1

Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego:

Badania zginanych belek

oprac. dr inż. Ludomir J. JANKOWSKI, dr inż. Anna NIKODEM

1.

Wprowadzenie

W wytrzymałości materiałów stan obciążenia materiału, w którym na materiał działa

moment gnącym, pochodzący od pary sił działających w płaszczyźnie przekroju wzdłużnego

materiału, nazywamy zginaniem. Efektem kinematycznym działania momentu Mg jest

wygięcie pręta. Ogólnie, pręty pracujące na zginanie nazywane są belkami. Jak wiadomo,

dowolny układ sił można zredukować do siły wypadkowej i jednej pary sił (momentu) [1].

Przyjmijmy, że w dowolnym przekroju poprzecznym belki układ sił można sprowadzić do

jednej składowej momentu zginającego M

g

(rys. 1a), przy czym punktem redukcji jest środek

tego przekroju. W takim przypadku belka jest poddana czystemu zginaniu.

a)

b)

Rys. 1. Schemat obciążenia przekroju belki: a) czyste zginanie,

b)

zginanie z udziałem siły poprzecznej (tnącej)

Jeśli w przekroju działa dodatkowo siła styczna T (rys. 1b), to belka jest zginana

z udziałem sił poprzecznych. Jeśli wszystkie siły działające na belkę (obciążenia zewnętrzne

i reakcje) leżą w jednej płaszczyźnie (płaszczyźnie zginania), przechodzącej przez oś belki, to

taki przypadek zginania nazywany jest zginaniem prostym. Jeśli na skutek działających

obciążeń oś belki ma postać krzywej przestrzennej, to belka jest poddana zginaniu ukośnemu.

Analiza naprężeń i odkształceń zginanych belek wykorzystuje następujące założenia:

•

Obciążenia działają w płaszczyźnie symetrii belki zwanej płaszczyzną zginania.

•

Płaskie przekroje belki, prostopadłe do osi belki przed jej odkształceniem, pozostają

prostopadłe do osi belki odkształconej (hipoteza płaskich przekrojów, hipoteza

y

x

z

M

g

y

T

M

g

z

x

2

Bernoulliego) – obrót przekrojów. Hipotezę tę, mającą podstawowe znaczenie

w teorii zginania prętów, po raz pierwszy postawił Bernoulli w 1694 roku.

•

włókna belki doznają odkształceń na skutek obrotów przekrojów, przy czym nie

występują oddziaływania poprzeczne (naciski) pomiędzy nimi – we włóknach panuje

jednoosiowy stan naprężenia (w zależności od ich położenia -rozciąganie lub

ś

ciskanie).

Rys.2 Wycinek dx pręta przed i po odkształceniu

Na rys. 2 przedstawiono element pręta przed i po odkształceniu. Weźmy pod uwagę

włókno odległe od warstwy obojętnej o z, długość jego wynosiła pierwotnie dx = ds, po

odkształceniu wynosi ds (1+

ε

), gdzie

ε

jest wydłużeniem właściwym (ρ - promień krzywizny

warstwy obojętnej).

Z zależności geometrycznych wynika:

ρ

ρ

ε

−

=

+

−

+

ds

z

ds

)

1

(

(1)

stąd:

ρ

ε

z

−

=

(2)

Siły zewnętrzne działające na część belki po jednej stronie przekroju redukują się do

momentu Mg.

3

2.

Wyznaczanie modułu Younga

Rozważymy czyste zginanie jednorodnego pręta pryzmatycznego wywołane przez

moment zginający Mg. Mając na uwadze zasadę de Saint-Venanta, rozważania ograniczymy

do przekrojów dostatecznie oddalonych od końców pręta i pominiemy ewentualne zaburzenia

wynikające ze sposobu realizacji obciążeń.

