www.etrapez.pl

Strona 1

KURS

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Lekcja 2

Ekstrema (lokalne) funkcji wielu zmiennych

ZADANIE DOMOWE

www.etrapez.pl

Strona 2

Częśd 1: TEST

Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Pytanie 1

Wykres funkcji dwóch zmiennych to…

a) Trójwymiarowa powierzchnia
b) Dwuwymiarowy obszar
c) Czterowymiarowa powierzchnia
d) Trzy osie układów współrzędnych: x, y i z

Pytanie 2

Ekstremum funkcji wielu zmiennych można wykorzystad do:

a) Obliczenia optymalnego wykresu funkcji wartości
b) Obliczenia wyznacznika z pochodnych drugiego rzędu z funkcji dwóch zmiennych
c) Obliczenia średniej wartości funkcji
d) Obliczenia optymalnego połączenia zasobów

Pytania tylko do części 1 Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych bez użycia
hesjanów)

Pytanie 3

Jak opisad można dwia zasadnicze części schematu na obliczanie ekstremum funkcji dwóch
zmiennych?

a) Obliczanie punktów, w których mogą byd ekstrema w części I i sprawdzanie, czy

faktycznie są w nich ekstrema w części II

b) Obliczanie pochodnych cząstkowych I rzędu w części I i obliczanie pochodnych

cząstkowych II rzędu w w części II

c) Obliczanie punktów, w których mogą byd ekstrema w części I i obliczanie

pochodnych cząstkowych II rzędu w w części II

d) Obliczanie pochodnych cząstkowych I rzędu w części I i sprawdzanie, czy są w nich

ekstrema w części II

www.etrapez.pl

Strona 3

Pytanie 4

 

2

2

,

2

7

2

2

2

2

f x y

x

xy

y

f

x

y

x

f

y

x

y

























Mając obliczone pochodne cząstkowe I rzędu jak wyżej co należy zrobid w tym momencie
zadania?

a) Obliczyd z nich pochodne cząstkowe II rzędu
b) Odczytad z tych pochodnych współrzędne punktów stacjonarnych
c) Przyrównad pochodne do zera, tworząc układ równao
d) Utworzyd z pochodnych wyznacznik

Pytanie 5

Obliczając ekstrema lokalne według schematu obliczyliśmy jej pochodne cząstkowe I rzędu,
punkty stacjonarne i pochodne cząstkowe II rzędu. Co należy zrobid w tym momencie
zadania?

a) Z pochodnych cząstkowych II rzędu utworzyd wyznacznik i odczytad z niego, czy

funkcja osiąga ekstrema

b) Z pochodnych cząstkowych II rzędu utworzyd wyznacznik i podstawid do funkcji w nim

po kolei współrzędne poszczególnych punktów stacjonarnych

c) Obliczyd wartości funkcji wyjsciowej w punktach stacjonarnych
d) Z pochodnych cząstkowych II rzędu utworzyd wyznacznik i obliczyd go

Pytanie 6

 

2

4

1

2

2

1

4

1

1

2

e

W P

e

e







Wyznacznik w punkcie

1

P

wyszedł jak wyżej. Oznacza to, że…

a) Funkcja nie osiąga ekstremum w punkcie

1

P

b) Funkcja osiąga maksimum w punkcie

1

P

c) Nie można określid z tych danych, czy funkcja osiąga ekstremum w

1

P

d) Funkcja osiąga minimum w punkcie

1

P

www.etrapez.pl

Strona 4

Pytania tylko do części 2 Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych hesjanami)

Pytanie 7

Co robimy z pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu?

a) Tworzymy z nich macierz, podstawiamy współrzędne kolejnych punktów

stacjonarnych i liczymy odpowiednie jej podwyznaczniki kolejnych stopni

b) Tworzymy z niej wyznacznik, podstawiamy współrzędne kolejnych punktów

stacjonarnych i obliczamy go

c) Przyrównujemy je do zera i rozwiązujemy otrzymany układ równao
d) Obliczamy z nich pochodne kolejnego rzędu (aż otrzymamy rząd równy liczbie

zmiennych) i tworzymy z nich macierz

Pytanie 8

Jakiego stopnia byłby hesjan z funkcji czterech zmiennych?

a) To zależy od liczby punktów stacjonarnych
b) Trzeciego
c) Czwartego
d) To zależy od ułożeo znaku w podwyznacznikach

Pytanie 9

 

 

 

 

1

1

1

2

1

3

1

1

3

0

1

3

2

0

11

0

0

3

33

H

P

H P

H

P

H

P

















 





















Powyższe ułożenie znaków w podwyznacznikach hesjanu w punkcie

1

P

oznacza, że…

a) W punkcie

1

P

funkcja osiąga maksimum lokalne

b) W punkcie

1

P

funkcja nie osiąga ekstremum

c) W punkcie

1

P

nie możemy roztrzygnąd, czy funkcja osiąga ekstremum

d) W punkcie

1

P

funkcja osiąga minimum lokalne

Pytanie 10

Czy używając hesjanów możemy liczyd także ekstrema funkcji dwóch zmiennych z części I
Lekcji?

a) Nie
b) Tak

www.etrapez.pl

Strona 5

Częśd 2: ZADANIA

Zadania do części 1 Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych bez użycia
hesjanów)

Zad. 1

Oblicz ekstrema lokalne z podanych funkcji:

1)





2

2

,

2

f x y

x

xy

y

x

y







  

2)





2

2

,

f x y

x

xy

y







3)

2

2

6

1

z

x

xy

y

x

  







4)

2

2

2

6

1

z

x

y

x

y

  







5)

2

2

2

3

2

1

z

x

xy

y

x

y









 

6)





2

2

,

2

4

12

f x y

x

xy

y

x

y







 



7)

 

3

3

,

2

3

6

1

f x y

x

y

x

y











8)

 

2

3

1

,

6

3

6

2

f x y

x

xy

y

x

y













9)

3

2

6

48

2

z

x

y

xy

x

 







10)

 





2

2

,

1

x

f x y

e

x

y







11)

 









2

2

2

2

,

2

x

y

f x y

e

x

y









Zadania tylko do części 2 Lekcji (liczenie ekstremum funkcji dwóch zmiennych hesjanami)

UWAGA: Rozwiąż także zadania od 1) do 11). Metoda Hesjanów jest uniwersalna.

Zad. 2

Oblicz ekstrema lokalne z podanych funkcji:

1)





2

2

2

, ,

2

4

6

2

f x y z

x

y

z

x

y

z





 







2)

2

2

2

2

2

4

4

u

x

y

z

xy x

z





 

 



3)





2

3

2

, ,

2

2

f x y z

x

xy

xz

y

y

z



 

  

4)





2

2

2

, ,

2

4

2

1

x

y

f x y z

x

z

y

z











www.etrapez.pl

Strona 6

5)













2

2

2

, ,

2

x

y

z

f x y z

e

x

y

z



 



 

KONIEC