8. Liniowa geometria analityczna w przestrzeni

8.1. Równanie płaszczyzny

Definicja 8.1. Niech dany będzie punkt P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) oraz niezerowy wektor ~

n = [A, B, C],

wtedy równanie:

A(x − x

0

) + B(y − y

0

) + C(z − z

0

) = 0

określa płaszczyznę π prostopadłą do wektora ~

n i zawierającą punkt P

0

,

tzn. ~

n ⊥ π, P

0

∈ π.

Wektor ~

n nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny π.

Uwaga 8.1. Równanie otrzymujemy z warunku prostopadłości wektorów ~

n i

−−→

P

0

P , gdzie P

jest dowolnym punktem należącym do płaszczyzny π:

~

n ⊥

−−→

P

0

P

⇐⇒ ~n ◦

−−→

P

0

P = 0

Definicja 8.2. Równanie

π : Ax + By + Cz + D = 0

nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny π, gdzie D = −Ax

0

− By

0

− Cz

0

.

Definicja 8.3. Równanie

π :

x

a

+

y

b

+

z

c

= 1

nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny π

Rysunek: szczególne położenia płaszczyzny

Własność 8.1. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty P

1

(x

1

, y

1

, z

1

), P

2

(x

2

, y

2

, z

2

),

P

3

(x

3

, y

3

, z

3

) można otrzymać z warunku komplanarności wektorów

−−→

P

1

P ,

−−→

P

1

P

2

,

−−→

P

1

P

3

, tzn.

(

−−→

P

1

P

−−→

P

1

P

2

−−→

P

1

P

3

) = 0 ⇐⇒









x − x

1

y − y

1

z − z

1

x

2

− x

1

y

2

− y

1

z

2

− z

1

x

3

− x

1

y

3

− y

1

z

3

− z

1









= 0

gdzie P (x, y, z) jest dowolnym punktem płaszczyzny π, stąd

π :











x

y

z

1

x

1

y

1

z

1

1

x

2

y

2

z

2

1

x

3

y

3

z

3

1











= 0

Własność 8.2.

π

1

: A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0,

π

2

: A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

— π

1

⊥ π

2

⇐⇒ ~

n

1

⊥ ~

n

2

— π

1

k π

2

⇐⇒ ~

n

1

k ~

n

2

— cos

^(π

1

, π

2

) = | cos

^( ~

n

1

, ~

n

2

)| =

| ~

n

1

◦ ~

n

2

|

k ~

n

1

kk ~

n

2

k

22

8.2. Równanie prostej

Definicja 8.4. Niech dany jest punkt P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) oraz niezerowy wektor ~

v = [m, n, p],

wtedy równania:

x − x

0

m

=

y − y

0

n

=

z − z

0

p

określają prostą l, równoległą do wektora ~

v i przechodzącą przez P

0

,

tzn. ~

v k l, P

0

∈ l.

Równania te nazywamy równaniami kanonicznymi prostej l, a wektor ~

v nazywamy wek-

torem kierunkowym prostej l.

Uwaga 8.2. Równania kanoniczne prostej otrzymujemy z warunku kolinearności wektorów ~

v

i

−−→

P

0

P (proporcjonalność współrzędnych):

~

v k

−−→

P

0

P =⇒

x − x

0

m

=

y − y

0

n

=

z − z

0

p

,

gdzie P (x, y, z) jest dowolnym punktem P , należącym do prostej l.

Definicja 8.5. Równania

l :







A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0,

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0.

nazywamy równaniami krawędziowymi prostej l.

Uwaga 8.3. Prosta l powstaje jako przecięcie się dwóch płaszczyzn

π

1

: A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0,

π

2

: A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0,

tzn. l = π

1

∩ π

2

,

stąd wektor kierunkowy prostej l:

~

v = ~

n

1

× ~

n

2

gdzie ~

n

1

, ~

n

2

są wektorami normalnymi płaszczyzn odpowiednio π

1

, π

2

.

Przykład 8.1. Zapisać równania kierunkowe prostej l, określonej przez równania krawę-
dziowe:







2x − 3y + z + 4 = 0,

x + y − z + 8 = 0.

