Analiza wrażliwości (sensitivity analysis)
Cel
– sprawdzenie jak wrażliwe jest rozwiązanie
optymalne programu liniowego na pewne zmiany w
założeniach modelu lub na zmiany czynników
zewnętrznych (parametrów modelu), tj.
1.
współczynników funkcji celu (OFC – objective
function coefficients
), najczęściej cen – określenie, w
jakich granicach mogą zmieniać się te parametry , aby
dotychczasowe rozwiązanie pozostało optymalne
Analiza wrażliwości (sensitivity analysis)
2.
wyrazów wolnych w warunkach ograniczających (RHS
– right hand side), a więc zasobów surowców, norm
żywienia, planowanych wielkości produkcji –
określenie, w jakich mogą zmieniać się wyrazy wolne
(prawostronne ograniczenia), aby w rozwiązaniu
optymalnym pozostały dotychczasowe zmienne
bazowe (wyznaczenie nowych wartości tych
zmiennych)
Analiza wrażliwości (sensitivity analysis)
3.
Współczynników występujących po lewej stronie
układu warunków ograniczających
4.
Dodanie nowych warunków ograniczających
W praktyce najczęściej bada się wrażliwość
rozwiązania optymalnego na zmiany współczynników
funkcji celu oraz wyrazów wolnych w ograniczeniach.
Przykład
Mając dany model matematyczny zadania (zmienne x
1
, x
2
i x
3
oznaczają wielkości produkcji wyrobów W
1
, W
2
i W
3
, współczynniki
w funkcji celu
– ceny sprzedaży poszczególnych wyrobów, warunki
ograniczające z kolei dotyczą limitów czasu pracy odpowiednio
maszyn M
1
, M
2
i M
3
) i ostatnią tablicę simpleksową:
1.
Określić wrażliwość rozwiązania optymalnego na zmiany cen
akumulatorów.
2.
Sprawdzić, czy zmniejszenie tygodniowego czasu pracy maszyn
M
1
i M
2
o 10 godz. spowoduje zmianę bazy optymalnej.
3.
Jakie będą optymalne wielkości produkcji wyrobów W
1
, W
2
i W
3
przy nowych limitach czasu pracy maszyn oraz łączny zysk z
produkcji tych wyrobów.
Przykład
f(x
1
, x
2
, x
3
) = 32x
1
+24x
2
+48x
3
→ max
2x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
40
x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
30
3x
1
+ x
2
+ 3x
3
30
x
1
, x
2
, x
3
0
Przykład
c
j
32
24
48
0
0
0
c
b
x
b
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
rozw.
48
x
3
0
0
1
0,4
-0,2
-0,2
4
24
x
2
0
1
0
-0,15
0,45
-0,05
6
32
x
1
1
0
0
-0,35
0,05
0,55
4
z
j
32
24
48
4,4
2,8
6,8
c
j
-z
j
0
0
0
-4,4
-2,8
-6,8
Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany
ceny wyrobu W
1
c
j
32 +
δ
1
24
48
0
0
0
c
b
x
b
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
rozw.
48
x
3
0
0
1
0,4
-0,2
-0,2
4
24
x
2
0
1
0
-0,15
0,45
-0,05
6
32 +
δ
1
x
1
1
0
0
-0,35
0,05
0,55
4
z
j
32 +
δ
1
24
48
4,4 – 0,35 δ
1
2,8+0,05 δ
1
6,8+0,55 δ
1
c
j
-z
j
0
0
0 -4,4 +0,35 δ
1
-2,8-0,05 δ
1
-6,8-0,55 δ
1
Wszędzie za c
1
podstawiamy: c’
1
= c
1
+
δ
1
= 32 +
δ
1
Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany
ceny wyrobu W
1
Ponieważ funkcja celu jest maksymalizowana, elementy
wiersza zerowego powinny być niedodatnie. Parametr δ
1
musi zatem spełniać następujący układ warunków:
-4,4 + 0,35
δ
1
0
-2,8
– 0,05 δ
1
0
-6,8
– 0,55 δ
1
0
Z tego wynika, że:
δ
1
12,57
δ
1
