13. Całki wielokrotne

13.1. Definicja i własności całki Riemanna

Definicja 13.1.

1. Kostką w R

N

będziemy nazywać zbiór K := [a

1

, b

1

]×. . .×[a

N

, b

N

], czyli

iloczyn kartezjański przedziałów [a

i

, b

i

], i = 1, . . . , N .

2. Objętością kostki będziemy nazywać liczbę v(K) := (b

1

− a

1

)· . . . ·(b

N

−

a

N

).

3. Liczbę δ(K) := max{(b

1

− a

1

), . . . , (b

N

− a

N

)} (czyli długość najdłuż-

szego boku kostki) nazywamy średnicą kostki K.

Definicja 13.2. Podzielmy kostkę K na mniejsze kostki K

1

, . . . , K

s

, o wnę-

trzach rozłącznych i takich, że K = K

1

∪ . . . ∪ K

s

. Oznaczmy ten zbiór kostek

K

1

, . . . , K

s

przez P .

1. Zbiór P nazywamy podziałem kostki K.
2. Liczbę δ(P ) := max{δ(K

1

), . . . , δ(K

s

)} nazywamy średnicą podziału P .

ℝ

a

1

b

1

a

2

b

2

ℝ

Rys. 1. Podział kostki K na mniejsze K

1

, . . . , K

s

, takie że K = K

1

∪ . . . ∪ K

s

Definicja 13.3. Niech P

1

, P

2

, P

3

, . . . jest ciągiem podziałów kostki K i niech

δ

j

oznacza średnicę podziału P

j

.

Ciąg podziałów P

1

, P

2

, P

3

, . . . nazywamy ciągiem normalnym, gdy lim

j→∞

δ

j

=

0, czyli gdy średnice kolejnych podziałów zmierzają do zera.

Definicja 13.4. Niech f : K → R jest funkcję ograniczoną.

Dla podziału P = {K

1

, . . . , K

t

} kostki K w każdej z kostek wybierzmy

dowolny punkt x

i

∈ K

i

. Dostajemy ciąg punktów pośrednich x

1

, . . . , x

t

.

59

Sumą całkową funkcji f dla podziału P i punktów pośrednich x

1

, . . . , x

t

nazywamy liczbę

S(f, P, x

1

, . . . , x

t

) =

t

X

i=1

f (x

i

)v(K

i

).

Definicja 13.5. Niech P

1

, P

2

, . . . jest normalnym ciągiem podziałów kostki

K.

Dla każdego podziału P

j

wybierzmy ciąg punktów pośrednich x

j
1

, . . . , x

j
t

j

i utwórzmy sumę całkową S(f, P

j

, x

j
1

, . . . , x

j
t

j

).

Niech f : K → R będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że funkcja f jest

całkowalna w sensie Riemanna na kostce K, jeśli dla każdego normalnego
ciągu podziałów P

1

, P

2

, . . . istnieje granica

lim

j→∞

S(f, P

j

, x

j
1

, . . . , x

j
t

j

)

i granica ta nie zależy ani od wyboru ciągu podziałów, ani od wyboru punk-
tów pośrednich.

Granicę tę oznaczamy

Z

K

f (x) dx

lub

Z

. . .

Z

K

f (x

1

, . . . , x

N

) dx

1

. . . dx

N

i nazywamy całką Riemanna funkcji f po kostce K.

Definicja 13.6. Dla zapisu całki funkcji dwóch lub trzech zmiennych mamy
odpowiednio całkę podwójną lub potrójną:

Z Z

K

f (x, y) dxdy

lub

Z Z Z

K

f (x, y, z) dxdydz.

Uwaga 13.1 (liniowość całki). Niech K będzie kostką w R

N

a f i g funkcjami

całkowalnymi w sensie Riemanna na K. Niech a, b będą stałymi rzeczywisty-
mi. Wtedy

Z

K

(af (x) + bg(x))dx = a

Z

K

f (x)dx + b

Z

K

g(x)dx.

Uwaga 13.2. Niech K

1

i K

2

będą dwoma kostkami w R

N

o rozłącznych wnę-

trzach. Wówczas dla każdej funkcji całkowalnej, mamy

Z

K

1

∪K

2

f (x)dx =

Z

K

1

f (x)dx +

Z

K

2

f (x)dx.