— ~

v = ~

n

1

× ~

n

2

=









~i

~j

~k

2 −3

1

1

1

−1









= [2, 3, 5]

— P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) ∈ l, stąd niech x

0

= 0, wtedy







−3y

0

+ z

0

+ 4 = 0,

y

0

− z

0

+ 8 = 0,

=⇒ P (0, 6, 14)

—

x − 0

2

=

y − 6

3

=

z − 14

5

23

Definicja 8.6. Równania















x = x

0

+ mt,

y = y

0

+ nt,

z = z

0

+ pt,

nazywamy parametrycznymi równaniami prostej l.

Uwaga 8.4. Parametryczne równania prostej otrzymujemy z warunku równoległości wekto-

rów

−−→

P

0

P oraz ~

v, tzn. istnieje takie t ∈ R, że

−−→

P

0

P = t~

v

Własność 8.3. Proste l

1

, l

2

:

l

1

:

x − x

1

m

1

=

y − y

1

n

1

=

z − z

1

p

1

,

l

2

:

x − x

2

m

2

=

y − y

2

n

2

=

z − z

2

p

2

leżą na jednej płaszczyźnie, gdy wektory:

~

v

1

= [m

1

, n

1

, p

1

],

~

v

2

= [m

2

, n

2

, p

2

],

−−→

P

1

P

2

,

gdzie P

1

(x

1

, y

1

, z

1

) ∈ l

1

, P

2

(x

2

, y

2

, z

2

) ∈ l

2

, są komplanarne, tzn. gdy (~

v

1

~

v

2

−−→

P

1

P

2

) = 0, stąd









x

2

− x

1

y

2

− y

1

z

2

− z

1

m

1

n

1

p

1

m

2

n

2

p

2









= 0

Własność 8.4. Dla prostych komplanarnych zachodzi jeden z trzech przypadków:

— proste l

1

, l

2

mają jeden punkt wspólny, gdy

rk

"

m

1

n

1

p

1

m

2

n

2

p

2

#

= 2,

przy czym prosta l

1

⊥ l

2

⇐⇒ v

1

⊥ v

2

— prosta l

1

k l

2

, gdy rk

"

m

1

n

1

p

1

m

2

n

2

p

2

#

= 1,

— proste pokrywają się, gdy

rk






x

2

− x

1

y

2

− y

1

z

2

− z

1

m

1

n

1

p

1

m

2

n

2

p

2






= 1

Własność 8.5. Dla prostych l

1

, l

2

, dla których l

1

∩ l

2

6= ∅, mamy

cos

^(l

1

, l

2

) =

~

v

1

◦ ~

v

2

k ~

v

1

kk ~

v

2

k

8.3. Prosta i płaszczyzna

Własność 8.6. Podstawiając do równania płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 równania
prostej l:















x = x

0

+ mt,

y = y

0

+ nt,

z = z

0

+ pt,

24

otrzymujemy równanie:

(Am + Bn + Cp)t + (Ax

0

+ by

0

+ Cz

0

+ D) = 0

Mamy trzy przypadki:

— Am + Bn + Cp 6= 0, stąd l ∩ π = Q, gdzie współrzędne punktu przebicia Q wyznaczamy

z równania prostej l, wstawiając t = t

Q

:

t

Q

= −

Ax

0

+ by

0

+ Cz

0

+ D

Am + Bn + Cp

— Am + Bn + Cp = 0 ∧ Ax

0

+ by

0

+ Cz

0

+ D 6= 0, stąd

l ∩ π = ∅

=⇒

l k π

— Am + Bn + Cp = 0 ∧ Ax

0

+ by

0

+ Cz

0

+ D = 0, stąd

l ∈ π

(prosta leży na płaszczyźnie)

Rysunek 1: punkt przebicia Q
Rysunek 2: prosta równoległa do płaszczyzny
Rysunek 3: prosta leżąca na płaszczyźnie

Własność 8.7. Mamy także ~

v = [m, n, p] k l oraz ~

n ⊥ π, stąd:

