X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A
KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole – Krynica
2002
Ireneusz KREJA
1
Czesław SZYMCZAK
2
ANALIZA WRAŻ LIWOŚCI DWUTEOWEGO PRĘTA
CIENKOŚCIENNEGO Z PRZEWIĄ ZKAMI
1. Wstęp
Prę ty cienkościenne o przekroju otwartym, na przykład dwuteowym, charakteryzują się
stosunkowo małą sztywnością na skrę canie. W przypadku działania obcią ż eń powodują cych
skrę canie prę ta zachodzi wię c czę sto potrzeba zwię kszenia tej sztywności. W takich
sytuacjach czę sto stosowane przepony poprzeczne lub przewią zki. Przy racjonalnym
projektowaniu takich stę ż eń oraz ich lokalizacji moż e być przydatna analiza wraż liwości [1].
Uzyskane na jej podstawie linie wpływowe zmian przemieszczeń lub sił wewnę trznych na
skutek zmian parametrów stę ż eń wskazują najlepsze miejsca umieszczenia stę ż eń , a takż e
pozwalają określić , co prawda w przybliż ony sposób, zmiany zachowania się konstrukcji. W
analizie statycznej prę ta cienkościennego, opartej na klasycznej teorii prę tów
cienkościennych o przekroju nieodkształcalnym [2], wpływ przepon lub przewią zek
uwzglę dniamy przez dodanie sprę ż ystych stę ż eń bimomentowych [3, 4, 5]. Jak wykazano w
studium porównawczym [6], sposób ten jest obarczony znacznymi błę dami w stosunku do
analizy opartej na MES przy przyję ciu modelu dwuwymiarowego. Zaproponowany w pracy
[6], model jednowymiarowy prę ta z superelementami w są siedztwie miejsca lokalizacji
przewią zki okazał się przydatny w analizie i zapewnił znaczną poprawę wyników. Wią ż e się
to z faktem, ż e w ten sposób uwzglę dniamy moż liwość deformacji przekroju poprzecznego
prę ta w pobliż u przewią zki oraz lepiej modelujemy pracę samej przewią zki lub przepony. W
niniejszej pracy taki model prę ta cienkościennego o przekroju nieodkształcalnym z
superelementami w miejscach stę ż eń zastosowany zostanie do analizy wraż liwości
przemieszczeń lub sił wewnę trznych prę ta poddanego skrę caniu. Wyniki uzyskane w ten
sposób porównano z rezultatami otrzymanymi na podstawie klasycznej teorii Własowa [6]
skrę cania skrę powanego prę ta o przekroju otwartym [2]. Ponadto zbadano dokładność
uzyskanego na podstawie analizy wraż liwości oszacowania zmian przemieszczeń na skutek
zmian szerokości przewią zek przez porównanie z wynikami analizy prę ta ze zmienionymi
parametrami przewią zek.
1
Dr inż ., Wydział Inż ynierii Lą dowej Politechniki Gdań skiej
2
Prof. dr hab. inż ., Wydział Inż ynierii Lą dowej Politechniki Gdań skiej
110
2. Analiza wraż liwości modelu jednowymiarowego pręta
W numerycznej analizie prę tów o cienkościennym przekroju poprzecznym poddanych
skrę caniu stosowany jest powszechnie model jednowymiarowy bazują cy na teorii prę tów
cienkościennych o przekroju nieodkształcalnym. Rozpatrzmy ściskany osiowo siłami P
cienkościenny prę t o dwuteowym przekroju poprzecznym z przewią zkami oraz innymi
stę ż eniami poprzecznymi pracują cymi na ką cie skrę cenia
q
. Przewią zki, podobnie jak
przepony poprzeczne, wpływają na spaczenie przekroju poprzecznego prę ta i modelowane są
podłoż em sprę ż ystym Winklera o module k
B
. W taki sam sposób modelowane są stę ż enia
pracują ce na ką cie skrę cenia, z tym, ż e sztywność podłoż a sprę ż ystego określona jest przez
moduł k
q
(rys. 1).
