Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych

Politechnika Zielonogórska

Metody i techniki optymalizacji

Metoda mno˙zników Lagrange’a; pakiet Lingo

Przed rozpocz˛eciem ´cwiczenia nale˙zy zapozna´c si˛e z funkcj ˛

a

fsolve

znajduj ˛

ac ˛

a si˛e w Matlabie. Po-

słu˙zy ona do okre´slenia rozwi ˛

aza ´n numerycznych zada ´n z poni˙zszej listy. Wyniki zweryfikowa´c z zasto-

sowaniem programu Lingo (wersja instalacyjna dost˛epna jest na stronie internetowej z instrukcjami do

´cwicze ´n lub bezpo´srednio na stronie

www.lindo.com

firmy Lindo Systems Inc.). Spróbowa ´c równie˙z

zweryfikowa´c rezultaty z zastosowaniem modułu

Solver

programu

Excel

.

Program ´cwiczenia obejmuje nast˛epuj ˛

ace zadania:

1. Rozdzieli´c dzienn ˛

a produkcj˛e energii 100 MWh mi˛edzy dwie elektrownie, tak aby dzienne koszty

zu˙zycia paliwa (w tys. zł) opisane funkcj ˛

a


  
 



 

gdzie



— zu˙zycie paliwa w elektrowni I,



— zu˙zycie paliwa w elektrowni II, były mo˙zliwie

najni˙zsze. Wiadomo ponadto, ˙ze z 1 tony paliwa w elektrowni I uzyskuje si˛e 5 MWh energii, a w
elektrowni II — 3 MWh. Poda´c dzienne koszty zu˙zycia paliwa w tych elektrowniach.

2. Dwie olejarnie o zdolno´sciach przerobowych 10 t i 15 t ziarna dziennie maj ˛

a przerobi ´c 1800 ton

ziarna na olej. Straty oleju w ziarnie zale˙z ˛

a od stosowanych procesów technologicznych uzysku oleju

z surowca. Funkcja ł ˛

aczonych strat oleju w ziarnie (w kg) dla obydwu olejarni dana jest wzorem


  





! !



"

#%$



gdzie



i



to czasy trwania kampanii odpowiednio w pierwszej i drugiej olejarni. Jak długo powinny

trwa´c kampanie w I i II olejarni, aby straty oleju w ziarnie były mo˙zliwie najmniejsze?

3. Planowane s ˛

a prace modernizacyjne w trzech kopalniach. Rezultatem tych prac ma by ´c ł ˛

acznie 15 tys.

ton przyrostu dziennego wydobycia. Koszty prac modernizacyjnych w zale˙zno ´sci od planowanego
przyrostu wydobycia w poszczególnych kopalniach (odpowiednio



,



,

&

) wyra˙za funkcja


  ! & 





"



"

&

"

#

 '"&





#

Zaplanowa´c wielko´sci przyrostu wydobycia dla poszczególnych kopal ´n, tak by koszty prac moderni-
zacyjnych były mo˙zliwie najni˙zsze. Poda ´c wysoko´s´c tych kosztów.

4. W pewnej firmie prowdz ˛

acej działalno´s´c produkcyjn ˛

a wyszacowano zale˙zno´s´c mi˛edzy wielko´sci ˛

a

produkcji (

(

) w mln zł a nakładami wyra˙zonymi równie˙z w mln zł, któr ˛

a przedstawia funkcja

(

)*







+'"



"

a funkcja kosztów przyjmuje posta´c

,

-





. Ponadto wiadomo, ˙ze ł ˛

aczne nakłady nie mog ˛

a

przekroczy´c 8. Okre´sli´c optymalne wielko´sci nakładów daj ˛

ace mo˙zliwie najwy˙zsz ˛

a produkcj˛e. Poda ´c

rozmiary tej produkcji.

1











Rysunek 1: Przekrój belki z zadania 10.

