ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE 1

ZGINANIE BELEK Z MATERIAŁU SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNEGO

W ZAKRESIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYM

1. MATERIAŁ SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNY

materiał idealnie

materiał idealnie

materiał idealnie

mat. ideal. spręż. z liniowym

sprężysty sprężysto-plastyczny sztywno-plastyczny umocnieniem

plastycznym

2. ZAŁOŻENIA

1. Materiał idealnie sprężysto-plastyczny (mat. Prandtla) o jednakowych własnościach na

rozciąganie i na ściskanie

2. Obowiązuje zasada zesztywnienia
3. Obowiązuje hipoteza płaskich przekrojów (hip. Bernouli’ego)
4. Wpływ sił poprzecznych na osiągnięcie stanu plastycznego jest pomijany
5. Zginanie zachodzi jedynie w głównych płaszczyznach bezwładności

3. ROZKŁAD NAPRĘŻEŃ NORMALNYCH W PRZEKROJU ZGINANYM

1. Stan liniowo sprężysty
2. Graniczny stan sprężysty (max. naprężenie normalne w co najmniej jednym punkcie

przekroju osiąga wartość równą granicy plastyczności R

e

; moment zginający

M M

= )

3. Stan jednostronnie sprężysto-plastyczny
4. Stan dwustronnie sprężysto-plastyczny

5. Graniczny stan plastyczny

(naprężenie normalne w całym przekroju osiąga wartość równą

granicy plastyczności R

e

) - w uplastycznionym przekroju powstaje tzw. przegub plastyczny,

który różni się od "zwykłego" przegubu tym, że przenosi moment równy tzw. granicznemu

momentowi plastycznemu przekroju

M)

ε

σ

R

e

ε

σ

R

e

ε

σ

R

ε

σ

R

e

ε

σ

- R

e

ε

pl

-

ε

pl

d

g

d

d

y

c

y

o

z

σ

x

e

R

<

σ

x

e

R

max

=

R

e

R

e

R

e

R

e

R

e

R

e

R

e

σ

x

e

R

<

σ

x

e

R

<

σ

x

e

R

<

d

d

g

d

>

M

1

2

3

4

5

4

ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE 2

4. GRANICZNA NOŚNOŚĆ SPRĘŻYSTA PRZEKROJU

(

graniczny moment sprężysty

M

)

Granicznym momentem sprężystym

M

(graniczną nośnością sprężystą przekroju) nazywamy

moment zginający o takiej wartości, która jest wystarczająca do uplastycznienia przekroju w co
najmniej jednym punkcie (naprężenie normalne

σ

x

jest równe granicy plastyczności R

e

)

σ

x

e

R

=

σ

x

yc

M

I

z

=

R

M

I

z

e

yc

=

max

M R

I

z

e

yc

=

max

M R W

e

spr

=

5. GRANICZNA NOŚNOŚĆ PLASTYCZNA PRZEKROJU

(

granicz. moment plastycz.

M

)

Granicznym momentem plastycznym M

(graniczną nośnością plastyczną przekroju)

nazywamy moment zginający o takiej wartości, która jest wystarczająca do uplastycznienia
całego przekroju (naprężenie normalne

σ

x

w każdym punkcie przekroju jest równe granicy

plastyczności R

e

)

•

równania równowagi

( )

N x

dA

x

A

=

=

∫∫

σ

0 (1)

( )

M x

z dA

x

A

=

=

∫∫

σ

0 (2)

Ad. (1)

−

+

=

R A

R A

e

e

1

2

0

A

1

+ A

2

= A

warunek określający położenie osi obojętnej

A

A

A

1

2

1 2

=

=

Ad. (2)

( )

( )

M

R zdA

R zdA R S

A

R S

A

e

A

e

A

e

y

e

y

o

o

=

−

=

−

∫∫

∫∫

1

2

1

2

( )

( )

[

]

M R S

A

S

A

e

y

y

o

o

=

−

1

2

lub

( )

( )

