4.1 Równanie falowe Schrödingera
4.2 Obserwable, stany stacjonarne,

warto

ś

ci

ś

rednie

4.3 Niesko

ń

czona studnia potencjału

4.4 Sko

ń

czona studnia potencjału

4.5 Trójwymiarowa niesko

ń

czona

studnia potencjału

4.6 Degeneracja
4.7 Oscylator harmoniczny
4.8 Bariery i tunelowanie
4.9 Studnia potencjału

0

Rozdział 4
Równanie Schrödingera

Erwin Schrödinger (1887-1961)

Wnikliwa analiza procesu obserwacji w fizyce atomowej wykazała,

ż

e

cz

ą

steczki subatomowe nie maj

ą

znaczenia jako pojedyncze jednostki,

ale mog

ą

by

ć

rozumiane wył

ą

cznie w kontek

ś

cie przygotowanego

eksperymentu i dokonanego pomiaru.

- Erwin Schrödinger

Przygotowanie Marek Szopa, na podstawie Rick Trebino, Georgia Tech, www.physics.gatech.edu/frog/lectures

Opinie o mechanice kwantowej

My

ś

l

ę

,

ż

e

ś

miało mo

ż

na

powiedzie

ć

,

ż

e nikt nie rozumie

mechaniki kwantowej. Je

ś

li nie

musisz nie zadawaj sobie
pytania: "Ale jak to mo

ż

e tak

by

ć

?", bo zabrniesz w

ś

lep

ą

uliczk

ę

, z której nikt jeszcze nie

uciekł. Nikt nie wie, jak mo

ż

e tak

by

ć

.

- Richard Feynman

Richard Feynman (1918-1988)

Ci, którzy spotkawszy si

ę

po raz

pierwszy z mechanik

ą

kwantow

ą

nie s

ą

w szoku, prawdopodobnie

nie rozumiej

ą

jej..

- Niels Bohr

( )

( )

( )

2

2

2

,

,

,

2

x t

x t

i

V

x t

t

m

x

∂Ψ

∂ Ψ

= −

+ Ψ

∂

∂

ℏ

ℏ

4.1: Równanie falowe Schrödingera

Jednowymiarowe równanie falowe Schrödingera, zale

ż

ne od czasu,

dla cz

ą

stek o energii E poruszaj

ą

cych si

ę

w potencjale

V

:

gdzie

V = V(x,t)

gdzie

i

jest pierwiastkiem kwadratowym z -1.

Równanie Schrodingera jest FUNDAMENTALNYM równaniem
Mechaniki Kwantowej.

Porównajmy je z równaniem falowym dla elektromagnetyzmu:

2

2

2

2

2

1

0

v

x

t

∂ Ψ

∂ Ψ

−

=

∂

∂

Rozwi

ą

zanie ogólne równania falowego

Schrödingera dla

V

= 0

Sprawd

ź

my rozwi

ą

zanie:

(

)

i kx

t

i Ae

i

t

ω

ω

ω

−

∂Ψ = −

= − Ψ

∂

2

2

2

k

x

∂ Ψ = − Ψ

∂

( )(

)

i

i

i

t

ω

ω

∂Ψ =

−

Ψ =

Ψ

∂

ℏ

ℏ

ℏ

2

2

2

2

2

2

2

k

m

x

m

− ∂ Ψ =

Ψ

∂

ℏ

ℏ

Równanie jest spełnione je

ś

li:

2

2

2

2

2

k

p

h

E

m

m

ω

ν

=

= =

=

ℏ

ℏ

Co oznacza,

ż

e

całkowita energia jest
energi

ą

kinetyczn

ą

.

( )

( )

2

2

2

,

2

,

x

t

x

m

t

t

x

i

∂

Ψ

∂

−

=

∂

Ψ

∂

ℏ

ℏ

)]

sin(

)

[cos(

)

,

(

)

(

t

kx

i

t

kx

A

Ae

t

x

t

kx

i

ω

ω

ω

−

+

−

=

=

Ψ

−

(

)

( , )

[cos(

)

sin(

)]

i kx

t

x t

Ae

A

kx

t

i

kx

t

ω

ω

ω

−

Ψ

=

=

−

+

−

Ogólne rozwi

ą

zanie równania falowego

Schrödingera dla

V

= 0

W pró

ż

ni (kiedy

V

= 0), ogólna posta

ć

funkcji falowej jest:

funkcja ta opisuje fal

ę

poruszaj

ą

c

ą

si

ę

w kierunku x. Amplituda

fali mo

ż

e w ogólno

ś

ci by

ć

liczb

ą

zespolon

ą

.

Funkcja falowa równie

ż

nie musi by

ć

rzeczywista.

W ogólnym przypadku jest ona funkcj

ą

zespolon

ą

.

Tylko mierzalne fizycznie wielko

ś

ci takie jak

prawdopodobie

ń

stwo, p

ę

d i energia musz

ą

by

ć

rzeczywiste.

