1

Funkcje falowe w atomie wodoru

Wartości przyjmowane przez liczby kwantowe

n, l, m

mają wpływ na postać funkcji falowej

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

m

l,

n,

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

r

r

z

y

x

Ψ

=

Ψ

=

Ψ

)

,

(

Y

)

(

R

)

,

,

(

m

l,

l

n,

m

l,

n,

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

⋅

=

Ψ

r

r

Funkcja

, która spełnia równanie Schrödingera, nosi nazwę

ORBITALU

ORBITAL ATOMU WODORU

= Funkcja falowa elektronu

w atomie wodoru

Orbitale atomu wodoru (1)

Poboczna liczba kwantowa

ma oznaczenia literowe:

g

f

f

unda-

mental

d

d

iffuse

p

p

rincipal

s

s

harp

4

3

2

1

0

l

l

l

l

Uwaga! Nie kryje się za tym żaden głęboki sens, to
jest po prostu sposób na łatwiejsze pamiętanie ...

2

Orbitale atomu wodoru (2)

• Orbital 1s: n=1, l=0, m=0

)

,

(

Y

)

(

R

)

,

,

(

)

,

,

(

00

10

100

100

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

⋅

=

Ψ

=

Ψ

r

r

z

y

x

R( )

exp(

)

/

r

a

r

a

=

⋅

−

−

2

0

3 2

0

a

h

m e

pm

o

e

0

2

2

52 9

=

=

ε

π

,

0

1

2

3

4

5

r/a

0

r

2

R

2

1 s

Część radialna, R

1,0

(r)

E

1

= -13,6 eV

• Część kątowa

Orbitale atomu wodoru (3)

)

,

(

Y

00

ϕ

ϑ

ns

1s

Y( , )

/

ϑ ϕ

π

=

1 4

wykres łączy punkty o
jednakowej wartości
funkcji kątowej, czyli
jednakowej gęstości
prawdopodobieństwa
znalezienia elektonu

3

Orbitale atomu wodoru (4)

•

Orbital 2s: n=2, l=0, m=0

)

,

(

Y

)

(

R

)

,

,

(

)

,

,

(

00

20

200

200

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

⋅

=

Ψ

=

Ψ

r

r

z

y

x

0

5

10

r/a

0

r

2

R

2

2 s

R( )

(

) exp(

)

/

r

a

r
a

r
a

=

−

⋅

−

−

1

2

0

3 2

2

2

1

0

0

E

2

= -3,4 eV

Część radialna, R

2,0

(r)

• Część kątowa

Orbitale atomu wodoru (5)

)

,

(

Y

00

ϕ

ϑ

ns

2s

Y( , )

/

ϑ ϕ

π

=

1 4

E

2

= -3,4 eV

4

0

5

10

15

r/a

0

r

2

R

2

2 p

Orbitale atomu wodoru (6)

Orbitale 2p: n=2, l=1, m=0, ±1

Ψ

210

(x,y,z), Ψ

211

(x,y,z), Ψ

21,-1

(x,y,z) ; R

21

(r)

R

2,1

( )

exp(

)

/

r

a

r

r
a

=

⋅ ⋅

−

−

1

2 6

0

5 2

2

0

E

2

= -3,4 eV

Część radialna, R

2,1

(r)

Orbitale atomu wodoru (7)

)

,

(

Y

),

,

(

Y

),

,

(

Y

1

1

11

10

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

Y (

2p

1,0

z

ϑ ϕ

π

ϑ

, )

/

cos

=

3 4

Y

2p

1,1

x

( , )

/

sin cos

ϑ ϕ

π

ϑ

ϕ

=

3 4

Y

2p

1,-1

y

( , )

/

sin sin

ϑ ϕ

π

ϑ

ϕ

=

3 4

x

r

y

r

z

r

M

M

M

= ⋅

⋅

= ⋅

⋅

= ⋅

cos

sin

sin

sin

cos

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

ϑ

E

2

= -3,4 eV

5

Orbitale atomu wodoru (8)

orbitale np (2p)

m=0

m=1

m= -1

płaszczyzna

węzłowa

xy

płaszczyzna

węzłowa

yz

płaszczyzna

węzłowa

xz

x

y

z

np

z

x

y

z

np

x

x

y

z np

y

Orbitale atomu wodoru (9)