M

R z dA

R z dA R S

A

R S

A

e

A

e

A

e

y

e

y

c

c

=

−

=

−

∫∫

∫∫

1

2

1

2

'

'

y

c

- oś ciężkości

( )

( )

( )

( )

S

A

S

A

S

A

S

A

y

y

y

y

c

c

c

c

1

2

2

1

0

+

=

⇒

= −

( )

M

R S

A

e

y

c

= 2

1

x

z

M

z

z

M

z

y

c

y

o

z‘

R

e

R

e

A

1

A

2

ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE 3

•

plastyczny wskaźnik wytrzymałości przekroju

( )

( )

( )

W

S

A

S

A

S

A

pl

def

y

y

y

o

o

c

=

−

=

1

2

1

2

M R W

e

pl

=

•

współczynnik kształtu

k

M
M

W

W

pl

spr

=

=

> 1

6. PRZYKŁADY

•

Obliczyć współczynnik kształtu dla przekroju prostokątnego i kołowego

W

b h

spr

=

2

6

;

( )

W

S

A

b h h

b h

pl

yc

=

=

=

2

2

2 4

4

1

2

( )

( )

W

S

A

S

A

b h h

b h

h

b h

pl

yo

yo

=

−

=

−

−















=

1

2

2

2 4

2

4

4

M R

b h

e

=

2

6

;

M R

b h

e

=

2

4

⇒

k

M
M

W

W

pl

spr

=

=

= 15

.

W

d

spr

=

π

3

32

( )

W

S

A

d

d

d

pl

yc

=

=

=

2

2 1

2

4

4

2

3

6

1

2

3

π

π

k

W

W

pl

spr

=

=

=

32

6

17

π

.

•

Obliczyć współczynnik kształtu dla następujących przekrojów :

y

c

= y

o

z

b

h

A

1

A

2

y

c

= y

o

z

A

1

A

2

d

6

2

2 2 2

k = 1.76

5 5 5

5

5

20

k = 1.42

3 4 3

2

7

3

k = 1.52

1

1

6

4

9

10

k = 2.38

1

8

2

5

9

1

k = 1.45

12

15

k = 2.34

ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE 4

7. NOŚNOŚĆ GRANICZNA BELEK ZGINANYCH

7.1 NOŚNOŚĆ GRANICZNA PRZEKROJU

•

graniczny moment sprężysty (graniczna nośność sprężysta przekroju) M

•

graniczny moment plastyczny (graniczna nośność plastyczna przekroju) M

7.2 NOŚNOŚĆ GRANICZNA BELEK

•

graniczna nośność sprężysta (graniczne obciążenie sprężyste) P - jest to taka wielkość
obciążenia zewnętrznego (z reguły wyrażonego poprzez pewien parametr obciążenia), która
powoduje w co najmniej jednym punkcie belki powstanie naprężenia normalnego równego
granicy plastyczności

•

graniczna nośność plastyczna (graniczne obciążenie plastyczne) P - jest to taka wielkość
obciążenia zewnętrznego, która powoduje uplastycznienie co najmniej jednego przekroju belki
(powstanie co najmniej jednego przegubu plastycznego)

•

nośność graniczna P

∗

- jest to taka wielkość obciążenia zewnętrznego, która powoduje

uplastycznienie tylu przekrojów (tzn. powstanie tylu przegubów plastycznych), że belka zamienia
się w mechanizm.

7.2.1 Belki statycznie wyznaczalne

•

graniczna nośność sprężysta P

( )

M

P

M

P

max

=

⇒

•

graniczna nośność plastyczna P

( )

M

P

M

P

max

=

⇒

•

nośność graniczna P

∗

do zamiany belki statycznie wyznaczalnej w mechanizm wystarcza powstanie jednego
przegubu, a ten tworzy się już przy obciążeniu równym granicznemu obciążeniu plastycznemu.
Tak więc w belkach statycznie wyznaczalnych graniczna nośność plastyczna i nośność

graniczna są pojęciami tożsamymi, tzn. P

P

∗

=

Przykład

Wyznaczyć graniczne obciążenie sprężyste, plastyczne i nośność graniczną belki (R

e

=300 MPa).

