Wydziaª Matematyki Stosowanej

Zestaw zada« nr 7

Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

WEiP, energetyka, I rok

El»bieta Adamus

20 marca 2014r.

Caªka oznaczona i caªki niewªa±ciwe

1 Caªka oznaczona

Zadanie 1. Korzystaj¡c z twierdzenia Newtona-Leibniza oblicz nast¦puj¡ce caªki oznaczone:

a) R

2

0

f (x)dx

, gdzie f(x) =

 x

2

dla 0 ≤ x ≤ 1

2 − x dla 1 < x ≤ 2

b) R

e

1
2

| ln x|dx

c) R

π

0

x·sgn(cos x)dx

d) R

3

0

sgn(x − x

3

)dx

e) R

π

2

0

(x + 1) cos xdx

f) R

1

0

xe

−x

dx

g) R

2

0

e

2x

1+e

x

dx

h) R

4

0

dx

1+

√

x

i) R

ln 2

0

√

e

x

− 1dx

j) R

π

2

π

6

cos x

25+sin

2

x

dx

k) R

π

2

0

sin

2

x cos xdx

l) R

9

4

(1−x)

2

x

√

x

dx

Zadanie 2. Korzystaj¡c z denicji caªki oznaczonej uzasadnij równo±ci:

a) lim

n→∞

1

4

+2

4

+...+n

4

n

5

=

1
5

b) lim

n→∞

n

√

e+

n

√

e

2

+...+

n

√

e

n

n

= e − 1

Zadanie 3. Oblicz podane caªki, je±li R

4

−1

f (x)dx = 4

, R

4

−1

g(x)dx = 2

.

a) R

4

−1

f (x)

√

2

dx

b) R

4

−1

f (x)−g(x)

2

dx

Zadanie 4. Wyka», »e je±li funkcja y = f(x) jest ci¡gªa i parzysta na przedziale [−a, a], to

wówczas

Z

a

−a

f (x)dx = 2

Z

a

0

f (x)dx

Zadanie 5. Wyka», »e je±li funkcja y = f(x) jest ci¡gªa i nieparzysta na przedziale [−a, a], to

wówczas

Z

a

−a

f (x)dx = 0

Zadanie 6. Uzasadnij, »e je±li f jest ci¡gªa na przedziale [a, b], to

Z

b

a

f (x)dx = (b − a)

Z

1

0

f (a + (b − a)x)dx.

Zadanie 7. Uzasadnij równo±¢ R

40π

−10π

| sin x|dx = 50

R

π

0

| sin x|dx

.

Zadanie 8. Oblicz caªki:

a) R

100

0

g(x)dx

, gdy g(x) =

 1 dla x /

∈ N

2 dla x ∈ N

a) R

10

−2

g(x)dx

, gdy g(x) =

 x dla x /

∈ Z \ {0}

1

x

dla x ∈ Z \ {0}

1

Zadanie 9. Korzystaj¡c z twierdzenia o zachowaniu znaku przy caªkowaniu porównaj caªki:

a) R

2

1

dx

√

1+x

2

i R

2

1

dx

x

b) R

1

0

e

−x

sin xdx

i R

1

0

e

−x

2

sin xdx

Zadanie 10. Wyznacz funkcj¦:

a) F (x) = R

x

−1

f (t)dt

dla x ∈ [−1, 2], je±li f(x) =







1

dla x ∈ [−1, 0]

x

dla x ∈ (0, 1]

x

2

dla x ∈ (1, 2]

b) F (x) = R

x

0

f (t)dt

dla x ∈ [0, 3], je±li f(x) =







x − 1

dla x ∈ [0, 1]

−2x + 4 dla x ∈ (1, 2]
1

dla x ∈ (2, 3]

Zadanie 11. Wyznacz funkcj¦:

a) f(x) = R

x

0

(|t − 1| + |t + 1|)dt

dla x ≥ 0

b) g(x) : [0, +∞) → R dan¡ wzorem g(x) = R

x

0

||t − 1| − 2|dt

.

