5. LINIE WPŁYWU W USTROJACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH

SPOSÓB STATYCZNY

5.1 INFROMACJE OGÓLNE

a konstrukcję działają obok obciążeń stałych jak na przykład ciężar własny również obciążenia,

których położenie może ulegać zmianie. Takimi obciążeniami są miedzy innymi obciążenia

użytkowe, technologiczne itp. Stad wynika potrzeba wyznaczania wielkości statycznych dla

różnych usytuowań obciążeń zmiennych szczególnie, gdy chcemy wyznaczyć wielkości ekstremalne.

Typowymi przykładami są mosty obciążone pojazdami, których położenie zmienia się oraz obciążenia

belki suwnicowej zależne od położenia suwnicy itd. Stąd ważnym zagadnieniem praktycznym statyki

budowli jest wyznaczenie linii wpływu wielkości statycznych, które pozwalają rozwiązywać problemy

związane ze zmiennością położenia obciążenia.

Linią wpływu wielkości statycznej Z (reakcji, sił przekrojowych jak momenty zginające, siły tnące i

osiowe) nazywamy wykres (dokładnie wykres funkcji) ilustrujący zależność wielkości Z od położenia

czynnej siły jednostkowej na ustalonym torze tej siły. Będziemy przyjmowali, że siła jednostkowa P=1

jest pionowa (w przypadku sił pod kątem wystarczy obrócić rysunek tak, aby siła była pionowa). Linią

przerywaną zaznaczamy tor przesuwania się siły (rys. 5.1).

Rys. 5.1

Można wyznaczać linie wpływu od jednostkowego momentu, ale nie będzie to przedmiotem niniejszego

wykładu. Wymiar rzędnych linii wpływu ustalamy następująco:

Stosujemy dwie metody wyznaczania linii wpływu: statyczną i kinematyczną. Wpierw zostanie

przedstawiona metoda statyczna.

Zanim przejdziemy do wyznaczania linii wpływu podamy ważne twierdzenie:

N

• dla układów statycznie wyznaczalnych wielkość statyczna jest liniową funkcją położenia siły

jednostkowej

• dla ustalonej tarczy.
Wynika to z faktu, że w równaniach równowagi występuje liniowa funkcja położenia siły

jednostkowej. Stąd wynika twierdzenie:

Linie wpływu wielkości statycznej dla ustrojów statycznie wyznaczalnych składają się z odcinków

prostych.

WNIOSEK 1

Linia wpływu wielkości statycznej dla każdej tarczy ustroju statycznie wyznaczalnego jest odcinkiem

prostej.

WNIOSEK 2

Dla każdej tarczy wystarczy wyznaczyć dwie rzędne linii wpływu dla dwóch różnych położeń siły

jednostkowej. Rzędne te z reguły wyznaczamy w pewnych punktach charakterystycznych dla danego

ustroju.

5.2 BELKI PROSTE

PRZYKŁAD

Belka swobodnie podparta.

Linia wpływu V

A

określona jest powyższą zależnością.

Można jednak ją wyznaczyć stawiając siłę w punkcie A

otrzymując V

A

=1 oraz w punkcie B otrzymując V

A

=0 i

następnie łącząc te dwie rzędne.

Gdy siła stoi w punkcie A V

B

=0, gdy siła jest w punkcie

B wtedy V

B

=1. Następnie otrzymujemy linię wpływu

łącząc dwie rzędne.

W dalszej części wykładu z reguły linię wpływu wyznaczać będziemy wyznaczając rzędną w

charakterystycznych punktach.

Dla powyższej belki wyznaczyć linię wpływu (L.W.) momentu M

α

i siły tnącej T

α

w przekroju α-α.

Linia wpływu momentu w przekroju α-α.

Linia wpływu siły tnącej w przekroju c α – α

Punktami charakterystycznymi są podpory A i B.

