6. Układy równań liniowych

Definicja 6.1. Układem równań liniowych nazywamy układ równań











a

11

x

1

+ ... + a

1n

x

n

= b

1

.........................................

a

m1

x

1

+ ... + a

mn

x

n

= b

m

,

gdzie x

1

, ..., x

n

są niewiadomymi, zaś a

ij

, b

i

, gdzie i = 1, ..., m; j = 1, ....n są skalarami

ze zbioru K, gdzie K = R lub K = C.

Definicja 6.2. Rozwiązaniem tego układu nazywamy każdy ciąg (x

1

, ..., x

n

) ∈ K

n

, który

spełnia ten układ.

Definicja 6.3. Skalary a

ij

nazywają się współczynnikami układu równań.

Skalary b

1

, ..., b

m

nazywają się wyrazami wolnymi układu.

Definicja 6.4. Jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zeru, układ równań nazywa się
jednorodnym. W przeciwnym wypadku mówimy, że układ jest niejednorodny.

Definicja 6.5. Układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej

Ax = b,

gdzie macierz A o m wierszach i n kolumnach

A =









a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

..

.

..

.

. . .

..

.

a

m1

a

m2

. . . a

mn









nazywa się macierzą współczynników.

Definicja 6.6. Macierze kolumnowe:

b =











b

1

·
·
·
b

m











,

x =











x

1

·
·
·
x

n











.

nazywane są wektorem wyrazów wolnych oraz wektorem niewiadomych.

Twierdzenie 6.1 (Kroneckera–Capellego). Układ równań ma rozwiązanie wtedy i tylko wte-
dy, gdy

rkA = rk[A, b] = r,

gdzie [A, b] jest macierzą utworzoną z macierzy A przez dopisanie do niej kolumny wyrazów
wolnych.

Uwaga 6.1. Macierz [A, b] nazywa się macierzą rozszerzoną (uzupełnioną) układu.

Definicja 6.7. Układy równań dzielimy na trzy typy ze względu na liczbę rozwiązań:

1. Układy sprzeczne, gdy układ nie ma rozwiązania:

rkA 6= rk[A, b].

14

2. Układy oznaczone, gdy mają dokładnie jedno rozwiązanie (jeden wektor x):

rkA = rk[A, b] = n

3. Układy nieoznaczone, gdy zbiór rozwiązań zawiera nieskończenie wiele rozwiązań (nie-

skończenie wiele wektorów x):
rkA = rk[A, b] = r < n.

Definicja 6.8. Układ równań, który posiada rozwiązanie (jedno lub więcej), nazywamy
układem zgodnym.

Definicja 6.9. Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtedy i tylko wtedy, gdy
mają dokładnie taki sam zbiór rozwiązań.

Uwaga 6.2. Aby otrzymać układy równoważne, można wykonywać operacje elementarne
na układzie równań liniowych, które polegają na:

— przestawieniu dwóch dowolnych równań,
— pomnożeniu obu stron równania przez dowolny skalar różny od zera,
— dodaniu wielokrotności jednego równania do innego równania

Definicja 6.10. Metoda rozwiązywania układu równań, polegająca na sprowadzeniu go
do równoważnego układu schodkowego nosi nazwę metody eliminacji Gaussa.

Twierdzenie 6.2 (Cramera). Niech dany będzie układ równań











a

11

x

1

+ ... + a

1n

x

n

= b

1

,

.......................................
a

n1

x

1

+ ... + a

nn

x

n

= b

n

,

taki że det A 6= 0 (macierz A jest kwadratowa!),

wtedy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i rozwiązanie to jest dane wzorami

x

i

=

det A

i

det A

dla

i = 1, ..., n,

gdzie A

i

jest macierzą otrzymaną z macierzy A przez zastąpienie i–tej kolumny kolumną

wyrazów wolnych.

Twierdzenie 6.3. Układ n równań liniowych jednorodnych

Ax = 0

ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy

det A = 0.

7. Wektory w przestrzeni

Definicja 7.1. Jeśli przez dowolny punkt O w przestrzeni poprowadzimy trzy wzajemnie
prostopadłe zorientowane osie Ox, Oy, Oz i na każdej z nich wprowadzimy skalę równomier-
ną, to układ tych trzech osi nazywamy ortokartezjańskim układem współrzędnych i oznaczamy
Oxyz.

Definicja 7.2. Każdemu punktowi P przestrzeni, w której wprowadzono układ Oxyz, przy-
porządkowana jest dokładnie jedna uporządkowana trójka liczb (x

P

, y

P

, z

P

). Liczby te są

współrzędnymi rzutów prostokątnych punktu P na osie Ox, Oy, Oz. Nazywamy je współ-
rzędnymi punktu P w układzie Oxyz.

