Korki we wtorki

Głos Wielkopolski, 12.01.2010

Wyrażenia algebraiczne –

zadania różne

Zadanie 1.

Liczba 4 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)

= x

3

+ mx

2

− 16x

+ 32,

a m jest liczbą rzeczywistą. Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu.

Rozwiązanie.

Przeczytaj uważnie treść zadania, jakie pojęcie matematyczne mu-

sisz znać, by móc rozwiązać zadanie? (Pierwiastek wielomianu.)

Wiemy, że liczba 4 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)

= x

3

+mx

2

− 16x

+32,

a zatem zachodzi zależność W(4)

= 0.

Korzystając z tej własności możemy obliczyć m.

4

3

+ 4

2

m − 16 · 4

+ 32 = 0

16m

+ 32 = 0

Stąd m

= −2.

Po podstawieniu wyznaczonego m

= −2 do wzoru wielomianu otrzymuje-

my:

W(x)

= x

3

− 2x

2

− 16x

+ 32

W celu wyznaczenia pozostałych pierwiastków, wielomian rozłożymy na czyn-
niki. Najpierw grupujemy wyrazy.

W(x)

= x

3

− 2x

2

− 16x

+ 32

W(x)

= x

2

(x − 2) − 16(x − 2)

Następnie wyłączamy wspólny czynnik i stosujemy wzór skróconego mnoże-
nia na różnicę kwadratów.

W(x)

= (x − 2)(x

2

− 16)

W(x)

= (x − 2)(x − 4)(x + 4)

Pierwiastkiem wielomianu jest taka liczba a, dla której W(a)

= 0. W naszym

przypadku (x − 2)(x − 4)(x

+ 4) = 0 dla x = 2 lub x = 4 lub x = −4.

Odpowiedź.

Pozostałe pierwiastki wielomianu W(x) to 2 i −4.

Komentarz.

Pozostałe pierwiastki wielomianu W(x)

= x

3

−2x

2

−16x

+32 możemy

jeszcze wyznaczyć na dwa inne sposoby:

1) dzieląc wielomian W(x) przez dwumian (x − a), gdzie a jest pierwiastkiem

wielomianu, lub

2) korzystając z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współ-

czynnikach całkowitych.

(Oba te sposoby wykorzystują materiał z poziomu rozszerzonego.)

Ad 1) Wiemy, że jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) to wtedy
wielomian ten podzielny jest przez dwumian (x − a) (twierdzenie B´ezouta).

Ponieważ liczba 4 jest pierwiastkiem wielomianu W(x), więc możemy wy-

konać następujące działanie:

W(x) : (x − 4)

= x

2

+ 2x − 8,

a x

2

+ 2x − 8 = 0 dla x = −4 lub x = 2.

Ad 2) Twierdzenie to (w jednej z wersji) brzmi następująco:
Jeżeli liczba całkowita a , 0 jest pierwiastkiem wielomianu postaci

W(x)

= x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ · · · + a

1

x

+ a

0

o współczynnikach całkowitych

, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego a

0

.

W(x)

= x

3

− 2x

2

− 16x

+32 jest wielomianem o współczynnikach całkowitych

o wyrazie wolnym a

0

= 32. Dzielnikami liczby 32 są: 1, −1, 2, −2, 4, −4, 8, −8,

16, −16, 32, −32. Spośród tych liczb musimy znaleźć takie, które spełniają wa-
runek W(a)

= 0, czyli są pierwiastkami naszego wielomianu. Dokonajmy kilku

podstawień:

W(1)

= 15 , 0;

W(−1)

= 45 , 0;

W(2)

= 0,

a zatem liczba 2 jest drugim pierwiastkiem wielomianu W(x). W ten sam spo-
sób można również znaleźć trzeci pierwiastek albo zastosować metodę opisaną
w punkcie 1 komentarza.

Zadanie 2.

W kwadrat o boku długości c wpisano 4 takie same koła, tak jak to

pokazano na rysunku. Oblicz pole i obwód zacieniowanej figury.

Rozwiązanie.

Z treści zadania wynika, że dany jest kwadrat o boku długości c,

w który wpisano cztery takie same koła. Pole zacieniowanej figury obliczymy
według wzoru

P

zacieniowanej figury

= P

kwadratu

− 4P

koła

.

Z rysunku odczytujemy, że promień koła wynosi

c

4

, a zatem

P

zacieniowanej figury

= c

2

− 4

π(

c

4

)

2

.

Po uproszczeniu otrzymujemy

P

zacieniowanej figury

= c

2

(1 −

π

4

)

.

Obwód zacieniowanej figury jest sumą obwodów kwadratu i czterech kół, a za-
tem

O

zacieniowanej figury

= O

kwadratu

+ 4O

koła

Pamiętając, że promień koła wynosi

c

4

, otrzymujemy

O

zacieniowanej figury

= 4c + 4 · 2π ·

c

4

.

Po uproszczeniu dostajemy

O

zacieniowanej figury

= c(4 + 2π).

Odpowiedź.

Pole zacieniowanej figury wynosi c

2

(1 −

π

4

), a obwód c(4

+ 2π).

Komentarz.

Spróbuj samodzielnie rozwiązać to zadanie w przypadku, gdy w kwa-

drat wpisano 1

, 9, . . . kół, tak jak pokazano na rysunkach poniżej. Porównaj

otrzymane wyrażenia, co zauważasz?

Zadanie 3.

