Politechnika Wrocławska
Wydział Elektroniki
Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki
Katedra Radiokomunikacji i Teleinformatyki
Wrocław
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
1.3 WYKŁAD:
1.3 WYKŁAD:
Widmo Energii, Pasmo, Twierdzenie o Próbkowaniu
Widmo Energii, Pasmo, Twierdzenie o Próbkowaniu
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
2.3.
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
Niech funkcje f
1
(t) i f
2
(t) b
ę
d
ą
bezwzgl
ę
dnie całkowalne, oraz
niech istniej
ą
całki z modułu tych funkcji.
Mo
ż
na wówczas zapisa
ć
nast
ę
puj
ą
c
ą
relacj
ę
:
∫
∫
∞
∞
−
ω
−
∞
∞
−
ωτ
−
⋅
τ
⋅
τ
⋅
τ
=
ω
⋅
ω
)
dz
e
)
(
f
(
)
d
e
)
(
f
(
)
(
F
)
(
F
z
j
2
j
1
2
1
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2
Podstawmy: z = t-
τ
; dz = dt
Po dokonaniu odwrotnego przekształcenia
ℑ
-1
{.} otrzymamy:
dt
e
]
d
)
t
(
f
)
(
f
[
d
]
dt
e
)
t
(
f
[
e
)
(
f
)
(
F
)
(
F
t
j
2
1
)
t
(
j
2
j
1
2
1
∫
∫
∫
∞
∞
−
ω
−
∞
∞
−
τ
−
ω
−
∞
∞
−
ωτ
−
τ
⋅
τ
−
⋅
τ
=
τ
⋅
⋅
τ
−
⋅
⋅
τ
=
ω
⋅
ω
∞
−
∞
−
ω
⋅
ω
⋅
ω
π
=
τ
⋅
τ
−
⋅
τ
ω
∞
∞
−
∞
∞
−
∫
∫
d
e
)
(
F
)
(
F
2
1
d
)
t
(
f
)
(
f
t
j
2
1
2
1
2.3.
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
Dla t=0, po zamianie
τ
na t otrzymujemy
Obliczmy
ω
⋅
ω
⋅
ω
π
=
⋅
−
⋅
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
d
)
(
F
)
(
F
2
1
dt
)
t
(
f
)
t
(
f
2
1
2
1
3
Obliczmy
Zatem
( )
)
(
F
)
(
F
dt
e
)
t
(
f
dt
e
)
t
(
f
dt
e
)
t
(
f
}
t
f
{
2
2
t
j
2
t
j
2
t
j
2
2
ω
=
ω
−
=
⋅
=
⋅
−
=
⋅
−
=
−
ℑ
∗
∞
∞
−
ω
∞
∞
−
ω
∞
∞
−
ω
−
∫
∫
∫
ω
⋅
ω
−
⋅
ω
π
=
⋅
⋅
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
d
)
(
F
)
(
F
2
1
dt
)
t
(
f
)
t
(
f
2
1
2
1
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
Przyjmujemy teraz f
1
(t) = f(t); f
2
(t)= f*(t), wówczas:
ω
⋅
ω
π
=
⋅
∫
∫
∞
∞
d
)
(
F
2
1
dt
)
t
(
f
2
2
RÓWNOŚĆ PARSEVAL’A
dla ciągłego
( 2.2.18)
4
ω
⋅
ω
π
=
⋅
∫
∫
∞
−
∞
−
d
)
(
F
2
dt
)
t
(
f
dla ciągłego
przekształcenia
Fourier’a
G
Ę
STO
ŚĆ
WIDMOWA
G
Ę
STO
ŚĆ
WIDMOWA
ENERGII
ENERGII
ENERGIA SYGNAŁU
ENERGIA SYGNAŁU
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.1.
SZEROKOŚĆ PASMA
SZEROKOŚĆ PASMA
Nale
ż
y podkre
ś
li
ć
,
ż
e wszelkie problemy dotycz
ą
ce
szeroko
ś
ci widma mog
ą
by
ć
rozstrzygni
ę
te tylko na
drodze UMOWY, gdy
ż
teoretycznie – widmo sygnału jest
rozło
ż
one w całym przedziale
ω∈
ω∈
ω∈
ω∈
(-
∞
∞
∞
∞
,
∞
∞
∞
∞
)
.
Powszechnie przyjmuje si
ę
,
ż
e graniczn
ą
cz
ę
stotliwo
ś
ci
ą
5
Powszechnie przyjmuje si
ę
,
ż
e graniczn
ą
cz
ę
stotliwo
ś
ci
ą
widma jest taka cz
ę
stotliwo
ść
, dla której w przedziale
(-
ω
dmax
,
,
ω
gmax
) zawarte jest
99 %
99 %
energii.
Korzystaj
ą
c z
RÓWNOŚCI PARSEVAL’A
mo
ż
na zapisa
ć
:
( 2.2.19)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.1.
SZEROKOŚĆ PASMA
SZEROKOŚĆ PASMA
Doln
ą
i górn
ą
cz
ę
stotliwo
ść
graniczn
ą
wyznaczamy, odpowiednio:
DOLN
Ą
ω
d
∫
∫
∞
ω
=
ω
⋅
ω
π
dt
)
t
(
f
005
,
0
d
)
(
F
2
1
2
2
d
(
2.2.20)
6
GÓRN
Ą
ω
g
∫
∫
∞
−
ω
−
π
2
d
2.2.20)
∫
∫
∞
∞
−
ω
ω
=
ω
⋅
ω
π
dt
)
t
(
f
995
,
0
d
)
(
F
2
1
2
2
g
d
Znajomość szerokości pasma
Znajomość szerokości pasma
B =
B =
ω
ω
g
g
--
ω
ω
d
d
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.