13.2. Interpretacja geometryczna całki Riemanna

Uwaga 13.3 (Interpretacja geometryczna całki Riemanna). W przypadku gdy
kostka K jest zwykłym prostokątem w R

2

, to znaczy K = [a, b] × [c, d],

a funkcja f : K → R jest nieujemna i ciągła, to

V =

ZZ

K

f (x, y)dxdy

czyli całka podwójna jest objętością bryły B w R

3

określonej nierównościami:

a ¬ x ¬ b,

c ¬ y ¬ d,

0 ¬ z ¬ f (x, y).

60

- 2

- 1

0

1

2

- 2

- 1

0

1

2

0

2

4

6

8

- 2

- 1

0

1

2

- 2

- 1

0

1

2

0

2

4

6

8

Rys. 2. Aproksymacja objętości pod wykresem funkcji

Definicja 13.7. Niech K = [a, b] × [c, d] będzie kostką (prostokątem) w R

2

oraz niech f : K → R będzie funkcją ciągłą. Załóżmy, że dla każdego y ∈ [c, d]
istnieje całka

R

b

a

f (x, y)dx. Jeżeli funkcja g(y) =

R

b

a

f (x, y)dx jest całkowalna

w sensie Riemanna, w przedziale [c, d], to całkę:

d

Z

c





b

Z

a

f (x, y)dx





dy

nazywamy całką iterowaną funkcji f . Całkę tę można również zapisywać
w postaci

d

Z

c

dy

b

Z

a

f (x, y)dx.

Uwaga 13.4. Podobnie definiujemy całkę iterowaną

b

Z

a

dx

d

Z

c

f (x, y)dy =

b

Z

a





d

Z

c

f (x, y)dy





dx.

13.3. Twierdzenie Fubiniego

Przykład 13.1. Obliczmy całkę

Z Z

K

xy dxdy, gdzie K = [0, 1] × [0, 1].

Mamy

1

Z

0





1

Z

0

xy dx





dy =

Z

1

0





y

1

Z

0

x dx





dy =

Z

1

0



y ·



1

2

x

2







1

0



dy =

=

Z

1

0



y ·

1

2



dy =

1

2

Z

1

0

y dy =

1

2

·



1

2

y

2







1

0

=

1

4

1

Z

0





1

Z

0

xy dy





dx =

Z

1

0





x

1

Z

0

y dy





dx =

Z

1

0



x ·



1

2

y

2







1

0



dx =

=

Z

1

0



x ·

1

2



dx =

1

2

Z

1

0

x dy =

1

2

·



1

2

x

2







1

0

=

1

4

61

Twierdzenie 13.1 (Twierdzenie Fubiniego). Niech K = [a, b] × [c, d] będzie
kostką (prostokątem) w R

2

. Niech f : K → R będzie funkcją ciągłą. Wówczas

istnieją całki iterowane

b

Z

a





d

Z

c

f (x, y)dy





dx

i

d

Z

c





b

Z

a

f (x, y)dx





dy

oraz zachodzą równości

ZZ

[a,b]×[c,d]

f (x, y) dxdy =

b

Z

a





d

Z

c

f (x, y)dy





dx =

d

Z

c





b

Z

a

f (x, y)dx





dy.

Przykład 13.2. Policzyć całkę

Z Z

K



xy − y

2



dxdy, gdzie K = [1, 2] × [3, 4].

Nasza funkcja jest ciągła na prostokącie, zatem możemy zastosować twier-

dzenie Fubiniego. Otrzymamy

ZZ

K

(xy − y

2

)dxdy =

2

Z

1

dx

4

Z

3

(xy − y

2

)dy =

2

Z

1





(x

y

2

2

−

y

3

3

)







4

3





dx

=

2

Z

1



7x

2

−

37

3



dx =

7x

2

4

−

37x

3

! 






2

1

= −

85

12

.

Uwaga 13.5. Niech B będzie ograniczonym podzbiorem R

N

i niech f : B → R

będzie funkcją ograniczoną oraz

f

B

(x) :=

(

f (x) dla x ∈ B,
0

dla x ∈ R

N

\ B.

