Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 1
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
12
DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO
12.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE
12.1.1. Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprężystych
Rozważmy jednorodny, izotropowy, liniowo-sprężysty pręt pryzmatyczny poddany czystemu skręca-
niu (rys. 12.1). Problem skręcania rozwiążemy w sposób wskazany w 1855 roku przez de Saint-Venanta.
Przyjmujemy mianowicie, że przekroje pręta nie ulegają odkształceniom postaciowym, tzn. w procesie
deformacji zachowują swój pierwotny kształt. Zgodnie z powyższą hipotezą kinematyczną dwa przekroje
oddalone od siebie o x
1
obracają się względem siebie wokół podłużnej osi pręta o kąt skręcenia
ψ
.
Uwzględnimy jednak możliwość deplanacji (spaczenia) przekrojów, które przed odkształceniem były
płaskie. Dopuszczamy więc możliwość wystąpienia przemieszczeń u
1
wzdłuż osi pręta x
1
. Okazuje się, że
przy powyższych założeniach uzyskuje się ścisłe rozwiązanie problemu skręcania na gruncie teorii sprę-
żystości.
Rys. 12.1
Zasadnicze
rozważania przeprowadzimy w zapisie wskaźnikowym. Z podanych wyżej założeń kine-
matycznych dla bardzo małych wartości kąta skręcenia wynikają następujące związki:
(
)
u
t x x
u
x
x x
u
x
x x
1
2
3
2
3
1 3
3
2
1 2
= ⋅
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
= ⋅
θ
ψ
θ
ψ
θ
,
,
.
, (12.1)
gdzie t(x
2
, x
3
) jest tzw. funkcją deplanacji, kąt
θ
ψ
=
d
dx
/
1
i nazywa się jednostkowym kątem skręcenia.
Ponieważ pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc podczas czystego skręcania (
M
= const) jednostko-
wy kat skręcenia ma wartość stałą
θ ψ
=
( ) /
l l , gdzie l jest długością pręta.
Rozważany problem nosi nazwę skręcania swobodnego. Określenie to wiąże się z założeniem, że
wszystkie przekroje pręta mają swobodę deplanacji. Dlatego rozwiązanie tak sformułowanego zagadnie-
nia ma charakter przybliżony. W praktyce istnieje wiele takich przypadków, w których skręcanie swo-
bodne nie występuje. Mamy tu na myśli np. pełne utwierdzenie pręta na podporze, gdzie przekrój musi
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 2
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
pozostać płaski, tzn. u
1
= 0. Podobna sytuacja występuje w środkowym przekroju pręta, który jest obcią-
żony skupionym momentem skręcającym w połowie długości. W tych przypadkach powinno się stosować
teorię skręcania nieswobodnego.
W praktyce efekty skręcania nieswobodnego trzeba uwzględniać tylko w przekrojach cienkościennych.
Problematykę tę omówimy w rozdziale 13. (por. również p. 12.1.6).
Wzory (12.1) pozwalają obliczyć odkształcenia ze związków geometrycznych (por. wzór (2.6)):
(
)
(
)
ε
ε
ε
ε
ε
θ
ε
θ
11
22
33
23
12
2
3
13
3
2
0
1
2
1
2
=
=
=
=
=
⋅
−
=
⋅
+
,
,
,
,
.
t
x
t
x
(12.2)
Stan odkształcenia obrazuje macierz:
e
=
0
0
0
0
0
12
13
21
31
ε
ε
ε
ε
. (12.2a)
Z kolei ze związków fizycznych (wzory (5.4)) otrzymujemy naprężenia:
σ
σ
σ
σ
σ
θ
σ
θ
11
22
33
23
12
2
3
13
3
2
0
=
=
=
=
=
⋅
−
=
⋅
−
,
( ,
),
( ,
),
G
t
x
G
t
x
(12.3)
a macierz naprężeń przyjmuje postać:
s
=
0
0
0
0
0
12
13
21
31
σ
σ
σ
σ
. (12.3a)
Wykorzystamy jeszcze równania różniczkowe równowagi naprężeń (wzór (1.9)) dla pręta nieważkie-
go (G
i
= 0):
σ
ji j
,
=
0 :
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
11 1
21 2
31 3
12 1
22 2
32 3
13 1
23 2
33 3
0
0
0
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
+
+
=
+
+
=
+
+
=
które po uwzględnieniu równań (12.3) prowadzą do zależności:
σ
σ
σ
σ
21 2
31 3
12 1
13 1
0
0
0
,
,
,
,
,
,
.
