Ekonometria

Ćwiczenia 3

Ćwiczenia 3

Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów

Zadanie 1

Dane są następujące szeregi:
x

i

2

3

4

5

8

9

10

11

y

i

8

4,5 7

3,5 5

9,5

8

12,5

gdzie y

i

oznacza wynik kolokwium z ekonometrii (w punktach), a x

i

– liczbę zadań

rozwiązanych przez i-tego studenta przed kolokwium. Wysunięto hipotezę, że wyniki
uzyskane przez studentów są liniową funkcją ich pracowitości. Stosując klasyczną metodę
najmniejszych kwadratów:
Znaleźć oceny parametrów strukturalnych modelu

0

1

i

y

x

i

i

β

β

ξ

=

+

+ . Podać interpretację

oszacowań.

Zadanie 2

Całkowite koszty produkcji (w tys. zł) przedsiębiorstwa przetwórstwa owocowo-warzywnego
zależą liniowo od skali produkcji (w tys. ton) i warunków przechowywania surowców
(mierzonych temperaturą przechowywania w stopniach Celsjusza). Szeregi czasowe
obserwacji powyższych wielkości dla tego przedsiębiorstwa kształtowały się następująco:
Koszty 10 12 13 15 20
Produkcja

2 1 2 1 4

Temperatura

1 1 2 3 3

a) Oszacować parametry strukturalne modelu.
b) Zinterpretować wyniki oszacowania.
c) Uzupełnić poniższą tabelę:

t

y

y

y

t

−

(

)

2

y

y

t

−

t

yˆ

t

ξ

ˆ

2

ˆ

t

ξ

∑

Zadanie 3

(Maddala, ćw. 2, str. 144)

Kierownik sklepu sprzedającego odbiorniki telewizyjne stwierdził, że sprzedaż w ciągu 10
dni była następująca (y – liczba sprzedanych odbiorników telewizyjnych, w tysiącach sztuk; x
– liczba przedstawicieli handlowych):

x

3 6 10 5 10 12 5 10 10 8

y

1 1 1 2 2 2 3 3 3 2

Oszacuj równanie regresji y względem x. Zinterpretuj wyniki oszacowania.

1

1

Ekonometria

Ćwiczenia 3

Zadanie 4

Na podstawie informacji zawartych w tabeli 3 oszacować i zinterpretować parametry
strukturalne funkcji indywidualnej wydajności pracy. Indywidualna wydajność pracy ( )
wyrażona jest liczbą sztuk wyrobów wykonanych przez i-tego pracownika w ciągu miesiąca.
Zmiennymi objaśniającymi są:

- staż i-tego pracownika w latach,

- poziom kwalifikacji

i-tego pracownika (

=0, gdy zatrudniony nie ma wykształcenia zawodowego, oraz

=1,

gdy je posiada). Zakłada się, że badana zależność ma charakter liniowy.

i

y

i

x

1

i

x

2

i

x

2

i

x

2

i

y

i

x

1

i

x

2

155 1 0

171 2 1

172 3 0

207 5 1

201 4 1

210 5 1

Zadanie 5

Postanowiono oszacować model liniowy postaci:

A.

0

1 1

2 2

t

t

y

x

x

t

t

β

β

β

=

+

+

+

ξ

t

B.

0

1 1

2 2

3

4 1, 1

t

t

t

t

y

x

x

t

x

β

β

β

β

β

−

=

+

+

+

+

+

ξ

W oparciu o założenia numeryczne MNK podaj minimalną liczbę obserwacji i zapisz model
w postaci macierzowej.

Zadanie 6

Dany jest model:

t

t

t

t

x

x

y

ξ

β

β

β

+

+

+

=

2

2

1

1

0

t = 1,2,...,T.

Ustalić możliwość oszacowania tego modelu wiedząc, że:

1 2 1
1 0 2

X

⎡

⎤

= ⎢

⎥

⎦

⎣

12
14

Y

⎤

⎡

=

⎥

⎢

⎣ ⎦

Zadanie 7

(Kukuła (red), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, PWN 1996, zad 27,

str. 73-74)

Wykorzystując poniższe informacje:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

−

09

,

0

20

,

0

10

,

0

20

,

0

49

,

0

05

,

0

10

,

0

05

,

0

25

,

2

)

(

1

X

X

T

∑

t

y =40,

t

t

x

y

1

∑

=50,

2

∑

t

y

=2815,

=100,

t

t

x

y

2

∑

oraz T=13, oszacuj parametry strukturalne modelu liniowego

t

t

t

t

X

x

y

ξ

β

β

β

+

+

+

=

2

2

1

1

0

oraz średnie błędy ich szacunku.

2

2