ω

ω

o

o

k N e

cm (

)

−

π

2

π

2

Fala wypromieniowana przez warstwę izolatora jest opóźniona względem
fali padającej o

. Można wykazać, że fala wypadkowa jest też falą

sinusoidalną, opóźnioną w stosunku do fali padającej o fazę :

φ

=

π

2

∆

o

o

E

E

Opóźnienie w fazie wzrasta z przebytą drogą

∆x w płytce (bo ∼ ∆x),

a więc fala wypadkowa w płytce rozchodzi się wolniej !

Pojedyncza fala, wypromieniowana przez indywidualny atom, rozchodzi
się z prędkością c natomiast czoło fali wypadkowej w izolatorze rozchodzi
się z prędkością u

< c.

W wyniku oddziaływania fali elektromagnetycznej z izolatorem nie
występują straty omowe (indukowane są oscylacje sprężyste ładunków, a
nie ich przepływ jak w przypadku przewodników) - zatem izolatory w
zasadzie powinny być przezroczyste.
Rozpatrzmy bieg fali przy przechodzeniu z jednego ośrodka
przezroczystego do drugiego:

Dwa kolejne czoła fali (odległe o długości fali):
A

’

B

’

- czoło fali po przejściu do ośrodka w którym fala rozchodzi się z

prędkością u

1

> u

2

;

AB - kolejne czoło fali dochodzące do granicy ośrodków.

Częstotliwość fali nie zmienia się :

f

1

= f

2

= f = ;

λ

1

= u

1

T = ;

λ

2

=

λ

1

>

λ

2

Stosunek = n nazywamy współczynnikiem załamania światła
ośrodka w którym fala rozchodzi się z prędkością u.

II-gie prawo optyki geometrycznej

=

Prawo Snella

1

T

1

u

f

2

u

f

sin

A '

B

sin

A '

B

sin

sin

u

u

c

u

c

u

1

2

2

1

α λ

β λ

α

β

λ

λ

1

2

1
2

=

=

=

=

=



















c

u

sin

sin

α

β

2

1

n

n

Ośrodek Współczynnik

załamania

powietrze

woda

kwarc, topiony

szkło, kron cynkowy

polietylen

chlorek sodu

szkło, barowy lekki flint

dwusiarczek węgla

szafir

szkło, ciężki flint

diament

1,0003

1,33

1,46

1,52

1,52

1,53

1,58

1,63

1,77

1,89

2,42

Dla żółtej linii sodu (

λ = 5,9⋅10

-7

m)

Znajdźmy związek pomiędzy opóźnieniem w fazie

φ = a

współczynnikiem załamania n =

:

odcinek

∆x fala w próżni przebyłaby w czasie : t = ∆x/c

a w ośrodku o współczynniku załamania n: t

’

= =

n

a więc dłużej o czas :

∆t = (n - 1) ∆x/c

co wywoła opóźnienie w fazie:

φ

=

ω

∆t =

ω

(n-1)

∆x/c

Przyrównując z

φ

=

i biorąc wyrażenie na

∆E

o

(str.15)

otrzymujemy zależność n od

ω :

n = 1 +

(słuszne dla małych n)

∆

o

o

E

E

c

u

∆x

u

∆x

c

∆

o

o

E

E

2

2

2

2

π

ω

ω

o

o

k N e

m (

)

−

Dla typowych atomów

ω

o

>

ω

(dla

ω

z zakresu widzialnego) czyli n

> 1,

oraz

n rośnie ze wzrostem

ω

(n jest

większe dla światła fioletowego niż
dla czerwonego) -

występuje

dyspersja normalna

.

Promieniowanie ładunku punktowego i dipola

Jeśli zamiast całej płyty oscylujących ładunków, opiszemy z
wykorzystaniem równań

Maxwella oscylację

pojedynczego

ładunku, to otrzymamy wyrażenie na pole promieniowania ładunku
punktowego :

E =

sin

ω

(t -

) sin

α

(dla oscylacji ładunku y = y

o

sin

ω

t, przyspieszenie a =

=

-

ω

2

y

o

sin

ω

t)

inaczej : E = - k

o

a

t-r/c

sin

α

gdzie a

t-r/c

jest wartością przyspieszenia ładunku w chwili

wcześniejszej (t - r/c).

o

o

k q

y

c r

2

2

ω

r

c

2

2

d y

d t

q

c r

2

Jaką moc wypromieniowuje ładunek q o przyspieszeniu a ?

Wektor Poyntinga (moc wypromieniowana na jednostkę powierzchni):

S =

E B =

E =

E

2

= k

o

sin

2

α

Całkowita moc : P = d = [dA = 2

πr

2

sin

αdα] = k

o

P

=

2

4

c

k

o

π

2

4

c

k

o

π

E

c

2

4

c

k

o

π

2 2

3 2

4

q a

c r

π

→

∫ S

pow

→

A

2 2

3

3

2

q a

c

d

o

s in α α

π

∫

2

3 k

q

c

a

o

2

3

3

*

Jakie pole, o jakiej mocy, wypromieniowuje oscylujący dipol?