l
P
P
z
x
k
q
q
y
k
q
,k
B
m
Rys. 1. Prę t cienkościenny o przekroju dwuteowym ze stę ż eniami
Siły wewnę trzne, reakcje oraz przemieszczenia, które bę dziemy określali jako zmienne stanu
s
k
zależ ą od parametrów geometrycznych i mechanicznych materiału prę ta zwanych
zmiennymi projektowymi d
i
. Podczas projektowania konstrukcji zachodzi czę sto potrzeba
zmian zmiennych projektowych aby uzyskać poż ą dane zmiany jej zachowania się . W naszej
pracy interesować nas bę dą zmiany zmiennych stanu
D
s
k
od zmian parametrów stę ż eń
D
d
i
. W
pracy [6], korzystają c z koncepcji konstrukcji sprzę ż onej, wyprowadzono ogólny wzór na
wariację zmiennej stanu
d
s
k
, która jest liniową czę ścią przyrostu
D
s
k
, w zależ ności od
wariacji dowolnej zmiennej projektowej
d
d
i
,
,
,
,
,
0
0
dz
d
k
k
A
I
P
GI
EI
s
i
l
d
B
d
d
s
d
w
k
d
q
q
q
q
q
q
q
q
d
q
ò
ú
û
ù
ê
ë
é
¢
¢
+
+
¢
¢
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
+
¢¢
¢¢
=
(1)
gdzie EI
w
i GI
s
są odpowiednio sztywnością bimomentową i sztywnością czystego skrę cania
prę ta, I
0
jest momentem biegunowym a A polem przekroju poprzecznego prę ta,
q
i
q
oznaczają ką ty skrę cenia prę ta poddanego działaniu obcią ż enia zewnę trznego i obcią ż enia
sprzę ż onego natomiast
( )
¢
... i
( )
d
,
...
oznaczają odpowiednio pochodną wzglę dem
współrzę dnej z i pochodną czą stkową wzglę dem zmiennej projektowej d
i
. W przypadku
zmian parametrów stę ż eń bimomentowych otrzymujemy
,
)
(
.
,
0
0
ò
ò
=
¢
¢
=
l
sd
i
l
d
B
k
dz
z
F
dz
d
k
s
d
q
q
d
(2)
gdzie funkcja podcałkowa F
sd
(z) moż e być traktowana jako linia wpływowa zmian zmiennej
stanu s
k
od jednostkowej punktowej zmiany zmiennej projektowej d
i
.
111
Sztywność bimomentowa przewią zki zgodnie z pracami [3,5] wynosi
.
2
2
3
h
tw
Eb
k
B
=
(3)
Wystę pują ce we wzorze (3) parametry przewią zki objaśniono na rys. 2.
b
h
w
t
Rys. 2. Parametry geometryczne przewią zki
W przypadku jednej przewią zki, której środek jest określony współrzę dną z = z
0,
wariacja
zmiennej stanu
d
s
k
na skutek zmiany na przykład szerokości przewią zki
D
b
obliczona na
podstawie wzorów (2) i (3) wynosi
.
)
(
)
(
5
.
1
0
0
2
1
2
b
z
z
b
h
Etw
s
k
D
¢
¢
=
-
q
q
d
(4)
W przypadku uwzglę dnienia wpływu ścinania w przewią zce [3] należ y prawą stronę wzoru
(4) przemnoż yć przez współczynnik korekcyjny k
T
(
)
(
)
[
]
,
1
5
.
2
1
75
.
0
1
2
2
2
2
2
-
-
-
+
+
+
=
h
b
w
b
k
T
n
(5)
gdzie
n
jest współczynnikiem Poissona materiału przewią zki.
3. Analiza wraż liwości modelu jednowymiarowego pręta z superelementami
W przypadku wykorzystania do modelowania prę ta koncepcji superelementu w miejscu
umieszczenia przewią zki co było przedmiotem poprzedniej naszej pracy [7], wykorzystany
zostanie odpowiednik dyskretny wzoru (2) (porównaj [2])
,
i
i
T
k
d
dd
d
s
d
d
u
K
u
=
(6)
gdzie u i u oznaczają wektory przemieszczeń układu odpowiednio od stanu obcią ż eń
zewnę trznych i stanu obcią ż eń sprzę ż onych a K jest macierzą sztywności układu.
Potrzebną pochodną macierzy sztywności wzglę dem zmiany parametru przewią zki
i
dd
dK
moż na określić poprzez odpowiedni iloraz róż nicowy
(
)
( )
.
i
i
i
i
i
d
d
d
d
dd
d
D
-
D
+
»
K
K
K
(7)
Należ y zwrócić uwagę , ż e niezerowe elementy w pochodnej macierzy sztywności wystę pują
jedynie dla stopni swobody odpowiadają cych superelementowi z przewią zką . Korzystają c z
tej własności moż na wyznaczyć kolejne wartości linii wpływowej wariacji zmiennej stanu na
podstawie wzoru (6) przez przesuwanie superelementu z przewią zką wzdłuż osi prę ta.
