grawmat

Wiedz

e stała grawitacji wynosi 6,67*lO

/kg

, przyspieszenie ziemskie 10 m/s

, a promie

Ziemi ma warto

ść

6370

km, oblicz mas

Ziemi.

Znajd

redni

sto

ść

Ziemi, je

eli wiadomo,

e jej promie

wynosi 6370 km, a przyspieszenie ziemskie ma

warto

ść

10 m/s

. Przyjmij,

e Ziemia ma kształt kuli.

Oblicz ile razy mniejsza jest warto

ść

siły grawitacji działaj

cej na ciało umieszczone w odległo

ci równej 5

promieniom Ziemi, licz

c od jej

rodka, od warto

ci siły grawitacji działaj

cej na to ciało na powierzchni planety.

Oblicz warto

ść

siły, któr

przyci

gaj

dwie stykaj

ce si

ze sob

ołowiane kule o

rednicy 1 m ka

da. G

sto

ść

ołowiu wynosi 11,3 • 10

kg / m

Ustal, gdzie znajduje si

punkt, w którym nale

ałoby umie

ciało, aby siły przyci

gania pochodz

ce od Ziemi i Ksi

ęŜ

yca

wzajemnie si

równowa

yły. Odległo

ść

rodka Ksi

ęŜ

yca od

rodka Ziemi jest równa 3,84*10

m, a masa Ksi

ęŜ

yca stanowi

1/81 masy Ziemi.

W pobli

u powierzchni Ziemi na ciało o masie 1 kg działa siła ci

ęŜ

ci o warto

ci 10 N. Jaki promie

musiałaby mie

kula ołowiana, aby na jej powierzchni na ciało o masie 1 kg działała siła o takiej samej warto

ci? G

sto

ść

ołowiu wynosi

11,3 • 10

kg / m

Korzystaj

c z wyniku otrzymanego w poprzednim zadaniu oblicz

redni

sto

ść

Ziemi, wiedz

c, i

jej promie

warto

ść

6,31*10

m .

Dwie kule jednorodne o promieniu 1 m, wykonane z tego samego materiału, stykaj

ze sob

. Oblicz ile razy zmaleje

warto

ść

ich wzajemnego przyci

gania grawitacyjnego, je

eli rozsuniemy je na odległo

ść

l = Im.

W arto

ść

siły grawitacji działaj

cej na ciało le

Ŝą

ce na Ziemi wynosi 100 N. Oblicz ile wynosiła b

dzie warto

ść

siły

grawitacji Ziemi na wysoko

ci h = R, gdzie R to promie

Ziemi.

10.

Na jakiej wysoko

ci nad powierzchni

Ziemi przyspieszenie jest równe co do warto

ci 10% przyspieszenia na

powierzchni Ziemi?

11.

Na jakiej wysoko

ci nad powierzchni

Ziemi nat

ęŜ

enie pola grawitacyjnego jest 10 razy mniejsze ni

na powierzchni?

12.

Masa pewnej planety jest 80 razy mniejsza od masy Ziemi, a jej promie

4 razy mniejszy od promienia Ziemi. Obliczy

przy

pieszenie grawitacyjne na powierzchni tej planety.

13.

ęŜ

ar człowieka na powierzchni Ziemi wynosi 750 N. Ile wyniósłby ci

ęŜ

ar tego człowieka na planecie o trzykrotnie wi

kszej

masie i dwukrotnie mniejszym ni

Ziemia promieniu?

14.

Na planecie o

redniej g

sto

ci p i promieniu R na ciało o masie m działa siła o warto

ci F. Ile wynosiłaby warto

ść

tej

siły na planecie o takiej samej g

sto

ci lecz dwukrotnie mniejszym promieniu?

15.

Promie

Marsa stanowi 1/2 promienia Ziemi, a jego masa 1/10 masy Ziemi. Oblicz stosunek

16.

Jowisz ma mas

318 razy wi

ksz

od masy Ziemi, a jego promie

na równiku jest 11 razy wi

kszy od promienia

równikowego Ziemi.

Zakładaj

c, i

na by stan

na powierzchni Jowisza, podaj jak

mas

miałby tam kosmonauta, który na Ziemi

y 800 N

Jaki byłby jego ci

ęŜ

ar na Jowiszu?

17.