+
=
=
=
(12.4)
Równania (12.4)
2
i (12.4)
3
są spełnione tożsamościowo. Pozostaje więc tylko równanie (12.4)
1
. Po pod-
stawieniu wzoru (12.3) do (12.4)
1
otrzymujemy równanie różniczkowe Laplace'a na funkcję deplanacji:
t
t
,
,
22
33
0
+
=
lub
∇ =
∇ =
+
2
2
2
2
2
2
3
2
0
t
x
x
,
.
gdzie
∂
∂
∂
∂
(12.5)
Funkcja deplanacji t(x
2
, x
3
) jest więc funkcją harmoniczną.
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 3
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
Aby
wyznaczyć naprężenia, wygodnie jest wprowadzić pewną funkcję F(x
2
, x
3
), zwaną funkcją na-
prężeń. Jeżeli przyjmiemy, że
σ
σ
12
3
2
=
= −
F
F
,
,
.
,
13
(12.6)
to funkcja naprężeń F(x
2
, x
3
) spełnia tożsamościowo równanie równowagi (12.4)
1
.
Równanie problemu skręcania otrzymujemy na podstawie wzorów (12.6). Po zróżniczkowaniu rów-
nania (12.6)
1
względem x
3
, a równania (12.6)
2
względem x
2
mamy:
(
)
(
)
σ
θ
σ
θ
12 3
33
23
13 2
22
32
1
1
,
,
,
,
,
,
,
.
=
=
⋅
−
=
= −
⋅
+
F
G
t
F
G
t
Jeśli funkcja deplanacji t(x
2
, x
3
) jest ciągła wraz z drugimi pochodnymi, to t
t
,
,
23
32
=
i po dodaniu stro-
nami uzyskujemy poszukiwane równanie skręcania, wyrażone przez funkcję naprężeń:
∇
= −
2
2
F
G
θ
. (12.7)
Jest to równanie różniczkowe Poissona.
Należy jeszcze przeanalizować warunki brzegowe odpowiadające temu równaniu. Warunki te są okre-
ślone przez warunki na powierzchniach bocznych ograniczających pręt (wzór (1.7b)):
p
n
i
n
ji j
( )
.
=
σ
Pobocznica pręta jest wolna od naprężeń, więc p
p
p
n
n
n
1
2
3
0
( )
( )
( )
.
=
=
=
Zatem
p
n
n
n
p
n
n
n
p
n
n
n
n
n
n
1
11 1
21 2
31 3
2
12 1
22 2
32 3
3
13 1
23 2
33 3
0
0
0
( )
( )
( )
,
,
.
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
Ponieważ w pręcie pryzmatycznym n
1
= 0, a n
x
c
n
x
c
2
3
3
2
=
= −
∂
∂
∂
∂
/
/
i
(por. rys. 12.2), pozostaje
tylko pierwsze z równań:
σ
σ
21 2
31 3
0
n
n
+
=
. (12.8)
Rys. 12.2
Z zależności (12.8) wynika, że naprężenia
σ
12
i
σ
13
muszą przybierać takie wartości, by wypadkowe
naprężenie
τ
1
było styczne do konturu przekroju. Warto przypomnieć, że w identyczny sposób ustalili-
śmy kierunek wypadkowego naprężenia
t
1
=
t
x
*) w punktach konturu przekroju przy omawianiu działa-
nia siły poprzecznej (por. wzór (11.7)).
*)
t
x
≡
t
1
=
t
xy
+
t
xz
.
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 4
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
Po wprowadzeniu funkcji naprężeń do warunku (12.8) mamy:
−
+
=
F n
F n
,
,
3 2
2 3
0
lub
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
F
x
x
c
F
x
x
c
3
3
2
2
0
⋅
+
⋅
=
.
Lewa strona powyższego równania jest pochodną funkcji F = F
[
]
x c x c
2
3
( ), ( ) względem zmiennej c, mie-
rzonej wzdłuż linii tworzącej kontur przekroju:
dF
dc
F
x
x
c
F
x
x
c
=
⋅
+
⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
3
3
2
2
.
