9. Całka nieoznaczona

9.1. Funkcja pierwotna

Definicja 9.1. Niech D ⊆ R będzie przedziałem oraz niech f : D −→ R będzie funkcją.
Funkcję F : D −→ R nazywamy funkcją pierwotną funkcji f , jeśli F jest różniczkowalna oraz

F

0

= f.

Twierdzenie 9.1. Dwie dowolne funkcje pierwotne funkcji f : D −→ R różnią się o stałą,
to znaczy:

1. Jeśli F i G są funkcjami pierwotnymi funkcji f , to F − G = c dla pewnego c ∈ R.
2. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f oraz F − G = c dla pewnego c ∈ R, to G też

jest funkcją pierwotną funkcji f .

9.2. Całka nieoznaczona

Definicja 9.2. Całką nieoznaczoną funkcji f nazywamy zbiór jego pierwotnych i oznaczamy

Z

f (x) dx

Całkowaniem nazywamy wyznaczanie całki.

Wniosek 9.1. Jeśli F jest pierwotną funkcji f , to:

Z

f (x) dx = F (x) + c.

Twierdzenie 9.2 (warunek wystarczający całkowalności). Każda funkcja ciągła ma funkcję
pierwotną.

Twierdzenie 9.3.

1. Pochodna całki:

Z

f (x) dx



0

= f (x)

2. Całka pochodnej:

Z

f

0

(x) dx = f (x) + C

27

9.3. Całki funkcji elementarnych

Twierdzenie 9.4 (całki funkcji elementarnych).

1.

Z

0 dx = c;

2.

Z

1 dx = x + c;

3.

Z

x

α

dx =

1

α + 1

x

α+1

+ c dla α 6= −1;

4.

Z

1

x

dx = ln |x| + c;

5.

Z

a

x

dx =

a

x

ln a

+ c, dla a > 0, a 6= 1,

(w szczególności

Z

e

x

dx = e

x

+ c);

6.

Z

sin x dx = − cos x + c;

7.

Z

cos x dx = sin x + c;

8.

Z

1

cos

2

x

dx = tg x + c;

9.

Z

1

sin

2

x

dx = −ctg x + c;

10.

Z

1

√

1 − x

2

dx = arc sin x + c;

11.

Z

1

1 + x

2

dx = arctg x + c;

12.

Z

1

√

x

2

± 1

dx = arsinh x = ln





x +

√

x

2

± 1





;

Twierdzenie 9.5. Jeśli f, g : R ⊇ D −→ R są funkcjami, dla których istnieją całki nieozna-
czone, λ ∈ R, to:

1.

Z

(f ± g)(x) dx =

Z

f (x) dx ±

Z

g(x) dx;

2.

Z

(λf )(x) dx = λ

Z

f (x) dx.

Przykład 9.1.

Z

x

15

dx,

Z

dx

4

√

x

3

,

Z

x

2

− 1

x

2

+ 1

dx,

Z

3

4

√

x

3

− 3

5

√

x

4

3

√

x

2

dx

9.4. Całkowanie przez części

Twierdzenie 9.6 (Całkowanie przez części). Jeśli I ⊆ R jest przedziałem, u, v : I −→ R
są funkcjami różniczkowalnymi oraz istnieje całka nieoznaczona dla funkcji u · v

0

, to istnieje

także całka nieoznaczona dla funkcji u

0

· v oraz

Z

uv

0

dx = uv −

Z

u

0

v dx.

Przykład 9.2.

Z

xe

x

dx,

Z

ln x dx,

Z

e

x

sin x

28

9.5. Całkowanie przez podstawianie

Twierdzenie 9.7 (Całkowanie przez podstawianie). Jeśli I, J ⊆ R są przedziałami, f : I −→
J jest funkcją różniczkowalną oraz g : J −→ R jest funkcją, dla której istnieje pierwotna
G : J −→ R, to istnieje całka nieoznaczona dla funkcji (g ◦ f ) · f

0

oraz

Z

(g ◦ f ) · f

0

dx = G ◦ f.

Uwaga 9.1. Wzór całkowania przez podstawianie często zapisujemy jako:

Z

g



f (x)



f

0

(x) dx =

Z

g(t) dt,

Przykład 9.3.

Z

dx

(3x − 5)

3

,

Z

x

2

· 2

x

3

dx,

Z

sin(5x + 2) dx,

Z

tg x dx

9.6. Całkowanie funkcji wymiernych

Twierdzenie 9.8 (Podstawowe twierdzenie algebry (w wersji rzeczywistej)). Dowolny wie-
lomian można rozłożyć na czynniki nierozkładalne stopnia co najwyżej 2, to znaczy

Q(x) =

c(x − a

1

)

k

1

(x − a

2

)

k

2

. . . (x − a

r

)

k

r

. . .

. . . (x

2

+ p

1

x + q

1

)

l

1

(x

2

+ p

2

x + q

2

)

l

2

. . . (x

2

+ p

s

x + q

s

)

l

s

,

gdzie stopień wielomianu Q wynosi stQ = k

1

+ k

2

+ . . . + k

r

+ 2(l

1

+ l

2

+ . . . + l

s

) oraz

∆

i

= p

2
i

− 4q

i

< 0 dla i = 1, 2, . . . s.

