Pole grawitacyjne

2

B

A

Mm

F G

r

F

F





gdzie:

M – ciało o masie M, źródło pola

m – ciało próbne o masie m, nie deformuje pola wytworzonego przez źródło

W otoczeniu każdego ciała przestrzeń posiada tę właściwość, że w każdym jej punkcie na ciało
próbne działa siła grawitacyjna. Mówimy, że każde ciało wytwarza

pole grawitacyjne.

W celu scharakteryzowania pola grawitacyjnego wprowadzamy wielkość, która nie zależy od ciała
próbnego, tzw.

natężenie pola grawitacyjnego

.

def

F

m





- definicja wielkości fizycznej

Wartość liczbowa



jest równa wartości siły działającej na punkt materialny o masie m = 1 kg

umieszczony w danym miejscu pola.
Kierunek jest taki, jak kierunek siły . W przypadku masy punktowej M (lub ciała w kształcie
kuli) ma kierunek radialny.





F

2

Mm

G

r

m





2

M

G

r





- prawo fizyczne

M





Pole centralne

linie sił pola



Zasada superpozycji pól

M

1

, M

2

– źródła pola

Natężenie pola grawitacyjnego
w punkcie P jest równe:

1

2

  

 

Przy powierzchni Ziemi:



k =3,4 x 10

-5

m/s

2



s =5,6 x 10

-3

m/s

2



z = 9,8 m/s

2

Dla niewielkich wysokości ponad Ziemią oraz dla niewielkiego obszaru powierzchni
Ziemi możemy przyjąć, że linie pola grawitacyjnego przebiegają równolegle.

pole jednorodne

const





W dużych odległościach od Ziemi (h duże względem R)

W pobliżu Ziemi dla h << R

2

(

)

M

G

R h







2

M

G

R





Pojęcie pracy

,

dl tak małe

elementarna

prace

że F const

dW

F

dl



 

def

AB

W

F dl







cos

W

Fs







Jeśli:

1.

 = 0

W

F s

 

[ ] [

]

J

N m





3.  = 90

o

W

F s

  

- jednostka pracy (def.)

2.  = 180

o

- praca ujemna

W = 0

4. Jeśli na ciało działa wiele sił, to praca wykonana nad ciałem równa się sumie prac
poszczególnych sił.

1

2

1

2

...

...

n

n

dW

F dl

F dl

F dl

F F

F

F

dW

F dl

 





 



 

 

 

1

2

, , ... ,

n

F F

F

Praca siły grawitacyjnej

B

A

r

A B

g

r

W

F dl

dl

dr







 



2

B

A

B

A

r

A B

r

r

A B

r

Mm

W

G

dr

r

Mm

W

G

r





 





0

A B

B

A

Mm

Mm

W

G

G

r

r









Obliczymy pracę siły zewnętrznej przy przeniesieniu ciała z punktu
A do B.

z

g

F

F

 

dl

dr

 

180





dl

 elementarne przesunięcie

2

( 1)

(

) (

)

0

B

A

B

A

B

A

r

A B

z

r

r

A B

r

r

A B

r

A B

B

A

A B

A

B

W

F dl

Mm

W

G

dr

r

Mm

W

G

r

Mm

Mm

W

G

G

r

r

Mm

Mm

W

G

G

r

r















 



 

 

 











Jeśli to

A

r  

B

B

Mm

W

G

r



 

Praca siły zewnętrznej przy przenoszeniu ciała m z nieskończoności do dowolnego punktu
pola centralnego P wynosi:

P

P

Mm

W

G

r



 

energia potencjalna ciała m w punkcie B pola

Obliczmy wartość tej pracy przy przeniesieniu masy próbnej m = 1 kg.

