K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

VIII.

VIII.1. ORBITALNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU,



L=r×p

(VIII.1.1)

p=mv

(VIII.1.2)

Z (VIII.1.1) i (VIII.1.2) wynika (VIII.1.1a):

L

=| L |=mvr

(VIII.1.1a)

r ⊥v

 r=v

(VIII.1.3)

Z zależności (VIII.1.1a) oraz (VIII.1.3) wynika, że kręt elektronu jest równy:

L

=mr

2



(VIII.1.1b)

Elektron jest to cząstka obdarzona masą, ale równocześnie jest ładunkiem poruszającym
się. Jest on równoważny bezprzewodowemu przepływowi prądu. Elektron orbitalny ma
własności magnetyczne (jest dipolem magnetycznym |

| ).

∣∣==i S

(VIII.1.4)

– 1 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

S – powierzchnia obwodu,
i – natężenie prądu w obwodzie, wyraża się ono wzorami (VIII.1.5a) – w układzie Gaussa
oraz (VIII.1.5b) – w układzie SI:

i

=

e

c



(VIII.1.5a)

i

=

e



(VIII.1.5b)

τ – okres obiegi elektronu po orbicie

Rys.VIII.1. Schematyczne przedstawienie orbity atomu.

dS

=

1

2

rdl

(VIII.1.6)

dl

= rd 

(VIII.1.7)

– 2 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

dS

=

1

2

r

2

d



(VIII.1.8)

S

=

∫

dS

=

1
2

∫

0

2



r

2

d



(VIII.1.9)

L

≡ p



, gdzie p



oznacza pęd uogólniony ze względu na współrzędną φ.

Z wzoru (VIII.1.1b) wynika:

r

2

=

p



m ˙

=

p



m

dt

d



(VIII.1.10)

Z wzorów (VIII.1.9) i (VIII.1.10) otrzymujemy, że powierzchnia S obwodu wynosi:

S

=

1
2

∫

0

2



p



m

dt

d



d

=

p



2m

∫

0

τ

dt

=

p



2m 

(VIII.1.11)

Wyrażenie (VIII.1.11) otrzymaliśmy przechodząc z całkowania po kącie na całkowanie po
czasie, przy czym: jeżeli

є [0, 2  ), to t є [0,]

Z wzorów: (VIII.1.4), (VIII.1.5) oraz (VIII.1.11) otrzymujemy wzór na moment magnetyczny
elektronu:

 = iS =

e

c



p



2m

 =

e

2mc

p



(VIII.1.12)



p



=

e

2mc

= const

(VIII.1.13)

Stosunek momentu magnetycznego dipolowego do momentu pędu (krętu) jest wielkością
stałą.

Wektorowo:

=

e

2mc 

p



(VIII.1.14)

A ponieważ

L

≡ p



:

– 3 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

=

e

2mc

L

(VIII.1.15)

Z teorii Wilsona – Sommerfelda wynika, że

p



= L = n



ℏ

(VIII.1.16)

Z wzorów (VIII.1.13) oraz (VIII.1.16) otrzymujemy:

 =

eh

4

mc

n



=

df



B

n



(VIII.1.17)

gdzie n



=1,2 ,3 ,...

Magneton Bohra:
– w układzie Gaussa



B

=

eh

4

 mc

=

e ħ

2mc

(VIII.1.18)

Z (17) i (18) wynika, że dla

n



= 1

:



B

= 

Jest to wówczas moment magnetyczny atomu wodoru w stanie podstawowym.

–

w układzie SI:



B

=

e

ℏ

2m

(VIII.1.18a)

Wartość liczbowa magnetonu Borha wynosi:

μ

B

= 0,927×10

−20

erg

/Oe = 9,274×10

−24

J

/T

VIII.2. PRECESJA LARMORA

Jest to częstość wirowania momentu magnetycznego, który ustawiony pod kątem α do
pola magnetycznego precesuje wokół pola.

– 4 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

a) częstość kołowa



L

=

eB

2mc

(VIII.2.1a)

b) częstość liniowa

f

L

=

eB

4

 mc

(VIII.2.1b)

Z (VIII.2.1a) wynika, że:



L

≠ f 

oraz że

ω

L

~B

VIII.3. KWANTOWANIE PRZESTRZENNE

L ,μ

Jeśli zbiór wartości danej wielkości nie jest ciągły – to jest skwantowany. Orientacja
przestrzenna wektorów również jest skwantowana, co nazywa się kwantyzacją
przestrzenną.
Jeżeli normalna do powierzchni jest skwantowana, to orientacja powierzchni jest
skwantowana.

