Ćwiczenia 3
Ćwiczenia 3
Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów Zadanie 1
Dane są następujące szeregi:
xi
2
3
4
5
8
9
10
11
yi
8
4,5 7
3,5 5
9,5
8
12,5
gdzie yi oznacza wynik kolokwium z ekonometrii (w punktach), a xi – liczbę zadań rozwiązanych przez i-tego studenta przed kolokwium. Wysunięto hipotezę, że wyniki uzyskane przez studentów są liniową funkcją ich pracowitości. Stosując klasyczną metodę najmniejszych kwadratów:
Znaleźć oceny parametrów strukturalnych modelu y = β + β x + ξ . Podać interpretację i
0
1 i
i
oszacowań.
Zadanie 2
Całkowite koszty produkcji (w tys. zł) przedsiębiorstwa przetwórstwa owocowo-warzywnego zależą liniowo od skali produkcji (w tys. ton) i warunków przechowywania surowców (mierzonych temperaturą przechowywania w stopniach Celsjusza). Szeregi czasowe obserwacji powyższych wielkości dla tego przedsiębiorstwa kształtowały się następująco: Koszty 10 12 13 15 20
Produkcja
2 1 2 1 4
Temperatura
1 1 2 3 3
a) Oszacować parametry strukturalne modelu.
b) Zinterpretować wyniki oszacowania.
c) Uzupełnić poniższą tabelę:
y
y − y
( y − y
yˆ
ξˆ
2
ˆ
ξ
t
)2
t
t
t
t
t
∑
Zadanie 3 (Maddala, ćw. 2, str. 144) Kierownik sklepu sprzedającego odbiorniki telewizyjne stwierdził, że sprzedaż w ciągu 10
dni była następująca ( y – liczba sprzedanych odbiorników telewizyjnych, w tysiącach sztuk; x
– liczba przedstawicieli handlowych):
x
3 6 10 5 10 12 5 10 10 8
y
1 1 1 2 2 2 3 3 3 2
Oszacuj równanie regresji y względem x. Zinterpretuj wyniki oszacowania.
1
1
Ćwiczenia 3
Zadanie 4
Na podstawie informacji zawartych w tabeli 3 oszacować i zinterpretować parametry strukturalne funkcji indywidualnej wydajności pracy. Indywidualna wydajność pracy ( y ) i
wyrażona jest liczbą sztuk wyrobów wykonanych przez i-tego pracownika w ciągu miesiąca.
Zmiennymi objaśniającymi są: x - staż i-tego pracownika w latach, x - poziom kwalifikacji i
1
2 i
i-tego pracownika ( x =0, gdy zatrudniony nie ma wykształcenia zawodowego, oraz x =1, 2 i
2 i
gdy je posiada). Zakłada się, że badana zależność ma charakter liniowy.
y x x
i
i
1
2 i
155 1 0
171 2 1
172 3 0
207 5 1
201 4 1
210 5 1
Zadanie 5
Postanowiono oszacować model liniowy postaci: A.
y = β + β x + β x + ξ
t
0
1 1 t
2 2 t
t
B.
y = β + β x + β x + β t + β x
+ ξ
t
0
1 1 t
2 2 t
3
4 1, t 1
−
t
W oparciu o założenia numeryczne MNK podaj minimalną liczbę obserwacji i zapisz model w postaci macierzowej.
Zadanie 6
Dany jest model: y = β + β x + β x +ξ
t = 1,2,..., T.
t
0
1
t
1
2 2 t
t
1
⎡
2 1⎤
12
⎡ ⎤
Ustalić możliwość oszacowania tego modelu wiedząc, że: X = ⎢
Y = ⎢ ⎥
1 0 2⎥
⎣
⎦
14
⎣ ⎦
Zadanie 7
(Kukuła (red), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, PWN 1996, zad 27, str. 73-74)
Wykorzystując poniższe informacje:
⎡ ,
2 25
− ,
0 05 − 10
,
0
⎤
−1
⎢
⎥
( X T X ) = ⎢− ,005
,
0 49
− ,
0 20⎥ ∑ y =40, ∑ y x =50, 2
∑ y =2815, ∑ y x =100,
t
t
t
1
t
t 2 t
⎢− 10
,
0
− ,
0 20
,
0 09 ⎥
⎣
⎦
oraz T=13, oszacuj parametry strukturalne modelu liniowego y = β + β x + β X +ξ
t
0
1
t
1
2
2 t
t
oraz średnie błędy ich szacunku.
2
2