Przekrój α-α  dzieli belkę na dwie tarcze: (A- α)=1

;(α -C)=2. Dla tarczy 1, gdy siła stoi nad podporą w

punkcie A M

α

=0, a gdy stoi na „fajce” nad

punktem B to M

α

=b. Dla tarczy 2, gdy siła stoi nad

podporą w punkcie B M

α

=0, gdy na „fajce” nad

punktem A to M

α

=a.

Rzędne odkładamy po stronie włókien

rozciąganych.

Znakowanie sił tnących:

Dla tarczy 1 = (A - α )siłę stawiamy w punkcie A,

gdzie T

α

= 0 oraz na ”fajce” w punkcie B, gdzie

T

α

= -1.

Dla tarczy 2 = (α - B) w punkcie A na „fajce”,

gdzie siła tnąca T

α

= 1 oraz w punkcie B, gdzie

T

α

= 0.

WNIOSEK 1

Dla momentu w miejscu przekroju linia wpływu ma załamanie.

WNIOSEK 2

Dla siły tnącej linia wpływu ma skok, a dwie sąsiednie gałęzie są równoległe.

PRZYKŁAD

Wspornik

Linia wpływu V

A

V

A

– 1 = 0

V

A

= 1

Linia wpływu M

A

M

A

+ 1*x=0

M

A

= -x

Linia wpływu M

α

Dla 0

≤ x ≤ a

M

α

= 0

Dla a

≤ x ≤ l

M

α

= -1*(x-a)

Linia wpływu T

α

Dla 0

≤ x ≤ a

T

α

= 0

Dla a

≤ x ≤ l

T

α

= 1

WNIOSEK

Zauważmy, że linie wpływu momentów i sił tnących mają cechy charakterystyczne jak załamanie dla

momentu i skok dla siły tnącej.

PRZYKŁAD

Belka z łyżwą

Linia wpływu reakcji podporowej V

B

ΣY=0
V

B

– 1 = 0

V

B

= 1

Linia wpływu momentu M

A

ΣM

A

=0

M

A

– 1*(L – x) = 0

M

A

= L – x

Linia wpływu momentu M

α

Siła stoi nad podporą B

M

α

= 0

Siła stoi w miejscu przekroju α- α

V

B

= 1 oraz M

α

= 1*b

Linia wpływu dla siły tnącej T

α

Gdy siła stoi na tarczy 1 wówczas V

B

= 1

oraz

T

α

= - V

B

= - 1

Gdy siła stoi na tarczy 2 wówczas

T

α

= - 1 + V

B

= 0

WNIOSEK

Dla momentu linia wpływu ma załamanie rzędnych w przekroju α-α, a dla sił tnących odpowiednio skok.

Bardzo często mamy sytuację, że obciążenie nie działa bezpośrednio na daną belkę, ale jest przekazywane

w sposób pośredni. Na przykład na belki główne, dla których chcemy wyznaczyć linie wpływu obciążenie

może być przekazywane poprzez podłużnice i poprzecznie. Wyznaczymy linię wpływu momentu i siły

tnącej dla belki jak na powyższym rysunku. Wykonujemy to w ten sposób, że wyznaczamy linię wpływu

jakby siła poruszała się bezpośrednio po belce, a następnie uwzględniamy fakt, że jest przekazywane

pośrednio.

PRZYKŁAD

Gdy siła porusza się po podłużnicy 2 przekazywana

jest w punktach C i D na belkę co powoduje

zmniejszenie ekstremum wartości.

Tutaj został cięty skok linii wpływu, gdyż

obciążenie przekazywane jest w punktach C i D z

podłużnicy na belkę.

PRZYKŁAD

Rozpatrzmy belkę z dodatkowym wspornikiem. Początkowo wykonujemy linię wpływu jakby tego

wspornika nie było, a następnie uwzględnimy do jakiego miejsca jest ważna każda tarcza.

Zadania do samodzielnego rozwiązania