2 Krzywe na pªaszczy¹nie dane równaniami parametrycz-

nymi i we wspóªrz¦dnych biegunowych

Zadanie 12. a) Czy punkt (5, 1) le»y na okr¦gu x(t) = 2 + 5 cos t, y(t) = −3 + 5 sin t?

b) Czy punkt (2,

√

3)

le»y na okr¦gu x(t) = 2 cos t, y(t) = 2 sin t?

Zadanie 13. Zapisz krzywe dane paramterycznie we wspóªrzednych kartezja«skich:

a) x(t) = 3t, y(t) = 6t − t

2

b) x(t) = cos t, y(t) = sin 2t c) x(t) = t

3

+ 1

, y(t) = t

2

d) x(t) = t − sin t, y(t) = 1 − cos t

Zadanie 14. Znajd¹ warto±¢ parametru t odpowiadaj¡c¡ danym wspóªrz¦dnym punktu na krzywej,

której równanie dane jest parametrycznie:

a) x(t) = 3(2 cos t − cos2t), y(t) = 3(2 sin t − sin 2t), P = (−9, 0)

b) x(t) = t

2

+ 2t

, y(t) = t

3

+ t

, P = (3, 2)

c) x(t) = 2tgt, y(t) = 2 sin

2

t + sin 2t

, P = (2, 2)

3 Zastosowania geometryczne caªki oznaczonej

3.1 Funkcja dana wzorem y=f(x) lub równaniem F(x,y)=0

Zadanie 15. Oblicz pola obszarów ograniczonych krzywymi:

2

a)x = −1, x = 1, y =

1

1+x

2

b) y = sin x, dla x ∈ [0, 2π] oraz osi¡ Ox c)

x

2

9

+

y

2

4

= 1

d) y = x

3

+ x

2

− 2x

dla x ∈ [−2, 2] i osi¡ Ox

e) y

2

= x

, x = 8

f) y = sin x, y = cos (2x) i osi¡ Oy g) y = x

2

, y = 2x

2

, y = 8 dla x ≥ 0

h) y = x

2

− 1

, y = 5 − x, y =

x

5

− 1

i) y =

x

2

4

, y = 3x −

x

2

2

j) (x − 1)

2

+ (y − 2)

2

= 4

k) y = −x

2

+4x−3

, y = 6−x, y = 4x−3 l) xy = 4, x+y = 5 m) y

2

= 2x, x

2

+y

2

−4x = 0

n) 9y

2

= x(x − 3)

2

o) y

2

(2 − x) = x(1 − x)

2

Zadanie 16. Podaj przykªad wzoru funkcji f 6= const takiej, »e R

5

−5

f (x)dx = 0

.

Zadanie 17. Oblicz dªugo±ci nast¦puj¡cych ªuków:

a) y = x

2

, x ∈ [0, 2]

b) y

2

= x

2

odci¦ty prost¡ x =

4
3

c) y =

√

2x − x

2

, x ∈ [0, 1]

d) y = ln (sin x), x ∈ [

π

3

,

π

2

]

e) y = ln x, x ∈ [

√

3, 2

√

2]

f) y =

√

x − x

2

+ arcsin

√

x

g) y = ln

e

x

+1

e

x

−1

Zadanie 18. W jaim stosunku parabola y = 1−x

2

dzieli kwadrat K = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤

y ≤ 2}

. Oblicz pole i obwód jednego z dwóch (dowolnie wybranego) wycinka tego kwadratu.

Zadanie 19. Oblicz obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzchni¡ powstaªa przez obrót:

a) dookoªa osi Ox ªuku paraboli y

2

= 4x

, w granicach 0 ≤ x ≤ 3.

b) dookoªa osi Ox linii y = sin x oraz pªaszczyznami x = 0, x = π.

c) dookoªa osi Ox gury pªaskiej ograniczonej krzywymi o równaniach y = x

2

, y

2

= x

.

d) dookoªa osi Oy gury pªaskiej a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ e

−x

.

e) ªuku krzywej y =

1

x−1

, dla x ∈ [2, 4] dookoªa osi 0x.

f) ªuku krzywej y = e

−x

√

sin x

, dla x ∈ [0, π] dookoªa osi 0x.

g) dookoªa osi Ox gury pªaskiej ograniczonej krzywymi o równaniach y =

3

√

x, y =

√

x

.