M

max

= 4 q

M

q R W

q

R W

e

spr

e

spr

=

=

⇒

=

4

4

M

q R W

q

R W

e

pl

e

pl

=

=

⇒

=

4

4

A = 12 + 12 = 24 cm

2

S

m

= 12

×7 +12×3 = 120 cm

3

oś ciężkości z

c

= 120/24 = 5 cm

oś obojętna A

1

= A

2

= 1/2 A = 12 cm

2

⇒

y

o

W

I

z

cm

spr

yc

=

=

×

+

×

+ ×

+

×

=

max

.

6 2 12 12 2

2 6 12 12 2

5

27 2

3

2

3

2

3

( )

W

S

A

cm

pl

yc

=

= ×

× =

2

2 12 2

48

1

3

q

kN m

= 2 04

.

/

q

kN m

= 3 60

.

/

q

q

kN m

∗

= = 3 60

.

/

q

4 q

1 4 2

4 q

2 q

M

6

2

2 2 2

A

1

z

y

o

y

c

5

m

ZGINANIE SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNE 5

7.2.2 Belki statycznie niewyznaczalne

•

graniczna nośność sprężysta P
W celu wyznaczenia granicznej nośności sprężystej P należy po wyznaczeniu (metodami
mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystać warunek :

( )

M

P

M

P

max

=

⇒

•

graniczna nośność plastyczna P

W celu wyznaczenia granicznej nośności plastycznej P należy po wyznaczeniu (metodami
mechaniki budowli) wykresu momentów zginających wykorzystać warunek :

( )

M

P

M

P

max

=

⇒

•

nośność graniczna

P

∗

♦ metoda ścisła

W celu wyznaczenia nośności granicznej należy po wyznaczeniu wykresu momentów
zginających „wprowadzić” do belki przegub plastyczny (wraz z obustronnie przyłożonymi do
niego momentami skupionymi, równymi

M

) w przekroju maksymalnego momentu

zginającego. Powtórnie należy wyznaczyć wykres momentów dla belki o nowym schemacie
statycznym i nowym obciążeniu. Procedurę taką należy kontynuować aż do zamiany belki w
mechanizm. Oznacza to, że w belce n-krotnie statyczne niewyznaczalnej maksymalna ilość
powyższych operacji może wynosić n+1 (może też być mniejsza - zależy to od schematu i
obciążenia).

Obciążenie, przy którym belka zamienia się w mechanizm jest nośnością graniczną P

∗

.

♦ metoda kinematyczna

Metoda kinematyczna oparta jest na tzw. twierdzeniach ekstremalnych teorii plastyczności
(patrz np.: Jacek Skrzypek, Plastyczność i pełzanie, PWN, Warszawa, 1987). Istota tej
metody polega na znalezieniu i analizie wszystkich kinematycznie dopuszczalnych (tzn.
zgodnych z więzami kinematycznymi) schematów zniszczenia belki.

W belce n-krotnie statycznie niewyznaczalnej maksymalna liczba przegubów plastycznych,
jaka prowadzi do zamiany belki w mechanizm wynosi „n+1”. W przypadku mechanizmu o
tej liczbie przegubów mówimy o tzw. pełnym mechanizmie (schemacie) zniszczenia.

W przypadku, gdy można utworzyć mechanizm obejmujący tylko część belki (co ma
miejsce przy liczbie przegubów mniejszej niż „n+1”) mówimy o tzw. niecałkowitym
mechanizmie (schemacie) zniszczenia.

Stosując zasadę prac wirtualnych należy wyznaczyć obciążenia niszczące dla każdego z
kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia. Najmniejszą z uzyskanych w ten
sposób wartości obciążenia uznajemy za nośność graniczną P

∗

.

Można wykazać, że jest to górne oszacowanie rzeczywistej nośności granicznej belki.