10. Całka oznaczona
10.1. Całka oznaczona
Definicja 10.1. Niech [a, b] ⊆ R będzie przedziałem. Wówczas
P : a = x
0
< x
1
< . . . < x
n
= b
nazywamy podziałem przedziału [a, b].
Liczbę
d(P )
df
= max
i=1,...n
(x
i
− x
i−1
)
nazywamy średnicą podziału P . Wprowadzamy oznaczenie
∆x
i
df
= x
i
− x
i−1
dla
i = 1, . . . , n.
Ciąg podziałów {P
m
}
m∈N
nazywamy normalnym, jeśli
lim
m→+∞
d(P
m
) = 0.
Definicja 10.2. Niech f : [a, b] −→ R będzie funkcją oraz niech
P : a = x
0
< x
1
< . . . < x
n
= b
będzie podziałem przedziału [a, b].
Liczbę
S(f, P ) = S(f, P, x
1
, . . . , x
n
)
df
=
n
X
i=1
∆x
i
· f (x
i
)
dla
x
i
∈ [x
i−1
, x
i
]
nazywamy sumą całkową funkcji f dla podziału P wyznaczoną przez punkty pośrednie
x
1
, . . . , x
n
.
Definicja 10.3. Niech f : [a, b] −→ R będzie funkcją ograniczoną (to znaczy ∃M > 0 ∀x ∈
[a, b] :
f (x)
¬ M ).
Funkcję f nazywamy całkowalną w sensie Riemanna w przedziale [a, b], jeśli dla dowol-
nego normalnego ciągu {P
m
}
m∈N
podziałów przedziału [a, b], istnieje granica
lim
m→+∞
S(f, P
m
, x
m
1
, . . . , x
m
n
m
)
niezależna od wyboru punktów pośrednich. Granicę tę nazywamy całką Riemanna funkcji f
w przedziale [a, b] i oznaczamy
b
Z
a
f (x) dx
lub
(R)
b
Z
a
f (x) dx.
Definicja 10.4. Niech f : [a, b] −→ R będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Przyj-
muje się następujące oznaczenia:
a
Z
b
f (x) dx
df
=
−
b
Z
a
f (x) dx,
a
Z
a
f (x) dx
df
=
0.
38
Uwaga 10.1. Wprost z definicji całki Riemanna wynika, że dla funkcji nieujemnej całkę
b
Z
a
f (x) dx możemy interpretować jako pole pod wykresem funkcji f na przedziale [a, b].
P=
Ù
a
b
f
H xL â x
y = f
Hx L
a
b
Twierdzenie 10.1 (Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna). Niech f : [a, b] −→ R
będzie funkcją ograniczoną.
1. Jeśli f jest ciągła, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
2. Jeśli f ma skończoną ilość punktów nieciągłości, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
3. Jeśli f jest monotoniczna, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
Twierdzenie 10.2 (Własności całki Riemanna). Jeśli f, g : [a, b] −→ R są funkcjami całko-
walnymi w sensie Riemanna, a < b, k ∈ R, c ∈ (a, b), to:
1. Liniowość całki. Funkcje kf, f ± g, f · g,
f
g
(o ile g(x) 6= 0 dla x ∈ [a, b]) są całkowalne
w sensie Riemanna oraz
b
Z
a
kf (x) dx = k
b
Z
a
f (x) dx
b
Z
a
h
f (x) ± g(x)
i
dx =
b
Z
a
f (x) dx ±
b
Z
a
g(x) dx;
2. funkcja |f | jest całkowalna w sensie Riemanna oraz
b
Z
a
f (x) dx
¬
b
Z
a
f (x)
dx;
3.
b
Z
a
f (x) dx =
c
Z
a
f (x) dx +
b
Z
c
f (x) dx
4.
b
Z
a
k dx = k(b − a),
39
w szczególności
b
Z
a
0 dx = 0,
b
Z
a
1 dx = b − a;
5. jeśli f 0 (to znaczy ∀ x ∈ [a, b] f (x) 0), to
b
Z
a
f (x) dx 0;
jeśli f > 0, to
b
Z
a
f (x) dx > 0;
6. Monotoniczność całki. Jeśli f ¬ g, to
b
Z
a
f (x) dx ¬
b
Z
a
g(x) dx;
jeśli f < g, to
b
Z
a
f (x) dx <
b
Z
a
g(x) dx;
Twierdzenie 10.3 (Twierdzenie całkowe o wartości średniej). Jeśli f : [a, b] −→ R jest
funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz ∃m, M ∈ R ∀x ∈ [a, b] : m ¬ f (x) ¬ M , to
∃µ ∈ [m, M ] :
b
Z
a
f (x) dx = µ(b − a).
Uwaga 10.2. Wartość µ
df
=
1
b − a
b
Z
a
f (x) dx nazywamy wartością średnią funkcji f na prze-
dziale [a, b].
Twierdzenie 10.4 (Własności całki jako funkcji górnej granicy całkowania). Jeśli f : [a, b] −→
R jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz
F (x)
df
=
x
Z
a
f (t) dt
dla
x ∈ [a, b],
to:
1. F jest ciągła w [a, b];
2. jeśli f jest ciągła w punkcie x
0
∈ (a, b), to funkcja F jest różniczkowalna w x
0
oraz
F
0
(x
0
) = f (x
0
);
3. jeśli f jest funkcją ciągłą, to F jest funkcją pierwotną dla f .