15

P

x

P

y

P

z

P

Definicja 7.3. Niech P

1

(x

1

, y

1

, z

1

) i P

2

(x

2

, y

2

, z

2

) są dwoma dowolnymi punktami, wtedy

przez P

1

P

2

będziemy oznaczać odcinek łączący te dwa punkty, którego długość d można

obliczyć ze wzoru:

d = d(P

1

P

2

) = d(P

1

, P

2

) =

q

(x

2

− x

1

)

2

+ (y

2

− y

1

)

2

+ (z

2

− z

1

)

2

Definicja 7.4. Wektorem o początku w P

1

i końcu w P

2

, który oznaczamy

−−→

P

1

P

2

, nazywamy

uporządkowaną parę punktów P

1

i P

2

, wyznaczającej w danej przestrzeni odcinek skierowany,

co zapisujemy:

~a =

−−→

P

1

P

2

P

1

P

2

a

Definicja 7.5. Wektorem zerowym nazywamy wektor, którego początek i koniec pokrywa
się z jego końcem i oznaczamy go przez ~0

Definicja 7.6. Długością wektora ~a =

−−→

P

1

P

2

nazywamy odległość punktów P

1

i P

2

i ozna-

czamy

k~ak = k

−−→

P

1

P

2

k

Definicja 7.7. Współrzędnymi (składowymi) wektora ~a =

−−→

P

1

P

2

, gdzie P

1

(x

1

, y

1

, z

1

), P

2

(x

2

, y

2

, z

2

),

nazywamy liczby

a

x

= x

2

− x

1

,

a

y

= y

2

− y

1

,

a

z

= z

2

− z

1

,

co zapisujemy

~a = [a

x

, a

y

, a

z

].

16

Uwaga 7.1.

~0 = [0, 0, 0]

k~ak =

q

a

2

x

+ a

2

y

+ a

2

z

Definicja 7.8. Dwa wektory ~a = [a

x

, a

y

, a

z

] i ~b = [b

x

, b

y

, b

z

] nazywamy równymi, co zapisu-

jemy ~a = ~b, jeśli

a

x

= b

x

,

a

y

= b

y

,

a

z

= b

z

.

Definicja 7.9. Wektorem swobodnym nazywamy wektor będący reprezentantem zbioru wek-
torów, mających ten sam kierunek, zwrot i długość.

Definicja 7.10. Sumą ~a + ~b wektorów ~a = [a

x

, a

y

, a

z

] i ~b = [b

x

, b

y

, b

z

] nazywamy wektor

~c = [c

x

, c

y

, c

z

], taki że

~c = [a

x

+ b

x

, a

y

+ b

y

, a

z

+ b

z

].

a

b

c

×

=a +b

Własność 7.1 (sumy wektorów).

— ~a + ~b = ~b + ~a
— (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)
— ~a + ~0 = ~a

Definicja 7.11. Iloczynem λ~a wektora ~a = [a

x

, a

y

, a

z

] i skalara λ ∈ R nazywamy taki

wektor ~c, że

~c = [λa

x

, λa

y

, λa

z

]

Własność 7.1.

— µ(λ~a) = λ(µ~a) = (µλ)~a,

µ, λ ∈ R

— λ(~a + ~b) = λ~a + λ~b
— (λ + µ)~a = λa + µ~a

Definicja 7.12. Dwa niezerowe wektory ~a, ~b nazywamy kolinearnymi (współliniowymi),
jeżeli istnieje liczba rzeczywista α ∈ R, α 6= 0, że

~b = α~a

Uwaga 7.2. Dla α = −1 wektory ~a i ~b są przeciwne, tzn. ~a = −~b

Twierdzenie 7.1. Jeśli ~b = α~a, to k~bk = |α|k~ak

17

Twierdzenie 7.2. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równoległości dwóch wektorów

~a = [a

x

, a

y

, a

z

] i ~b = [b

x

, b

y

, b

z

] jest, aby

rk

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

!

= 1

(proporcjonalność współrzędnych)

Definicja 7.13. Wersorem niezerowego wektora ~a nazywamy wektor ~

a

∗

spełniający waru-

nek:

~a = k~ak ~

a

∗

.

Uwaga 7.3.

k ~

a

∗

k = 1

i

~a k ~

a

∗

Definicja 7.14. Wektor, którego długość jest równa 1, nazywamy wektorem jednostkowym.

