Korki we wtorki

Głos Wielkopolski, 24.11.2009

Ciągi arytmetyczne

i geometryczne

Zadanie 1.

Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 1, a piąty −5. Wyznacz

szósty wyraz i sumę pierwszych sześciu wyrazów.

Rozwiązanie.

Oznaczmy ciąg, o którym mowa, przez (a

n

).

a

3

= 1

a

5

= −5

Korzystam ze wzoru na wyraz ogólny ciagu arytmetycznego o pierwszym wy-
razie a

1

i różnicy r:

(1)

( a

1

+ 2r = 1

a

1

+ 4r = −5

Rozwiązuję powyższy układ równań:

(2)

(

a

1

= 1 − 2r

1 − 2r

+ 4r = −5

( a

1

= 1 − 2r

2r

= −6

( a

1

= 1 − 2r

r

= −3

( a

1

= 7

r

= −3

Szósty wyraz wynosi a

6

= 7 + 5 · (−3) = −8, zaś suma pierwszych sześciu wy-

razów to S

6

=

7

+(−8)

2

· 6

= −3.

(3)

Objaśnienia.

(1) Wzór na wyraz ogólny ciągu to inaczej wzór pozwalający wyliczyć dowolny

(„n-ty”) wyraz tego ciągu. W przypadku ciągu arytmetycznego, którego pierw-
szy wyraz wynosi a

1

, a różnica r, wzór ten ma postać a

n

= a

1

+ (n − 1)r.

(2) Najczęstszy sposób postępowania, gdy mamy znaleźć zadany wyraz ciągu

arytmetycznego lub geometrycznego bądź też sumę pewnej liczby początko-
wych wyrazów takiego ciągu (czyli tzw. sumę częściową) to znalezienie pierw-
szego wyrazu i różnicy (dla ciągu arytmetycznego) lub ilorazu (dla ciągu geo-
metrycznego). Mając bowiem takie dne możemy łatwo obliczyć zarówno do-
wolny wyraz oraz dowolną sumę częściową (korzystając z gotowych wzorów).

(3) Gdy mamy wyznaczyć sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego

(ze wzoru S

n

=

a

1

+a

n

2

n

), potrzebujemy pierwszego i ostatniego, n-tego wyrazu

oraz liczby sumowanych wyrazów. Gdy znamy pierwszy wyraz i różnicę ciągu,
możemy wyliczyć n-ty wyraz, ponownie korzystając ze wzoru na wyraz ogólny
ciągu.

Zadanie 2.

Czy ciąg (a

n

), dany wzorem a

n

= 2n − 1, jest geometryczny?

Rozwiązanie.

Warunek na ciąg geometryczny:

a

2

n

= a

n−1

a

n

+1

dla n > 2

(1)

L

= (2n − 1)

2

= 4n

2

− 4n

+ 1

P

= [2(n − 1) − 1] · [2(n + 1) − 1] =
= (2n − 3)(2n + 1) = 4n

2

+ 2n − 6n − 3 = 4n

2

− 4n − 3

(2)

L , P, bo np. dla n = 2 mamy L = 9, a P = 5.

(3)

Odpowiedź.

Ciąg (a

n

) dany wzorem a

n

= 2n − 1 nie jest geometryczny.

Objaśnienia.

(1) Warunek ten (podany w tablicach matematycznych dostępnych na maturze)

pozwala zbadać, czy ciąg jest geometryczny: jeśli lewa strona wzoru równa się
prawej dla dowolnej liczby naturalnej większej lub równej 2, ciąg jest geome-
tryczny; jeśli nie, ciąg nie jest geometryczny.

(2) Aby wyliczyć a

n−1

(bądź a

n

+1

), we wzorze na wyraz ogólny (czyli podanym

w zadaniu wzorze na a

n

) wstawiamy (n − 1) (bądź (n

+ 1)).

To, że wzory na lewą i prawą stronę wyglądają inaczej, nie musi jeszcze ozna-

czać, że nie dają one identycznych wyników (za tydzień zobaczymy przykład
dwóch wzorów, które, choć na pierwszy rzut oka wyglądają na różne, jednak
wcale takimi nie są!).

