Bio 5 2008 reduk

background image

1

KINEMATYKA

Kinematyka

Pojęcia pola prędkości

Strumień objętości i strumień masy

Równanie ciągłości

background image

2

Kinematyka

Kinematyka zajmuje się analitycznym opisem przepływów niezależnie

od przyczyn (sił) jakie ten ruch wywołały.

Główne zadanie polega na określeniu prędkości (

v) i przyspieszenia

(

a) dowolnego elementu płynu w dowolnej chwili (t)

Klasyfikacja przepływów

Wektorowe pole prędkości ogólnie opisuje funkcja

v =v(x,y,z,t)

Różne kryteria klasyfikacji przepływów

Ze względu na zależność od czasu

nieustalone (niestacjonarne)

ustalone (stacjonarne)

Ze względu na ilość współrzędnych

trójwymiarowe (przestrzenne)

dwuwymiarowe (płaskie, osiowosymetryczne,...)

jednowymiarowe

…….

background image

3

Opis przepływu wg Lagrange’a

Metoda analitycznego opisu

przepływów w której rozpatruje się

ruch elementów płynu wzdłuż ich

torów.

Identyfikacja elementu – za pomocą

współrzędnych w chwili

t

=

t

0

0

0

)

(

r

k

j

i

r

c

b

a

t

Wektor-promień r, określający

położenie elementu w chwili

t>t

0

zależy od

a,b,c,t

a,b,c,t

– zmienne Lagrange’a

x

z

y

O

a

r

i

j

k

b

P (t )

0

0

P(t)

c

0

r

r

y

x

z

Opis przepływu wg Lagrange’a

Wektor -promień

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

)

,

(

0

t

c

b

a

z

z

t

c

b

a

y

y

t

c

b

a

x

x

z

y

x

t

k

j

i

r

r

r

Jeżeli w równaniach zmieniamy

t to otrzymujemy równania toru

elementu płynu, który w chwili

t=t

0

był w punkcie

P

0

(

a,b,c)

Jeżeli zmieniamy

a,b,c – to otrzymujemy przestrzenny rozkład

elementów płynu w chwili

t

Indywidualnie traktuje poszczególne elementy płynu, opisując ich

położenie i zmianę stanu zachodzącą w czasie

Stosuje się w przypadkach, gdy istotne jest określenie zmian

parametrów przepływu wzdłuż toru elementu

x

z

y

O

a

r

i

j

k

b

P (t )

0

0

P(t)

c

0

r

r

y

x

z

background image

4

Opis przepływu wg Eulera

Polega na badaniu ruchu kolejnych elementów płynu przepływających

przez wybrany punkt przestrzeni

Metoda Eulera – analiza lokalna przepływów

Każda wielkość fizyczna jest przedstawiana w funkcji czasu i

współrzędnych położenia x,y,z

x,y,z,t – współrzędne Eulera

)

,

,

,

(

)

,

(

t

z

y

x

t

v

r

v

v

Pochodna substancjalna

Interesuje nas wyrażenie zmian dowolnej wielkości związanej z elementem

płynu w czasie

Określimy przyspieszenia elementu płynu który w danym momencie czasu

przechodzi przez punkt (x,y,z)

Prędkość jest funkcją

Wektor przyspieszenia jest pochodną zupełną wektora prędkości:

z

y

x

v

z

v

y

v

x

t

dt

dz

z

dt

dy

y

dt

dx

x

t

dt

d

v

v

v

v

a

v

v

v

v

v

a

)

t

,

z

,

y

,

x

(

v

v

z

y

x

v

dt

dz

v

dt

dy

v

dt

dx

Dla poruszającego się elementu

płynu jest:

pochodna lokalna

pochodna unoszenia

pochodna substancjalna

background image

5

Tor elementu płynu, linia prądu i inne pojęcia.

Tor elementu płynu

Współrzędne Lagrange’a - tor elementu płynu określony

jest bezpośrednio przez równania parametryczne

Współrzędne Eulera – tor elementu płynu opisany jest

przez równania różniczkowe

dt

v

dz

dt

v

dy

dt

v

dx

z

y

x

,

,

Równania musimy scałkować i wyeliminować parametr

t.

Stałe całkowania określa się z warunków brzegowych.

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

t

c

b

a

z

z

t

c

b

a

y

y

t

c

b

a

x

x

Linia prądu

Linia prądu – linia do której w danej chwili w każdym jej punkcie wektory

prędkości elementów, leżących na tej linii są styczne

x

z

y

O

i

j

k

K

v

ds

z

y

x

v

v

v

dz

dy

dx

d

k

j

i

v

k

j

i

s

background image

6

Linia prądu

Równanie różniczkowe linii prądu

0

k

j

i

k

j

i

0

s

v

)

(

)

(

)

(

dx

v

dy

v

dz

v

dx

v

dy

v

dz

v

dz

dy

dx

v

v

v

d

y

x

x

z

z

y

z

y

x

0

0

0

dx

v

dy

v

dz

v

dx

v

dy

v

dz

v

y

x

x

z

z

y

z

y

x

v

dz

v

dy

v

dx

Inne pojęcia

Rurka prądu - zbiór linii prądu poprowadzony przez punkty dowolnego

zamkniętego konturu

Struga

- płyn znajdujący się wewnątrz rurki prądu

Struga jednorodna - w każdym punkcie przekroju poprzecznego strugi prędkość,

gęstość, ciśnienie są takie same.

