Zadania z granic, ci¡gªo±ci i rachunku ró»niczkowego funkcji jednej zmiennej.

autor: dr Barbara Biªy

1. Obliczy¢ granice funkcji:

a)

lim

x→−2

√

x + 6 − 2

x

3

+ 8

b)

lim

x→∞

 x

2

+ 1

x

2

− 2



x

2

c)

lim

x→2

2

x+2

− 16

4

x

− 2

4

d)

lim

x→1

sin(x − 1)

2 −

√

5 − x

2

Odp.

a)

1

48

b) e

3

c)

1

2

d) 2

2. Zbada¢ czy istniej¡ granice jednostronne:

a)

lim

x→1



e

x

·

x − 1

|x − 1|



b)

lim

x→2

e

(

1

4−x2

)

c)

lim

x→0

8

1 − 2

ctgx

d)

lim

x→1

arctg



1

1 − x



Odp.

a) praw.=e, lew.=−e

b) praw.=0, lew.=∞

c) praw.=0, lew.=8

d) praw.=−

π

2

, lew.=

π

2

3. Omówi¢ ci¡gªo±¢ funkcji:

a)

f (x) =















√

1 + x − 1

√

x

,

dla x 6= 0

0

,

dla x = 0

b)

f (x) =











cos

πx

2

,

dla |x| ≤ 1

|x − 1|,

dla |x| > 1

Odp. a) Ci¡gªa.

b) Nieci¡gªa w x = −1.

4. Czy istnieje taki parametr λ aby funkcje byªy ci¡gªe:

a)

f (x) =











λ +

cos x − 1

x · |x|

,

dla x 6= 0

0

,

dla x = 0

b)

f (x) =















λ

,

dla x = 0

sin 5x

√

x + 4 − 2

,

dla x 6= 0

Odp. a) Nie.

b) Tak, λ = 20.

5. Obliczy¢ z denicji pochodn¡ funkcji w dowolnym punkcie nale»¡cym do dziedziny:

a)

y =

1

x

b)

y = 3x

2

− x + 4

c)

y = 2x +

1

x

d)

y =

3

√

x

6. Obliczy¢ pochodn¡ funkcji ze wzorów:

a)

y = ln(2x +

p

4x

2

+ 1)

Odp.: y

0

=

2

√

4x

2

+ 1

b)

y = cos

4

3x

Odp.: y

0

= −12 sin(3x) · cos

3

(3x)

c)

y = arcsin(1 − 2x)

Odp.: y

0

=

−1

x(1 − x)

d)

y =

arcctg

2

√

x

Odp.: y

0

=

−1

√

x · (x + 4)

e)

y = x

2x

2

Odp.: y

0

= 2x

2x

2

+1

· (2 ln x + 1)

f)

y = (sin x)

tg2x

Odp.: y

0

= (sin x)

tg2x

(

2 ln x

2x cos

2

+

tg2x · ctgx)

g)

y =

√

x

x

Odp.: y

0

=

1

2

√

x

x

· (ln x + 1)

7. Dana jest funkcja

f (x) =

e

1

x

x

Obliczy¢:
a)

f

0

(−1)

Odp.:

1

e

− 1

b)

f

0

(

1
2

)

Odp.: − 4(2e

2

+ 1)

c)

f

00

(−1)

Odp.:

2

e

− 1

d)

f

00

(

1
2

)

Odp.: 16(5e

2

+ 1)

8. Wykaza¢ »e funkcja

y = e

x

· sin x + sin 2x

speªnia równanie

y

00

− 2y

0

+ 2y = −2 sin 2x − 4 cos 2x

9. Udowodni¢ »e funkcja

f (x) = x

3

· (x + 4)

jest malej¡ca w przedziale (−∞, −3) i rosn¡ca w przedziale (−3, ∞)

10. Wyznaczy¢ ekstrema funkcji

a) y = 2x

3

+ 3x

2

− 12x + 1

Odp.: y

max

= y(−2) = 21

b) y =

x

3

x

2

− 1

Odp.: y

max

= y(

√

3) = −

3

2

√

3

c) y =

3

p(x

2

− 4)

2

Odp.: y

min

= y(

√

3) =

3

2

√

3

d) y = x · e

−x

Odp.: y

max

= y(0) = 2

3

√

2

e) y =

2x

x

2

+ 4

Odp.: y

min

= y(2) =

1

2

f) y = x · ln x

Odp.: y

min

= y(

1

r

) = −

1

e

11. Zbada¢ który z prostok¡tów wpisanych w dane koªo ma najwi¦kszy obwód.

Odp.: Jest to kwadrat.

12. Obliczy¢ granice:

a)

lim

x→0

e

x

− e

−x

+ 3x

x

Odp.: 5

b)

lim

x→0

+

ln sin x

ln sin 2x

Odp.: 1

c)

lim

x→0

 1

x

−

1

e

x

− 1



Odp.:

1

2

d)

lim

x→1

+



(x − 1) · ln(x − 1)



Odp.: 0

e)

lim

x→1

+

(x − 1)

x−1

Odp.: 1

f)

lim

x→2

+



ln

1

x − 2



x−2

Odp.: 0

g)

lim

x→

π

4

tgx

tg2x

Odp.:

1

e

13. Obliczy¢ pod jakim k¡tem przecinaj¡ si¦ linie 2y = x

2

i 2y = 8 − x

2

.

Odp.: arctg

4

3

14. Wykaza¢ »e wykres funkcji:
a) y =

x

3

x

2

+ 1

dla x ∈ (

√

3, +∞)

jest wkl¦sªy

b) y = x − 2e

x

dla x ∈ R jest wkl¦sªy

c) y = 3

x

− 6x + 1

dla x ∈ R jest wypukªy

d) y = arccos x dla x ∈ (−1, 0) jest wypukªy

15. Wyznaczy¢ punkty przegi¦cia wykresu funkcji

a)

y =

x

4

− 3

x

Odp.: (−1, 2), (1, −2)

b)

y = x

3

− 3x

2

+ 3x + 1

Odp.: (1, 2)

c)

y = x · e

−x

Odp.: (2,

2

e

2

)

d)

y = ln

2

x

Odp.: (e, 1)

16. Zbada¢ istnienie asymptot wykresu funkcji

a)

y =

x

x

2

− x − 12

Odp.: x = 3, x = 4, y = 0

b)

y =

p

9 − x

2

Odp.: x = −3 (prawostronna), x = 3 (lewostronna), y = 0

c)

y = ln(1 − x)

Odp.: x = 1 (lewostronna)

d)

y = 2x + 3 +

ln x

x

Odp.: x = 0 (pionowa prawostronna) y = 2x + 3 (uko±na prawostronna)

17. Obliczy¢ przyrost ∆f(x) i ró»niczk¦ df(x) dla

f (x) =

2x − 1

3x + 2

,

x

0

= 0,

∆x = 1

i ∆x = 0.3

18. Napisa¢ wzór Maclaurina dla funkcji:

a)

f (x) = ln cos x,

n = 3

b)

f (x) =

1

1 + x

,

n = 4

19. Wyznaczy¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji:

a)

f (x) =

arctg

1 − x

1 + x

,

x ∈ h0, 1i

b)

f (x) = xe

−

√

x

,

x ∈ h1, 16i