Czas obrotu Jowisza jest 12 razy wi

kszy od czasu obrotu Ziemi dookoła Sło

ca. Wyznaczy

odległo

ść

Jowisza

od Sło

ca, je

li odległo

ść

Ziemi od Sło

ca jest równa 1 a.u. Orbity planet traktujemy jako kołowe.

18.

Naptun kr

ąŜ

y wokół Sło

ca w

redniej odległo

ci 30 a.u. Ile ziemskich lat trwa jeden rok na tej planecie?

19.

Oblicz stosunek okresów obiegu Ziemi dla 2 satelitów, je

li promie

orbity pierwszego satelity wynosi r, za

drugiego 4 r.

20.

Znaj

c promie

orbity i okres obiegu satelity, wyprowad

wzór na mas

planety, wokół której kr

ąŜ

y ów satelita.

21.

Znaj

c promie

orbity Ksi

ęŜ

yca R, mas

Ziemi oraz stał

grawitacji, znajd

wyra

enie na szybko

ść

tow

, z która

ksi

ęŜ

yc obiega Ziemi

22.

Satelita geostacjonarny to taki satelita, który porusza si

po orbicie le

Ŝą

cej w płaszczy

nie równika Ziemi z tak

dko

tow

, z jak

obraca si

Ziemia. Dzi

ki temu z powierzchni Ziemi widziany jest on jako

nieruchomy. Oblicz promie

orbity satelity geostacjonarnego.

23.

W yznaczy

okres obrotu Ksi

ęŜ

yca dookoła Ziemi wiedz

e przyspieszenie ziemskie wynosi g = 9,81 m/s

, promie

Ziemi R

= 6370 km oraz odległo

ść

dzy Ksi

ęŜ

ycem a Ziemi

R = 3,84*10

24.

Wyja

nij dlaczego Ksi

ęŜ

yc nie spada na Ziemi

25.

W iadomo,

e na skutek obrotu Ziemi wokół własnej osi ci

ęŜ

ar ciała na równiku jest mniejszy ni

na biegunie. Na

jakiej wysoko

ci nad biegunem ci

ęŜ

ar ciała zrówna si

z ci

ęŜ

arem tego ciała umieszczonego na równiku? Przyj

ąć

e Ziemia ma kształt kuli o promieniu R

. Przyspieszenie ziemskie na równiku i na biegunie wynosz

odpowiednio

= 9,78 m/s

oraz g

= 9,83 m/s

26.

Dwie kule o masach M i 4M s

oddalone od siebie o r. Na linii ł

cej ich

rodki, dokładnie w połowie odległo

ci znajduje

punkt materialny o masie m. Obliczy

wypadkow

sił

działaj

ca na ten punkt.

27.

Dwie kule o masach M i 4M s

oddalone od siebie o r. Na linii ł

cej ich

rodki, znajd

taki punkt geometryczny, w

którym na punkt materialny o masie m działaj

siły grawitacji równowa

Ŝą

ce si

28.

Punktowe masy M i 4M s

oddalone od siebie o d. Oblicz nat

ęŜ

enie pola grawitacyjnego w

rodku ł

cego je odcinka.

29.

Oblicz prac

, jaka zostanie wykonana przy podnoszeniu ciała o masie m z powierzchni Ziemi na wysoko

ść

h=R

30.

Jak

dko

ść

, skierowan

pionowo do góry, nale

y nada

ciału aby osi

ło ono wysoko

ść

równ

promieniowi

Ziemi?

31.

Przenosz

c ciało z wysoko

ci h=R na wysoko

ść

h=3R wykonano prac

W . Jak

prac

nale

y wykona

, by podnie

ść

ciało z Ziemi na wysoko

ść

h=R

32.

Ile wynosi energia kinetyczna satelity o masie m poruszaj

cego si

po orbicie o promieniu r=2R.

33.

Ile wynosi stosunek E

do E

satelity kr

ąŜą

cego po orbicie kołowej?

34.

Prom kosmiczny porusza si

w odległo

ci 100 km od powierzchni Ziemi po orbicie kołowej z pr

dko

7,85 km/s. Oblicz

energi

kinetyczn

, potencjaln

i całkowit

tego promu, wiedz

e jego masa wynosi 100 ton.

35.

Satelita o masie m1 porusza si

po orbicie o r1=R

, a satelita o masie m2 po orbicie o r2=2R

. Oblicz stosunek m1 do

m2, je

eli oba maj

tak

sam

energi

kinetyczn

36.