(3) Aby przekonać się („udowodnić”, jak mawiają matematycy), że wzory na L

i P są istotnie różne, wyliczyliśmy ich wartość dla n

= 2. Równie dobrze mo-

glibyśmy wziąć n

= 17 czy n = 1410, ale łatwiej nam operować na mniejszych

liczbach. (Nie moglibyśmy natomiast wziąć n

= −3, n = 0 ani n = 7

1
3

, gdyż nu-

mer wyrazu ciągu musi być liczbą całkowitą dodatnią. Nie moglibyśmy wziąć
też n

= 1, bo wówczas jeden z wyrazów we wzorze (1) miałby numer n − 1 = 0;

z tego właśnie powodu wzór (1) jest opatrzony zastrzeżeniem, że n > 2.)

Uwaga 1

: w tego typu zadaniu może się zdarzyć, że dla pewnych liczb n ma-

my równość L

= P, a dla innych nie; w takim przypadku warunek (1) również

nie jest spełniony, bowiem równość ta powinna być prawdziwa dla wszystkich
liczb całkowitych n > 2. Gdybyśmy zaś – w podobnym zadaniu – po kilku pró-
bach podstawiania różnych liczb n wciąż otrzymywali równość L

= P, wówczas

nabralibyśmy podejrzeń, że równość ta jest prawdziwa zawsze (co oznaczało-
by, że podany ciąg jest geometryczny); żeby jednak to udowodnić, należałoby np.
przekształcić lewą stronę tak, aby otrzymać prawą, lub na odwrót.

Uwaga 2

: w tym przypadku nierówność L , P można było uzasadnić obser-

wacją, że dla każdego n zachodzi równość L − P

= 4, a liczby różniące się o 4

nie mogą być przecież równe!

Zadanie 3.

Trzy liczby o sumie 21 tworzą ciąg geometryczny. Jeśli drugą z nich

zwiększymy o 25%, otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jakie to liczby?

Rozwiązanie.

Oznaczmy poszukiwane liczby przez a, b i c.

(1)

a

+ b + c = 21

(2)

























b

2

= ac

(3)

1

,25 b =

a

+c

2

(4)

Szukamy liczb a, b i c.

(5)

b

=

a

+c

2

,5

=

2
5

(a

+ c)

(6)

a

+

2
5

(a

+ c) + c = 21

(7)

7
5

a

+

7
5

c

= 21 /·

5
7

a

+ c = 15

c

= 15 − a

(8)

b

=

2
5

(a

+ 15 − a) =

2
5

· 15

= 6

(9)

6

2

= a(15 − a)

(10)

36

= 15a − a

2

a

2

− 15a

+ 36 = 0

∆ = (−15)

2

− 4 · 1 · 36

= 225 − 144 = 81

(11)

√

∆ = 9

a

1

=

15−9

2·1

= 3,

a

2

=

15

+9

2·1

= 12

1

◦





















a

= 3

b

= 6

c

= 15 − 3 = 12

lub

2

◦





















a

= 12

b

= 6

c

= 15 − 12 = 3

Odpowiedź.

Szukane liczby to 3

, 6, 12 lub 12, 6, 3.

(12)

Objaśnienia.

(1) Oczywiście, moglibyśmy oznaczyć szukane liczby np. przez a

1

, a

2

, a

3

, ale

oznaczenie a

, b, c jest wygodniejsze – nie trzeba tyle pisać. Warto wybierać wy-

godniejsze oznaczenia!

(2) Zaczynamy od zapisania warunków podanych w zadaniu w postaci alge-

braicznej.

(3) To znany nam już warunek na ciąg geometryczny.

(4) „Powiększenie liczby o 25%” to to samo, co „pomnożenie jej przez 1

,25”,

stąd „druga liczba zwiększona o 25%” to 1

,25 b.

(5) Innymi słowy, rozwiązujemy układ równań (2)–(4). Dla oszczędności miej-

sca nie będziemy przy każdym przekształceniu przepisywać całego układu,
a tylko przekształcane równanie.

(6) Z warunku (4) wyznaczyliśmy b...

(7) ...i podstawiliśmy do warunku (2).

(8) Następnie z powstałego równania wyliczyliśmy c...