Definicja 9.3. Funkcją wymierną R nazywamy iloraz dwóch wielomianów P i Q, czyli

R(x) =

P (x)

Q(x)

Jeśli stP < stQ, to funkcję wymierną R nazywamy właściwą.

Jeśli stP ­ stQ, to funkcję wymierną R nazywamy niewłaściwą.

Definicja 9.4 (ułamki proste). Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci:

A

(x − a)

k

oraz

Bx + C

(x

2

+ px + q)

s

,

gdzie a, p, q, A, B, C ∈ R, k, s ∈ N, ∆ = p

2

− 4q < 0.

Twierdzenie 9.9. Każdą funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci sumy
skończonej liczby ułamków prostych.

Twierdzenie 9.10 (O rozkładzie na ułamki proste). Niech R(x) =

P (x)

Q(x)

będzie funkcją

wymierną właściwą, wówczas istnieje jedyny rozkład funkcji R na ułamki proste oraz jeśli

Q(x) =

(x − a

1

)

k

1

(x − a

2

)

k

2

. . . (x − a

r

)

k

r

. . .

. . . (x

2

+ p

1

x + q

1

)

l

1

(x

2

+ p

2

x + q

2

)

l

2

. . . (x

2

+ p

s

x + q

s

)

l

s

,

gdzie ∆

i

= p

2
i

− 4q

i

< 0 dla i = 1, 2, . . . s, to

29

P (x)

Q(x)

=

A

11

(x − a

1

)

+

A

12

(x − a

1

)

2

+ . . . +

A

1k

1

(x − a

1

)

k

1

+

A

21

(x − a

2

)

+

A

22

(x − a

2

)

2

+ . . . +

A

2k

2

(x − a

2

)

k

2

+ . . .

+

A

r1

(x − a

r

)

+

A

r2

(x − a

r

)

2

+ . . . +

A

rk

r

(x − a

r

)

k

r

+

B

11

x + C

11

(x

2

+ p

1

x + q

1

)

+

B

12

x + C

12

(x

2

+ p

1

x + q

1

)

2

+ . . . +

B

1l

1

x + C

1l

1

(x

2

+ p

1

x + q

1

)

l

1

+

B

21

x + C

21

(x

2

+ p

2

x + q

2

)

+

B

22

x + C

22

(x

2

+ p

2

x + q

2

)

2

+ . . . +

B

1l

2

x + C

1l

2

(x

2

+ p

2

x + q

2

)

l

2

+ . . .

+

B

s1

x + C

s1

(x

2

+ p

s

x + q

s

)

+

B

s2

x + C

s2

(x

2

+ p

s

x + q

s

)

2

+ . . . +

B

sl

s

x + C

sl

s

(x

2

+ p

s

x + q

s

)

l

s

=

r

X

i=1

k

i

X

j

i

=1

A

ij

i

(x − a

i

)

j

i

+

s

X

i=1

l

i

X

j

i

=1

B

ij

i

x + C

ij

i

(x

2

+ p

i

x + q

i

)

j

i

.

Twierdzenie 9.11 (ułamek prosty pierwszego rodzaju).

Z

A

x − a

dx = A ln(x − a) + c,

Twierdzenie 9.12 (ułamek prosty drugiego rodzaju).

Z

A

(x − a)

k

dx = −

A

k − 1

·

1

(x − a)

k−1

+ c

dla k ­ 2.

Twierdzenie 9.13 (ułamek prosty trzeciego rodzaju).

Z

Ax + B

x

2

+ px + q

=

A

2

Z

2x + p

x

2

+ px + q

dx +



B −

A

2

p

 Z

dx

x

2

+ px + q

1.

Z

f

0

(x) dx

f (x)

= ln |f (x)| + C

Z

(2x + p) dx

x

2

+ px + q

= ln |x

2

+ px + q| + C

2.

Z

dx

(x − α)

2

+ β

2

=

1

β

arc tg

x − α

β

+ C

x

2

+ px + q =



x +

p

2



2

+

−∆

4

,

t =

2x + p

√

−∆

Twierdzenie 9.14 (ułamek prosty czwartego rodzaju).

Z

Ax + B

(x

2

+ px + q)

n

=

A

2

Z

2x + p

(x

2

+ px + q)

n

dx+

+



B −

A

2

p

 Z

dx

(x

2

+ px + q)

n

,

n > 1.

1.

Z

f

0

(x) dx

f

n

(x)

= −

1

n − 1

1

f

n−1

(x)

+ C

Z

(2x + p) dx

(x

2

+ px + q)

n

= −

1

n − 1

1

(x

2

+ px + q)

n−1

+ C

30

2.

I

n+1

=

t

2n(1 + t

2

)

n

+

2n − 1

2n

I

n

I

n

=

Z

dt

(t

2

+ 1)

n

,

t =

2x + p

√

−∆

Przykład 9.4.

Z

x

3

+ x + 2

x(x

2

− 1)

2

dx,

Z

7x − 7

x

3

− 2x

2

+ 5x

dx

31