112
4. Przykłady numeryczne
Wyznaczmy linię wpływową wariacji ką ta skrę cenia w środku rozpię tości swobodnie
podpartego dwuteowego prę ta od wstawienia w dowolnym przekroju pary przewią zek. Jako
zmienną projektową przyję to w tym przypadku szerokość przewią zki b. Prę t jest obcią ż ony
momentem skrę cają cym w przekroju środkowym jak podano na rys. 3
Rys. 3. Analiza wraż liwości swobodnie podpartego prę ta dwuteowego
Linię wpływową uzyskaną dla modelu prę towego porównamy z wynikami analizy
numerycznej bazują cej na wykorzystaniu macierzy sztywności powtarzalnego segmentu
belki cienkościennej z przewią zką (rys. 4).
c
A
c
A
c
B
c
B
j
XA
j
XB
BM
B
BM
B
M
XB
BM
A
BM
A
M
XA
Rys. 4. Segment belki z parą przewią zek umieszczonych w połowie długości
Zgodnie z procedurą opisaną w pracy [7] zbudowano macierze sztywności dla segmentu o
długości 40 cm z umieszczoną centralnie przewią zką o szerokości b, przyjmują c b = 0 cm,
5 cm, 10 cm, 15 cm i 20 cm. Pierwsze przybliż enie pochodnej macierzy sztywności
obliczono na podstawie wzoru (7):
113
(
)
(
)
05
.
0
0
05
.
0
0
=
-
=
»
=
b
m
b
db
d
b
K
K
K
(8)
Modelują c analizowaną belkę dziesięcioma segmentami wyznaczono dyskretne wartości funkcji
podcałkowej (6) w punktach odpowiadają cych kolejnemu położeniu środka przewią zki:
10
,
,
2
,
1
,
4
.
0
)
1
(
2
.
0
K
=
´
-
+
=
i
m
i
m
x
i
(9)
Uzyskane linie wpływu zestawiono na rys. 5. Zauważ alna jest duż a rozbież ność wyników
otrzymanych dla dwóch uż ytych modeli. Potwierdza się wniosek z wcześniejszych analiz
(por. [7]), ż e sztywność przewią zek w modelu prę towym jest znacznie zawyż ona.
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
rz
ę dna belki, z [m]
rz
ę
d
n
a
l
in
ii
w
p
ły
w
u
linia wp
ływu - model prę towy
linia wp
ływu - model numeryczny
Rys. 5. Linia wpływu wzglę dnego przyrostu ką ta skrę cenia przekroju środkowego
wskutek zastosowania przewią zki o szerokości jednostkowej w przekroju o rzę dnej z
W celu weryfikacji wyznaczonych linii wpływu wykonano obliczenia sprawdzają ce zgodnie
ze schematem pokazanym na rys. 6 (wykorzystują c symetrię problemu).
segment z przewi
ązką zastę puje
kolejno i-ty segment modelu belki,
i = 1, 2, 3, 4, 5
model belki zbudowany z 10 segment
ów
ka
ż dy o długoś ci 0.4 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Rys. 6. Model belki zastosowany w obliczeniach sprawdzają cych
Na rysunkach 7, 8 i 9 przedstawiono wykresy zmiany ką ta skrę cenia przekroju środkowego
belki wskutek wstawienia w przekroju o odcię tej z, przewią zki o szerokości, odpowiednio,
b = 5cm, b = 10cm oraz b = 20cm, wyznaczone na podstawie analizy wraż liwości dla
modelu prę towego i modelu numerycznego oraz wyników obliczeń sprawdzają cych.
Zgodnie z oczekiwaniami obliczenia sprawdzają ce potwierdzają rezultaty analizy
wraż liwości dla modelu numerycznego. Moż emy jednak zauważ yć , ż e w miarę wzrostu
114
szerokości przewią zki rosną róż nice pomię dzy wynikami analizy wraż liwości
a rozwią zaniami obliczeń sprawdzają cych. Jest to nieunikniona konsekwencja liniowego
przybliż enia pochodnej macierzy sztywności (9), która de facto nie jest liniową funkcją
szerokości przewią zki b. Ó w efekt nieliniowości dobrze ilustruje wykres przedstawiony na
rys. 10, ukazują cy wzglę dną zmianę kata skrę cenia jako funkcję umieszczenia w przekroju o
odcię tej z, jednej pary przewią zek o szerokości b.