Prawdopodobie

ń

stwo i normalizacja

Prawdopodobie

ń

stwo

P(x) dx

znalezienia cz

ą

stki mi

ę

dzy

x

i

x + dx

jest

dane równaniem:

wielko

ść

Ψ

∗

Ψ

nazywamy

g

ę

sto

ś

ci

ą

prawdopodobie

ń

stwa

.

Prawdopodobie

ń

stwo znalezienia cz

ą

stki mi

ę

dzy

x

1

a

x

2

jest dane

równaniem

Funkcja falowa musi by

ć

znormalizowana

, wi

ę

c prawdopodobie

ń

stwo

znalezienia cz

ą

stki mi

ę

dzy gdziekolwiek na osi musi by

ć

=1

dx

t

x

t

x

dx

x

P

)

,

(

)

,

(

)

(

Ψ

Ψ

=

∗

∫

Ψ

Ψ

=

∗

2

1

x

x

dx

P

∫

∞

∞

−

∗

=

Ψ

Ψ

1

)

,

(

)

,

(

dx

t

x

t

x

Warunki jakie musz

ą

spełnia

ć

funkcje falowe

Warunki na funkcje falowe:

1. W celu unikni

ę

cia niesko

ń

czonych prawdopodobie

ń

stw, funkcja

falowa musi by

ć

wsz

ę

dzie sko

ń

czona.

2. Funkcja falowa musi by

ć

jednowarto

ś

ciowa.

3. Funkcja falowa musi by

ć

dwukrotnie ró

ż

niczkowalna. Oznacza to,

ż

e ona i jej pochodna musz

ą

by

ć

ci

ą

głe. (Wyj

ą

tkiem od tej reguły

jest przypadek, gdy potencjał V jest niesko

ń

czony.)

4. W celu normalizacji, funkcja falowa musi d

ąż

y

ć

do zera jak

x

d

ąż

y

do (plus, minus) niesko

ń

czono

ś

ci.

Rozwi

ą

zania, które nie spełniaj

ą

tych wła

ś

ciwo

ś

ci z reguły nie

odpowiadaj

ą

rozwi

ą

zaniom akceptowalnym fizycznie.

W wielu przypadkach potencjał nie zale

ż

y explicite od czasu.

Zale

ż

no

ś

ci od czasu i poło

ż

enia w równaniu Schrödingera mog

ą

by

ć

wówczas rozdzielone. Niech:

co daje:

Po podzieleniu przez

ψ

(x) f(t)

:

Bezczasowe równanie falowe Schrödingera

Lewa strona zale

ż

y tylko od

t

, a prawa tylko od

x

.

Ka

ż

da strona musi wi

ę

c by

ć

równa stałej. Dla

strona zale

ż

nej od czasu otrzymujemy:

)

(

)

(

)

,

(

t

f

x

t

x

ψ

=

Ψ

)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

(

)

(

)

(

2

2

2

t

f

x

x

V

x

x

m

t

f

t

t

f

x

i

ψ

ψ

ψ

+

∂

∂

−

=

∂

∂

ℏ

ℏ

)

(

)

(

)

(

1

2

)

(

)

(

1

2

2

2

x

V

x

x

x

m

t

t

df

t

f

i

+

∂

∂

−

=

∂

ψ

ψ

ℏ

ℏ

B

t

df

f

i

=

∂

1

ℏ

,

=

-

nie zale

ż

y od

Mno

żą

c obie strony przez

f(t)/iħ

:

To równanie ró

ż

niczkowe jest łatwe do rozwi

ą

zania:

Bezczasowe równanie falowe Schrödingera

Przypomnijmy rozwi

ą

zanie dla cz

ą

stki swobodnej:

W którym

f(t) = exp(-i

ω

t)

, wi

ę

c:

ω

= B / ħ

lub

B = ħ

ω

, co oznacza,

ż

e:

B = E

!

Mno

żą

c przestrzenn

ą

cz

ęść

równ. Schrödingera przez

ψ

(x)

, otrzymujemy:

/

( )

e

iEt

f t

−

=

ℏ

/

f

B f i

t

∂ =

∂

ℏ

/

/

( )

e

e

Bt i

iBt

f t

−

=

=

ℏ

ℏ

(

)

( , )

e

i kx

t

x t

ω

−

Ψ

=

Stał

ą

przed

f(t)

mo

ż

emy zignorowa

ć

,

gdy

ż

jej warto

ść

b

ę

dzie okre

ś

lona z

warunku normalizacji

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

x

E

x

x

V

dx

x

d

m

ψ

ψ

ψ

=

+

−

ℏ

Bezczasowe równanie falowe Schrödingera

Równanie to jest znane jako

bezczasowe

(niezale

ż

ne od czasu)

równanie falowe Schrödingera

, i na równi z pełnym równaniem

falowym Schrödingera jest fundamentalnym równaniem mechaniki
kwantowej

Równanie to ma posta

ć

równania własnego

,

gdzie:

ˆ

H

E

ψ

ψ

=

2

2

2

ˆ

2

H

V

m x

∂

= −

+

∂

ℏ

jest

operatorem energii

.