Definicja 7.15. Wersorami osi nazywamy wektory:

— ~i = [1, 0, 0] wersor osi Ox
— ~j = [0, 1, 0] wersor osi Oy
— ~k = [0, 0, 1] wersor osi Oz

Twierdzenie 7.3. Każdy wektor ~a = [a

x

, a

y

, a

z

] można przedstawić w postaci:

~a = a

x

~i + a

y

~j + a

z

~k.

Definicja 7.16. Kątem między wektorami ~a i ~b nazywamy kąt ^ określony na płaszczyźnie
wyznaczonej przez te wektory, dla którego jego miara

^(~a,~b) ¬ 180

◦

Uwaga 7.4. Kąt uważamy za skierowany dodatnio, jeśli liczony jest zgodnie z ruchem wska-
zówek zegara. W przeciwnym przypadku mówimy, że kąt jest skierowany ujemnie i piszemy
go ze znakiem ”-”.

Rysunek

7.1. Iloczyn skalarny

Definicja 7.17. Iloczynem skalarnym ~a ◦~b dwóch wektorów ~a i ~b nazywamy liczbę określoną
wzorem:

~a ◦ ~b =







k~akk~bk cos ^(~a,~b), ~a,~b 6= ~0,
0,

~a = ~0 ∨ ~b = ~0.

Własność 7.2.

— ~a ◦ ~b = ~b ◦ ~a
— ~a ◦ (~b + ~c) = ~a ◦ ~b + ~a ◦ ~c
— λ(~a ◦ ~b) = (λ~a) ◦ ~b = ~a ◦ (λ~b),

λ ∈ R

— ~a ◦ ~a = k~ak

2

Uwaga 7.5.

— k~ak =

√

~a ◦ ~a

— ~i ◦~i = ~j ◦ ~j = ~k ◦ ~k = 1
— ~i ◦ ~j = ~i ◦ ~k = ~j ◦ ~k = 0

18

Twierdzenie 7.4. Iloczyn skalarny dwóch wektorów ~a = [a

x

, a

y

, a

z

] i ~b = [b

x

, b

y

, b

z

] jest

równy:

~a ◦ ~b = a

x

b

x

+ a

y

b

y

+ a

z

b

z

.

Twierdzenie 7.5.

1. Wektor ~a jest prostopadły do wektora ~b, co zapisujemy ~a ⊥ ~b wtedy

i tylko wtedy, gdy ~a ◦ ~b = 0.

2. Cosinus kąta między wektorami ~a i ~b wyraża się wzorem:

cos

^(~a,~b) =

~a ◦ ~b

k~akk~bk

Definicja 7.18. Kątami kierunkowymi wektora ~a nazywamy kąty, jakie ten wektor tworzy
z osiami układu Ox, Oy, Oz. Oznaczamy je odpowiednio ϕ

x

, ϕ

y

, ϕ

z

Rysunek

Twierdzenie 7.6.

— cos ϕ

x

=

~a ◦~i

k~akk~ik

=

a

x

k~ak

— cos ϕ

y

=

~a ◦ ~j

k~akk~jk

=

a

y

k~ak

— cos ϕ

z

=

~a ◦ ~k

k~akk~kk

=

a

z

k~ak

Twierdzenie 7.7.

cos

ϕ
x

+ cos

2

ϕ

y

+ cos

2

ϕ

z

= 1

Twierdzenie 7.8. Jeśli ~

a

∗

jest wersorem niezerowego wektora ~a, to:

~

a

∗

= [cos ϕ

x

, cos ϕ

y

, cos ϕ

z

]

7.2. Wektory liniowo niezależne

Definicja 7.19. Wektory ~a

1

, ~a

2

, . . . , ~a

n

nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieją stałe

α

1

, . . . , α

n

, nierówne jednocześnie zeru, takie że:

α

1

~a

1

+ α

2

~a

2

+ . . . + α

n

~a

n

= ~0.

W przypadku gdy takie wektory nie istnieją, wektory ~a

1

, . . . , ~a

n

nazywamy liniowo niezależ-

nymi.

Twierdzenie 7.9. Warunkiem koniecznym i wystarczającym kolinearności (współliniowości)
dwóch wektorów niezerowych jest ich liniowa zależność.

Definicja 7.20. Trzy wektory nazywamy komplanarnymi (współpłaszczyznowymi), jeśli są
równoległe do jednej płaszczyzny.

Twierdzenie 7.10. Warunkiem koniecznym i wystarczającym komplanarności trzech wek-
torów niezerowych jest ich liniowa zależność.

Twierdzenie 7.11. Układ trzech wektorów ~a,~b, ~c w przestrzeni R

3

jest liniowo niezależny

wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik W (~a,~b, ~c), utworzony ze współrzędnych tych wektorów
jest różny od zera, tzn.