(9) ...i podstawiliśmy do równania (6), wyliczając b.

(10) Wyliczone b oraz wzór na c z równania (8) podstawiliśmy do równania (3).

Gdy rozwiązujemy układ równań, z których jedno jest kwadratowe (w naszym
przypadku jest nim równanie (3), bowiem występuje tu zarówno b

2

, jak i nie-

wiadome a i c pomnożone przez siebie), a pozostałe liniowe, najlepiej z równań

liniowych wyznaczyć tyle niewiadomych, ile jesteśy w stanie, a potem podsta-
wić otrzymane wzory do równania kwadratowego tak, aby pozostała w nim
tylko jedna niewiadoma. Wówczas rozwiązujemy to równanie zwykłymi me-
todami.

(11) Ponieważ

∆ > 0, mamy dwa rozwiązania równania (10). Ponieważ potrze-

bujemy a, by wyznaczyć inne niewiadome (w tym przypadku c, bo b

= 6 nieza-

leżnie od wartości a), oznacza to, że otrzymamy dwa różne ciągi.

Zauważmy, że nie możemy przepisać bez zmian wzoru na wyróżnik i pier-

wiastki równania kwadratowego z tablic, gdyż litery a, b i c mają w naszym
zadaniu inne znaczenie! Dlatego nie pisaliśmy wzorów ogólnych na

∆, a

1

i a

2

,

tylko od razu podstawiliśmy liczby.

(12) To, że otrzymailśmy dwa ciągi, z których każdy jest drugim czytanym wspak,

nie powinno nas zaskakiwać: przecież, gdy napiszemy ciąg arytmentyczny w od-
wrotnej kolejności, otrzymamy znów ciąg arytmetyczny; podobnie jest dla cią-
gów geometrycznych. Prawda?

Zadanie 4.

Wylicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 7.

Rozwiązanie.

Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 7 to 14, a najwięk-

sza to 98.

(1)

Liczby 14

, 21, . . . , 98 tworzą ciąg arytmetyczny (a

n

) o różnicy 7.

(2)

Wyznaczam liczbę jego wyrazów n:

(3)

a

n

= 98

a

1

+ (n − 1)r = 98

14

+ (n − 1) · 7 = 98

7

+ 7n = 98

7n

= 91

n

= 13

Zatem suma wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 7 to

S

13

=

14

+98

2

· 13

= 56 · 13 = 728.

Objaśnienia.

(1) Liczby 14 i 98 możemy odgadnąć lub znaleźć metodą prób i błędów, ale

możemy też je wyliczyć (przy tak małych liczbach jest to raczej niepotrzebne,
ale dobrze jest znać ogólny sposób wyliczania – a nie odgadywania – odpowied-
nich liczb, na wypadek, gdybyśmy mieli np. znaleźć sumę wszystkich liczb sze-
ściocyfrowych podzielnych przez 129...) Zauważmy, że liczby dwucyfrowe to te
liczby całkowite, które są większe od 9 i mniejsze od 100, zaś liczby podzielne
przez 7 to te, które można zapisać jako 7k, gdzie k ∈ C. Zatem na pytanie, „które
liczby dwucyfrowe są podzielne przez 7” możemy odpowiedzieć, rozwiązując
nierówności:

9

< 7k

1

2
7

< k

oraz

7k

< 100

k

< 14

2
7

Spełniają je liczby całkowite k

= 2, 3, . . . , 14, zatem szukane liczby dwucyfrowe

podzielne przez 7 to:

7 · 2

= 14,

7 · 3

= 21,

. . . ,

7 · 14

= 98.

(2) Każde dwie kolejne liczby podzielne przez 7 różnią się oczywiście o 7, stąd

szukane liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 7.

(3) We wzorze na sumę częściową ciągu arytmetycznego występują: pierwszy

i ostatni wyraz tego ciągu (które w naszym zadaniu znamy) oraz liczba wy-
razów (której nie znamy). Aby ją wyliczyć, skorzystaliśmy ze wzoru na wyraz
ogólny i wyznaczyliśmy numer ostatniego wyrazu, który jest jednocześnie licz-
bą wyrazów.

Przygotowanie:

Marcin Borkowski