Rozwa

c ruch satelity Ziemi po okr

gu o promieniu r pod wpływem do

rodkowej siły grawitacji oblicz ró

nic

energii

całkowitej satelitów o masach m = 1000 kg poruszaj

cych si

po orbitach kołowych na wysoko

ci h1 = 300 km i na

wysoko

ci h2 = 100 km nad powierzchni

Ziemi.

37.

Oblicz warto

ść

I pr

dko

ci kosmicznej dla Ksi

ęŜ

yca wiedz

e jego promie

wynosi 1740 km, a przyspieszenie

grawitacyjne na powierzchni Ksi

ęŜ

yca jest równe 1/6 ziemskiego przyspieszenia grawitacyjnego.

38.

Oblicz warto

ść

pierwszej pr

dko

ci kosmicznej dla Jowisza. Wiadomo, i

orbita kołowa ksi

ęŜ

yca Jowisza, Ganimedesa,

ma promie

= 1 * 1 0

km i obiega on planet

w czasie T

= 7,15 dób ziemskich. Promie

Jowisza wynosi Rj = 70000

km.

39.

Masywne gwiazdy w ko

cowym etapie ewolucji odrzucaj

zewn

trzne warstwy materii i zapadaj

c si

mog

tworzy

gwiazdy neutronowe lub „czarne dziury". Czarna dziura to obiekt astronomiczny, który tak silnie oddziałuje grawitacyjnie
na swoje otoczenie,

aden rodzaj materii ani energii nie mo

e jej opu

Oszacuj promie

gwiazdy neutronowej o masie 12,56*10

kg i

redniej g

sto

ci równej 3-10" kg/m

Masywna gwiazda w wyniku ewolucji utworzyła obiekt o masie 12,56*10

kg i promieniu 1 km. Oszacuj warto

ść

drugiej

dko

ci kosmicznej dla tego obiektu. Oce

, czy ten obiekt mo

e by

„czarn

dziur

". Odpowied

uzasadnij.

Oszacowa

jakie promienie powinny mie

Ziemia i Sło

ce aby stały si

czarnymi dziurami. Ile wynosiły by wówczas ich

sto

ci? Ile wa

yły by umieszczone na ich powierzchniach blondynki o masie m = 55 kg ka

da?

40. Sonda kosmiczna została wystrzelona z Ziemi z II pr

dko

kosmiczn

w jakiej odległo

ci od powierzchni Ziemi sonda straci połow

swojej pocz

tkowej energii kinetycznej?

jak

w tym punkcie b

dzie miała szybko

ść

Na jak

odległo

ść

dzie mogła dolecie

ta sonda od miejsca, w którym jej szybko

ść

zmaleje do I pr

dko

kosmicznej.

Zad.1. Oblicz warto

ść

siły nacisku kosmonauty o masie 100 kg na fotel w nast

puj

cych sytuacjach:

a) rakieta startuje pionowo w gór

z przyspieszeniem o warto

ci 5g.

b) rakieta kr

ąŜ

y po orbicie okołoziemskiej z wył

czonymi silnikami.

c) l

downik l

duje na Ziemi, poruszaj

c si

z opó

nieniem o warto

ci 2/3 g.

d) l

downik ksi

ęŜ

ycowy hamuje podczas l

dowania na ksi

ęŜ

ycu z opó

nieniem 1/10g (przyspieszenie grawitacyjne na

Ksi

ęŜ

ycu ma warto

ść

6 razy mniejsz

na Ziemi).

Zad.2. Ksi

ęŜ

yc ma mas

81 razy mniejsz

od masy Ziemi, jego promie

wynosi 0,27 promienia Ziemi a odległo

ść

pomi

dzy

tymi ciałami niebieskimi wynosi 3,84·10

a) na prostej ł

cej

rodki Ziemi i Ksi

ęŜ

yca znajd

punkt, w którym wypadkowa siła działaj

ca na umieszczone w

nim ciało ma warto

ść

równ

zeru. Oblicz odległo

ść

tego punktu od

rodka Ziemi.

b) przedstaw na schematycznym rysunku Ziemie i Ksi

ęŜ

yc oraz narysuj linie pola grawitacyjnego układu Ziemia-

Ksi

ęŜ

yc.