Warunek ten można zapisać krócej:
dF
dc
c
=
0,
gdzie F
c
oznacza wartości funkcji F na konturze przekroju pręta. Wynika stąd, że
F
c
= const.
Funkcja naprężeń musi na konturze przekroju przyjmować jednakową wartość. Najwygodniej jest przy-
jąć, że brzegowa wartość funkcji F
c
jest równa zeru:
F
c
= 0. (12.9)
Rys. 12.3
Warunek (12.9) jest poszukiwanym warunkiem brzegowym funkcji naprężeń, spełniającej równanie róż-
niczkowe skręcania (12.7). Przebieg funkcji naprężeń obrazuje rys. 12.3a. Na rysunku 12.3b przedsta-
wiono plan warstwicowy powierzchni F(x
2
, x
3
). Rozważmy jeszcze pewien punkt warstwicy F(x
2
, x
3
) =
const. Na krzywej tej przyrost funkcji F jest równy zeru, tzn.
dF
dc
F
x
x
c
F
x
x
c
1
2
2
1
3
3
1
0
=
⋅
+
⋅
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
ale
∂
∂
σ
∂
∂
σ
F
x
F
x
2
13
3
12
= −
=
,
,
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 5
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
skąd
σ
σ
12
13
2
3
=
dx
dx
.
Z ostatniej zależności (por. rys. 12.3c) wynikają następujące wnioski:
−
wektor naprężenia
t
1
=
σ
12
·e
2
+
σ
13
·e
3
jest w każdym punkcie styczny do warstwicy F(x
2
,x
3
) =
const; warstwice funkcji F są więc trajektoriami naprężeń stycznych,
−
wartość wypadkowego naprężenia stycznego obliczona z zależności
( ) ( )
τ
σ
σ
1
12
2
13
2
3
2
2
2
=
+
=
+
F
F
,
,
pozwala traktować to naprężenie jako moduł gradientu funkcji naprężeń F,
τ
1
=
grad( )
F .
Jeśli uda się nam wyznaczyć funkcję naprężeń, możemy obliczyć jednostkowy kąt skręcenia
z definicji momentu skręcającego:
(
)
(
)
M
=
⋅
−
⋅
= −
⋅ −
⋅
=
= −
−
∫
∫
∫
∫
σ
σ
13
2
12
3
2 2
3 3
2 2
2
3
3 3
2
3
x
x dA
F
x
F x dA
F x dx dx
F x dx dx
A
A
A
A
,
,
,
,
.
Po wykonaniu całkowania przez części oraz uwzględnieniu, że F
c
= 0 otrzymujemy:
(
)
M
=
∫
2
2
3
F x x dA
A
,
. (12.10)
Moment skręcający równa się więc podwójnej objętości ograniczonej powierzchnią F(x
2
, x
3
) oraz płasz-
czyzną przekroju.
Jeżeli do rozwiązania stosujemy funkcję deplanacji t(x
2
, x
3
), a nie funkcję naprężeń F(x
2
, x
3
), to waru-
nek brzegowy (12.8) po wykorzystaniu równań (12.3) prowadzi do zależności:
(
)
(
)
t
x n
t
x n
,
,
.
2
3 2
3
2
3
0
−
+
+
=
(12.11)
Funkcja t(x
2
,x
3
) musi być tak obrana, by na konturze przekroju spełniała warunek (12.11). Drugi sposób
rozwiązania problemu skręcania polega więc na wyznaczeniu funkcji deplanacji t(x
2
, x
3
), która spełnia
równanie Laplace'a (12.5) i warunek brzegowy (12.11) w każdym punkcie konturu przekroju.
12.1.2. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym
Kontur przekroju pręta jest opisany równaniem:
(a)
y
a
z
b
2
2
2
2
1 0
+
− =
,
gdzie a i b (a
≥
b) są głównymi osiami sprzężonymi elipsy (por. rys. 12.4).