Pod wpływem momentu zginającego (wektor Mg leży w płaszczyźnie przekroju),

część włókien pręta jest ściskana, a pozostała część rozciągana, dlatego zginanie belki można

sprowadzić do jednoczesnego jej rozciągania i ściskania. Włókna ściskane ulegają skróceniu,

a rozciągane wydłużeniu. Granicę obu części pręta stanowi warstwa utworzona z tzw.

włókien obojętnych, których odkształcenia liniowe (wydłużenia lub skrócenia względne) są

równe zeru. Powyżej tej powierzchni siły deformujące mają kierunek rozciągający warstwy

górne, poniżej powodują ściskanie warstw dolnych. Siły występują parami i tworzą moment

Mg zginający względem linii neutralnej.

Rys. 3

Schemat zginania czteropunktowego

Siły zewnętrzne działające na część belki po jednej stronie przekroju redukują się do

momentu Mg. Uwzględniając wewnętrzne siły elementarne

σ

dA tworzące przestrzenny układ

sił równoległych, możemy dla odciętej części belki napisać następujące warunki równowagi:

l

l

1

M

g

= -Pa

P

P

a

l

p

2

3

1

4

∑

=

0

x

P

0

=

⋅

∫

A

dA

σ

(3)

∑

=

0

z

M

0

=

⋅

∫

A

dAy

σ

(4)

∑

=

0

y

M

0

=

−

⋅

∫

g

A

M

z

dA

σ

(5)

W zakresie odkształceń liniowo-sprężystych (a więc w zakresie obowiązywania prawa

Hooke’a) odkształcenia włókien belki są wprost proporcjonalne do naprężenia (6).

E

g

σ

ε

=

(6)

gdzie: E – moduł sprężystości podłużnej (Younga)

Wyrażając w równaniu (6)

ε

przez

σ

, otrzymamy wzór:

z

E

ρ

σ

−

=

(7)

Relacja (8) ustala prawo rozkładu naprężeń w przekroju – ich wielkości są proporcjonalne do

odległości od osi obojętnej przekroju. Wielkość

σ

wstawiamy do równań (3), (4) i (5).

0

=

⋅

−

∫

A

dA

z

E

ρ

(8)

0

=

⋅

−

∫

A

ydA

z

E

ρ

(9)

g

A

M

dA

z

E

=

⋅

−

∫

2

ρ

(10)

Spełnienie równania (8) pociąga za sobą warunek, iż moment statyczny przekroju

względem osi obojętnej y jest równy zeru, stąd wniosek, że oś obojętna przekroju musi

przechodzić przez jego środek ciężkości.

Spełnienie równania (9) pociąga za sobą warunek , że moment dewiacji względem osi

prostokątnych przekroju, z których jedna jest osią obojętną i ma kierunek wektora momentu

gnącego, jest równy zeru|, stąd wniosek, że założenie mówiące o zgodności kierunku wektora

momentu gnącego i osi obojętnej przekroju będzie spełnione tylko wówczas, gdy kierunek

wektora momentu gnącego będzie się pokrywał z kierunkiem jednej z głównych (centralnych)

osi bezwładności przekroju.

Czystemu zginaniu (M

g

= const) prostej belki, o stałym przekroju poprzecznym

towarzyszy ugięcie, któremu odpowiada krzywizna osi określona wzorem, dlatego też można

wyprowadzić zależność pomiędzy momentem zginającym i modułem sprężystości materiału

belki.

5

Równanie (10) pozwoli ustalić związki między krzywizną

ρ

1

i naprężeniami a momentem

gnącym. Uwzględniwszy, że

∫

=

A

y

I

dA

z

2

, otrzymamy:

y

g

EI

M

−

=

ρ

1

(11)

Wzór ten określa odkształcenie pręta, wyrażające się w zakrzywieniu jego osi. Wielkość EI

y

nazywamy sztywnością na zginanie. Wstawiając, na podstawie równania (7)

z

E

⋅

=

−

σ

ρ

1

,

otrzymujemy:

y

g

I

z

M

−

=

σ

(12)

Z wzoru (11) wynika, że linia ugięcia jest częścią okręgu o promieniu ρ. Ponadto, przy

znajomości wielkości M

g

i I

z

(moment bezwładności przekroju) oraz dokonując pomiaru

krzywizny 1/ρ, można wyznaczyć wartość modułu Younga materiału belki.