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
rz
ę dna belki [m]
w
z
g
lę
d
n
y
p
rz
y
ro
s
t
k
ąt
a
s
k
rę
c
e
n
ia
analiza wra
ż liwoś ci - model prę towy
analiza wra
ż liwoś ci - model numeryczny
obliczenia sprawdzaj
ące b=5cm - model numeryczny
Rys. 7. Wzglę dny przyrost ką ta skrę cenia wskutek zastosowania przewią zki b = 5cm
-0.30
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
rz
ę dna belki [m]
w
z
g
lę
d
n
y
p
rz
y
ro
s
t
k
ąt
a
s
k
rę
c
e
n
ia
analiza wra
ż liwoś ci - model prę towy
analiza wra
ż liwoś ci - model numeryczny
obliczenia sprawdzaj
ące b=10cm - model numeryczny
Rys. 8. Wzglę dny przyrost ką ta skrę cenia wskutek zastosowania przewią zki b = 10cm
115
-0.60
-0.50
-0.40
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
rz
ę dna belki [m]
w
z
g
lę
d
n
y
p
rz
y
ro
s
t
k
ą
ta
s
k
rę
c
e
n
ia
analiza wra
ż liwoś ci - model prę towy
analiza wra
ż liwoś ci - model numeryczny
obliczenia sprawdzaj
ące b=20 cm - model
numeryczny
Rys. 9. Wzglę dny przyrost ką ta skrę cenia wskutek zastosowania przewią zki b = 20cm
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
szeroko
ś ć przewiązki, b [m]
w
z
g
lę
d
n
a
z
m
ia
n
a
k
a
ta
s
k
rę
c
e
n
ia
z = 0.2
z = 0.6
z = 1
z = 1.4
z = 1.8
Rys. 10. Wpływ umieszczenia jednej pary przewią zek w przekroju o odcię tej z
5. Wnioski końcowe
W pracy przedstawiono analizę wraż liwości dowolnej zmiennej stanu określają cą zmiany
zachowania się cienkościennego prę ta o dwuteowym przekroju poprzecznym ze wzglę du na
zmiany parametrów przewią zek. W szczególnym przypadku moż na oszacować w ten sposób
skutki wstawienia przewią zek w dowolnym miejscu prę ta, a takż e ustalić najkorzystniejsze
miejsce ich lokalizacji. Porównano dwa sposoby modelowania prę ta: w pierwszym
rozważ ania są oparte na teorii prę tów cienkościennych o przekroju nieodkształcalnym a w
drugim na koncepcji wprowadzenia superelementu w miejscu lokalizacji przewią zek. W ten
sposób uwzglę dnia się wpływ deformacji prę ta w pobliż u przewią zki. Zbadano takż e
116
dokładność określania zmian zachowania się prę ta przy zmianach parametrów przewią zki za
pomocą analizy wraż liwości. Na tej podstawie ustalono, ż e proponowany model
jednowymiarowy prę ta z superelementami w miejscu przewią zek daje wystarczają ce dla
celów praktycznych oszacowanie zmian zachowania się prę ta bez konieczności powtarzania
analizy statycznej z wprowadzonymi zmianami.
Podziękowania
Praca powstała dzię ki finansowemu wsparciu KBN w ramach projektu Nr 7 T07E 015 19.
Literatura
[1] HAUG E.J., CHOI K.K., KOMKOV V., Design sensitivity analysis of structural
systems. Academic Press, Orlando, 1986.
[2] WŁ ASOW W.Z., Tonkostennyje uprugije stierż ni. Fizmatgiz, Moskwa, 1959
[3] SZEWCZAK R.M., SMITH E.A., DEWOLF J.T., Beams with torsional stiffeners,
J. Struct. Engrg. ASCE, t.103, 1983, s.1635-1647.
[4] SVENSSON S.E., PLUM C.M., Stiffener effects on torsional buckling of columns,
J. Struct. Engrg. ASCE, t.109, 1983, s.758-772.
[5] GOSOWSKI B., Stateczność przestrzenna stę ż onych podłuż nie i poprzecznie
pełnościennych elementó w konstrukcji metalowych. Prace Naukowe Instytutu
Budownictwa Politechniki Wrocławskiej nr 66, Monografie 29, Wrocław 1992.
[6] BUDKOWSKA B.B., SZYMCZAK C., Sensitivity analysis of thin-walled I beams
resting on elastic foundation, J. Engng, Mech. ASCE, t.118, 1992, s.1239-1248.
[7] SZYMCZAK C., KREJA I., MIKULSKI T., Numeryczne modelowanie
cienkościennego prę ta z przewią zkami. XLVII Konf. Naukowa KILiW PAN i KN PZITB
„ Krynica 2001” , Opole-Krynica 2001, t.2, s.111-118.
SENSITIVITY ANALYSIS OF THIN-WALLED I-BEAM
WITH BATTENS
.
Summary
Sensitivity analysis of thin-walled beams with battens subjected to static loads is presented.
The first variation of arbitrary state variable with respect to change of the battens parameters
is determined. Two methods of modelling for the beam with battens are taken into
consideration. Firstly, the battens are modelled according to the theory of thin-walled beams
with the nondeformable cross-section as a warping spring support and secondly, more exact
model of battens, based upon a concept of superelement is introduced. A comparative study
of the sensitivity analysis based on these two methods of structure modelling is presented.
Some numerical examples, dealing with a simply supported beam are given.