Rys. 12.4
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 6
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
Zastosujemy funkcję naprężeń o następującej postaci:
(b)
( )
F y z
m
y
a
z
b
,
,
= ⋅
+
−
2
2
2
2
1
gdzie m jest pewną stałą. Z budowy wzoru (b) wynika, że warunek brzegowy na konturze przekroju jest
spełniony (F
c
= 0). Stałą m obliczymy przez podstawienie funkcji F(y, z) do równania różniczkowego
(12.7):
∇
=
+
= −
2
2
2
2
1
1
2
F
m
a
b
G
θ
,
skąd
m
G
a b
a
b
= −
⋅
+
θ
2 2
2
2
.
Wobec tego
(c)
F y z
G
a b
a
b
y
a
z
b
( , )
.
= −
⋅
+
⋅
+
−
θ
2 2
2
2
2
2
2
2
1
Na podstawie wzoru (12.10) otrzymujemy:
M
=
=
+
−
−
=
=
+
−
−
∫
∫
∫
∫
2
2
1
1
2
1
1
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
FdA
G
a b
a
b
dA
a
y dA
b
z dA
d
G
a b
a
b
A
a
J
b
J
A
A
A
A
z
y
θ
θ
( )
.
Dla elipsy momenty bezwładności J
y
i J
z
oraz pole przekroju wynoszą:
J
b a
J
ba
A
ab
y
z
=
=
=
1
4
1
4
3
3
π
π
π
,
,
,
co po podstawieniu do równania (d) prowadzi do zależności:
(e)
M
=
+
⋅
π
a b
a
b
G
3 3
2
2
θ
.
Gdy uwzględnimy wartość iloczynu G
θ
obliczoną ze wzoru (e), to na podstawie wzoru (c) otrzymamy
ostateczną postać funkcji naprężeń F(y, z) :
(f)
F y z
ab
y
a
z
b
( , )
.
= −
+
−
M
π
2
2
2
2
1
Naprężenia styczne zmieniają się liniowo. Wynika to z zależności (12.6):
(g)
τ
∂
∂
τ
∂
∂
xy
xz
F
z
ab
z
F
y
a b
y
=
= −
⋅
= −
=
⋅
2
2
3
3
M
M
π
π
,
.
Dosyć istotne dla dalszych rozważań jest to, że moment skręcający przenoszony przez naprężenia
τ
xy
jest równy
M
/ 2 . Taką samą część momentu przenoszą oczywiście naprężenia
τ
xz
. Wniosek ten wynika z
następującego obliczenia:
(h)
(
)
(
)
M
M
M
M
M
M
M
M
( )
z
xz
xz
z
A
A
y
xy
xy
y
A
A
y dA
a b
y dA
a b
J
z dA
a b
z dA
ab
J
τ
τ
τ
τ
=
⋅
=
=
⋅
=
= −
⋅
=
=
⋅
=
∫
∫
∫
∫
2
2
1
2
2
2
1
2
3
2
3
3
2
3
π
π
π
π
,
.
( )
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 7
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
Warto również zwrócić uwagę, że pola każdego z wykresów naprężeń wypadkowych
τ
x
są zawsze jed-
nakowe
A
a b
a
ab
b
ab
x
τ
=
⋅ =
⋅ =
2
2
2
2
2
2
M
M
M
π
π
π
.
Największe naprężenia występują więc w punktach konturu leżących najbliżej środka ciężkości przekroju
(tzn. w punktach B i D na rys. 12.5). Ponieważ a
≥
b, więc
(i)
τ
x
s
ab
W
max
,
=
=
2
2
M
M
π
gdzie
W
ab
s
= π
2
2
/ i oznacza tutaj tzw. wskaźnik wytrzymałości na skręcanie.
Aby
wyznaczyć przemieszczenia, trzeba określić funkcję deplanacji t(y, z). Funkcję tę najwygodniej
obliczymy z jednego z równań (12.3):
∂
∂
τ
θ
θ
t
y
G
z
G ab
z z
a
b
a
b
z
xy
=
+ = −
⋅ + = −
−
+
⋅
2
3
2
2
2
2
M
π
.
Po scałkowaniu tego równania otrzymamy:
t y z
a
b
a
b
yz C
( , )
.
= −
−
+
⋅ +
2
2
2
2
Stałą C wyznaczymy z uwzględnieniem wymagania, by punkty leżące na osi pręta nie doznawały prze-
mieszczeń. Inaczej mówiąc przyjmujemy, że oś pręta nie wydłuża się i nie skraca. Mamy więc t(0,0) = 0,
skąd C = 0.