Niech K będzie kostką w R

N

taką, że B ⊂ K. Wtedy całkę z funkcji f

po zbiorze B definiujemy jako

Z

B

f (x)dx :=

Z

K

f

B

(x)dx,

o ile

Z

K

f

B

(x)dx istnieje.

Definicja 13.8.

1. Niech [a, b] będzie odcinkiem w R, niech h

1

: [a, b] → R i h

2

: [a, b] → R

będą funkcjami ciągłymi na [a, b] takimi, że h

1

(x) < h

2

(x), x ∈ [a, b].

Wtedy zbiór

A := {(x, y) ∈ R

2

: a ¬ x ¬ b, h

1

(x) ¬ y ¬ h

2

(x)}

nazywamy zbiorem normalnym względem osi Ox.

2. Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem osi Oy.
3. Zbiór D zawarty w R

3

jest normalny względem współrzędnej z, jeśli

istnieje pewien zbiór normalny A zawarty w płaszczyźnie xy oraz istnieją
dwie funkcje g

1

, g

2

: A → R takie, że g

1

(x, y) < g

2

(x, y) oraz

D = {(x, y, z) ∈ R

3

: (x, y) ∈ A, g

1

(x, y) ¬ z ¬ g

2

(x, y)}.

62

4. Analogicznie definiujemy zbiór normalny względem pozostałych współ-

rzędnych.

5. Zbiorem normalnym będziemy nazywać zbiór normalny względem ja-

kiejś współrzędnej. Zbiorem regularnym będziemy nazywać zbiór, który
można podzielić na sumę zbiorów normalnych o rozłącznych wnętrzach.

h

1

HxL

h

2

HxL

x

y

a

b

a

a

b

h

1

Hy L

h

2

Hy L

x

y

Rys. 3. Zbiory normalne względem osi Ox i Oy

Twierdzenie 13.2 (Twierdzenie Fubiniego dla zbiorów normalnych w R

2

i R

3

).

1. Jeśli f : A → R jest funkcją ciągłą w zbiorze normalnym A (tak jak

w definicji), to

ZZ

A

f (x, y)dxdy =

b

Z

a

dx

h

2

(x)

Z

h

1

(x)

f (x, y)dy.

2. Jeśli f : D → R jest funkcją ciągłą w zbiorze normalnym D (tak jak

w definicji), to

Z Z Z

D

f (x, y, z)dxdydz =

b

Z

a

dx

h

2

(x)

Z

h

1

(x)

dy

g

2

(x,y)

Z

g

1

(x,y)

f (x, y, z)dz.

Przykład 13.3. Policzyć całkę

ZZ

T

(x

2

y)dxdy, gdzie T jest trójkątem ogra-

niczonym prostymi: y = x, y = 2x − 3, y = 1.

Zauważmy, że zbiór T jest normalny względem osi Ox. Ponieważ jednak

funkcja ograniczająca ten zbiór od dołu jest sklejeniem dwóch funkcji (y = 1
oraz y = 2x − 3), to wygodniej będzie podzielić T na dwa zbiory normalne (o
rozłącznych wnętrzach). Pierwszy z tych zbiorów to trójkąt T

1

ograniczony

63

y = x

y = 1

y

=

2

x

-

3

x

y

1

2

3

1

2

3

Rys. 4. Trójkat T

prostymi: y = x, y = 1, x = 2, a drugi to trójkąt T

2

ograniczony prostymi:

y = x, y = 2x − 3, x = 2. T jest więc zbiorem regularnym.

Z twierdzenia Fubiniego mamy:

ZZ

T

f (x, y)dxdy =

ZZ

T

1

f (x, y)dxdy +

ZZ

T

2

f (x, y)dxdy

=

2

Z

1

dx

x

Z

1

x

2

ydy +

3

Z

2

dx

x

Z

2x−3

x

2

ydy

=

2

Z

1

1

2

x

2

y

2

!






x

1

dx +

3

Z

2

x

Z

2x−3

1

2

x

2

y

2

!






x

2x−3

dx

=

2

Z

1

1

2

x

2

(x

2

− 1)

!

dx +

3

Z

2

−

3

2

x

2

(x

2

− 4x + 3)

!

dx

=

1

10

x

5

−

1
6

x

3

!






2

1

+

−3

10

x

5

+

3
2

x

4

−

3
2

x

3

!






