Korki we wtorki

Głos Wielkopolski, 5.01.2010

Wyrażenia algebraiczne

Zadanie 1.

Znajdź dziedzinę funkcji

f (x)

=

x

3

+ 2x

2

+ 3x + 6

x

3

− 2x

2

+ 3x − 6

−

x

3

+ 27

x

3

− 27

.

Rozwiązanie.

1

◦

x

3

− 2x

2

+ 3x − 6 , 0

(1)

x

2

(x − 2)

+ 3(x − 2) , 0

(2)

(x − 2)(x

2

+ 3) , 0

x − 2 , 0

oraz

x

2

+ 3 , 0

(3)

x , 2

oraz

x ∈ R

x , 2

2

◦

x

3

− 27 , 0

(4)

(x − 3)(x

2

+ 3x + 9) , 0

(5)

x − 3 , 0

oraz

x

2

+ 3x + 9 , 0

∆ = 3

2

− 4 · 1 · 9

= −27 < 0

(6)

x , 3

oraz

x ∈ R

x , 3

Odpowiedź.

Dziedziną funkcji f jest zbiór D

f

= (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞).

(7)

Objaśnienia.

(1) Do dziedziny funkcji f należą te wartości x, dla których mianowniki obu

wyrażeń występujących w jej wzorze są różne od zera, rozwiązujemy więc dwie
nierówności: (1) i (4).

(2) Z pierwszych dwóch składników wyłączyliśmy czynnik x

2

, a z pozostałych

dwóch – czynnik 3. Moglibyśmy też pogrupować składniki inaczej:

x

3

+ 3x − 2x

2

− 6 , 0

x(x

2

+ 3) − 2(x

2

+ 3) , 0

(x

2

+ 3)(x − 2) , 0

(3) Wyrażenie x

2

+ 3 przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie, bowiem x

2

> 0

dla wszystkich x ∈ R, a więc x

2

+ 3 > 3 > 0 dla x ∈ R. Moglibyśmy też wyliczyć

wyróżnik trójmianu kwadratowego x

2

+ 3:

∆ = 0

2

− 4 · 1 · 3

= −12 < 0,

a zatem trójmian ten nie ma miejsc zerowych (nigdy nie jest równy zeru).

(4) Mianownik drugiego wyrażenia również nie może być zerem.

(5) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów:

a

3

− b

3

= (a − b)(a

2

+ ab + b

2

)

.

(6) Sytuacja jest podobna do opisanej w punkcie (3).

(7) Mianownik tak jednego, jak i drugiego składnika musi być różny od zera,

więc spełnione muszą być obie rozpatrywane nierówności: (1) i (4).

Dziedzinę funkcji f moglibyśmy też zapisać w ten sposób: D

f

= R \ {2, 3}.

Zadanie 2.

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie



a

+ 1

a − 1

−

a

2

+ 1

a

2

− 1



:

a

2

a − 1

.

Rozwiązanie.

Założenia: 1

◦

a − 1 , 0,

2

◦

a

2

− 1 , 0,

3

◦

a

2

a−1

, 0.

(1)

1

◦

a , 1

2

◦

(a − 1)(a

+ 1) , 0

a − 1 , 0

oraz

a

+ 1 , 0

a , 1

oraz

a , −1

3

◦

a

2

, 0

oraz

a − 1 , 0

(2)

a , 0

oraz

a , 1

Zakładamy więc, że a < {−1, 0, 1}.

(3)



a

+ 1

a − 1

−

a

2

+ 1

a

2

− 1



:

a

2

a − 1

=



(a

+ 1)(a + 1)

(a − 1)(a

+ 1)

−

a

2

+ 1

(a − 1)(a

+ 1)



:

a

2

a − 1

=

(4)

=

a

2

+ 2a + 1 − (a

2

+ 1)

(a − 1)(a

+ 1)

:

a

2

a − 1

=

(5)

=

2

a





(a − 1)(a

+ 1)

· 



(a − 1)

a



2

=

(6)

=

2

a(a

+ 1)

(7)

Odpowiedź.

Dane w zadaniu wyrażenie (przy a ∈ R \ {−1, 0, 1}) można zapisać

jako

2

a(a

+1)

.

(8)

Objaśnienia.

(1) Zarówno mianowniki obu wyrażeń w nawiasie, jak i dzielnik nie mogą być

równe zeru.

(2) Mianownik nie może się zerować, by wyrażenie

a

2

a−1

miało określoną war-

tość. Licznik zaś nie może się zerować, aby wartość ta nie była zerem (czyli aby
można było przez nie dzielić).

(3) Wszystkie warunki 1

◦

–3

◦

muszą być spełnione. Zapis „a < {−1, 0, 1}”, czyli

„a nie należy do zbioru {−1

, 0, 1}”, jest jedną z wielu możliwości – można użyć

np. notacji „a ∈ R \ {−1, 0, 1}” czy jeszcze innej.