(j)
t y z
a
b
a
b
yz
( , )
= −
−
+
⋅
2
2
2
2
.
Z równania (e) można obliczyć jednostkowy kąt skręcenia:
(k)
(
)
θ =
+
M
G a b
a
b
π
3 3
2
2
/
,
a ze wzorów (12.1) współrzędne wektora przemieszczenia:
(l)
(
)
(
)
(
)
u
u
t
G a b
a
b
yz
u
v
x x
G a b
a
b
xz
u
w
x x
G a b
a
b
xy
1
3 3
2
2
2
1 3
3 3
2
2
3
1 2
3 3
2
2
= = ⋅ = −
−
⋅
= = − ⋅
= −
+
⋅
= = ⋅
=
+
⋅
θ
θ
θ
M
M
M
π
π
π
/
,
/
,
/
.
Rys. 12.5
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 8
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
Warstwice funkcji u(y, z) są hiperbolami. Na rysunku 12.5b warstwice oznaczone liniami ciągłymi
odpowiadają wartościom dodatnim, natomiast linie przerywane
−
ujemnym wartościom przemieszczeń
u(y, z).
Stosownie do wzoru (k) jednostkowy kąt skręcenia można zapisać jeszcze inaczej:
θ =
M
GJ
s
, (12.12)
gdzie GJ
s
jest sztywnością skręcania przekroju, a J
s
−
tzw. momentem bezwładności na skręcanie:
J
a b
a
b
A
J
A
J
s
b
b
=
+
=
≈
π
π
3 3
2
2
4
2
4
4
40
; (12.12a)
przy czym J
b
= J
y
+ J
z
i oznacza tu biegunowy moment bezwładności. De Saint--Venant doszedł do
wniosku, że wzór (12.12a) dla innych kształtów przekroju daje również bardzo dokładne wyniki. Można
więc przyjąć, że sztywność na skręcanie jest równa są sztywności na skręcanie prętów o przekroju elip-
tycznym o tej samej powierzchni A i tym samym biegunowym momencie bezwładności J
b
. Sztywność na
skręcanie jest więc odwrotnie proporcjonalna do biegunowego momentu bezwładności, a nie wprost pro-
porcjonalna, jak przyjmowali poprzednicy de Saint-Venanta.
12.1.3. Skręcanie prętów o przekrojach kołowych
i pierścieniowych
Zwróćmy uwagę na to, że dla przekroju kołowego (a = b = r) przemieszczenia u(y, z) = 0. Oznacza to,
że podczas skręcania przekrój kołowy nie ulega deplanacji. Wzory na naprężenia i kąt skręcania są nastę-
pujące (rys. 12.6a):
τ
ρ
τ
θ
π
x
b
x
s
s
s
s
b
b
J
W
W
r
GJ
J
A
J
r
J
=
⋅
=
=
=
=
=
M
M
M
,
,
,
.
max
,
=
π
π
3
4
2
4
2
4
2
(12.13)
Wzory (12.13) obowiązują również dla przekrojów pierścieniowych, przy czym:
(
)
J
J
R
r
W
J
R
s
b
s
s
=
=
−
=
π
2
4
4
oraz
/ . (12.14)
Dla przekrojów kołowych i pierścieniowych moment bezwładności na skręcanie J
s
jest liczbowo rów-
ny momentowi biegunowemu J
b
. Było to źródłem błędnego założenia w dawniej stosowanych teoriach
skręcania. W przekrojach pierścieniowych
−
podobnie jak w przekrojach kołowych
−
nie występuje de-
planacja przekroju.
Rys. 12.6
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 9
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
12.1.4. Skręcanie pręta o przekroju w kształcie trójkąta
równobocznego
Ścisłe rozwiązania zamknięte można uzyskać jeszcze dla przypadku, gdy przekrój pręta pryzmatycz-
nego jest trójkątem równobocznym. Funkcja naprężeń jest iloczynem równań opisujących boki trójkąta
(rys. 12.7):
(m)
(
)
(
)
(
)
F y z
m
x a
y
z
a
y
z
a
( , )
.
