Analiza wrażliwości (sensitivity analysis)

Cel

– sprawdzenie jak wrażliwe jest rozwiązanie

optymalne programu liniowego na pewne zmiany w
założeniach modelu lub na zmiany czynników
zewnętrznych (parametrów modelu), tj.

1.

współczynników funkcji celu (OFC – objective
function coefficients

), najczęściej cen – określenie, w

jakich granicach mogą zmieniać się te parametry , aby
dotychczasowe rozwiązanie pozostało optymalne

Analiza wrażliwości (sensitivity analysis)

2.

wyrazów wolnych w warunkach ograniczających (RHS
– right hand side), a więc zasobów surowców, norm
żywienia, planowanych wielkości produkcji –
określenie, w jakich mogą zmieniać się wyrazy wolne
(prawostronne ograniczenia), aby w rozwiązaniu
optymalnym pozostały dotychczasowe zmienne
bazowe (wyznaczenie nowych wartości tych
zmiennych)

Analiza wrażliwości (sensitivity analysis)

3.

Współczynników występujących po lewej stronie
układu warunków ograniczających

4.

Dodanie nowych warunków ograniczających

W praktyce najczęściej bada się wrażliwość
rozwiązania optymalnego na zmiany współczynników
funkcji celu oraz wyrazów wolnych w ograniczeniach.

Przykład

Mając dany model matematyczny zadania (zmienne x

1

, x

2

i x

3

oznaczają wielkości produkcji wyrobów W

1

, W

2

i W

3

, współczynniki

w funkcji celu

– ceny sprzedaży poszczególnych wyrobów, warunki

ograniczające z kolei dotyczą limitów czasu pracy odpowiednio
maszyn M

1

, M

2

i M

3

) i ostatnią tablicę simpleksową:

1.

Określić wrażliwość rozwiązania optymalnego na zmiany cen

akumulatorów.

2.

Sprawdzić, czy zmniejszenie tygodniowego czasu pracy maszyn
M

1

i M

2

o 10 godz. spowoduje zmianę bazy optymalnej.

3.

Jakie będą optymalne wielkości produkcji wyrobów W

1

, W

2

i W

3

przy nowych limitach czasu pracy maszyn oraz łączny zysk z

produkcji tych wyrobów.

Przykład

f(x

1

, x

2

, x

3

) = 32x

1

+24x

2

+48x

3

→ max

2x

1

+ 2x

2

+ 5x

3

40

x

1

+ 3x

2

+ 2x

3

30

3x

1

+ x

2

+ 3x

3

30

x

1

, x

2

, x

3

0

Przykład

c

j

32

24

48

0

0

0

c

b

x

b

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

rozw.

48

x

3

0

0

1

0,4

-0,2

-0,2

4

24

x

2

0

1

0

-0,15

0,45

-0,05

6

32

x

1

1

0

0

-0,35

0,05

0,55

4

z

j

32

24

48

4,4

2,8

6,8

c

j

-z

j

0

0

0

-4,4

-2,8

-6,8

Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany

ceny wyrobu W

1

c

j

32 +

δ

1

24

48

0

0

0

c

b

x

b

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

rozw.

48

x

3

0

0

1

0,4

-0,2

-0,2

4

24

x

2

0

1

0

-0,15

0,45

-0,05

6

32 +

δ

1

x

1

1

0

0

-0,35

0,05

0,55

4

z

j

32 +

δ

1

24

48

4,4 – 0,35 δ

1

2,8+0,05 δ

1

6,8+0,55 δ

1

c

j

-z

j

0

0

0 -4,4 +0,35 δ

1

-2,8-0,05 δ

1

-6,8-0,55 δ

1

Wszędzie za c

1

podstawiamy: c’

1

= c

1

+

δ

1

= 32 +

δ

1

Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany

ceny wyrobu W

1

Ponieważ funkcja celu jest maksymalizowana, elementy
wiersza zerowego powinny być niedodatnie. Parametr δ

1

musi zatem spełniać następujący układ warunków:

-4,4 + 0,35

δ

1

0

-2,8

– 0,05 δ

1

0

-6,8

– 0,55 δ

1

0

Z tego wynika, że:

δ

1

12,57

δ

1

<-12,36; 12,57>

δ

1

-56

c

1

<32-12,36; 32+12,57>

δ

1

-12,36

c

1

<19,64; 44,57>

Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany

ceny wyrobu W

2

c

j

32

24+δ

2

48

0

0

0

c

b

x

b

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

rozw

48

x

3

0

0

1

0,4

-0,2

-0,2

4

24+δ

2

x

2

0

1

0

-0,15

0,45

-0,05

6

32

x

1

1

0

0

-0,35

0,05

0,55

4

z

j

32

24+δ

2

48

4,4–0,15 δ

2

2,8+0,45 δ

2

6,8-0,05 δ

2

c

j

-z

j

0

0

0

-4,4+0,15

δ

2

-2,8-0,45 δ

2

-6,8+0,05 δ

2

Wszędzie za c

2

podstawiamy: c’