3

2

=

57
10

+

29
15

=

229

30

.

13.4. Twierdzenie o zamianie zmiennych

Definicja 13.9. Załóżmy, że mamy zbiory mierzalne w sensie Jordana B i D
w R

n

(ograniczone i których brzeg jest miary zero) oraz odwzorowanie ϕ :

B → D, które jest klasy C

1

(różniczkowalne w sposób ciągły), przy czym ϕ

jest odwzorowaniem różnowartościowym i na cały zbiór D oraz odwzorowanie
odwrotne do ϕ też jest odwzorowaniem tej klasy.

64

Definicja 13.10. Dla odwzorowania ϕ(x) = (ϕ

1

(x

1

, . . . , x

n

), . . . , ϕ

n

(x

1

, . . . , x

n

))

możemy wypisać macierz Jacobiego, czyli macierz pochodnych cząstkowych
(w punkcie x ∈ B):

J (x) =











∂ϕ

1

∂x

1

(x) . . .

∂ϕ

1

∂x

n

(x)

..

.

. . .

..

.

∂ϕ

n

∂x

1

(x) . . .

∂ϕ

n

∂x

n

(x)











.

Wyznacznik J = det J (x) tej macierzy (w punkcie x ∈ B) nazywamy jako-
bianem. Przy uczynionych założeniach det J (x) 6= 0.

Definicja 13.11. Jeśli f : D → R będzie funkcją ciągłą. Wtedy (przy wcze-
śniejszych założeniach)

Z

D

f (y) dy =

Z

B

f (ϕ(x)) | det J (x)| dx.

Uwaga 13.6. Dla n = 1 dostajemy znane twierdzenie o całkowaniu przez
podstawienie:

Z

D

f (y)dy =

Z

B

f (ϕ(x))ϕ

0

(x)dx.

13.5. Zmiana zmiennych na dwuwymiarowe współrzędne

biegunowe

Definicja 13.12 (współrzędne biegunowe). Niech D ⊂ R

2

będzie kołem,

wycinkiem kołowym lub pierścieniem, wtedy stosujemy zamianę zmiennych:

x = r cos α,

y = r sin α.

Tak więc r =

q

x

2

+ y

2

, a zatem r ­ 0 jest odległością punktu (x, y) od po-

czątku układu współrzędnych. Kąt α jest kątem, jaki tworzy wektor o po-
czątku w (0, 0) i końcu w (x, y) z dodatnią częścią osi Ox.

Jakobian przekształcenia wynosi:

J =









∂x

∂r

∂x

∂α

∂y
∂r

∂y

∂α









=








cos α −r sin α

sin α

r cos α








= r cos

2

α + r sin

2

α = r

Przykład 13.4. Policzyć całkę

ZZ

D

x

2

+ y

2

dxdy, gdzie D jest kołem o pro-

mieniu R i środku w punkcie (0, 0), zatem D = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ R

2

}.

Skoro x

2

+ y

2

¬ R

2

, to promień r =

q

x

2

+ y

2

zmienia się w przedziale

[0, R], a kąt α zmienia się w całym zakresie [0, 2π].

Tak więc B = [0, R] × [0, 2π], czyli mamy

ZZ

D

(x

2

+ y

2

) dxdy =

ZZ

B

(r

2

) r drdα =

2π

Z

0

dα

R

Z

0

r

3

dr =

2π

Z

0

R

4

4

dα = 2πR

4

,

gdzie pierwsza równość zachodzi na podstawie twierdzenia o zmianie zmien-
nych, a druga na podstawie twierdzenia Fubiniego.

65

Przykład 13.5. Policzyć całkę

ZZ

D

xdxdy, gdzie D jest ćwiartką koła o pro-

mieniu R i środku w punkcie (0, 0), leżącą w drugiej ćwiartce płaszczyzny.

Stosujemy taką samą zmianę zmiennych. Tym razem r zmienia się także

od 0 do R, natomiast α zmienia się od

π

2

do π. Tak więc B = [0, R] ×

"

π

2

, π

#

:

ZZ

D

x dxdy

=

ZZ

B

r

2

cos α drdα =

π

Z

π

2

dα

R

Z

0

r

2

cos α dr

=

π

Z

π

2

R

3

3

cos α dα =

R

3

3

(− sin α)







π

π

2

=

R

3

3

.