=
−
− +
+ +
3
3
3
2
3
3
2
Rys. 12.7
W ten sposób
−
podobnie jak dla przekroju eliptycznego
−
funkcja naprężeń zgodnie
z warunkiem brzegowym (12.9) przyjmuje wartości zerowe na konturze przekroju. Stałą m dobieramy
tak, by było spełnione równanie skręcania (12.6):
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
18 3
3
18 3
3
F
y
m y
a
F
z
m y
a
=
+
= −
−
,
.
Wobec
tego
∇
=
+
=
= −
2
2
2
2
2
36
2
F
F
y
F
z
am
G
∂
∂
∂
∂
θ
,
skąd
(n)
m
G
a
= − θ
18
.
Z zależności (12.10) otrzymujemy:
(
)
(
)
M
=
=
−
+
−
= −
=
∫
∫
2
2
3
3
2
9
18
3
5
3
5
2
2
5
4
F dA
m
y a
y
a
z
dA
a m
G a
A
A
θ
,
więc
(o)
θ =
M
GJ
s
,
gdzie
J
a
s
=
4
3
5
. (12.15)
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 10
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
Naprężenia obliczymy z zależności (12.6):
(p)
(
)
(
)
τ
∂
∂
θ
τ
∂
∂
θ
xy
xz
F
z
m
y a z
G
a
y a z
F
y
m y
a
y z
G
a
y
a
z
=
= −
−
= +
⋅
−
= −
= −
+
⋅ −
=
+
−
18
3
3
9 3
2
3
3
2
2
3
2
2
2
2
,
.
Po podstawieniu zależności (o) naprężenia określają są wzory:
(q)
(
)
(
)
(
)
( )
τ
τ
xy
s
xz
s
aJ
y a z
a
y a z
a J
y
a
y z
a
y
a
y z
=
−
=
−
=
+
⋅ −
=
+
⋅ −
M
M
M
M
3
3 5
3
3
2
2
3
2
5
2
3
5
2
2
5
2
2
/
,
/
.
Wykresy naprężeń stycznych przedstawia rys. 12.7b. Maksymalne naprężenia styczne występują w punk-
tach leżących najbliżej środka ciężkości (punkty A, B, C):
(r)
τ
τ
x
xz
s
s
a
W
W
a
max
,
,
.
=
=
=
3
0
2
5
3
M
Naprężenia w narożach są równe zeru. Pola wykresów wypadkowego naprężenia stycznego
τ
x
, odniesio-
nych do dowolnej linii wychodzącej ze środka ciężkości przekroju, są takie same. Dla przykładu wzdłuż
linii z = 0 pole dodatnich naprężeń
τ
x
=
τ
xz
odłożone na odcinku OA jest równe polu ujemnych naprężeń odłożonych na odcinku OD.
Deplanację wyznacza się identycznie jak dla przekroju eliptycznego, a odpowiednie równanie funkcji
t(y, z) jest następujące:
(s)
t y z
a
y
z
z
( , )
.
=
−
⋅
3
2
3
2
2
Warstwice funkcji u(y, z) =
θ⋅
t(y, z) podano na rys. 12.7a.
12.1.5. Obliczanie naprężeń i kąta skręcania dla prętów
o dowolnym przekroju. Przekrój prostokątny
Dla
prętów o dowolnym przekroju rozwiązanie ścisłe uzyskuje się za pomocą szeregów Fouriera.
Istnieją również przybliżone metody wyznaczania funkcji naprężeń lub funkcji deplanacji. Na uwagę
zasługuje również metoda różnic skończonych omówiona w dodatku. Bardzo dobre rezultaty daje przy-
bliżona teoria skręcania swobodnego zbudowana na podstawie teorii płyt grubych [12,36]. Poza tym in-
formacji o charakterze rozkładu naprężeń dostarczają analogie błonowa i hydrodynamiczna. Omówimy je
w p. 12.2.
