www.etrapez.pl

Strona 1

KURS

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Lekcja 6

Funkcje uwikłane

ZADANIE DOMOWE

www.etrapez.pl

Strona 2

Częśd 1: TEST

Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Pytanie 1

Które z poniższych wyrażeo przedstawia funkcję w postaci uwikłanej?

a)

2

2

y

x



b)

2

1

y

x





c)

 

 

2

1

x t

t

y t

t



 









d)

 

sin

0

xy



Pytanie 2

Jeśli y jest funkcją daną w postaci uwikłanej znaczy to, że…

a) x jest zmienną zależną od y w wyrażeniu

 

,

0

F x y



b) y jest zmienną zależną od x w wyrażeniu

 

,

0

F x y



c) x i y są zmiennymi wzajemnie zależnymi w wyrażeniu

 

,

0

F x y



d) x i y są zmiennymi wzajemnie niezależnymi w wyrażeniu

 

,

0

F x y



Pytanie 3

 

,

0

F x y



Pochodna z funkcji uwikłanej y równa jest…

a) iloczynowi pochodnych cząstkowych po x i y z funkcji F ze znakiem minus
b) sumie pochodnych cząstkowych po x i y z funkcji F ze znakiem minus
c) ilorazowi pochodnej cząstkowej po x z funkcji F przez pochodną cząstkową po y z

funkcji F ze znakiem minus

d) różnicy pochodnych cząstkowych po x i y z funkcji F ze znakiem minus

www.etrapez.pl

Strona 3

Pytanie 4

Pochodna z funkcji uwikłanej jest funkcją…

a) Zmiennych x i y (otrzymujemy równanie różniczkowe)
b) Tylko zmiennej x
c) Tylko zmiennej y
d) Stałą

Pytanie 5

sin

1

y

x

 

Jak można wyznaczyd pochodną z funkcji y w powyższym wyrażeniu?

a) Obliczając pochodną z

1

x



b) Dzieląc obie strony przez

sin

c) Jest to niemożliwe
d) Przenosząc x i 1 na lewą stronę równania i obliczając pochodną z funkcji uwikłanej

Pytanie 6

Pochodną drugiego rzędu z funkcji uwikłanej liczymy…

a) Obliczając pochodną z pochodnej pierwszego rzędu
b) Podstawiając odpowiednie pochodne cząstkowe do gotowego wzoru
c) Obliczenie takiej pochodnej jest niemożliwe
d) Przy zadaniach na styczną i normalną do krzywej w postaci uwikłanej

Pytanie 7

Jak można sprawdzid, czy funkcja w postaci uwikłanej osiąga ekstremum w danym punkcie?

a) Rozwiązując układ równao









,

0

,

0

F x y

F

x y

x











 



b) Podstawiając współrzędne punktu do związku





,

0

F x y



c) Obliczając pochodną drugiego rzędu z funkcji, podstawiając do niej współrzędne

punktu i sprawdzając znak wyniku

d) Obliczając pochodną pierwszego rzędu z funkcji, podstawiając do niej współrzędne

punktu i sprawdzając znak wyniku

www.etrapez.pl

Strona 4

Pytanie 8

Czy ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych i ekstrema z funkcji uwikłanej są tym samym?

1) Nie
2) Tak, jedne można sprowadzid do drugich

Pytanie 9

Co to jest normalna do krzywej w punkcie P?

a) Prosta przecinająca krzywą tylko w jednym punkcie P
b) Prosta stykająca się z krzywą tylko w jednym punkcie P
c) Prosta prostopadła do stycznej do krzywej w punkcie P
d) Prosta równoległa do krzywej w punkcie P

Pytanie 10

 

F

P

y





Co oznacza powyższy zapis?

a) Pochodną cząstkową po y z funkcji F przemnożoną przez P
b) Pochodną cząstkową po y z funkcji F przemnożoną przez funkcję P
c) Pochodną cząstkową po y z funkcji F
d) Pochodną cząstkową po y z funkcji F, do której wstawiono współrzędne punktu P

www.etrapez.pl

Strona 5

Częśd 2: ZADANIA

Zad.1

Oblicz pochodne pierwszego rzędu z funkcji uwikłanych:

1)

2

2

0

x

y



 

2)

2

2

3

2

4

6

5

0

x

xy

y

x

y





 

 

3)

2

2

4

12

4

0

x

xy

y









4)

2

2

0

y

y

e

x e

x









Zad.2

Oblicz pochodne pierwszego i drugiego rzędu z funkcji uwikłanych:

1)

2

2

2

4

7

0

x

y

x

y







 

2)

2

2

16

x

y





3)

2

3

10

0

x

y

e







Zad.3

Oblicz ekstrema z funkcji uwikłanych:

1)

2

2

2

5

2

4

1

0

x

xy

y

x

y









 

2)

2

2

1

2

4

0

4

x

xy

y

y







 

3)

2

2

16

xy

x y



 

Zad.4

Oblicz styczne i normalne do krzywych w danych punktach:

1)

 

3

2

1

0

1, 0

x

x

y

M

 

  

2)

2

1

1

1,

1

2

y

M

x

















3)

 

2

3

2

4

0

1, 2

x y

y

M



 

KONIEC