Struga elementarna - jeśli kontur otacza elementarne pole

dF

Powierzchnia prądu - ciągły zbiór linii prądu

x

z

y

O

i

j

k

K

v

ds

background image

7

Strumień objętości przepływu

Powierzchnia F nie jest powierzchnią prądu

Obliczamy strumień objętości przepływu
przez powierzchnię F

Elementarny strumień objętości
przepływu:

F

dF

v

n

v

t

v

n

dQ

dF

v

dF

v

d

n

cos

F

v

Całkowity strumień objętości
przepływu
przez powierzchnię

F:

F

n

F

dF

v

d

Q

F

v

F

n

śr

dF

v

F

v

1

s

m

F

v

Q

śr

/

3

V

Q

Używane nazwy:
strumień objętości przepływu
objętościowe natężenie przepływu

Strumień masy przepływu

Dla płynów ściśliwych ze względu na zmienną gęstość stosujemy

strumień masy przepływu:

Jeżeli płyn jest nieściśliwy:

]

[

kg/s

dF

v

d

Q

F

n

F

m

F

v

Uwaga na symbole:

m

Q

m

Q

d

Q

m

F

m

F

v

Używane nazwy:
strumień masy przepływu
masowe natężenie przepływu

background image

8

Równanie ciągłości

Vdt

z

v

Vdt

y

v

Vdt

x

v

zdt

y

x

x

v

v

zdt

y

v

z

y

x

x

x

x

)

(

,

)

(

)

(

)

(

Analogicznie dla

pozostałych kierunków

Równanie ciągłości

Vdt

z

v

y

v

x

v

z

y

x

)

(

)

(

)

(

Dla wszystkich trzech kierunków:

Przyrost ilości substancji zmagazynowanej w objętości

V w czasie

dt:

dt

t

V )

(

Uwzględniając, że objętości

V nie zmienia się w czasie dt:

Vdt

t

Otrzymane wyrażenia (*) i (**) muszą być sobie równe:

(*)

(**)

Vdt

z

v

y

v

x

v

Vdt

t

z

y

x

)

(

)

(

)

(

background image

9

Równanie ciągłości

Słuszne dla płynu idealnego oraz lepkiego

0

)

(

)

(

)

(

z

v

y

v

x

v

t

z

y

x

0

z

v

y

v

x

v

z

y

x

Dla przepływu nieściśliwego ustalonego

i nieustalonego

Równanie ciągłości dla nieustalonego przepływu przestrzennego płynu

ściśliwego

Przepływ jednowymiarowy (struga jednorodna)

Struga jednorodna, więc:
prędkość i gęstość w każdym punkcie przekroju

poprzecznego strugi jest jednakowa (w danej chwili)

Równanie ciągłości strugi jednorodnej

w nieustalonym przepływie płynu

ściśliwego:

0

)

(

)

(

s

vF

t

F

Dla płynu nieściśliwego:

0

)

(

)

(

s

vF

t

F

Dla przepływu ustalonego płynu ściśliwego:

0

)

(

s

vF

czyli

const

m

Q

vF

m

background image

10

Równanie ciągłości strugi

Masowe natężenie przepływu płynu ściśliwego w każdym przekroju

poprzecznym strugi ma stałą wartość.

Dla płynu nieściśliwego, możemy stosować objętościowe natężenie

przepływu

W przypadku płynu nieściśliwego prędkość ustalonego przepływu w

strudze zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do przekroju strugi

W ruchu ustalonym struga nie może ulec przerwaniu

Jeżeli struga o przekroju

F i prędkości v rozdziela się na n strug o

przekrojach

F

i

w których płyn porusza się z prędkością v

i

to:

const

Q

vF

n

i

i

i

v

F

Fv

1

Równanie ciągłości strugi

Jeżeli zastosujemy równanie ciągłości do układu krwionośnego możemy stwierdzić dlaczego w
naczyniach włoskowatych prędkość krwi jest bardzo mała (przyjmujemy pewne uproszczenie
złożonego układu).

Średnica aorty wynosi ok. 2,3cm – powierzchnia przekroju poprzecznego F=4 cm

2

Zakładając że przez aortę płynie Q=5 Litrów/minutę to prędkość krwi w aorcie wynosi:

Q=v*F v=Q/F=20,8 cm · s

-1

Zakładając, że całkowita powierzchnia poprzeczna wszystkich naczyń włoskowatych wynosi
F

k

=4800 cm

2

,to średnia prędkość w tych naczyniach wyniesie:

v

k

=Q/F

k

=0,017 cm ·s

-1

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Bio 7 2008 reduk
Różne, ex z bio 2008 (Automatycznie zapisany)
Różne, ex z bio 2008 (Automatycznie zapisany)
pytania bio 2008 09 10 11, Lekarski I rok ŚUM, biologia
2008 klucz bio ppid 26511 Nieznany (2)
Pritzker 2008 Jean Nouvel bio
us dhs national bio agro defense facility nbaf 2008
Ubytki,niepr,poch poł(16 01 2008)
2008 XIIbid 26568 ppt
Tamponada serca, Karpacz, 2008
Bliźniuk G , interoperacyjność przegląd, marzec 2008
komunikacja niewerbalna wgGlodowskiego 2008
Osteoporaza diag i lecz podsumow interna 2008
Wzorniki cz 3 typy serii 2008 2009

więcej podobnych podstron