Z punktu widzenia projektanta istotne jest wyznaczenie największego naprężenia stycznego |
τ
x max
|
oraz jednostkowego kąta skręcania. Ogólnie biorąc, wartości te oblicza się według wzorów:
τ
x
s
W
max
=
M
, (12.16)
θ =
M
GJ
s
. (12.17)
Wskaźniki wytrzymałości na skręcanie W
s
oraz momenty bezwładności na skręcanie J
s
dla różnych
przekrojów zawierają poradniki i tablice do projektowania konstrukcji. Warunek wytrzymałościowy po-
lega na spełnieniu nierówności:
σ
τ
σ
red
dop
=
≤
3
x max
,
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 11
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
skąd
τ
τ
x max
,
≤
dop
gdzie
dop
dop
dop
τ
σ
σ
=
≈
⋅
1
3
0 6
,
, (12.18)
przy czym
σ
dop
oznacza naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu (ściskaniu),
a
τ
dop
−
dopuszczalne naprężenia przy ścinaniu. Warunek sztywnościowy polega na ograniczeniu mak-
symalnego całkowitego kąta skręcenia
ψ
:
ψ
θ
ψ
=
≤
∫
( )
s ds
s
dop
. (12.19)
W praktyce poza przekrojami kołowym i pierścieniowym najczęściej stosujemy prostokątny przekrój
pręta, dla którego obowiązują następujące zależności przybliżone:
(t)
J
b n
n
W
n
n
J
b
n
h
b
s
s
s
=
−
+
=
+
+
⋅
= >
1
3
0 63
0 052
1
0 35
1
4
4
3
3
,
,
,
,
,
.
przy czym
Rys. 12.8
Rozkłady naprężeń ilustruje rys. 12.8, a deformacje pręta skręcanego o przekroju prostokątnym
−
rys. 12.9. Największe naprężenie styczne występuje na konturze przekroju w punkcie A, usytuowanym
najbliżej środka przekroju, tzn. w połowie dłuższego boku. Interesujące jest, że dla 1
1 4513
≤
<
h b
/
,
funkcja deplanacji t(y, z) wykazuje cztery obszary wartości dodatnich i cztery obszary wartości ujem-
nych, natomiast dla h b
/
,
>
1 451 występują
−
podobnie jak w elipsie
−
po dwa takie obszary.
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 12
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
Rys. 12.9
12.1.6. Uwagi o skręcaniu nieswobodnym
Jeżeli choć jeden przekrój pręta niekołowego pozostaje płaski, to stan naprężenia w pręcie skręcanym
różni się od podanego w poprzednich punktach i odpowiada skręcaniu nieswobodnemu. Dla ilustracji
omówimy przykład pręta prostokątnego, w którym z warunku symetrii przekrój x = 0 pozostaje płaski
(rys. 12.10).
Rys. 12.10
Część 2
12. DZIAŁANIE MOMENTU SKRĘCAJĄCEGO 13
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna
Aby zapobiec deplanacji, w obrębie przekroju poprzecznego należy rozmieścić naprężenia normalne
σ
x
. W obszarach, w których wystąpiłyby wypukłości, trzeba wprowadzić naprężenia ściskające, a w po-
zostałym obszarze
−
naprężenia rozciągające. Bliższa analiza tego problemu prowadzi do wniosku, że
macierz naprężeń ma wówczas postać:
s
=
σ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
x
xy
xz
yx
yz
zx
zy
0
0
,
czyli oprócz naprężeń normalnych
σ
x
pojawiają się naprężenia styczne
τ
yz
. Zaburzenia stanu naprężenia,
gdy jeden przekrój pręta pozostaje płaski, są największe dla x = 0 i szybko zanikają w miarę wzrostu
współrzędnej x. Sztywność takiego pręta na skręcanie jest większa niż podczas skręcania swobodnego.
Wpływ skręcania nieswobodnego jest bardzo istotny w przekrojach cienkościennych. Problematyka ta
jest przedmiotem punktu 13.2.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2002 12 43
ENGINE MECHANICAL 1C 12 43
2002 12 43
2010 01 29 12 43 35 01
Le Bon Psychologia tłumu str 12 43, 73 91
2010 01 29 12 43 55 01
Załączniki do zarządzenia Nr 43 Ministra Finansów z dn. 24.12.2003, Dokumenty- prawo i administracja
43 12
sprawozdania BUDBAUM(oceniana) RZSKalk 2009 11 13 12 22 43
akumulator do opel kadett e hatchback 33 34 43 44 12 12i 13 n
wykład 12 pamięć
Figures for chapter 12
Mechanika techniczna(12)
Socjologia wyklad 12 Organizacja i zarzadzanie
CALC1 L 11 12 Differenial Equations
więcej podobnych podstron