ˆ

H

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

x

E

x

x

V

dx

x

d

m

ψ

ψ

ψ

=

+

−

ℏ

4.2: Obserwable

Operatory odgrywaj

ą

w mechanice kwantowej wa

ż

n

ą

rol

ę

.

Wszystkie wielko

ś

ci mierzalne maj

ą

odpowiadaj

ą

ce im

operatory które nazywamy obserwablami.

Operatorem energii kinetycznej jest:

2

2

2

2

K

m x

∂

= −

∂

⌢

ℏ

Inne operatory s

ą

na ogół prostsze, zazwyczaj zawieraj

ą

operacje

mno

ż

enia, dodawania.

Operator energii potencjalnej jest po prostu mno

ż

eniem przez

V(x)

.

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

x

E

x

x

V

dx

x

d

m

ψ

ψ

ψ

=

+

−

ℏ

( )

( ) ( )

V

x

V x

x

ψ

ψ

=

Stany stacjonarne

Załó

ż

my,

ż

e mamy funkcj

ę

falow

ą

postaci:

G

ę

sto

ść

prawdopodobie

ń

stwa tej funkcji jest równa:

Jest to rozkład prawdopodobie

ń

stwa niezale

ż

ny od czasu.

Taki stan, (reprezentowany przez fal

ę

stoj

ą

c

ą

) nazywamy

stanem

stacjonarnym

.

*

*

( )

( )

i t

i t

x e

x e

ω

ω

ψ

ψ

−

Ψ Ψ =

2

( )

x

ψ

=

t

i

e

x

t

x

ω

ψ

−

=

Ψ

)

(

)

,

(

Warto

ś

ci

ś

rednie obserwabli

W mechanice kwantowej cz

ę

sto obliczamy warto

ś

ci oczekiwane.

Warto

ść

oczekiwana

jest

ś

redni

ą

wa

ż

on

ą

tej wielko

ś

ci.

Ogólnie rzecz bior

ą

c, warto

ść

oczekiwan

ą

jest:

Je

ś

li zmienna mo

ż

e przyjmowa

ć

niesko

ń

czenie wiele warto

ś

ci oraz

jest ci

ą

gła to:

1 1

2

2

N

N

i

i

i

x

P x

P x

P x

P x

=

+

+ +

=

∑

⋯

( )

x

P x x dx

=

∫

*

*

( )

( )

( )

( )

x

x

x x dx

x x

x dx

= Ψ

Ψ

=

Ψ

Ψ

∫

∫

W mechanice kwantowej:

Warto

ść

oczekiwana dowolnej obserwabli

zale

ż

nej od w

stanie

jest :

*

( )

( )

( )

x

x

x dx

Ψ

=

Ψ

Ψ

∫

A

A

Notacja Bra-Ket

*

( )

( )

( )

|

|

x

x

x dx

Ψ

= Ψ

Ψ

≡

Ψ

Ψ

∫

A

A

A

Poprzednie równanie jest na tyle wa

ż

ne,

ż

e fizycy maj

ą

dla niego

specjalna notacj

ę

.

Całe to wyra

ż

enie jest rozumiane jako “bracket” czyli nawias

Wyra

ż

enie

〈 |

nazywamy

bra

podczas gdy

| 〉

nazywamy

ket

.

Warunek normalizacji w tej notacji jest:

|

1

Ψ Ψ =

Aby znale

źć

warto

ść

oczekiwan

ą

, musimy najpierw wyrazi

ć

poprzez i . Rozwa

ż

my pochodn

ą

funkcji falowej cz

ą

stki swobodnej

wzgl

ę

dem :

ale

k = p / ħ

wi

ę

c mamy

mno

żą

c obie strony przez

− ℏ

To sugeruje,

ż

e operatorem p

ę

du powinni

ś

my nazwa

ć

Warto

ś

ci

ą

oczekiwan

ą

p

ę

du w stanie

Ψ

jest wi

ę

c

Operator p

ę

du

Ψ

=

=

∂

∂

=

∂

Ψ

∂

−

−

ik

ike

e

x

x

t

kx

i

t

kx

i

)

(

)

(

]

[

ω

ω

Ψ

=

∂

Ψ

∂

ℏ

p

i

x

( , )

ˆ[ ( , )]

( , )

x t

p

x t

i

p

x t

x

∂Ψ

Ψ

= −

= Ψ

∂

ℏ

x

i

p

∂

∂

−

=

ℏ

ˆ

*

( , )

ˆ

|

|

( , )

x t

p

p

i

x t

dx

x

∞

−∞

Ψ

∂Ψ

= Ψ

Ψ = −

Ψ

∂

∫

ℏ

Operatorem poło

ż

enia jest mno

ż

enie przez

x

.