Przyjmijmy, że ładunek ujemny dipola (-q) jest nieruchomy w punkcie
y = 0, a ładunek dodatni oscyluje : y = y

o

sin

ω

t,

p

o

= qy

o

jest momentem dipolowym.

Przyspieszenie ładunku dodatniego a =

= -

sin

ω

t,

z wyrażenia na pole promieniowania ładunku punktowego :

E = - k

o

α

=

= k

o

(porównaj z natężeniem statycznym dipola : E

∼

)

Ładunek

dipola

oscylując, porusza się

ze zmiennym

przyspieszeniem. Średnia kwadratu przyspieszenia :

= (

ω

4

/q

2

)

= (średnia sin

2

α

=

) =

po podstawieniu do wzoru na P wyznaczonego wcześniej:

=

Moc promieniowania dipola rośnie proporcjonalnie do czwartej potęgi

częstości jego drgań.

2

2

d y

d t

2

ω

o

p

q

q

c r

p

q

t

r

c

o

2

2

−

−











ω

ω

s in (

) s in

2

o

2

p sin

c r

sin (t rc)

ω

α

ω

−

1

3

r

2

a

o

p

2

2

sin ωt

1

2

4

2

2

2

ω

o

p

q

P

1

3

2

4

3

o

o

k

p

c

ω

*

Jak długo trwa wypromieniowanie energii przez pobudzony do

oscylacji elektron w atomie ?

(tzn. jaki jest czas życia atomu w stanie wzbudzonym ?)
Drgający elektron można opisać jako oscylator ze stałą sprężystości
k = m

, gdzie

jest częstością naturalną.

Indukowany moment dipolowy p

o

= e x

o

(x

o

- amplituda)

Całkowita energia mechaniczna oscylatora wynosi :

U =

= m

Moc wypromieniowanej fali, tzn. ilość energii traconej przez elektron w
jednostce czasu, wynosi :

=

= k

o

=

k

o

Z dwóch ostatnich wyrażeń na U i

wynika :

o

2

ω

o

2

ω

1

2

2

k x

o

1

2

o

2

ω

o

x

2

P

dU

dt

1

3

o

o

p

c

2

2

3

ω

1

3

2

4

3

(

)

e x

c

o

o

ω

dU

dt

dU

U

k e

m c

dt

o

o

=

2

3

2

2

3

ω

podstawiając :

τ =

dt

po scałkowaniu : U = U

o

exp (- ) = U

o

e

-t/

τ

τ

bywa nazywane średnim czasem życia; po czasie t =

τ

:

U = U

o

;

tzn. energia wzbudzonego atomu maleje e-krotnie

(e - podstawa logarytmu naturalnego; e

∼2,72).

dU = 1

1

3

2

3

2

2

m c

k e

o

o

ω

U

τ

t
τ

e

Przykład 1

: jaki jest średni czas życia

τ

stanu wzbudzonego emitującego

światło żółte o częstotliwości f = 6 10

14

Hz ?

ω

o

2

π

f

⇒

τ

= =

= 1,13 10

-8

s

Wynik zbliżony do wyniku z obliczeń kwantowych !

2

2 2

c

10

10

2

3 9 11

3

8 3 14 9 10

6 10 1

31

8

3

2

9

14

2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

⋅

−

.

(

/ )

.

(

/ )

kg

m s

N m

c

s

3

8

3

m

k e f

o

π

Przykład 2

: Po jakim czasie elektron w atomie wodoru opisanym

modelem Bohra powinien spaść na proton ?
(tzn. po jakim czasie straci ok. połowy energii wiązania, tzn. 7 eV?)

Przyspieszenie dośrodkowe : a =

; siła : F = k

o

Moc promieniowania ładunku o przyspieszeniu a

P = (k

o

=

= ·9 ·10

9

= 4,61 ·10

-8

J/s = 2,88 ·10

11

eV/s

Energia 7 eV zostałaby wypromieniowana w czasie

∆

t =

= 2,4 ·10

-11

s !

Jednak elektrony na orbitach są stacjonarne, zgodnie

z przewidywaniami teorii kwantowej, nie promieniują energii

.

F

m

2

2

e

R

2
3

2

3

o

k

e

c

2

2

2

e

m R

)

2
3

N m

c

2

( ,

)

(

/ ) (

) ( ,

)

16 10

3 10

9 10

5 3 10

9

6

8

3

31

2

11

4

⋅

⋅

⋅

⋅

−

−

−

C

m s

kg

m

7

2 88 10

11

e V

e V s

,

/

⋅