B

P

W

M

G

m

r



 

Tę wielkość fizyczną, która definiujemy jako stosunek pracy wykonanej przez siłę
zewnętrzną przy przeniesieniu punktu materialnego o masie m = 1 kg z
nieskończoności do danego punktu P pola, nazywamy potencjałem w danym punkcie
pola (lub potencjałem danego punktu pola).

z

g

F

F

 

def

P

P

W

m







P

P

M

G

r



 

gdzie:
M – masa źródła pola
r

P

– odległość wybranego

punktu P pola od źródła pola

W przypadku np. dwóch źródeł pola M

1

i M

2

potencjał w punkcie P pola

1

2

  





1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

M

G

r

M

G

r

M

M

G

G

r

r







 

 



 



 

 



 





 







B

A

W

m

W

m











  

2

2

2

Praca sił zachowawczych

'

'

'

'

A

A

B

B

A

A

B

B

r

r

r

r















'

'

0
0

B B

A A

W
W








' '

' '

0

AB

B A

ABA B

W

W

W

 



Pole grawitacyjne jest polem sił zachowawczych.

Praca sił zachowawczych po krzywej zamkniętej jest równa zero.

'

'

A

A

B

B












Związek między siłą grawitacji i potencjałem grawitacyjnym

Siły pola są
prostopadłe do
powierzchni
ekwipotencjalnych i
zwrócone są w
stronę malejącego
potencjału

(

)

A

B







grad





 

Gradient potencjału (grad



) jest to wektor, którego wartość jest równa szybkości

wzrostu potencjału w kierunku linii sił pola.
Wartość wektora grad



w tym przypadku równa się

d

dr



1

2

1

2

 

  



  

Wartość wektora grad



w tym przypadku równa się

d

dh



Praca siły ciężkości w polu jednorodnym

2

2

1

1

2

1

1

2

0

(

) (

)

0

h

h

h

h

dl

dh

W

mg dh

mgh

mgh

mgh

W

mgh

mgh



 



 



 

 

 









Praca równa się różnicy dwóch wyrażeń, które są
funkcjami wysokości (położenia). Wyrażenie mgh
nazywamy energią potencjalną ciężkości układu:
Ziemia-ciało.

p

mgh





Potrafimy określić przyrost
energii potencjalnej ciężkości

p

W



 

Praca wykonana przy konstrukcji układu
mas punktowych o zadanej konfiguracji.

Obliczamy pracę siły zewnętrznej przy przeniesieniu masy m

2

z  na odległość r

12

do masy m

1

.

1

2

12

12

m m

W

G

r

 

Następnie obliczamy pracę przy przeniesieniu masy m

3

z  na odległość r

13

do masy m

1

.

1

3

13

13

m m

W

G

r

 

Nie uwzględniając obecności masy m

1

obliczamy pracę przy przesunięciu masy m

3

z 

na odległość r

23

do masy m

2

.

12

12

23

1

2

1

3

2

3

12

13

23

W W

W

W

m m

m m

m m

W

G

G

G

r

r

r









 







 

 

 



 









 

 



23

3

2

23

r

m

m

G

W





Praca siły sprężystości

Praca W równa jest różnicy dwóch wyrażeń, które są funkcjami
wychylenia ciała z położenia równowagi.

2

2

p

kx





energia potencjalna sprężystości

p

W



 

< 0

Praca siły F przy rozpędzaniu ciała o masie m od prędkości o wartości v

1

do prędkości o wartości v

2

.

2

2

(

)

2

2

dW

F dl

dp

F

dt

dp

dW

dl

dt

dl

dW

dp

dt

dW

d mv v

dW

m dv v mv dv

v

dW

m d

mv

dW

d

 















 

 



 

   

 





 







2

2

2

cos0

(

)

2

( ) 2

2

v v v v

v

d v v

v dv dv v

v dv

d v

v dv

v

d

v dv

   



  



 







   

 

 

Obliczenia pomocnicze:

Oznaczmy wyrażenie

Wyrażenie to nazwijmy energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się z prędkością v.

2

2

1

1

;

;

k

k

k

k

k

dW

d

W

d

W

W



















 



2

2

2

1

2

2

mv

mv

W 



Praca W jest równa różnicy dwóch wyrażeń, które są funkcjami prędkości.

Energia jest funkcją stanu

funkcją położenia

 energia grawitacyjna

funkcją wychylenia

 energia potencjalna sprężystości

funkcją prędkości

 energia kinetyczna

k

mv





2

2

Zasada zachowania energii

W przypadku układu odosobnionego suma energii potencjalnej i kinetycznej jest stała.





0

z

F 



p

k

const