— l ⊥ π ⇐⇒ ~

v k ~

n

— l k π ⇐⇒ ~

v ⊥ ~

n

—

^(l, π) =

π

2

− ^(~v, ~n), stąd

sin

^(l, π) = sin



π

2

− ^(~v, ~n)



= cos

^(~v, ~n)

czyli

sin

^(l, π) =

|~v ◦ ~n|

k~vkk~nk

Rysunek: kąt między prostą i płaszczyzną

Twierdzenie 8.1. Odległość d = d(P, π) punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny π : Ax + By +

Cz + D = 0 wyraża się wzorem:

d = d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

√

A

2

+ B

2

+ C

2

Rysunek: odległość punktu od płaszczyzny

Przykład 8.2. Wyznaczyć odległość miedzy dwoma równoległymi płaszczyznami:

π

1

: 11x − 2y − 10z + 20 = 0,

π

2

: 11x − 2y − 10z + 65 = 0

Ponieważ d(π

1

, π

2

) = d(P

1

, π

2

), gdzie P

1

∈ π

1

, stąd wybierając P

1

(0, 0, 2), mamy

d(π

1

, π

2

) = d(P

1

, π

2

) =

|11 · 0 − 2 · 0 − 10 · 2 − 65|

q

11

2

+ (−2)

2

+ (−10)

2

= 3

25

Twierdzenie 8.2. Odległość d = d(P, l) punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od prostej l o wektorze kierun-

kowym ~

v wyraża się wzorem:

d = d(P, l) =

|

−→

P Q × ~

v|

k~vk

,

gdzie Q jest dowolnym punktem należącym do prostej l

Rysunek: odległość punktu od prostej

Uwaga 8.5. Odległość d = d(P, l) punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od prostej l o wektorze kierunkowym

~

v jest równa wysokości trójkąta zbudowanego na wektorach ~

v i

−→

P Q, poprowadzonej z punktu

P , przy czym Q ∈ l.

Twierdzenie 8.3. Odległość d = d(l

1

, l

2

) dwóch prostych skośnych l

1

, l

2

(nierównoległych

i nie przecinających się) o wektorach kierunkowych odpowiednio ~

v

1

, ~

v

2

wyraża się wzorem:

d = d(l

1

, l

2

) =

|(~v

1

~

v

2

−−→

P

1

P

2

)|

k~v

1

× ~v

2

k

,

gdzie P

1

∈ l

1

, P

2

∈ l

2

.

Rysunek: odległość prostych skośnych

Definicja 8.7. Pękiem płaszczyzn o krawędzi l nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn,
zawierających tę krawędź (prostą l).

Jeśli krawędź l jest dana równaniami krawędziowymi:

l :







A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0,

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0,

przy czym wektory ~

n

1

= [A

1

, B

1

, C

1

], ~

n

2

= [A

2

, B

2

, C

2

] nie są kolinearne, to pęk płaszczyzn

dany jest równaniem:

λ

1

(A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

) + λ

2

(A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

) = 0,

gdzie λ

2
1

+ λ

2
2

6= 0.

Rysunek: pęk płaszczyzn

Przykład 8.3. Napisać równanie płaszczyzny, zawierającej punkt P (0, 2, 1) i krawędź prze-
cięcia płaszczyzn:

π

1

: 2x + 4y − z + 1 = 0,

π

2

: 3x + y − 6z + 3 = 0

— szukana płaszczyzna należy do pęku płaszczyzn określonego przez π

1

, π

2

, stąd

π : λ

1

(2x + 4y − z + 1) + λ

2

(3x + y − 6z + 3) = 0,

dla pewnych λ

1

, λ

2

— P 6∈ π

1

∧ P 6∈ π

2

=⇒ λ

1

6= 0 oraz

π : (2x + 4y − z + 1) + λ(3x + y − 6z + 3) = 0,

gdzie λ =

λ

2

λ

1

— P ∈ π =⇒ 8 − 1 + 1 + λ(2 − 6 + 3) = 0 =⇒ λ = 8
— (2x + 4y − z + 1) + 8(3x + y − 6z + 3) = 0 =⇒

π : 26x + 12y − 49z + 25 = 0.

26