W koszyku znajduje się pewna liczba brzoskwiń, którymi

obdarowano trzy osoby. Pierwszej dano połowę wszystkich brzoskwiń
i jeszcze jedną, drugiej połowę pozostałych brzoskwiń i dodatkowo jedną,
a trzeciej osobie połowę pozostałych i ostatnie trzy brzoskwinie. Ile brzoskwiń
było w koszyku?

Rozwiązanie.

Niewiadomą w zadaniu jest liczba brzoskwiń znajdujących się w ko-

szyku. Oznaczmy ją literą x, x ∈ N. Wtedy pierwsza osoba otrzyma

x
2

+ 1

brzoskwiń. Druga osoba otrzyma

1
2



x −



x
2

+ 1





+ 1 =

x
4

+

1
2

brzoskwiń, natomiast trzecia otrzyma ich

1
2



x −



x
2

+ 1 +

x
4

+

1
2





+ 3 =

x
8

+

9
4

.

Otrzymujemy równanie:

x
2

+ 1 +

x
4

+

1
2

+

x
8

+

9
4

= x.

Jego rozwiązaniem jest x

= 30.

Odpowiedź.

W koszyku znajdowało się 30 brzoskwiń.

Komentarz.

Zaproponuję teraz dwa inne, z pewnością łatwiejsze, sposoby roz-

wiązania naszego zadania. Można je potraktować jako sprawdzenie popraw-
ności otrzymanego wyniku. Niestety, nie da się ich wykorzystać do każdego
zadania z treścią, które rozwiązujemy metodą algebraiczną, czyli np. poprzez
równanie.

1) Wszystkie informacje z zadania możemy zilustrować na grafie.

x

0

·

1
2

−1

·

1
2

−1

·

1
2

−3

·2

+1

·2

+1

·2

+3

I tak:

– w pierwszym okienku zapisujemy liczbę brzoskwiń jaka mieści się w ko-

szyku, w naszym przypadku jest to x,

– następnie nad strzałkami zapisujemy operacje matematyczne odpowia-

dające czynnościom opisanym w zadaniu, zgodnie z kolejnością ich wy-
konywania,

– w ostatnim okienku wpisujemy liczbę 0, gdyż po wykonaniu wszystkich

działań nie zostanie w koszyku ani jedna brzoskwinia,

– pod strzałkami zapisujemy operacje odwrotne i wypełniamy puste okien-

ka.

2) Zadanie to możemy szybko rozwiązać w pamięci.

Wiemy, że ostatnia osoba otrzymując połowę pozostałych w koszyku brzo-
skwiń i jeszcze trzy brzoskwinie opróżniła koszyk, a zatem otrzymała ona
6 brzoskwiń. Jest to liczba o jeden mniejsza od połowy liczby brzoskwiń, ja-
kie pozostały w koszyku po obdarowaniu owocami pierwszej osoby, zatem
druga osoba dostała (6

+ 1) · 2 = 14 owoców. Liczba ta jest o jeden mniejsza

od połowy wszystkich owoców, otrzymujemy zatem (14

+ 1) · 2 = 30, czyli

w koszyku mieściło się 30 brzoskwiń.

Zadanie 4.

Dane są dwie różne liczby dodatnie a i b. Dokonaj takich

przekształceń nierówności (a − b)

2

> 0, aby otrzymać nierówność postaci

a

+b

2

>

√

ab

.

Rozwiązanie.

Dana jest nierówność (a − b)

2

> 0. Wiemy, że a i b są różnymi licz-

bami dodatnimi. Zastosujmy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy
dwóch wyrażeń.

a

2

− 2ab

+ b

2

> 0

Dodajmy do obu stron nierówności wyrażenie 4ab.

a

2

− 2ab

+ b

2

+ 4ab > 4ab

Zredukujmy wyrazy podobne po lewej stronie nierówności.

a

2

+ 2ab + b

2

> 4ab

Ponownie zastosujmy wzór skróconego mnożenia, tym razem na kwadrat sumy
dwóch wyrażeń.

(a

+ b)

2

> 4ab

Spierwiastkujmy obustronnie naszą nierówność. Możemy wykonać to działa-
nie, ponieważ a i b są liczbami dodatnimi.

(a

+ b) > 2

√

ab

A stąd otrzymujemy już nierówność postaci

a

+ b

2

>

√

ab

Komentarz.

1. Warto dodać, że zadanie to równoważne jest zadaniu „Udowodnij, że jeżeli

a

i b są różnymi liczbami dodatnimi, to

a

+b

2

>

√

ab

”, w którym dany jest

pierwszy krok naszego dowodu.

2. Zilustrujmy na rysunku sytuację daną w zadaniu. Niech a i b będą długo-

ściami odcinków. Potraktuj odcinek AB długości a

+ b jako średnicę okręgu

(patrz rysunek). Wtedy średnia arytmetyczna

a

+b

2

jest długością promienia

tego okręgu, zaś średnia geometryczna

√

ab

jest długością wysokości trój-

kąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C (patrz rysunek). Jeżeli a , b, to
zachodzi nierówność

a

+b

2

>

√

ab

, co ilustruje rysunek. Zachęcam wszystkich

do sprawdzenia, czy rzeczywiście wskazane na rysunku odcinki mają dłu-
gości odpowiednio

a

+b

2

i

√

ab

.

A

B

C

a

b

a

+ b

2

√

ab

Przygotowanie:

Edyta Juskowiak