)

,

(

Y

)

(

R

)

,

,

(

)

,

,

(

00

30

300

300

ϕ

ϑ

ϕ

ϑ

⋅

=

Ψ

=

Ψ

r

r

z

y

x

•

Orbital 3s: n=3, l=0, m=0

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 s

R

3,0

( )

[

] exp(

)

/

r

a

r

a

r

a

r
a

=

⋅ − +

⋅

−

−

2

9 3

0

3 2

2

2

9

3

3

0

2

0

2

0

E

3

= -1,5 eV

Część kątowa
jest taka sama
dla wszystkich
orbitali ns

Część radialna, R

3,0

(r)

6

Orbitale atomu wodoru (10)

Orbitale 3p: n=3, l=1, m=0, ±1

Ψ

310

(x,y,z), Ψ

311

(x,y,z), Ψ

31,-1

(x,y,z) ; R

31

(r)

3p

z

, 3p

x

, 3p

y

R

3,1

( )

(

) exp(

)

/

r

a

r

a

r

a

=

⋅ −

⋅

−

−

4

27 6

0

5 2

3

3

2

0

0

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 p

Część radialna, R

3,1

(r)

Część kątowa
jest taka sama
dla wszystkich
orbitali np

E

3

= -1,5 eV

Orbitale atomu wodoru (11)

Orbitale 3d: n=3, l=2, m=0, ±1, ±2

Ψ

320

(x,y,z), Ψ

321

(x,y,z), Ψ

32,-1

(x,y,z), Ψ

322

(x,y,z),

Ψ

32,-2

(x,y,z) ; R

32

(r)

R( )

exp(

)

/

r

a

r

r

a

=

⋅ ⋅

−

−

1

81 30

0

7 2

2

3

0

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 d

Część radialna, R

3,2

(r)

E

3

= -1,5 eV

7

2

2

2

3

,

3

,

3

,

3

,

3

z

y

x

yz

xz

xy

d

d

d

d

d

−

Orbitale atomu wodoru (12)

część kątowa orbitali 3d

(

)

/

[ cos

]

3

45 16

3

1

2

2

d

z

Y ( , ) =

2,0

ϑ ϕ

π

ϑ

⋅

−

(

)

/

sin

cos

3

45 16

2

d

xz

Y ( , ) =

2,1

ϑ ϕ

π

ϑ

ϕ

⋅

(

)

( , )

/

sin

sin

3

45 16

2

d

yz

Y

2 1

ϑ ϕ

π

ϑ

ϕ

=

⋅

(

)

( , )

/

sin

cos

3

45 16

2

2

2

2

d

x

y

−

=

⋅

Y

22

ϑ ϕ

π

ϑ

ϕ

(

)

( , )

/

sin

sin

3

45 16

2

2

d

xy

Y

22

ϑ ϕ

π

ϑ

ϕ

=

⋅

Orbitale atomu wodoru (13)

część kątowa orbitali 3d

x

z

y

xz

d

3

x

z

y

xy

d

3

x

z

y

yz

d

3

x

z

y

2

2

3

y

x

d

−

x

z

y

2

3

z

d

8

Orbitale atomu wodoru (14)

część radialna

0

1

2

3

4

5

r/a

0

r

2

R

2

1 s

0

5

10

r/a

0

r

2

R

2

2 s

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 s

0

5

10

15

r/a

0

r

2

R

2

2 p

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 p

0

5

10

15

20

25

r/a

0

r

2

R

2

3 d

liczba maksimów części radialnej
orbitalu wynosi zawsze n-l;

wysokość maksimów rośnie z r

Orbitale atomu wodoru (15)

część kątowa

ns

x

y

z

np

z

x

y

z

np

x

x

y

z

np

y

płaszczyzna xz

płaszczyzna xy,

na osiach

płaszczyzna xy

płaszczyzna yz

oś z,

w płaszczyźnie xy

9

Weryfikacja modelu

energie w atomie wodoru

Widmo emisyjne wodoru składa się z serii:

(

)