2

= c

2

+

δ

2

= 24 +

δ

2

Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany

ceny wyrobu W

2

Ponieważ funkcja celu jest maksymalizowana, elementy
wiersza zerowego powinny być niedodatnie. Parametr δ

2

musi zatem spełniać następujący układ warunków:

-4,4 + 0,15

δ

2

0

-2,8

– 0,45 δ

2

0

-6,8 + 0,05

δ

2

0

Z tego wynika, że:

δ

2

29,33

δ

2

<-6,22; 29,33>

δ

2

-6,22

c

2

<24-6,22; 24+29,33>

δ

2

136

c

2

<17,78; 53,33>

Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany

ceny wyrobu W

3

c

j

32

24

48+δ

3

0

0

0

c

b

x

b

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

rozw

48+δ

3

x

3

0

0

1

0,4

-0,2

-0,2

4

24

x

2

0

1

0

-0,15

0,45

-0,05

6

32

x

1

1

0

0

-0,35

0,05

0,55

4

z

j

32

24

48+δ

3

4,4+0,4 δ

3

2,8-0,2 δ

3

6,8-0,2 δ

3

c

j

-z

j

0

0

0

-4,4-0,4 δ

3

-2,8+0,2 δ

3

-6,8-0,2 δ

3

Wszędzie za c

3

podstawiamy: c’

3

= c

3

+

δ

3

= 48 +

δ

3

Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany

ceny wyrobu W

3

Ponieważ funkcja celu jest maksymalizowana, elementy
wiersza zerowego powinny być niedodatnie. Parametr δ

3

musi zatem spełniać następujący układ warunków:

-4,4

– 0,4 δ

3

0

-2,8 + 0,2

δ

3

0

-6,8 + 0,2

δ

3

0

Z tego wynika, że:

δ

3

-11

δ

3

<-11; 14>

δ

3

14

c

3

<48-11; 48+14>

δ

3

34

c

3

<37; 42>

Przykład – ad.2 wrażliwość rozwiązania na

dopuszczalne zmiany czasu pracy maszyny M

1

b’

1

= b

1

+

ε

1

= 40 +

ε

1

Ponieważ rozwiązania muszą być nieujemne, musi być
spełniony następujący układ równań:

4 + 0,4

ε

1

0

6

– 0,15ε

1

0

4

– 0,35 ε

1

0

Z tego wynika, że:

ε

1

-10

ε

1

<-10; 11,43>

ε

1

57,97

b

1

<40-10; 40+11,43>

ε

1

11,43

b

1

<30; 51,43>

Przykład – ad.2 wrażliwość rozwiązania na

dopuszczalne zmiany czasu pracy maszyny M

2

b’

2

= b

2

+

ε

2

= 30 +

ε

2

Ponieważ rozwiązania muszą być nieujemne, musi być
spełniony następujący układ równań:

4

– 0,2 ε

2

0

6 + 0,45

ε

2

0

4 + 0,05

ε

2

0

Z tego wynika, że:

ε

2

20

ε

2

<-13,33; 20>

ε

2

-13,33

b

2

<30-13,33; 30+20>

ε

2

-80

b

2

<16,67; 50>

Przykład – ad.2 wrażliwość rozwiązania na

dopuszczalne zmiany czasu pracy maszyn M

1

i M

2

Optymalna baza nie ulegnie zmianie, ponieważ zmniejszenie
czasu pracy maszyn mieści się w dozwolonych przedziałach.

Przykład – ad.3 optymalne wielkości produkcji przy

nowych limitach czasu pracy maszyn

Ponieważ limity czasu pracy maszyn M

1

i M

2

zmniejszamy o 10:

ε

1

= -10

ε

2

= -10

Zatem:

x

3

= 4 + 0,4

· ε

1

– 0,2 · ε

2

= 4 + 0,4

·(-10) – 0,2 ·(-10) = 2

x

2

= 6

– 0,15 · ε

1

+ 0,45

· ε

2

= 6

– 0,15 ·(-10) + 0,45 ·(-10) = 3

x

1

= 4

– 0,35 · ε

1

+ 0,05

· ε

2

= 4

– 0,35 ·(-10) + 0,05 ·(-10) = 7

c

b

= 48

·2 + 24 ·3 + 32 ·7 = 96 + 72 + 224 = 392