Operator energii: Pochodna po czasie funkcji falowej cz

ą

stki

swobodnej jest:

Podstawiaj

ą

c

ω

=

Ε

/

ħ

mamy

[

, ] = ℏ

,

Operatorem energii jest wi

ę

c:

Warto

ś

ci

ą

oczekiwan

ą

energii w stanie

Ψ

jest:

Operatory poło

ż

enia i energii

Ψ

−

=

−

=

∂

∂

=

∂

Ψ

∂

−

−

ω

ω

ω

ω

i

e

i

e

t

t

t

kx

i

t

kx

i

)

(

)

(

]

[

t

i

E

∂

∂

=

ℏ

ˆ

*

( , )

( , )

x t

E

i

x t

dx

x

∞

−∞

Ψ

∂Ψ

=

Ψ

∂

∫

ℏ

Podstawiaj

ą

c operatory:

:

+

:

Operatorowa posta

ć

równania Schrödingera

2

2

p

E

K

V

V

m

= + =

+

Energia całkowita jest:

E

i

t

∂Ψ

Ψ =

∂

ℏ

2

2

1

2

2

p

V

i

V

m

m

x

∂





Ψ + Ψ =

−

Ψ + Ψ





∂





ℏ

2

2

p

E

V

m

⇒

Ψ =

Ψ + Ψ

2

2

2

2

V

m

x

∂ Ψ

= −

+ Ψ

∂

ℏ

2

2

2

2

i

V

t

m

x

∂Ψ

∂ Ψ

= −

+ Ψ

∂

∂

ℏ

ℏ

mamy:

Czyli pełne równanie falowe Schrodingera

Dwa rozwi

ą

zania równa

ń

ró

ż

niczkowych

2

2

2

d

k

dx

ψ

ψ

=

Rozwa

ż

my równanie ró

ż

niczkowe:

Jako,

ż

e

k

2

jest dodatnie, rozwi

ą

zaniem równania jest:

( )

kx

kx

x

Ae

Be

ψ

−

=

+

ɶ

ɶ

2

2

2

d

k

dx

ψ

ψ

= −

Teraz rozwa

ż

my inne równanie ró

ż

niczkowe:

Poniewa

ż

stała -

k

2

jest ujemna, rozwi

ą

zaniem jest:

( )

albo

sin(

)

cos(

)

ikx

ikx

x

Ae

Be

A

kx

B

kx

ψ

−

=

+

+

ɶ

ɶ

k

jest rzeczywiste

1
2

1
2

cosh(

)

(

)

sinh(

)

(

)

kx

kx

kx

kx

kx

e

e

kx

e

e

−

−

=

+

=

−

Mo

ż

na te

ż

te

rozwi

ą

zania

zapisa

ć

jako:

Najprostszym przykładem tego systemu jest
cz

ą

stka uwi

ę

zione w pudełku o niesko

ń

czenie

twardych

ś

cianach których cz

ą

stka nie mo

ż

e

przenikn

ąć

. Potencjał ten nazywany jest równie

ż

niesko

ń

czon

ą

prostok

ą

tn

ą

studni

ą

:

W obszarze gdzie potencjał jest niesko

ń

czony funkcja falowa musi by

ć

równa zeru.
W obszarze zerowego potencjału (wewn

ą

trz studni), bezczasowe

równanie Schrödingera mo

ż

na zapisa

ć

jako:

Ogólne rozwi

ą

zanie tego równania:

!

= "sin & + 'cos & *

ψ

ψ

ψ

2

2

2

2

2

k

mE

dx

d

−

=

−

=

ℏ

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

x

E

x

x

V

dx

x

d

m

ψ

ψ

ψ

=

+

−

ℏ

2

/

2

ℏ

mE

k

=

4.3: Niesko

ń

czona prostok

ą

tna studnia potencjału

x

0

L

gdzie

Energia jest tylko kinetyczna
i dlatego dodatnia

0,

( )

0

0

x

x

L

V x

x

L

∞

≤

≥



=



<

<



Warunki brzegowe potencjału stanowi

ą

,

ż

e

funkcja falowa musi by

ć

równa zeru w punktach

= 0

oraz

= +

. Aby tak mogło by

ć

dla musi

by

ć

,

ż

e

kL = n

π

dla całkowitych

,

.

Funkcja falowa jest wi

ę

c:

Normalizuj

ą

c j

ą

:

Otrzymamy znormalizowan

ą

funkcj

ę

falowa:

Taka sama funkcja opisuje drgaj

ą

c

ą

strun

ę

umocowan

ą

na obu

ko

ń

cach!