<-12,36; 12,57>
δ
1
-56
c
1
<32-12,36; 32+12,57>
δ
1
-12,36
c
1
<19,64; 44,57>
Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany
ceny wyrobu W
2
c
j
32
24+δ
2
48
0
0
0
c
b
x
b
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
rozw
48
x
3
0
0
1
0,4
-0,2
-0,2
4
24+δ
2
x
2
0
1
0
-0,15
0,45
-0,05
6
32
x
1
1
0
0
-0,35
0,05
0,55
4
z
j
32
24+δ
2
48
4,4–0,15 δ
2
2,8+0,45 δ
2
6,8-0,05 δ
2
c
j
-z
j
0
0
0
-4,4+0,15
δ
2
-2,8-0,45 δ
2
-6,8+0,05 δ
2
Wszędzie za c
2
podstawiamy: c’
2
= c
2
+
δ
2
= 24 +
δ
2
Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany
ceny wyrobu W
2
Ponieważ funkcja celu jest maksymalizowana, elementy
wiersza zerowego powinny być niedodatnie. Parametr δ
2
musi zatem spełniać następujący układ warunków:
-4,4 + 0,15
δ
2
0
-2,8
– 0,45 δ
2
0
-6,8 + 0,05
δ
2
0
Z tego wynika, że:
δ
2
29,33
δ
2
<-6,22; 29,33>
δ
2
-6,22
c
2
<24-6,22; 24+29,33>
δ
2
136
c
2
<17,78; 53,33>
Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany
ceny wyrobu W
3
c
j
32
24
48+δ
3
0
0
0
c
b
x
b
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
rozw
48+δ
3
x
3
0
0
1
0,4
-0,2
-0,2
4
24
x
2
0
1
0
-0,15
0,45
-0,05
6
32
x
1
1
0
0
-0,35
0,05
0,55
4
z
j
32
24
48+δ
3
4,4+0,4 δ
3
2,8-0,2 δ
3
6,8-0,2 δ
3
c
j
-z
j
0
0
0
-4,4-0,4 δ
3
-2,8+0,2 δ
3
-6,8-0,2 δ
3
Wszędzie za c
3
podstawiamy: c’
3
= c
3
+
δ
3
= 48 +
δ
3
Przykład – ad.1 wrażliwość rozwiązania na zmiany
ceny wyrobu W
3
Ponieważ funkcja celu jest maksymalizowana, elementy
wiersza zerowego powinny być niedodatnie. Parametr δ
3
musi zatem spełniać następujący układ warunków:
-4,4
– 0,4 δ
3
0
-2,8 + 0,2
δ
3
0
-6,8 + 0,2
δ
3
0
Z tego wynika, że:
δ
3
-11
δ
3
<-11; 14>
δ
3
14
c
3
<48-11; 48+14>
δ
3
34
c
3
<37; 42>
Przykład – ad.2 wrażliwość rozwiązania na
dopuszczalne zmiany czasu pracy maszyny M
1
b’
1
= b
1
+
ε
1
= 40 +
ε
1
Ponieważ rozwiązania muszą być nieujemne, musi być
spełniony następujący układ równań:
4 + 0,4
ε
1
0
6
– 0,15ε
1
0
4
– 0,35 ε
1
0
Z tego wynika, że:
ε
1
-10
ε
1
<-10; 11,43>
ε
1
57,97
b
1
<40-10; 40+11,43>
ε
1
11,43
b
1
<30; 51,43>
Przykład – ad.2 wrażliwość rozwiązania na
dopuszczalne zmiany czasu pracy maszyny M
2
b’
2
= b
2
+
ε
2
= 30 +
ε
2
Ponieważ rozwiązania muszą być nieujemne, musi być
spełniony następujący układ równań:
4
– 0,2 ε
2
0
6 + 0,45
ε
2
0
4 + 0,05
ε
2
0
Z tego wynika, że:
ε
2
20
ε
2
<-13,33; 20>
ε
2
-13,33
b
2
<30-13,33; 30+20>
ε
2
-80
b
2
<16,67; 50>
Przykład – ad.2 wrażliwość rozwiązania na
dopuszczalne zmiany czasu pracy maszyn M
1
i M
2
Optymalna baza nie ulegnie zmianie, ponieważ zmniejszenie
czasu pracy maszyn mieści się w dozwolonych przedziałach.
Przykład – ad.3 optymalne wielkości produkcji przy
nowych limitach czasu pracy maszyn
Ponieważ limity czasu pracy maszyn M
1
i M
2
zmniejszamy o 10:
ε
1
= -10
ε
2
= -10
Zatem:
x
3
= 4 + 0,4
· ε
1
– 0,2 · ε
2
= 4 + 0,4
·(-10) – 0,2 ·(-10) = 2
x
2
= 6
– 0,15 · ε
1
+ 0,45
· ε
2
= 6
– 0,15 ·(-10) + 0,45 ·(-10) = 3
x
1
= 4
– 0,35 · ε
1
+ 0,05
· ε
2
= 4
– 0,35 ·(-10) + 0,05 ·(-10) = 7
c
b
= 48
·2 + 24 ·3 + 32 ·7 = 96 + 72 + 224 = 392