Znajomość szerokości pasma
Znajomość szerokości pasma
B =
B =
ω
ω
g
g
--
ω
ω
d
d
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.
( 2.2.21)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
2.3.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Z pojęciem częstotliwości granicznej widma sygnału wiąże się
własność sygnałów polegająca na możliwości reprezentowania
sygnałów ciągłych (o ograniczonym widmie) za pomocą zbioru
dyskretnych próbek.
Niech będą zadane sygnał f (t) i jego widmo F (
ω
), zawarte w przedziale
(-
ω
g
,
ω
g
).
7
(-
ω
g
,
ω
g
).
Rozważmy
SYGNAŁ SKWANTOWANY
czasowo, tzn.
Iloczyn sygnału f(t) oraz okresowego ciągu dystrybucji Delta-Dirac’a
f
p
(t) = f (t)
δ
T
(t)
Korzystając z własności iloczynu f (t) i
δ
(t) można zapisać:
∑
∞
−∞
=
−
δ
⋅
=
k
p
p
p
)
kT
t
(
)
kT
(
f
)
t
(
f
( 2.2.22)
(
2.2.23)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
2.3.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
2
π
t
f (t)
-
ω
g
ω
g
ω
F (
ω
)
δ
T
(t)
δ
T
(t)
∆
ω
p
(
ω
)
ℑ
ℑ
ℑ
ℑ
{ . }
Rys. 2.3.1.
8
p
T
2
π
T
p
t
f
p
(t) = f(t)
δ
T
(t)
-
ω
p
-
ω
g
ω
g
ω
p
ω
∆
F
p
(
ω
)=F(
ω
)
∗ ∆
ω
p
(
ω
)
t
0 T
p
2T
p
3T
p
….
… -2
π
/T
p
0 2
π
/T
p
4
π
/T
p
….
ω
p
T
2
π
H(j
ω
)
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
2.3.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Widmo sygnału skwantowanego
Jeżeli widmo sygnału jest ograniczone, to sygnał skwantowany można
∑
∞
−∞
=
ω
−
ω
⋅
ω
=
δ
ℑ
∗
ℑ
=
δ
⋅
ℑ
=
ω
k
p
p
T
T
p
)
k
(
F
)}
t
(
{
)}
t
(
f
{
)}
t
(
)
t
(
f
{
)
(
F
( 2.2.24 )
9
Jeżeli widmo sygnału jest ograniczone, to sygnał skwantowany można
przedstawić w dziedzinie częstotliwości jak na rys. 15.5.
Jeżeli
∆≥
0, to część widma F
p
(
ω
) w otoczeniu (k
ω
p
), k= 0,
±
1,
±
2, … będzie
identyczna z widmem sygnału f(t).
DŁUGOŚĆ INTERWAŁU NYQUISTA
(
ω
p
= 2
π
/T
p
)
g
p
g
p
g
p
2
lub
2
2
T
1
0
2
ω
≥
ω
π
ω
≥
→
≥
ω
−
ω
( 2.2.25 )
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.3 Podstawy Telekomunikacji
2.3.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
2.3.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Sygnał o ograniczonym widmie jest jednoznacznie określony przez swoje
wartości f(kT), leżące w równych odstępach czasu T, nie większych niż
π
/
ω
g
,
gdzie
ω
g
jest pulsacją graniczną widma.
Sygnał f(t) mo
ż
e by
ć
odtworzony na podstawie znajomo
ś
ci sygnału
skwantowanego f (t), po przepuszczeniu jego przez idealny filtr
Dr in
ż
. W.J. Krzysztofik
1.4 Podstawy Telekomunikacji
10
skwantowanego f
p
(t), po przepuszczeniu jego przez idealny filtr
dolnoprzepustowy H(j
ω
).
∑
∞
∞
−
ω
−
ω
ω
=
ω
)
k
2
(
F
2
)
(
F
g
g
p
)
j
(
H
]
)
k
2
(
F
2
[
)
(
F
g
g
ω
⋅
ω
−
ω
ω
=
ω
∑
∞
∞
−
)
(
1
)
(
1
)
j
(
H
g
g
ω
−
ω
−
ω
+
ω
=
ω
CHARAKTERYSTYKA
IMPULSOWA FILTRU
-
ω
g
ω
g
ω
1
Rys. 2.3.2.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
1 2 Wykład Transformata Fouriera s Letni 2011 12
ortopedia - wykłady, W5, Chirurgia koni, wykład głowa cz.1, 22.03.2011, Chirurgia
Geodezja wyklad 6 instrumenty geodezyjne (11 04 2011)(1)
Geodezja wyklad 10 tachimetria (23 05 2011) id 188
Wyklad 10 Fiz At Mol 2011
Wykład 02 PKB Czynniki october 2011
Geodezja wykład 3 odwzorowania kartograficzne (14 03 2011)
wyklad II intensywnej 12 10 2011
wyklad 1 MERCHANDISING dr.Kucharska 29 X 2011, Merchandising
ortopedia - wykłady, W6, Chirurgia koni, wykład głowa cz.2, 29.03.2011
Wykład 2 - Etyka a religia - 20.10 2011 r, Semestr V, Etyka
Wykład 1 psychologia małżeństwa i rodziny - Plopa 2011, SEMESTR VII, Psychologia małżeństwa i rodzin
material wyklad 3, STUDIA, WZR I st 2008-2011 zarządzanie jakością, ekonomika przedsiębiorstw
43 Syllabus sem letni 2011 2012
wykład 4 - Rozliczenia KiM - 11.12.2011, Rozliczenia krajowe i międzynarodowe
Geodezja wykład 3 odwzorowania kartograficzne (14 03 2011)(1)
Wyklad 10 - Hume - 03.01.2011 r, Teoria kultury (koziczka)
więcej podobnych podstron