13.6. Zmiana zmiennych na trójwymiarowe współrzędne sferyczne

Definicja 13.13 (współrzędne sferyczne). Współrzędne sferyczne w R

3

okre-

ślone są wzorami:











x = r cos α cos β,
y

= r sin α cos β,

z

= r sin β,

gdzie r ∈ (0, +∞), α ∈ (0, 2π), β ∈ (−

π

2

,

π

2

). Teraz r =

q

x

2

+ y

2

+ z

2

jest

odległością punktu (x, y, x) od początku układu współrzędnych, α jest kątem,
jaki tworzy wektor [x, y, 0] z dodatnią częścią osi Ox (długość geograficzna),
a β jest kątem, jaki tworzy wektor [x, y, z] z płaszczyzną Oxy (szerokość
geograficzna). Jakobian tej zmiany zmiennych wynosi

J = r

2

cos β,

a zatem jest dodatni, bo β ∈ (−

π

2

,

π

2

).

Przykład 13.6. Policzyć całkę

Z Z Z

D

zdxdydz,

gdzie D jest górną połową kuli o środku w (0, 0, 0) i promieniu R.

Kula opisana jest nierównością x

2

+ y

2

+ z

2

¬ R

2

, w takim razie r =

q

x

2

+ y

2

+ z

2

zmienia się w przedziale [0, R]. Górną połowę kuli zadaje nie-

równość z > 0, zatem β ∈ (0,

π

2

). Na α nie mamy żadnych dodatkowych

warunków, więc α ∈ [0, 2π]. Stąd B = [0, R] × [0, 2π] × (0,

π

2

).

66

Tak więc

Z Z Z

D

z dxdydz =

ZZ Z

B

r

3

sin β cos β dαdβdr =

=

2π

Z

0

dα

π

2

Z

0

dβ

R

Z

0

r

3

sin β cos βdr

=

R

4

4

2π

Z

0

dα

π

2

Z

0

sin β cos βdβ =

R

4

4

2π

Z

0





1

2

sin

2

β







π

2

0





dα

=

R

4

4

π.

13.7. Zmiana zmiennych na trójwymiarowe współrzędne walcowe

Definicja 13.14 (współrzędne walcowe). Współrzędne walcowe opisane są
wzorami:











x = r cos α,
y

= r sin α,

z

= z,

gdzie r ∈ (0, +∞), α ∈ (0, 2π), z ∈ (−∞, ∞). Jakobian tej zmiany zmiennych
wynosi

J = r > 0.

Przykład 13.7. Policzyć całkę

Z Z Z

D

z dxdydz,

gdzie D jest walcem o podstawie {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

< R

2

} i o wysokości

H.

Skoro x

2

+ y

2

< R

2

, to r =

q

x

2

+ y

2

∈ (0, R), na kąt α nie mamy

dodatkowych warunków, natomiast skoro wysokość walca wynosi H, to z ∈
[0, H]. Tak więc B = (0, R) × (0, 2π) × [0, H], stąd

Z Z Z

D

zdxdydz =

Z Z Z

B

z r dαdrdz =

2π

Z

0

dα

R

Z

0

dr

H

Z

0

r z dz

=

H

2

2

2π

Z

0

dα

R

Z

0

r dr =

H

2

2

R

2

2

2π

Z

0

dα = π

H

2

R

2

2

.

13.8. Zastosowania całek wielokrotnych

Własność 13.1. Pole powierzchni obszaru płaskiego D wyraża się wzorem

D =

Z Z

D

1 dxdy.

67

Własność 13.2. Objętość bryły V wyraża się wzorem

V =

Z Z Z

V

1 dxdydz.

Własność 13.3. Pole S płata powierzchniowego z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D
jest równe:

S =

Z Z

D

q

1 + [f

0

x

(x, y)]

2

+ [f

0

y

(x, y)]

2

dxdy

Własność 13.4. Środkiem ciężkości zbioru regularnego D ⊂ R

2

nazywamy

punkt (ξ, η) o współrzędnych

ξ =

1

D

ZZ

D

x dxdy

η =

1

D

Z Z

D

y dxdy

68