ν

q n

q n

H

n

q

E

h

R

−

−

=

=

−

1

1

2

2

gdzie:

n

- jest numerem kolejnej serii i najniższego

poziomu w danej serii

q

- jest numerem wyższego poziomu

R

H

- stałą Rydberga

Poziomy energetyczne w atomie a widmo

promieniowania wodoru

<<<<

÷

÷

÷

÷

n = 3

n = 4

n = 7

n = 1

n = 2

Poziomy energetyczne w atomie wodoru, wynikające z
rozwiązania równania Schrödingera

E

1

E

2

E

3

E

4

E

7

<

1

<

2

<

3

<

4

<

7

21

1

2

1

E

E

E

h

∆

=

−

=

ν

31

1

3

2

E

E

E

h

∆

=

−

=

ν

41

1

4

3

E

E

E

h

∆

=

−

=

ν

71

1

7

6

E

E

E

h

∆

=

−

=

ν

10

Degeneracja energii w atomie wodoru

Jeśli jednej wartości energii odpowiada kilka funkcji
własnych (orbitali), to mówimy, że ten poziom jest
zdegenerowany:

1s

1

2s

2p

x

2p

y

2p

z

4

3s

3p

x

3p

y

3p

z

xy

d

3

2

2

3

y

x

d

−

2

3

z

d

xz

d

3

yz

d

3

9

dla n=4 jest 1+3+5+

7

=

16 funkcji

dla n=5 jest 1+3+5+7+

9

=

25 funkcji

dla dowolnego n jest 1+3+5+7+

9...

=

n

2

funkcji

Degeneracja energii w atomie wodoru

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

s

s

p

p

p

s

p

p

p

d

d

d

d

d

x

y

z

x

y

z

xy

xz

yz

z

x

y

1

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

<

=

=

=

<

=

=

=

=

=

=

=

=

−

Cofnięcie degeneracji może zachodzić (częściowo
lub całkowicie) w silnym polu :

- elektrycznym (efekt Starka)
- magnetycznym (efekt Zeemana)

Cofnięcie degenracji można obserwować w widmie
emisyjnym lub absorpcyjnym

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

s

s

p

p

p

s

p

p

p

d

d

d

d

d

x

y

z

x

y

z

xy

xz

yz

z

x

y

1

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

<

<

=

=

<

<

=

=

<

=

=

=

=

−

11

Cofnięcie degeneracji =

rozszczepienie poziomów energii

2s

3s

3p

x

3p

y

3p

z

1s

1

2p

x

2p

y

2p

z

3

xy

d

3

2

2

3

y

x

d

−

2

3

z

d

xz

d

3

yz

d

3

5

Jeśli elektron w atomie wodoru posiada najniższą
możliwą energię, to jego stan opisuje orbital 1s

Nawet poziomy 1s, 2s, .. mogą być

rozszczepione !

1s

w polu elektrycznym
i magnetycznym

Elektron zachowuje sie tak, jakby posiadał
"wewnętrzny moment pędu„
Ta własność elektronu nosi nazwę

spinu

(Dirac 1928)
Wartość spinu dla elektronu wynosi zawsze 1/2

s

m

s

=

= − +

1
2

1
2

1

2

,

12

Stan elektronu w atomie wodoru

Ψ
Ψ

Φ

n l m

s,m

n l m

s,m

n l m s,m

(x,y,z)

(x,y,z)

(x,y,z)

spinorbital

s

s

s

, ,

, ,

, , ,

- orbital +

- funkcja spinowa

-

σ

σ

⋅

=

Do określenia stanu elektronu w atomie wodoru
niezbędna jest znajomość 4 liczb (bo spin jest stały) -
n, l, m i m

s

W stanie podstawowym (minimum energii) stan
elektronu w atomie wodoru określa orbital 1s

(n=1, l=0, m=0, s=1/2, m

s

=±1/2)

Jony wodoropodobne

....

,

,

,

,

5

4

3

+

+

+

+

+

+

C

B

Be

Li

He

T

p

m

=

2

2

jak w atomie
wodoru

V

= −

⋅

Z

e

r

o

2

1

4

πε

gdzie Z - liczba
protonów w
jądrze

E

m

e

const

e

o

= −

=

π

ε

Z

2

4

2

2 h n

n

2

2

'

Wyniki:

orbitale jak w atomie wodoru,
energia uwzglednia wyższy ładunek jądra

M, M

z

, s, m

s

jak w atomie wodoru