=

L

x

n

A

x

n

π

ψ

sin

)

(

Kwantowanie

⇒

x

0

L

2 /

A

L

=

⇒

½

−

½ cos(2n

π

x/L)

*

( )

( )

1

n

n

x

x dx

ψ

ψ

∞

−∞

=

∫

2

2

0

sin

1

L

n x

A

dx

L

π





=









∫













=

L

x

n

L

x

n

π

ψ

sin

2

)

(

Skwantowana energia

Skwantowana liczba falowa wynosi wi

ę

c:

Co oznacza

energi

ę

:

Zauwa

ż

my,

ż

e energia zale

ż

y od liczby naturalnej

,

. St

ą

d energia jest

skwantowana i niezerowa.

Przypadek szczególny
gdy

n = 1

nazywamy

stanem podstawowym.

2

2

ℏ

n

n

mE

L

n

k

=

=

π

3,...)

2,

1,

(n

2

2

2

2

2

=

=

mL

n

E

n

ℏ

π

2

2

2

1

2mL

E

ℏ

π

=

Energia

Poło

ż

enie













=

L

x

n

L

x

n

π

ψ

sin

2

)

(

4.4: Sko

ń

czona

prostok

ą

tna studnia

potencjału

Sko

ń

czona prostok

ą

tna studnia

jest dana przez potencjał:

Bior

ą

c pod uwag

ę

,

ż

e funkcja

falowa musi by

ć

zero w (minus,

plus) niesko

ń

czono

ś

ci mamy:

Równanie Schrödingera
na zewn

ą

trz studni w

obszarach

I

i

III

jest:

gdzie:

2

2

0

2

2

d

V

E

m dx

ψ

ψ

ψ

−

+

=

ℏ

2

2

0

2

2

2

(

)

d

m

V

E

dx

ψ

ψ α ψ

⇒

=

−

=

ℏ

Załó

ż

my:

E < V

0

0

0

0

Region I

( )

0 0

Region II

Region III

V

x

V x

x

L

V

x

L

≤





=

<

<





≥



I

III

Region I,

0

( )

Region III,

( )

x

x

x

x

Ae

x

L

x

Be

α

α

ψ
ψ

−

<

=

>

=

2

0

2

/

)

(

2

ℏ

E

V

m

−

=

α

Poło

ż

enie

Wewn

ą

trz studni, gdzie potencjał

V

jest zero, równanie falowe jest

-

.

/

-

.

= −&

0

!

gdzie

& =

22 ) ℏ

0

⁄

(tak jak dla niesko

ń

czonej studni).

Rozwi

ą

zaniem tu jest:

Warunki brzegowe
wymagaj

ą

aby:

tzn. aby w miejscu
sklejenia obszarów

funkcja i jej pochodna
były ci

ą

głe

.

Zauwa

ż

my,

ż

e funkcja

falowa poza studni

ą

nie

jest równa zeru.

Rozwi

ą

zania dla sko

ń

czonej prostok

ą

tnej

studni potencjału

II

( )

sin

cos

Region II, 0

x

A

kx

B

kx

x

L

ψ

=

+

< <

I

II

II

III

dla

0

dla

x

x

L

ψ

ψ

ψ

ψ

=

=

=

=

oraz

I

II

II

III

'

' dla

0

'

'

x

x

L

ψ

ψ

ψ

ψ

=

=

=

=

oraz

dla

Funkcja falowa

E

n

e

rg

ia

Ekspotencjalna

Cz

ą

stki wnikaj

ą

do

ś

ciany!

Gł

ę

boko

ść

wnikania to

odległo

ść

od

ś

cianki

studni powy

ż

ej której

prawdopodobie

ń

stwo

znalezienia cz

ą

stki

znacz

ą

co maleje. Jest to:

Gł

ę

boko

ść

penetracji

jest proporcjonalna do
stałej Plancka.

Uzyskane zjawisko jest
sprzeczne z fizyk

ą

klasyczn

ą

!

0

1

2 (

)

x

m V

E

δ

α

≈ =

−

ℏ

Funkcja falowa

Ekspotencjalna

I

III

Region I,

0

( )

Region III,

( )

x

x

x

x

Ae

x

L

x

Be

α

α

ψ
ψ

−

<

=

>

=

Funkcja falowa zale

ż

y od trzech wymiarów przestrzennych.

Tak jak dodaje si

ę

składowe wektora, tak aby zdefiniowa

ć

trójwymiarowy

operator p

ę

du dodajmy do siebie trzy przestrzenne składowe p

ę

du :

gdzie

4.5: Trójwymiarowa, niesko

ń

czona

studnia potencjału

Tak wi

ę

c trójwymiarowe równanie falowe Schrödingera ma posta

ć

:

2

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

x

y

z

p

p

p

p

=

+

+

x

i

p

x

∂

∂

−

=

ψ

ψ

ℏ

ˆ

y

i

p

y

∂

∂

−

=

ψ

ψ

ℏ

ˆ

z

i

p

z

∂

∂

−

=

ψ

ψ

ℏ

ˆ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

E

V

z

y

x

m

=

+













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

2

2

2

2

2

2

2

2

ℏ

2

2

lub

2

V

E

m

ψ ψ

ψ

−

∇ +

=

ℏ

Trójwymiarowa, niesko

ń

czona

studnia potencjału

2

2

2

2

2

,

,

2

2

2

2

x

y

z

y

x

z

n n n

x

y

z

n

n

n

E

m

L

L

L

π





=

+

+













ℏ

Kiedy

=

0

łatwo znale

źć

rozwi

ą

zanie:

(

)

2

2

2

2

2

2

,

,

2

x

y

z

x

y

z

n n n

E

n

n

n

mL

π

=

+ +

ℏ

Kiedy wi

ę

c mamy cz

ą

stk

ę

w sze

ś

ciennym pudle:

( , , )

sin(

) sin(

) sin(

)

x

y

z

x y z

A

k x

k y

k z

ψ

=

/

x

x

x

k

n

L

π

=

gdzie:

/

y

y

y

k

n

L

π

=

/

z

z

z

k

n

L

π

=

oraz:

,

,

( , , )

sin(

/

) sin(

/

) sin(

/

)

x

y

z

n n n

x

x

y

y

z

z

x y z

A

n x L

n y L

n z L

ψ

π

π

π

=

4.6: Degeneracja

Widzimy,

ż

e dwie ró

ż

ne funkcje falowe mog

ą

mie

ć

t

ą

sam

ą

energi

ę

.

Trójwymiarowe równanie falowe Schrödingera wprowadza trzy
liczby kwantowe energii. Tej samej energii mog

ą

odpowiada

ć

ró

ż

ne

zestawy liczb kwantowych.

Je

ś

li istnieje wi

ę

cej ni

ż

jedna funkcja falowa dla danej energii, to taki

stan kwantowy nazywamy

zdegenerowanym

.

Degeneracja jest wynikiem szczególnych własno

ś

ci energii

potencjalnej, która opisuje system. Zaburzeniem energii potencjalnej
mo

ż

na usun

ąć

degeneracj

ę

.

we

ź

my 10, 4, 3 oraz 8, 6, 5:

ale:

10,4,3

8,6,5

E

E

=

1 0 , 4 , 3

8 , 6 , 5

ψ

ψ

≠

(

)

2

2

2

2

2

2

,

,

2

x

y

z

x

y

z

n n n

E

n

n

n

mL

π

=

+ +

ℏ

4.7: Prosty oscylator harmoniczny

Prosty oscylator
harmoniczny opisuje
wiele fizycznych
sytuacji od spr

ęż

yny,

poprzez cz

ą

steczki

dwuatomowe do sieci
krystalicznych

Rozwi

ń

my potencjał w szereg

Taylora:

...

)

(

2

1

)

(

)

(

2

0

2

0

1

0

+

−

+

−

+

=

x

x

V

x

x

V

V

x

V

Poło

ż

enie

równowagi

Poło

ż

enie

E

n

e

rg

ia

p

o

te

n

c

ja

ln

a

Prosty ruch
harmoniczny

Molekuła
dwuatomowa

E

n

e

rg

ia

p

o

te

n

c

ja

ln

a

Niech

4

0

=

56

ℏ

.

oraz

7 =

058

ℏ

.

, co daje:

We

ź

my pod uwag

ę

wyrazy

drugiego rz

ę

du rozwini

ę

cia

Taylora potencjału:

Prosty oscylator
harmoniczny

gdzie przyj

ę

li

ś

my

x

0

= 0

2

1

0

2

( )

(

)

V x

x

x

κ

=

−

Podstawiaj

ą

c to do

równania Schrödingera:

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

x

E

x

x

V

dx

x

d

m

ψ

ψ

ψ

=

+

−

ℏ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

d

m

x

mE

m x

E

dx

ψ

κ

κ

ψ

ψ









= −

−

= −

+

















ℏ

ℏ

ℏ

(

)

ψ

β

α

ψ

2

2

2

2

−

=

x

dx

d

E

n

e

rg

ia

p

o

te

n

cj

a

ln

a

Poło

ż

enie

Jest to paraboliczna studnia potencjału

paraboliczna
studnia potencjału

Paraboliczna
studnia potencjału

Funkcjami falowymi s

ą

gdzie

H

n

(x)

to

wielomiany Hermite’a

rz

ę

du

n

.

2

2

2

2

1

4

2

/ 2

3

1

4

2

/ 2

2

1

4

/ 2

1

1

4

/ 2

0

1

( )

(2

3)

3

1

( )

(2

1)

2

( )

2

( )

x

x

x

x

x

x

x

e

x

x

e

x

xe

x

e

α

α

α

α

α

ψ

α

α

π

α

ψ

α

π

α

ψ

α

π

α

ψ

π

−

−

−

−





=

−













=

−













=













=









Funkcje falowe

Paraboliczna

studnia potencjału

Klasycznie,
prawdopodobie

ń

stwo

znalezienia masy jest
najwi

ę

ksze na ko

ń

cach

studni a najmniejsze w
centrum.