c) oblicz pierwsz

dko

ść

kosmiczna dla Ksi

ęŜ

yca

d) oblicz pr

dko

ść

ucieczki z Ksi

ęŜ

yca

Zad.3. Promie

pewnego ciała niebieskiego ma warto

ść

6400 km. Przyspieszenie grawitacyjne na jego powierzchni wynosi 4

m/s

. Na podstawie tych danych oblicz:

a) mas

tego ciała niebieskiego

redni

sto

ść

jego materii

c) pr

dko

ść

ucieczki z tego ciała

Zad.4. Satelita o masie 50 kg kr

ąŜ

y po orbicie kołowej na wysoko

ci 6400 km nad powierzchni

Ziemi. Oblicz:

a) warto

ść

siły wzajemnego oddziaływania mi

dzy Ziemi

i satelit

b) grawitacyjn

energi

potencjaln

satelity (wzgl

dem Ziemi)

c) energi

kinetyczn

satelity (wzgl

dem Ziemi)

d) całkowit

energi

układu Ziemia – satelita

Zad.5. Satelita z poprzedniego zadania został przeniesiony na orbit

kołow

o promieniu r = 3 R.

a) oblicz zmian

warto

ci pr

dko

ci satelity

b) oblicz zmian

warto

ci energii całkowitej układu Ziemia-satelita

c) ustal, czy i jak zmieni si

energia wi

zania układa Ziemia-satelita

d) oblicz warto

ść

siły oddziaływania mi

dzy satelit

i znajduj

cym si

na nim spektroskopem o masie 4,5 kg.

Zad.6. Znajd

zwi

zek mi

dzy okresem obiegu satelity kr

ąŜą

cego wokół Ziemi po orbicie kołowej a promieniem orbity. Sporz

wykres zale

ci T(r).

Zad.7. Gdyby wydr

ąŜ

wewn

trz Ziemi tunel biegn

cy pionowo do jej

rodka, to:

a) znajd

funkcj

F(r) zale

ci warto

ci siły grawitacji Ziemi działaj

cej na mas

m = 1kg od odległo

ci od

rodka

Ziemi (przyjmij

e g

sto

ść

Ziemi jest stała)

b) sporz

wykres zale

ci F(r)

c) znajd

funkcj

V(r) zale

ci potencjału grawitacyjnego od odległo

ci od

rodka Ziemi

d) sporz

wykres zale

ci V(r)

Zad.8. Masa Ziemi M

jest 81 razy wi

ksza od masy Ksi

ęŜ

yca M

= 7,34 · 10

kg. Promie

Ziemi R

= 6370 km jest 3,7 razy

dłu

szy od promienia Ksi

ęŜ

yca R

rednia odległo

ść

rodka Ksi

ęŜ

yca od

rodka Ziemi wynosi d=3,84 · 10

a) W jakiej odległo

ci x od

rodka Ziemi, na linii ł

cej

rodki ciał, znajduje si

taki punkt A, w którym na ciało o masie m=100

kg nie działa siła grawitacji.
b) Porównaj warto

ść

siły grawitacji F

działaj

cej na ciało o masie m = 100 kg znajduj

ce si

na powierzchni Ziemi z sił

działaj

na to ciało, gdy znajduje si

ono na powierzchni Ksi

ęŜ

yca.

c) Naszkicuj wykres zale

ci siły grawitacji F działaj

cej na ciało o masie m w zale

ci od odległo

ci r od

rodka Ziemi, dla

≤

d) Oblicz energi

kinetyczn

, potencjaln

i całkowit

Ksi

ęŜ

yca w polu grawitacyjnym Ziemi.

e) Jak

prac

W nale

ałoby wykona

, aby przenie

ść

Ksi

ęŜ

yc z orbity okołoziemskiej do niesko

czono

ci?

