CIĄGI LICZBOWE

Teoria:



Definicja granicy ciągu liczbowego.



Definicja liczby Eulera (liczby e ).

Zadanie. Obliczyć granicę ciągu:

1.

7

2

3

1

3

5

lim

3

4

2

4















n

n

n

n

n

n

2.







 



2

3

1

4

1

2

lim

5

5

3

2

10











n

n

n

n

3.

4

8

2

3

6

1

625

1

8

lim











n

n

n

n

4.

n

n

n

2

7

4

1

lim

2









5.

4

7

5

3

lim









n

n

n

6.

n

n

n

3

1

1

lim











 





7.

n

n

n

4

5

1

lim











 





8.

n

n

n

n

2

3

7

lim























FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ

Teoria:



Definicja funkcji.



Granica funkcji.



Reguła de’Hospitala.



Definicja pochodnej funkcji rzędu pierwszego i interpretacja geometryczna.



Warunek konieczny istnienia ekstremum.



Warunek dostateczny (wystarczający) istnienia ekstremum.

Zadanie 1. Obliczyć granicę funkcji

1.

x

e

e

x

x

x

sin

lim

0







2.



 



x

x

x









1

ln

1

lim

1

3.

1

ln

lim

2

1





x

x

x

4.

x

x

x

1

lim





5.

1

1

lim

0







x

x

x

e

e

Zadanie 2. Wyznaczyć ekstrema funkcji:

1.

2

3

2







x

x

y

2.

 

x

x

x

f

1

ln

2





3.

x

e

x

y

1

2



4.

1

2

2

2









x

x

x

y

5.

x

e

x

y

4



.

Zadanie 3. Obliczyć pochodną funkcji:

1.

1



y

2.

x

y



3.

2

x

y



4.

1

2





x

y

5.

x

y

ln



6.





1

ln

2





x

y

7.

x

x

y

1

2





8.

x

x

y

1

ln

2





9.

2

sin

1

x

x

y





10.

x

x

y

ctg

sin

4

2



11.

x

x

e

y

ln



12.

4

7

3

5

3

4

x

x

x

y







CAŁKI NIEOZNACZONE

Teoria:



Definicja całki nieoznaczonej



Funkcja pierwotna



Wzór na całkowanie przez podstawienie



Wzór na całkowanie przez części

Zadanie. Obliczyć:

1.











dx

x

x

2

3

1

2.





6

2

x

xdx

3.





5

3

2

1

x

dx

x

4.



dx

x

x

2

cos

2

5.



xdx

x cos

6.



dx

e

x

x

2

2

7.









dx

e

x

x

1

8.



xdx

x ln

9.



xdx

arctg

10.



dx

x

arctg

11.









dx

x

x

x

10

3

11

5

2

12.







dx

x

x

29

4

1

2

13.







dx

x

x

1

4

4

1

2

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Teoria:



Definicja rzędu macierzy.



Twierdzenie Kroneckera-Capelliego.



Twierdzenie Cramera.



Rozwinięcie Laplace’a.

Zadanie 1. Rozwiązać układ równań

1.



































0

2

4

2

3

2

x

y

z

y

z

x

z

x

y

2.





























27

7

4

3

2

12

3

z

y

x

z

y

x

z

y

x

3.





































0

4

2

0

4

2

0

3

8

4

2

u

z

y

x

u

z

y

x

u

z

y

x

4.









































1

4

2

3

5

3

1

2

1

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

5.





























10

6

3

6

4

2

3

2

y

x

y

x

y

x

6.



















































4

4

5

7

5

2

5

2

4

2

2

u

z

y

x

u

z

y

x

u

z

y

x

u

z

y

x

7.













































3

3

7

1

3

3

3

4

4

3

2

4

3

2

4

2

1

4

3

2

4

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

CAŁKI OZNACZONE

Teoria:



Definicja całki oznaczonej



Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Zadanie. Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywymi:

1.

3

2

2







x

x

y

,

1

3







x

y

,

2.

x

x

y

2

2







,

x

x

y

2

2





,

3.

2

2

2







y

y

x

,

2

2

2









y

y

x

,

4.

2

2

2







x

x

y

,

2

2

2









x

x

y

,

5.

3

x

y



,

8



y

,

1





x