Mechanika kwantowa 19

Kwantyzacja momentu p“du

W mechanice kwantowej kaódej wielkoÑci fizycznej przypisuje si“ operator.
Np.:

dla energii

dla p“du

dla po»oóenia

Aby zapewniƒ przejÑcie mechaniki kwantowej w mechanik“ klasyczn przy
przechodzeniu do coraz wi“kszych uk»adów, jako postulat przyjmuje si“
zasad“ odpowiednioÑci:

Relacje, w których nie wyst“puj pochodne, spe»nione przez wielkoÑci
fizyczne w mechanice klasycznej zachodz równieó po zastpieniu tych
wielkoÑci odpowiadajcymi im operatorami kwantowymi.

W przypadku momentu p“du definiowanego klasycznie

W mechanice kwantowej dla momentu p“du waóne s cztery operatory:

,

oraz

Mechanika kwantowa 20

Okazuje si“, óe w mechanice kwantowej wielkoÑci rzutów wektora momentu
p“du

,

i

s wzajemnie sprz“óone przez zasad“ nieokreÑlonoÑci

Heisenberga. W danym stanie ca»kowicie okreÑlony moóe byƒ tylko jeden z
nich oraz modu» wektora momentu p“du. Kierunek wektora momentu p“du
pozostaje nieokreÑlony.

Analiz“ w»asnoÑci momentu p“du wygodnie jest prowadziƒ we
wspó»rz“dnych sferycznych

Operatory

,

i

maj wtedy postaƒ

Mechanika kwantowa 21

Modu» momentu p“du

Operator

we wspó»rz“dnych sferycznych przyjmuje postaƒ

Rozwizanie równania w»asnego tego operatora

jest trudne. W wyniku otrzymuje si“

- azymutalna (orbitalna) liczba kwantowa

Std wynika, óe modu» wektora momentu p“du moóe mieƒ jedynie dyskretne
wartoÑci

Sta»a Plancka moóe byƒ traktowana jako naturalna jednostka momentu

p“du. Moment p“du wszystkich cia» jest skwantowany. Jednakóe, na skutek
niewielkiej wartoÑci praktycznie nie moóna obserwowaƒ niecig»oÑci

momentów p“du cia» makroskopowych.

Mechanika kwantowa 22

Sk»adowa z momentu p“du

Sk»adow z momentu p“du stanowi wartoу w»asna

operatora

b“dca

rozwizaniem równania

lub we wsp. sferycznych:

Z podstawienia

mamy

, a dalej

. Zatem

funkcja w»asna operatora

ma postaƒ

C - pewna funkcja niezaleóna od

Z warunku jednoznacznoÑci funkcji falowej mamy

, czyli

Std

m - m a g n e t y c z n a

liczba kwantowa

Rzut wektora nie moóe byƒ wi“kszy nió modu» tego wektora, czyli

Std

Mechanika kwantowa 23

Kwantowanie przestrzenne momentu
p“du dla

. Kt azymutalny jest

dowolny.

Kierunek osi z jest kierunkiem wyróónio-
nym (np. przez kierunek zewn“trznego
pola magnetycznego). Moment p“du
wykonuje precesj“ wokó» tego kierunku.
Std jego rzuty na osie x i y nie s
okreÑlone.

Funkcje w»asne operatorów

i

Operatory

i

posiadaj wspólne funkcje w»asne, które nosz nazw“

funkcji kulistych (sferycznych) i s oznaczane

. Po unormowaniu

Funkcje

s tzw. stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a

zwizanymi z wielomianami Legendre’a

poprzez równania

Zachodz wi“c relacje

Mechanika kwantowa 24

Atom wodoru i jony wodoropodobne

S to uk»ady sk»adajce si“ z nieruchomego jdra o »adunku

( - liczba

ca»kowita) i poruszajcego si“ wokó» niego elektronu.

atom wodoru

jon wodoropodobny

Energia potencjalna elektronu

Równanie Schrödingera

Operator

we wspó»rz“dnych sferycznych moóna zapisaƒ w postaci

gdzie

Równanie Schrödingera we wspó»rz“dnych sferycznych

Z postaci tego równania moóna wnosiƒ, óe

Mechanika kwantowa 25

W rezultacie otrzymujemy równanie:

Dwie funkcje róónych argumentów mog byƒ toósamoÑciowo równe sobie
tylko wtedy, kiedy s one równe sta»ej. Przyjmiemy, óe kaóda ze stron
powyószego równania jest równa .

1) prawa strona

Std na podstawie poprzednich wyników wnioskujemy, óe
a)

,

b)

funkcje

s typu

.

2) lewa strona

lub

Mechanika kwantowa 26

Interesuje nas stan zwizany elektronu z jdrem, czyli przypadek

. W

tych warunkach równanie to ma rozwizania dla dyskretnych wartoÑci
energii ca»kowitej. Energia elektronu w atomie wodoru lub jonie
wodoropodobnym jest skwantowana

n - g » ó w n a li c z ba

kwantowa

Rozwizania spe»niajce warunki naturalne moóna uzyskaƒ jedynie dla
wartoÑci

nie przekraczajcych

. Zatem azymutalna liczba

kwantowa moóe przyjmowaƒ róónych wartoÑci

Dla danego , magnetyczna liczba kwantowa

moóe przyjmowaƒ

róónych wartoÑci

Dla danego , stany kwantowe opisane funkcjami w»asnymi

o róónych wartoÑciach i

maj t“ sam energi“.

Mechanika kwantowa 27

stany zdegenerowane
(zwyrodnia»e)

-

stany o jednakowych energiach

krotnoу degeneracji
(zwyrodnienia)

-

liczba stanów o jednakowych
wartoÑciach energii

W atomie wodoru i jonie wodoropodobnym stan o danej wartoÑci jest

- krotnie zdegenerowany.

Stanom o róónych wartoÑciach , a takóe elektronom b“dcym w tych

stanach przypisuje si“ umowne oznaczenia wed»ug schematu:

l

0

1

2

3

4

...

oznaczenie stanu

(elektronu)

s

p

d

f

g

...

Dla oznaczenia stanu elektronu, wartoу g»ównej liczby kwantowej podaje
si“ przed umownym oznaczeniem liczby kwantowej . Moóliwe s

nast“pujce stany elektronu:

1s,
2s, 2p,
3s, 3p, 3d,
4s, 4p, 4d, 4f,
... ... ... ......