5. Obliczy´c odległo´s´c punktu

!

od prostej o równaniu

"



"





6. Okre´sli´c wymiary prostopadło´scianu o maksymalnej obj˛eto´sci, wpisanego w elipsoid˛e o równaniu







(



 





Jakie b˛ed ˛

a te wymiary w przypadku







,





,



?

7. Okre´sli´c





(







tak, aby zmaksymalizowa´c



(



"







(



przy warunku







(











.

8. Znale´z´c punkty stacjonarne funkcji







(







(



&

przy ograniczeniu





(





'

.

9. Znale´z´c minimaln ˛

a odległo´s´c mi˛edzy elips ˛

a okre´slon ˛

a równaniem







 

(





!

gdzie:









(

















(





! "

oraz elips ˛

a dan ˛

a wzorem



#



(







10. Metalowa belka ma przekrój w kształcie trapezu (zob. rys. 1). Pole przekroju belki wynika z wyma-

ga´n wytrzymało´sciowych konstrukcji i ma wynosi´c

. Górn ˛

a i boczne powierzchnie belki pokrywa

si˛e kosztownym materiałem antykorozyjnym. Nale˙zy okre´sli´c parametry przekroju tak, aby koszt
zabezpieczenia antykorozyjnego był minimalny.

11. Statek znajduj ˛

acy si˛e na morzu jest obserwowany z trzech stacji le˙z ˛

acych na jednej prostej w od-

legło´sciach co 500 m. W ka˙zdej ze stacji dokonuje si˛e pomiaru k ˛

ata

"!

$#



!



, mi˛edzy lini ˛

a

ł ˛

acz ˛

ac ˛

a stacj˛e z obserwowanym obiektem a prostopadł ˛

a do linii ł ˛

acz ˛

acej poszczególne punkty obser-

wacyjne (rys. 11). Otrzymane wyniki pomiarów s ˛

a obarczone bł˛edami i wynosz ˛

a:

%









&



rad,

2











&

500 m

500 m

Rysunek 2: Okre´slanie poło˙zenia statku z zadania 11.

%









#

rad,

%



&









rad. Nale˙zy skorygowa´c wyniki okre´slaj ˛

ace k ˛

aty





,



i



&

w taki

sposób, aby były one zgodne, tzn. aby odpowiadaj ˛

ace im proste przecinały si˛e w jednym punkcie i

aby suma kwadratów ró˙znic mi˛edzy k ˛

atami



!

a wynikami pomiarów

%



!

była minimalna. Okre´sliw-

szy te k ˛

aty, nale˙zy oszacowa´c poło˙zenie statku. Z uwagi na małe warto´sci k ˛

atów





,



i



&

mo˙zna

zastosowa´c przybli˙zenia





!



!

$#

!



.

12. Funkcj˛e



-

dan ˛

a tabelarycznie nale˙zy aproksymowa ´c wielomianem

-















w prze-

dziale





$

. Warto´sci



-

przedstawia tabela:



1

2

3

4

5



-

3

5

4

2

1

Dla







wymaga si˛e dodatkowo spełnienia warunku

 



 

, czyli













Z uwzgl˛ednieniem tego ograniczenia, okre´sli´c warto´sci



,



i

minimalizuj ˛

ace kryterium















!



#





#



13. Rozwa˙zmy zmienn ˛

a losow ˛

a ci ˛

agł ˛

a



o g˛esto´sci


-











 

Nale˙zy znale´z´c najkrótszy przedział









, dla którego prawdopodobie ´nstwo znalezienia si˛e w nim

realizacji



wynosi 95%. Pokaza´c, ˙ze prowadzi to do warunków









! #"









%$





&

$



Okre´sli´c warto´sci liczbowe



i



. Czy ten rezultat da si˛e uogólni ´c na inne rozkłady?

14. Znale´z´c punkt najbli˙zszy pocz ˛

atkowi układu współrz˛ednych na linii prostej okre ´slonej równaniami







(

















(











3

15. Rozwi ˛

aza´c problem

 

&



















&



!









&*



16. Rozwi ˛

aza´c problem

 





&























&





4