(4) Moglibyśmy oczywiście napisać

a

+ 1

a − 1

−

a

2

+ 1

a

2

− 1

=

(a

+ 1)(a

2

− 1) − (a − 1)(a

2

+ 1)

(a − 1)(a

2

− 1)

,

ale gdy zauważymy, że a

2

− 1

= (a − 1)(a + 1), a więc wystarczy rozszerzyć

odjemną przez (a

+ 1) (jak w powyższym rozwiązaniu), zaoszczędzimy sobie

pracy.

(5) W liczniku odjemnej skorzystaliśmy z tego, że (a

+ 1)(a + 1) = (a + 1)

2

, a na-

stępnie zastosowaliśmy wzór skróconego mnożenia.

(6) Zamieniliśmy dzielenie na mnożenie przez odwrotność.

(7) Skróciliśmy a z a

2

oraz (a − 1).

(8) Moglibyśmy też wymnożyć iloczyn w mianowniku i napisać

2

a

2

+a

.

Zadanie 3.

Wielomiany

W

1

(x)

= x(x + 4)(x − a) − 12

oraz

W

2

(x)

= x

3

+

1
3

(3x − 2 − 2

√

10)(3x − 2

+ 2

√

10)

są równe. Wyznacz a i znajdź pierwiastki wielomianu W

1

(x).

Rozwiązanie.

W

1

(x)

= x(x + 4)(x − a) − 12 =
= (x

2

+ 4x)(x − a) − 12 =

(1)

= x

3

− ax

2

+ 4x

2

− 4ax − 12

=

= x

3

+ (4 − a)x

2

− 4ax − 12

(2)

W

2

(x)

= x

3

+

1
3

(3x − 2 − 2

√

10)(3x − 2

+ 2

√

10)

=

= x

3

+

1
3

h

(3x − 2)

2

− (2

√

10)

2

i =

(3)

= x

3

+

1
3

(9x

2

− 12x

+ 4 − 40) =

(4)

= x

3

+

1
3

(9x

2

− 12x − 36)

=

= x

3

+ 3x

2

− 4x − 12

( 4 − a

= 3

−4a

= −4

(5)

a

= 1

x

3

+ 3x

2

− 4x − 12

= 0

(6)

x

2

(x

+ 3) − 4(x + 3) = 0

(7)

(x

+ 3)(x

2

− 4)

= 0

(x

+ 3)(x − 2)(x + 2) = 0

(8)

x

= −3

lub

x

= 2

lub

x

= −2

Odpowiedź.

Szukana wartość a wynosi 1, zaś pierwiastkami wielomianu W

1

(x)

są liczby −3, −2 oraz 2.

Objaśnienia.

(1) Zaczynamy od wymnożenia wszystkich czynników w wielomianie W

1

(x).

(2) Pogrupowaliśmy i zredukowaliśmy wyrazy podobne.
(3) Analogicznie przekształcamy wielomian W

2

(x). Najpierw skorzystaliśmy ze

wzoru skróconego mnożenia (a − b)(a

+ b) = a

2

− b

2

...

(4) ...a następnie (a − b)

2

= a

2

− 2ab

+ b

2

.

(5) Równość wielomianów W

1

(x) i W

2

(x) oznacza, że są one równych stopni

(a tak jest, bowiem oba są stopnia 3) oraz że współczynniki przy odpowiednich
potęgach zmiennej x w obu wielomianach są równe. Ponieważ współczynniki
przy x

3

i wyrazy wolne nie zawierają niewiadomej a (i są równe), nie ma po-

trzeby wypisywać warunków 1

= 1 i −12 = −12.

Zauważmy, że otrzymaliśmy układ dwóch równań z jedną niewiadomą –

rozwiązujemy więc każde równanie z osobna i bierzemy rozwiązanie pod uwa-
gę tylko wówczas, gdy jest ono wspólne dla obu równań.

(6) Pozostaje znaleźć pierwiastki wielomianu W

1

(x). Moglibyśmy oczywiście

podstawić a

= 1 do wzoru na W

1

(x) i wymnożyć czynniki, ale już to zrobi-

liśmy na początku rozwiązywania zadania – prościej jest podstawić wyliczoną
wartość a do wzoru (2), a jeszcze prościej – skorzystać z równości wielomianów
W

1

(x) i W

2

(x) i wykorzystać końcową postać wielomianu W

2

(x), którą obliczyli-

śmy przed chwilą, a która musi być przecież taka sama, jak wielomianu W

1

(x).

(7) Podobnie jak w zadaniu 1, mogliśmy inaczej pogrupować składniki.
(8) Ponownie skorzystaliśmy ze wzoru na różnicę kwadratów.

Przygotowanie:

Marcin Borkowski