Kwantowo najwi

ę

ksze

prawdopodobie

ń

stwo

znalezienia cz

ą

stki w

najni

ż

szym stanie energii

jest w centrum studni
potencjału.

⇔

⇔

⇔

⇔

Dalsza analiza studni parabolicznej

Kiedy jednak liczby kwantowe rosn

ą

, rozwi

ą

zanie zbli

ż

a si

ę

do

wyniku klasycznego. Na tym przykładzie prostego oscylatora
harmonicznego widzimy

ż

e Zasada Korespondencji jest spełniona.

Paraboliczna studnia
potencjału

Poziomy energetyczne s

ą

dane

przez:

Energia stanu
podstawowego
jest nazywana
granic

ą

Heisenberga:

ω

κ

ℏ

ℏ

)

2

1

(

/

)

2

1

(

+

=

+

=

n

m

n

E

n

ω

ℏ

2

1

0

=

E

4.8: Bariery potencjału i tunelowanie

Rozwa

ż

my cz

ą

stk

ę

o energii E zbli

ż

aj

ą

c

ą

si

ę

do bariery potencjału o

wysoko

ś

ci

V

0

, poza któr

ą

potencjał wsz

ę

dzie jest zero.

Najpierw rozwa

ż

my przypadek kiedy energia cz

ą

stki jest wi

ę

ksza od

potencjalnej bariery.

W obszarach

I

i

III

, liczby falowe s

ą

:

W obszarze bariery za

ś

:

ℏ

mE

k

k

2

III

I

=

=

0

II

0

2 (

)

gdzie

m E V

k

V

V

−

=

=

ℏ

Padaj

ą

ca

Odbita

Przepuszczona

Cz

ą

stka

Odbicie i przej

ś

cie

Funkcja falowa b

ę

dzie składa

ć

si

ę

z fali padaj

ą

cej, fali odbitej oraz fali

która przeszła barier

ę

.

Potencjały oraz równania falowe Schrödingera dla trzech obszarów s

ą

:

Wszystkie
trzy stałe s

ą

ujemne tzn.:

Sinusy i kosinusy
we wszystkich
obszarach

Jako,

ż

e fala porusza si

ę

od lewej strony mo

ż

na zidentyfikowa

ć

rozwi

ą

zania:

Odpowiednie rozwi

ą

zania s

ą

:

2

I

I

2

2

2

II

0

II

0

2

2

2

III

III

2

2

2

R egion I (

0)

0

0

2

(

)

0

R egion II (0

)

2

0

R egion III (

)

0

d

m

x

V

E

dx

d

m

E

V

x

L

V

V

dx

d

m

E

x

L

V

dx

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

<

=

+

=

+

−

=

< <

=

+

=

>

=

ℏ

ℏ

ℏ

I

I

II

II

I

I

I

II

III

R egion I (

0)

R egion II (0

)

R egion III (

)

ik x

ik x

ik x

ik x

ik x

ik x

x

Ae

Be

x

L

C e

D e

x

L

Fe

G e

ψ

ψ

ψ

−

−

−

<

=

+

< <

=

+

>

=

+

I

I

I

I

II

III

(padająca)

(odbita)

(przepuszczona)

ik x

ik x

ik x

Ae

Be

Fe

ψ

ψ

ψ

−

=

=

=

Fala padaj

ą

ca

Fala odbita
Fala, która przeszła

2

2

2

d

k

dx

ψ

ψ

= −

Prawdopodobie

ń

stwa odbicia i przej

ś

cia

Prawdopodobie

ń

stwa odbicia cz

ą

stki

R

, oraz przej

ś

cia

T

s

ą

:

Poniewa

ż

cz

ą

stka musi si

ę

odbi

ć

lub przej

ść

:

R + T = 1

Po zastosowaniu warunków brzegowych

dla x = 0

, and

x = L

, uzyskujemy

prawdopodobie

ń

stwo przej

ś

cia:

Zauwa

ż

my,

ż

e prawdopodobie

ń

stwo przej

ś

cia mo

ż

e by

ć

nawet

równe 1.

2

*

I

2

*

I

2

*

III

2

*

I

(odbita)

(padająca)

(przekazana)

(padająca)

B B

R

A A

F F

T

A A

ψ

ψ

ψ

ψ

=

=

=

=

1

0

2

2

0

)

(

4

)

(

sin

1

−













−

+

=

V

E

E

L

k

V

T

II

Wynik mechaniki kwantowej jest jedn

ą

z najbardziej

niezwykłych cech współczesnej fizyki.

Istnieje sko

ń

czone

prawdopodobie

ń

stwo,

ż

e cz

ą

stka przenika przez barier

ę

i pojawia

si

ę

po drugiej stronie!

Funkcja falowa w
obszarze

II

jest:

Współczynnik przej

ś

cia dla

tunelowania jest:

Tunelowanie

Teraz rozwa

ż

my sytuacj

ę

, w

której klasyczna cz

ą

stka nie

ma wystarczaj

ą

cej ilo

ś

ci

energii do pokonania bariery
potencjału,

E < V

0

.

