dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Uniwersytet Jagielloński
Instytut Informatyki
———
ul. Łojasiewicza 6
30-348 Kraków
Algebra Liniowa I
Semestr zimowy
Zestaw ćwiczeń 2
Kraków, 9.10.2013
1
II. Liczby zespolone: moduł, argument, postać trygonometryczna.
Zadanie 2.1. ([2, 29/2.4], [1, 17/VII.B.1])
Przedstawić podane liczby w postaci trygonometrycznej:
(1) 7 + 7i;
(2)
√
3
− i;
(3)
−5 + 5
√
3i;
(4) sin α + i cos α (0 < α <
π
2
);
(5)
−cosα + i sin α (0 < α <
π
2
);
(6) 1 + itg α (0 < α <
π
2
);
(7) (
√
3 + i)
9
(1
− i)
5
.
Zadanie 2.2. ([2, 29/2.6], [1, 9/I.A.1, I.B.1, I.C.1; 10/I.D.1; 13/IV.C.2; 14/V.B.1; 19/IX.A.3,
IX.B.3, IX.C.3; 20/IX.D.2, X.A.4, X.B.4])
Obliczyć wartość wyrażeń (wynik podać w postaci algebraicznej):
(1) (1
− i)
12
;
(2) (1 + i
√
3)
8
;
(3) (2
√
3
− 2i)
30
;
(4)
(
cos
π
4
− i sin
π
4
)
10
;
(5)
(1 + i)
22
(1
− i
√
3)
6
;
(6)
(
sin
π
6
+ i cos
π
6
)
24
;
(7) (
√
3
− i)
32
;
(8) (
√
3 + i)
32
;
(9) (
−
√
3 + i)
32
;
(10) (
−
√
3
− i)
32
;
(11)
(1 +
√
3i)
8
(i
− 1)
6
;
(12)
(1
− i)
11
(
√
3 + i)
6
;
(13) (i
−
√
3)
15
;
(14) (1
− i)
26
;
(15)
(
1
2
−
√
3
2
i
)
77
;
(16) (
√
3
− i)
5
;
(17) (2
− 2i)
20
;
(18)
(
1
− i
√
3
2
)
15
.
Zadanie 2.3. ([2, 29/2.2e, 2.5; 30/2.8], [1, 9/I.A.2, I.B.2, II.C.2; 10/I.D.2, II.A.2, II.B.2;
11/II.C.3, II.D.1; 13/IV.A.4; 17/VII.C.1, VII.D.1, VIII.A.1; 18/VIII.C.1, VIII.D.2; 20/X.A.2,
X.B.2, X.C.2; 21/X.D.2])
Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory:
(1) A =
{
z
∈ C :
z + i
z
2
+ 1
> 1
}
;
(2) B =
{
z
∈ C : arg z =
5π
4
}
;
(3) C =
{
z
∈ C :
π
6
< arg(z + 3i) <
π
3
}
;
(4) D =
{z ∈ C : π 6 arg(iz) < 2π};
(5) E =
{
z
∈ C : arg(z
6
) = π
}
;
(6) F =
{
z
∈ C :
π
3
6 arg(−z) 6
π
2
}
;
(7) G =
{
z
∈ C : Im (z
3
) < 0
}
;
(8) H =
{
z
∈ C : Re (z
4
)
> 0
}
;
(9) I =
{
z
∈ C : Im (z
2
)
> Re [(z)
2
]
}
;
(10) J =
{
z
∈ C : Im
(1 + i)z
(1
− i)z
> 0
}
;
(11) K =
{
z
∈ C : 0 < arg(z
3
) <
π
2
}
;
(12) L =
{
z
∈ C :
π
2
< arg(z
3
) < π
}
;
(13) M =
{
z
∈ C : π < arg(z
3
) <
3π
2
}
;
(14) N =
{
z
∈ C :
3π
2
< arg(z
3
) < 2π
}
;
(15) O =
{
z
∈ C : Im (z
3
) > Re (z
3
)
}
;
(16) P =
{
z
∈ C : |z
3
| 6 8, 0 6 arg(z
3
)
6
π
4
}
;
(17) Q =
{
z
∈ C : arg(iz) =
π
3
}
;
(18) R =
{
z
∈ C : arg(iz
5
) = 0
}
;
(19) S =
{
z
∈ C : 0 < arg(z
3
) <
π
4
}
;
(20) T =
{
z
∈ C :
z
− 1
z
− i
> 1, arg z < π
}
;
(21) U =
{
z
∈ C : 0 < arg(z
4
) < π
}
;
(22) W =
{z ∈ C : sin(π|z − 1|) > 0};
(23) X =
{
z
∈ C : |z − 1 + i| > 1, arg z >
7
4
π
}
;
(24) Y =
{
z
∈ C : |z|
3
=
z
3
i
}
;
(25) Z =
{
z
∈ C : |2iz + 4| < 6, arg z 6
4
3
π
}
;
(26) A =
{
z
∈ C :
z
− 1
z
− 1
> 1, arg z >
3
2
π
}
;
(27) B =
{z ∈ C : 2 < |z + 4| 6 6, arg z > π};
(28) C =
{
z
∈ C : |iz − 2| 6 6, arg z <
7
6
π
}
.