Zadanie 20. Oblicz pole powierzchni Σ powstaªej z obrotu:

a) wokóª osi Ox wykresu funkcji y = x

3

, dla 0 ≤ x ≤ 1.

b) wokóª osi Ox okr¦gu x

2

+ (y − 3)

2

= 4

(otrzymujemy torus).

c) paraboli y =

x

2

2

odci¦tej prost¡ y =

3
2

wokóª osi Oy.

3

Zadanie 21. Oblicz obj¦to±¢ bryªy ograniczonej przez

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1,

x

2

a

2

+

z

2

b

2

= 1

.

Zadanie 22. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaªej przez obrót gury ograniczonej przez x = 0, y

2

= 4−x

wokóª osi Oy.

Zadanie 23. Oblicz obj¦to±¢ bryªy powstaej przez obrót wokóª osi Oy gury ograniczonej przez
y = a −

x

2

a

oraz y = a − x.

Zadanie 24. Oblicz pole powierzchni i obj¦to±¢ kuli x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

.

Zadanie 25. Oblicz obj¦to±¢ elipsoidy powstaªej z obrotu wokóª osi Ox ªuku elipsy

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1

.

Zadanie 26. Oblicz obj¦to±¢ i pole powierzchni bryªy obrotowej (tu elipsoida) powstaªej przez

obrót dookoªa osi Ox krzywej 16x

2

+ 8y

2

= 144

.

Uwaga: Równanie elipsy o ±rodku w punkcie (x

0

, y

0

)

i póªosiach dªugo±ci a, b:

(x − x

0

)

2

a

2

+

(y − y

0

)

2

b

2

= 1

3.2 Krzywe dane równaniami parametrycznymi

Zadanie 27. Oblicz pole obszaru ograniczonego ªukiem cykloidy x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t)

dla t ∈ [0, 2π]i osi¡ Ox.

Zadanie 28. Oblicz pole obszaru ograniczonego p¦tl¡ linii x = t

2

, y = t −

1
3

t

3

, t ∈ [0,

√

3]

.

Zadanie 29. Oblicz pole obszaru ograniczonego asteroid¡ x(t) = a cos

3

t

, y(t) = a sin

3

t

.

Zadanie 30. Oblicz dªugo±¢ ªuku krzywej:

a) x(t) = r cos t, y(t) = r sin t (okr¡g o promieniu r).

b) x = r(cos t + t sin t), y = r(sin t − t cos t), t ∈ [0, π], r > 0 (ewolwenta okr¦gu).

c) x = t

2

, y = t −

t

3

3

, t ∈ [0,

√

3]

.

d) x = cos t + ln(tg

t

2

), y = sin t

, t ∈ [

π

2

,

2
3

π]

.

Zadanie 31. Oblicz obj¦to±¢ i pole powierzchni bryªy utworzonej przez obrót dookoªa osi Ox:

a) krzywej x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0, π].

b) cykloidy x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈ [0, 2π], a > 0.

Zadanie 32. Oblicz pole powierdzni bryªy obrotowej powstaªej przez obrót wokóª osi Ox asteroidy
x = a cos

3

t

, y = a sin

3

t

.

4

3.3 Wspóªrz¦dne biegunowe

Zadanie 33. Oblicz pole obszaru ograniczonego:

a) kardioid¡ r = a(1 + cos θ), a > 0, θ ∈ [0, 2π].

b) rozet¡ czterolistn¡ r = a sin 2ϕ, dla a > 0 oraz ϕ ∈ [0, 2π].

Zadanie 34. Oblicz dªugo±c ªuku krzywej r = a(1 + cos θ), a > 0, t ∈ [0,

π

2

]

.

