CIĄGI LICZBOWE
Teoria:
Definicja granicy ciągu liczbowego.
Definicja liczby Eulera (liczby e ).
Zadanie. Obliczyć granicę ciągu:
1.
7
2
3
1
3
5
lim
3
4
2
4
n
n
n
n
n
n
2.
2
3
1
4
1
2
lim
5
5
3
2
10
n
n
n
n
3.
4
8
2
3
6
1
625
1
8
lim
n
n
n
n
4.
n
n
n
2
7
4
1
lim
2
5.
4
7
5
3
lim
n
n
n
6.
n
n
n
3
1
1
lim
7.
n
n
n
4
5
1
lim
8.
n
n
n
n
2
3
7
lim
FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ
Teoria:
Definicja funkcji.
Granica funkcji.
Reguła de’Hospitala.
Definicja pochodnej funkcji rzędu pierwszego i interpretacja geometryczna.
Warunek konieczny istnienia ekstremum.
Warunek dostateczny (wystarczający) istnienia ekstremum.
Zadanie 1. Obliczyć granicę funkcji
1.
x
e
e
x
x
x
sin
lim
0
2.
x
x
x
1
ln
1
lim
1
3.
1
ln
lim
2
1
x
x
x
4.
x
x
x
1
lim
5.
1
1
lim
0
x
x
x
e
e
Zadanie 2. Wyznaczyć ekstrema funkcji:
1.
2
3
2
x
x
y
2.
x
x
x
f
1
ln
2
3.
x
e
x
y
1
2
4.
1
2
2
2
x
x
x
y
5.
x
e
x
y
4
.
Zadanie 3. Obliczyć pochodną funkcji:
1.
1
y
2.
x
y
3.
2
x
y
4.
1
2
x
y
5.
x
y
ln
6.
1
ln
2
x
y
7.
x
x
y
1
2
8.
x
x
y
1
ln
2
9.
2
sin
1
x
x
y
10.
x
x
y
ctg
sin
4
2
11.
x
x
e
y
ln
12.
4
7
3
5
3
4
x
x
x
y
CAŁKI NIEOZNACZONE
Teoria:
Definicja całki nieoznaczonej
Funkcja pierwotna
Wzór na całkowanie przez podstawienie
Wzór na całkowanie przez części
Zadanie. Obliczyć:
1.
dx
x
x
2
3
1
2.
6
2
x
xdx
3.
5
3
2
1
x
dx
x
4.
dx
x
x
2
cos
2
5.
xdx
x cos
6.
dx
e
x
x
2
2
7.
dx
e
x
x
1
8.
xdx
x ln
9.
xdx
arctg
10.
dx
x
arctg
11.
dx
x
x
x
10
3
11
5
2
12.
dx
x
x
29
4
1
2
13.
dx
x
x
1
4
4
1
2
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Teoria:
Definicja rzędu macierzy.
Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.
Twierdzenie Cramera.
Rozwinięcie Laplace’a.
Zadanie 1. Rozwiązać układ równań
1.
0
2
4
2
3
2
x
y
z
y
z
x
z
x
y
2.
27
7
4
3
2
12
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
3.
0
4
2
0
4
2
0
3
8
4
2
u
z
y
x
u
z
y
x
u
z
y
x
4.
1
4
2
3
5
3
1
2
1
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
5.
10
6
3
6
4
2
3
2
y
x
y
x
y
x
6.
4
4
5
7
5
2
5
2
4
2
2
u
z
y
x
u
z
y
x
u
z
y
x
u
z
y
x
7.
3
3
7
1
3
3
3
4
4
3
2
4
3
2
4
2
1
4
3
2
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
CAŁKI OZNACZONE
Teoria:
Definicja całki oznaczonej
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
Zadanie. Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywymi:
1.
3
2
2
x
x
y
,
1
3
x
y
,
2.
x
x
y
2
2
,
x
x
y
2
2
,
3.
2
2
2
y
y
x
,
2
2
2
y
y
x
,
4.
2
2
2
x
x
y
,
2
2
2
x
x
y
,
5.
3
x
y
,
8
y
,
1
x