0

II

2 (

)

gdzie

x

x

m V

E

Ce

De

κ

κ

ψ

κ

−

−

=

+

=

ℏ

1

0

2

2

0

)

(

4

)

(

sinh

1

−













−

+

=

E

V

E

L

V

T

κ

Zjawisko
klasyczne

E

n

e

rg

ia

Tunnelownie funkcji falowej

To naruszenie fizyki klasycznej jest dozwolone przez zasad

ę

nieokre

ś

lono

ś

ci. Cz

ą

stka mo

ż

e narusza

ć

klasyczne zachowanie

o

∆

E

przez krótki czas,

∆

t

~

ħ /

∆

E.

Zjawisko
kwantowe

Sinusoidalnie

Sinusoidalnie

Ekspotencjalnie

Ewolucja funkcji falowej i g

ę

sto

ś

ci

prawdopodobie

ń

stwa w czasie

Analogia do optyki falowej

Je

ś

li

ś

wiatła przechodz

ą

ce przez pryzmat

szklany odbija si

ę

od wewn

ę

trznej powierzchni

pod k

ą

tem wi

ę

kszym od k

ą

ta krytycznego,

zachodzi całkowite wewn

ę

trzne odbicie.

Jednak pole elektromagnetyczne tu

ż

za

pryzmatem nie jest dokładnie zero. Jak
pokazuj

ą

eksperymenty, je

ś

li umie

ś

ci

ć

kolejny

pryzmat bardzo blisko pierwszego, to fala
elektromagnetyczna (

ś

wiatło) pojawia si

ę

w

równie

ż

w drugim pryzmacie. Sytuacja jest

analogiczna do opisanego wy

ż

ej tunelowania.

Efekt ten został zaobserwowany przez
Newtona i mo

ż

e by

ć

wykonany, za pomoc

ą

dwóch pryzmatów i lasera. Intensywno

ść

drugiej wi

ą

zki

ś

wiatła zmniejsza si

ę

ekspotencjalnie, kiedy odległo

ść

mi

ę

dzy

pryzmatami wzrasta.

4.9: Studnia potencjału

9

:)

Rozwa

ż

my cz

ą

stk

ę

przechodz

ą

c

ą

przez studnie potencjału a nie barier

ę

.

Klasycznie, cz

ą

stka ta powinna

przyspieszy

ć

w rejonie studni gdy

ż

:

K = mv

2

/ 2 = E + V

0

Kwantowomechanicznie, fala ulegnie odbiciu i transmisji a jej długo

ść

wewn

ą

trz studni zmniejszy si

ę

.

Gdy szeroko

ść

studni potencjału jest dokładnie równa połowie lub

całkowitej wielokrotno

ś

ci długo

ś

ci fali, fala odbita b

ę

dzie w przeciwfazie lub

w fazie fali padaj

ą

cej odpowiednio, czego skutkiem b

ę

dzie wygaszenie lub

rezonans.
Wygaszenie b

ą

d

ź

wzmocnienie fal mo

ż

e spowodowa

ć

całkowite przej

ś

cie

; =

0, = = 1)

lub całkowite odbicie

; = 1, = =

0

. Je

ś

li, na przykład, na

prawym brzegu studni

= +

fala biegn

ą

ca w prawo jest w przeciwfazie

do fali odbitej, efektem b

ę

dzie zerowa amplituda (brak cz

ą

stki) wewn

ą

trz

studni.

= 0

= −

?

0

+

Cz

ą

stka o

energii E

Przykładowe rozwi

ą

zania równania falowego

Schrödingera dla jednowymiarowych pól potencjalnych

Rozpad Alfa

Zjawisko tunelowania wyja

ś

nia rozpad alfa, ci

ęż

kich j

ą

der

promieniotwórczych.

Wewn

ą

trz j

ą

dra, cz

ą

stka alfa czuje silne, krótkozasi

ę

gowe

przyci

ą

ganie j

ą

drowe, oraz Kulombowsk

ą

sił

ę

odpychaj

ą

c

ą

.

Oddziaływanie j

ą

drowe jest silniejsze wewn

ą

trz j

ą

dra a wypadkowy

potencjał mo

ż

e by

ć

opisany za pomoc

ą

studni potencjału.

Poza promieniem j

ą

dra dominuje

siła Kulomba.

Bariera potencjalna na granicy
j

ą

drowej jest kilka razy wi

ę

ksza

ni

ż

energia cz

ą

stki alfa.

W mechanice kwantowej, jednak
cz

ą

stka alfa mo

ż

e tunelowa

ć

przez

barier

ę

. Jest to obserwowane jako

zjawisko

rozpadu promieniotwórczego

..

Energia
potencjalna
Kulomba

Promie

ń

E

n

e

rg

ia