GRANICE CIA

¸ G ´

OW

1. Obliczy´c granice ci¸ag´

ow:

a) lim

n

→∞

1−2+3−4+...+(2n−1)−2n

√

n

2

+1

,

b) lim

n

→∞

1

1·2

+

1

2·3

+ . . . +

1

(n−1)·n

,

c) lim

n

→∞

1

1·3

+

1

3·5

+ . . . +

1

(2n−1)·(2n+1)

,

d) lim

n

→∞

2+5+8+...+(3n−1)

n

2

,

e) lim

n

→∞

(n−1)!+2n−10

n

!+4

,

f) lim

n

→∞

cos (π

√

n

)

3n−2

,

g) lim

n

→∞

(

1

n

2

+

2

n

+ 1)

n

,

h) lim

n

→∞

6

√

n

−

3

√

n,

i) lim

n

→∞

n

[ln (n + 1) − ln n] ,

j) lim

n

→∞

√

n

q

n

+

√

n

+

√

n

,

k) lim

n

→∞

q

n

+

p

n

+

√

n

−

√

n,

l) lim

n

→∞

ctg(

n

−1

n

2

),

m) lim

n

→∞

√

2 ·

4

√

2 ·

8

√

2 · · ·

2

n

√

2,

n) lim

n

→∞

⌊n

√

2⌋

⌊n

√

3⌋

,

o) lim

n

→∞

arctg(2n+1)
arctg(3n+1)

,

p) lim

n

→∞

arctg(n)

arcctg(n)

,

r) sin

n n

+1
n

,

s) (

√

3 − cos

π

n

)

n

,

t) lim

n

→∞

(n

2

− n + 1)

cos

1

n

,

u) lim

n

→∞

log

n

(n

4

+1)

log

n

(n

2

+1)

Wsk.: b)

1

(n−1)·n

=

1

n

−1

−

1

n

,

n) skorzystaj z w lasno´sci x −1 < ⌊x⌋ ≤ x

i z tw. o trzech ci¸agach, u) tw. o trzech ci¸agach.

2. Na podstawie twierdzenia Stolza znale´z´c granice ci¸ag´ow:

a) a

n

=

1

3

+2

3

+...+n

3

n

4

,

b) b

n

=

n

2

n

,

c) c

n

=

n

2

2

n

,

d) d

n

=

1+

1

2

+

1

3

+···+

1

n

n

,

e) e

n

=

1+

√

5+

3

√

5+...+

n

√

5

n

,

f) f

n

=

1+

√

2+

3

√

3+...+

n

√

n

n

,

g) g

n

=

1!+2!+...+n!

n

!

,

h) h

n

=

1+2

2

+...+n

n

n

n

,

i) i

n

=

log n

n

,

j) j

n

=

n

√

n

!

Wsk.: j) policz wpierw granic¸e ci¸agu log(j

n

).

3. Na podstawie twierdzenia o istnieniu granicy ci¸agu monotonicznego i

ograniczonego wykaza´c zbie˙zno´s´c ci¸ag´

ow:

a) a

n

=

1·3·5·...·(2n−1)

2·4·6·...·2n

,

b) b

1

= 2, b

n

+1

=

√

6 + b

n

,

c) c

n

=

1

4

1

+1!

+

1

4

2

+2!

+ · · · +

1

4

n

+n!

,

d) d

n

= (1 −

1
2

)(1 −

1

2

2

) · · · (1 −

1

2

n

).

Policz granic¸e ci¸agu b

n

.

1