Zadanie 35. Naszkicuj podane krzywe i oblicz pola ograniczonych nimi obszarów. W tym celu

wprowad¹ wspóªrz¦dne biegunowe.

a) (x

2

+ y

2

)

2

= a

2

(x

2

− y

2

)

, a > 0 (lemniskata Bernoulliego)

b) (x

2

+ y

2

)

3

= 4a

2

xy(x

2

− y

2

)

, a > 0

4 Caªki niewªa±ciwe

Zadanie 36. Korzystaj¡c z denicji zbadaj zbie»no±¢ nast¦puj¡cych caªek niewªa±ciwych pierw-

szego rodzaju (dla caªek zbie»nych oblicz ich warto±ci):

a) R

+∞

1

dx
x

4

b) R

+∞

0

dx

3x+1

c) R

0

−∞

sin xdx

d) R

+∞

1

dx

√

x

e) R

+∞

1

ln x

x

dx

f) R

+∞

0

x sin xdx

g) R

+∞

0

e

−x

sin xdx

h) R

+∞

−∞

dx

x

2

+2x+2

i) R

∞

0

xdx

x

2

+4

j) R

−1

−∞

dx

3

√

3x−5

k) R

+∞

−∞

e

−2x

dx

l) R

+∞

−∞

x ln (x

2

+ 1)dx

m) R

+∞

0

arcctgxdx

n) R

−

1
2

−∞

dx

x

2

+x+1

o) R

+∞

1

e

1

x

x

2

dx

p) R

+∞

1

dx

x

√

1+x

5

+x

10

q) R

+∞

2

dx

x

2

+x−2

Zadanie 37. Oblicz pole obszaru nieograniczonego, którego brzegiem jest odcinek prostej x = 1,

cz¦±¢ osi Ox, dla 1 ≤ x < ∞ i cz¦±¢ krzywej y =

1

x

2

(x+1)

, dla [1, +∞).

Zadanie 38. Oblicz pole obszaru nieograniczonego, którego brzegiem jest prosta y = 0 oraz krzywa
y =

x

x

4

+1

.

Zadanie 39. Korzystaj¡c z denicji zbadaj zbie»no±¢ nast¦puj¡cych caªek niewªa±ciwych drugiego

rodzaju (dla caªek zbie»nych oblicz ich warto±ci):

a) R

2

1

dx

(x−1)

2

b) R

e

1

dx

x

√

ln x

c) R

0

−1

x−1

3

√

x

5

dx

d) R

1

0

dx

√

4x−4x

2

e) R

1

−1

dx

√

1−x

2

f) R

1

0

ln xdx

g) R

3
2

π

π

dx

sin

2

x

h) R

π

0

cos xdx

3

√

1−2 sin x

i) R

3

π

0

1

x

2

sin

1

x

dx

j) R

1
e

0

dx

x ln

2

x

k) R

1

0

dx

x

2

−4x+3

l) R

1

0

x

1−x

dx

m) R

16

0

dx

3

√

x

4

n) R

1

1
2

dx

√

1−x

2

arcsin x

o) R

2

1

dx

√

x

2

−1

p) R

2

1

dx

√

−x

2

+3x−2

Zadanie 40. Poprzez podatwienie t = tgx sprowad¹ caªk¦ R

π

2

0

dx

a

2

cos

2

x+b

2

sin

2

x

do caªki niewªa±ciwej

I-go rodzaju (tj. w przedziale niesko«czonym). Oblicz otrzyman¡ caªk¦.

5

Zadanie 41. Poprzez podatwienie x = 5−

1

t

sprowad¹ caªk¦ niewªa±ciw¡ II-go rodzaju (tj. z funkcji

nieograniczonej) R

5

0

dx

√

25−x

2

do caªki niewªa±ciwej I-go rodzaju (tj. w przedziale niesko«czonym).

Oblicz otrzyman¡ caªk¦.

Zadanie 42. Oblicz pole obszaru, którego brzegiem jest odcinek osi Ox dla 0 ≤ x ≤ 9, rz¦dne w

punktach x = 0, x = 9 i krzywa y =

1

3

√

x−1

.

6