Krzywiznę 1/ρ można wyznaczyć mierząc strzałki ugięcia belki f, jest ona miarą

odkształcenia pręta i jej wartość zależy od przyłożonej siły F, od rozmiarów pręta (jego

długości l, wysokości h i szerokości b) oraz od rodzaju materiału (moduł Younga E). Strzałkę

ugięcia można wyznaczyć np. czujnikami zegarowymi, w miejscach w których belka

najbardziej się ugina, w punktach pokazanych na rys. 3 (w tym przykładzie w celu

wyeliminowania wpływu przemieszczeń podpór pomiar ugięć przeprowadzany jest za

pomocą trzech czujników).

Belka przedstawiona poddana jest zginaniu stałym momentem Mg = -P·a, (siła tnąca

T=0). Część belki pomiędzy podporami poddana jest więc czystemu zginaniu.

Na odcinku pomiarowym l

p

strzałka ugięcia wynosi:

2

3

1

2

f

f

f

f

+

−

=

(13)

Pomiar w punktach końcowych odcinka l

p

umożliwia uniezależnienie się od

przemieszczeń podpór (rys.4).

Ponieważ, jak już wspomniano, linia ugięcia jest w tym przedziale belki łukiem okręgu, to:

2

2

2

)

2

(

)

(

p

l

f

+

−

=

ρ

ρ

(14)

6

Rys.4 Zależności geometryczne w zginanej belce

Promienia krzywizny określony jest zależnością:

f

l

f

p

2

)

2

(

2

2

+

=

ρ

(15)

Wielkość przemieszczenia f jest bardzo mała, zatem

0

2

≅

f

,

)

1

2

(

<<

p

l

f

. Wzór (15) przybiera

więc postać:

f

l

p

8

2

≈

ρ

(16)

Jeżeli belka poddana jest czystemu zginaniu, to krzywizna belki określona jest wzorem:

y

g

EI

M

=

−

ρ

1

(17)

stąd:

y

g

I

M

E

ρ

1

−

=

(18)

Przekształcając wzór (18) ze względu na promień krzywizny ρ oraz uwzględniając, że

moment gnący jest ujemny (Mg < 0) otrzymujemy zależność pozwalającą na wyznaczenie

modułu Young’a w postaci:

7

y

g

I

M

P

E

⋅

=

(19)

Przykładowo, belka o przekroju prostokątnym, szerokości b i grubości h, jest zginana

czystym momentem zginającym Mg = Pa (rys. 2). Moment bezwładności przekroju

poprzecznego Iz, określony jest wzorem (20).

12

3

bh

I

y

=

(20)

Ostatecznie, moduł Younga E określa wzór:

f

P

bh

al

f

bh

l

Pa

E

p

p

3

2

3

2

2

3

2

3

=

⋅

⋅

=

(21)

Przebieg ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie

studentów ze zjawiskami występującymi

podczas zginania belek. Belki poddane

zginaniu

wykonano

z

profili

aluminiowych o przekroju kwadratowej

rury o różnych wymiarach.

1.

Pomiar wielkości geometrycznych badanych belek

2.

Pomiar wartości strzałki ugięcia. Pomiar przeprowadzamy dla różnych wartości obciążeń.

Wartości strzałki ugięcia odczytujemy wykorzystując czujnik zegarowy.

3.

Wyznaczenie wartości modułu Young’a dla różnych układów i różnych wartości

obciążeń. Korzystając z wartości geometrycznych badanego układu oraz ze wzoru 21

obliczyć wartości modułów Younga.