Zad.9. Mamy do dyspozycji zegar wahadłowy o okresie 2s. Wyregulowali

my zegar w Warszawie, gdzie przyspieszenie

ziemskie g

= 9,8123 m/s

a) W Gda

sku warto

ść

przyspieszenia ziemskiego jest równa g

= 9,8145 2 m/s

, a w Krakowie g

= 9,8105 m/s

. Czy zegar

dzie w tych miastach chodził dokładnie?

b) Na Merkurym warto

ść

przyspieszenia grawitacyjnego g

stanowi około 0,36 warto

ci przyspieszenia ziemskiego g = 9,81

m/s

. O jak

warto

ść

∆

t spó

niałby si

w ci

gu doby zegar na tej planecie?

c) Zegar z wahadłem sekundowym zabieramy pod powierzchni

Ziemi, np. na gł

boko

ść

h = 1000 m. Znaj

c g

sto

ść

Ziemi

5,5 · 10

kg/m

, promie

Ziemi R = 6370 km, wyznacz, jak zmieni si

wskazanie zegara.

d) Wybrali

my si

, bior

c ze sob

zegar, w podró

kosmiczn

, gdzie wyst

pił stan niewa

ci. Co mo

esz powiedzie

wskazaniach zegara?
e) Znajdujemy si

w Warszawie, w wesołym miasteczku na karuzeli. Przyspieszenie do

rodkowe wynosi a

= 6m/s

. Jak chodzi

zegar?

Zad.10. Ciało o masie m= 5 kg puszczono swobodnie do tunelu przewierconego wzdłu

rednicy Ziemi. Odległo

ść

r ciała od

rodka Ziemi jest mniejsza od promienia Ziemi R.

a) Napisz równanie opisuj

ce warto

ść

siły F działaj

cej na ciało o masie m = 5 kg w zale

ci od odległo

ci r od

rodka Ziemi

i uzasadnij odpowiedz na pytanie: jakim ruchem poruszało si

to ciało?

b) Napisz równanie ruchu ciała i narysuj wykres zale

ci odległo

ci r od czasu t.

c) Podaj równanie opisuj

ce zale

ść

warto

ci pr

dko

ciała od czasu t i oblicz maksymaln

warto

ść

max

d) Napisz równanie zale

ci przyspieszenia a tego ciała od odległo

ci r i oblicz warto

ść

maksymaln

przyspieszenia a

max

e) Wska

punkty, w których warto

ci energii potencjalnej

ciała i kinetycznej E

maksymalne. Napisz równania

maksymalnej energii potencjalnej

pmax

i maksymalnej energii kinetycznej E

kmax

, Oblicz warto

ść

energii całkowitej ciała E

f) Z jakiej wysoko

ci h nad powierzchni

Ziemi nale

ałoby pu

swobodnie ciało o masie m, aby jego pr

dko

ść

na powierzchni

Ziemi była równa maksymalnej pr

dko

ci ciała poruszaj

cego si

w tunelu?

Zad. 11. Ciało o masie m=100 kg porusza si

po orbicie na wysoko

ci h = 160 km nad powierzchni

Ziemi. Promie

Ziemi R =

6370 km, przyspieszenie g = 9,81 m/s

a) Oblicz warto

ść

dko

ci v

ciała.

b) Jak

prac

W nale

ałoby wykona

, aby przenie

ść

ciało z orbity znajduj

cej si

na wysoko

ci h nad powierzchni

Ziemi na

orbit

znajduj

na wysoko

ci h

= 300 km od powierzchni Ziemi?

c) Podaj zale

ść

okresu T

obiegu satelity na orbicie bli

szej i okresu T

obiegu satelity na orbicie dalszej.

d) Jak

prac

nale

ałoby wykona

nad ciałem poruszaj

cym si

po orbicie w odległo

ci h = 160 km od powierzchni

Ziemi, aby opu

ciło pole grawitacyjne Ziemi?

Zad.12. Promy kosmiczne odbywaj

loty po orbicie okołoziemskiej, na wysoko

ci ok. 500 km nad powierzchni

Ziemi.

1 Okre

l, jaka siła pełni rol

siły do

rodkowej, działaj

cej na prom kosmiczny okr

ąŜ

cy Ziemi

2. Oblicz długo

ść

orbity kołowej, po której porusza si

prom kosmiczny wokół Ziemi. Oblicz, ile razy długo

ść

tej orbity jest

ksza od obwodu Ziemi, który wynosi w przybli

eniu 4*10

km.

3. Oblicz

redni

szybko

ść

promu kosmicznego na wspomnianej orbicie, maj

c dane: mas

Ziemi

, promie

Ziemi R i stał

grawitacji G.
4. Znaj

c pr

dko

ść

promu kosmicznego

= 7600 m/s oraz promie

Ziemi R = 6370 km oblicz, ile czasu potrzebuje on na jedno

pełne okr

ąŜ

enie Ziemi.