W (~a,~b, ~c) =









a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z









6= 0.

19

Uwaga 7.6. W przestrzeni R

3

układ złożony z trzech wektorów może być liniowo zależny lub

liniowo niezależny, ale układ czterech wektorów w R

3

musi być już liniowo zależny.

7.3. Orientacja przestrzeni

Definicja 7.21.

1. Znak wyznacznika W (~a,~b, ~c) określa orientację uporządkowanej trójki wektorów w R

3

.

2. Orientacja trójki wektorów (~a,~b, ~c) jest zgodna z orientacją (~

a

0

, ~

b

0

, ~

c

0

) wtedy i tylko

wtedy, gdy

sgnW (~a,~b, ~c) = sgnW (~

a

0

, ~

b

0

, ~

c

0

)

3. Uporządkowana trójka wektorów (~a,~b, ~c) ma w przestrzeni orientację dodatnią, jeżeli:

W (~a,~b, ~c) > 0,

a ujemną, jeśli

W (~a,~b, ~c) < 0.

Przykład 7.1. Uporządkowana trójka wektorów (~i,~i, ~

k) ma orientację dodatnią, ponieważ

W (~i,~i, ~k) =









1 0 0
0 1 0
0 0 1









= 1 > 0

Uwaga 7.7. Przez orientację przestrzeni R

3

rozumieć będziemy orientację trójki wersorów

(~i,~i, ~k).

7.4. Iloczyn wektorowy

Definicja 7.22. Iloczynem wektorowym ~a×~b uporządkowanej pary dwóch niekolinearnych
i niezerowych wektorów ~a i ~b w przestrzeni zorientowanej nazywamy taki wektor ~c = ~a ×~b,
który spełnia warunki:

1. Wektor ~c jest prostopadły do każdego z wektorów ~a i ~b.
2. Wektor ~c ma długość k~ck = k~akk~bk sin

^(~a,~b).

3. Zwrot wektora ~c jest taki, aby uporządkowana trójka wektorów (~a,~b, ~c) miała orientację

zgodną z orientacją przestrzeni.

Jeśli wektory są kolinearne lub jeden z nich jest wektorem zerowym, to przyjmujemy, że

~a × ~b = ~0.

Własność 7.3.

1. ~a × ~b = −~b × ~a
2. ~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
3. λ(~a × ~b) = (λ~a) × ~b = ~a × (λ~b),

λ ∈ R

4. k~ck = P

♦

, gdzie P

♦

jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach ~a i ~b

5. ~i × ~j = ~k,

~k ×~i = ~j,

~j × ~k = ~i

6. ~i ×~i = ~j × ~j = ~k × ~k = ~0

Twierdzenie 7.12. Jeśli ~a = [a

x

, a

y

, a

z

], ~b = [b

x

, b

y

, b

z

], to współrzędne wektora ~c = ~a × ~b

wyznaczamy ze wzoru:

~c = ~a × ~b =









~i

~j

~k

a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z









Przykład 7.2. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A(−1, 2, 3), B(0, 4, 3), C(−1, 2, 1).

20

7.5. Iloczyn mieszany

Definicja 7.23. Iloczynem mieszanym (~a~b~c) uporządkowanej trójki wektorów (~a,~b, ~c) w prze-
strzeni zorientowanej nazywamy liczbę (~a~b~c) określoną wzorem:

(~a~b~c) = (~a × ~b) ◦ ~c

Twierdzenie 7.13. Jeżeli ~a = [a

x

, a

y

, a

z

], ~b = [b

x

, b

y

, b

z

] i ~c = [c

x

, c

y

, c

z

], to iloczyn tych

wektorów jest określony wzorem:

(~a~b~c) = W (~a,~b, ~c) =









a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z









Własność 7.4.

1. (~a~b~c) = (~b~c~a) = (~c~a~b) (przemienna cykliczność)
2. (~a~b~c) = −(~b~a~c) = −(~a~c~b)
3. (~a × ~b) ◦ ~c = ~a ◦ (~b × ~c)
4. |(~a~b~c)| = V

r

, gdzie V

r

jest objętością równoległościanu rozpiętego na tych wektorach

Twierdzenie 7.14. Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby trzy wektory niezerowe

~a, ~b, ~c były komplanarne jest, aby ich iloczyn mieszany był równy zeru, tzn.:

(~a~b~c) =









a

x

a

y

a

z

b

x

b

y

b

z

c

x

c

y

c

z









= 0

Przykład 7.3. Obliczyć objętość ostrosłupa (czworościanu) o wierzchołkach A(3, 1, 1), B(1, 4, 1),
C(1, 1, 7), D(3, 4, 9)

21