Kwantyzacja orbity

Założenie 1:

B=const

(pole jednorodne).

Założenie 2: pole magnetyczne nie zaburza kształtu orbit (teoria Wilsona – Sommerfelda).

Współrzędne sferyczne:

P: (r,

ϑ,ϕ

)

x = r sin

ϑ

cos

ϕ

y = r cos

ϑ

sin

ϕ

z = r cos

ϕ



p

φ

= const  α = const

– 5 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

p



= p



⋅cos

(VIII.3.1)

r

 p

r

:

∮

p

r

dr

= n

r

h

(VIII.3.2a)

θ  p

θ

:

∮

p

θ

dθ

= n

θ

h

(VIII.3.2b)

 p



:

∮

p



d

 = n



h

(VIII.3.2c)

n

r

, n



, n

θ

−liczby kwantowe

E

k

=

m

2



˙r

2

r

2

˙θ

2

r

2

sin

2

θ ⋅ ˙



2



(VIII.3.3)

p

r

=

∂ E

k

∂ ˙r

= m ˙r

(VIII.3.4a)

p

θ

=

∂ E

k

∂ ˙θ

= mr

2

˙θ

(VIII.3.4b)

p



=

∂ E

k

∂ ˙

= mr

2

sin

2

θ

⋅˙

(VIII.3.4c)

Z wzoru (VIII.3.1) wynika, że p



=const , więc:

∮

p



dψ

= p



∫

0

2

d  = p



⋅2

(VIII.3.5)

Z zależności (VIII.3.5) oraz (VIII.3.2c) wynika:

2

 p



= n



h

(VIII.3.6)

p



= n



ℏ

(VIII.3.7)

L

Z

=m ℏ

– rzut wektora L

m – magnetyczna liczba kwantowa – rzut na kierunek pola magnetycznego

– 6 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

p



=n



ℏ

(VIII.3.8)

n



=l – orbitalna liczba kwantowa

p



p



=

n



n



(VIII.3.9a)

Z wzoru (VIII.3.1) otrzymujemy:

p



p



=cos

(VIII.3.9b)

Z wzorów (VIII.3.9a) i (VIII.3.9b):

cos

=

n



n



(VIII.3.10)

Wzór (VIII.3.10) – skwantowanie α

∣cos ∣1

n



=m=0,±1, ±2, .... n



≡l

Przykłady kwantyzacji przestrzennej:

a)

n



=1

m

=0,±1

– trzy możliwe orbity

– 7 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

b)

n



=2

m

=0, ±1, ±2

5 możliwych orbit

VIII.4. ENERGIA ELEKTRONU NA ORBICIE ZORIENTOWANEJ.

W 2D (dwóch wymiarach): Energia E = E(r,

ϕ

)

W 3D (trzech wymiarach): Energia E = E(r,

ϑ,ψ)

E(r,

ϕ

) = E(r,

ϑ,ψ)

p

r

˙r p



˙= p

r

˙r  p



 p



˙

(VIII.4.1)

p



˙= p



˙ p



˙

(VIII.4.2)

p



d

= p



d

 p



d



(VIII.4.3)

∮

p



d

=

∮

p





∮

p



d



(VIII.4.4)

Z reguł Wilsona – Sommerfelda otrzymujemy:

n



= n



n



(VIII.4.5)

E

n

= −

2



2

me

4

Z

2

h

2

n

2

= −

2



2

e

4

Z

2

m

h

2

n

r

n





2

= −

2



3

me

4

Z

2

h

2

n

r

n



n





2

(VIII.4.6)

– 8 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Wniosek:
Energia zależy od sumy wszystkich liczb kwantowych.

VIII.5. KWANTYZACJA RZUTU

 na B

.

'=⋅cos 

cos

=

'



(VIII.5.1)

=

e

2mc

p



m

n



=

'



(VIII.5.2)

' =⋅

m

n



(VIII.5.3)



n



=

B

'=m

B

(VIII.5.4)

m

=0, ±1, ±2, .... ,±n



 l

Kwantyzacja przestrzenna obejmuje oba wektory:

Li 

– 9 –