Wniosek 10.1. Jeśli f ∈ C
[a, b]; R
, to
d
dx
x
Z
a
f (t) dt
!
x=x
0
= f (x
0
)
∀ x
0
∈ (a, b).
40
Twierdzenie 10.5 (Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego; Twier-
dzenie Newtona-Leibniza). Jeśli f : [a, b] −→ R jest funkcją ciągłą, F jest pierwotną funkcji
f , to
b
Z
a
f (x)dx = F (b) − F (a).
Oznaczenie: F |
b
a
= F (b) − F (a).
Wniosek 10.2. Jeśli F ∈ C
1
[a, b]; R
, to
b
Z
a
F
0
(x) dx = F |
b
a
.
Twierdzenie 10.6 (Całkowanie przez części). Jeśli u, v ∈ C
1
[a, b]; R
, to
b
Z
a
uv
0
dx = uv|
b
a
−
b
Z
a
u
0
v dx.
Przykład 10.1. Obliczyć
π
2
Z
0
x sin x dx.
Liczymy
π
2
Z
0
x sin x dx =
u(x) = x
v
0
(x) = sin x
u
0
(x) = 1 v(x) = − cos x
= −x cos x
π
2
0
+
π
2
Z
0
cos x dx = 0 + sin x
π
2
0
= 1.
Twierdzenie 10.7 (Całkowanie przez podstawienie; Zmiana zmiennych w całce). Jeśli
f : [a, b] −→ R jest funkcją ciągłą (a zatem w szczególności całkowalną w sensie Riemanna),
P ⊆ R jest przedziałem o końcach α i β (to znaczy P = [α, β] lub P = [β, α]), ϕ : P −→ [a, b]
jest funkcją klasy C
1
, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, to
b
Z
a
f (x) dx =
β
Z
α
f
ϕ(t)
· ϕ
0
(t) dt.
Przykład 10.2. Obliczyć całkę
1
Z
0
ln(1 + x)
1 + x
2
dx.
Zastosujemy dość nietypowe podstawienie: x = ϕ(t) = tg t.
I
=
1
Z
0
ln(1 + x)
1 + x
2
dx =
x = tg t
dx =
1
cos
2
t
dt
=
π
4
Z
0
ln(1 + tg t)
1 + tg
2
t
·
1
cos
2
t
dt =
π
4
Z
0
ln(1 + tg t)
cos
2
t + sin
2
t
dt
=
π
4
Z
0
ln(1 + tg t) dt.
41
Przekształcając wyrażenie trygonometryczne 1 + tg t, korzystając ze wzoru:
sin α + sin β = 2 sin
α + β
2
cos
α − β
2
,
otrzymujemy
1 + tg t = 1 +
sin t
cos t
=
sin t + cos t
cos t
=
sin t + sin(
π
2
− t)
cos t
=
2 sin
π
4
cos(t −
π
4
)
cos t
=
√
2 cos(t −
π
4
)
cos t
.
Wracając do naszej całki, mamy
I =
π
4
Z
0
ln
√
2 cos(t −
π
4
)
cos t
dt
=
π
4
Z
0
ln
√
2 dt
|
{z
}
=A
+
π
4
Z
0
ln cos(t −
π
4
) dt
|
{z
}
=B
−
π
4
Z
0
ln cos t dt
|
{z
}
=C
.
Policzmy każdą z całek A, B i C osobno:
A
=
π
4
Z
0
ln
√
2 dt = ln
√
2 · x
π
4
0
=
π
4
ln
√
2 =
π
8
ln 2;
B =
π
4
Z
0
ln cos(t −
π
4
) dt =
t =
π
4
− s
dt = ds
=
0
Z
π
4
(−1) ln cos(−s) ds =
π
4
Z
0
ln cos s ds = C.
Ponieważ B = C, więc niepotrzebna jest nam znajomość całek B i C (wystarczy nam wiedza,
że one istnieją), stąd
I = A + B − C = A =
π ln 2
8
.
10.2. Całki niewłaściwe
Uwaga 10.3. Zdefiniowana całka Riemanna mogła być określona tylko dla funkcji ograniczo-
nej na przedziale ograniczonym.
Rozważa się także całki niewłaściwe (gdy obszar jest nieograniczony lub gdy funkcja jest
nieograniczona).
Definicja 10.5 (Całki niewłaściwe).
1. Niech −∞ ¬ a < b < +∞ oraz niech f : (a, b] −→ R będzie funkcją. Przez całkę
niewłaściwą funkcji f na przedziale (a, b] rozumiemy
b
Z
a
f (x) dx
df
=
lim
a
0
&a
+
b
Z
a
0
f (x) dx,
o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.
42
2. Niech −∞ < a < b ¬ +∞ oraz niech f : [a, b) −→ R będzie funkcją. Przez całkę
niewłaściwą funkcji f na przedziale [a, b) rozumiemy
b
Z
a
f (x) dx
df
=
lim
b
0
%b
−
b
0
Z
a
f (x) dx,
o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.
3. Niech −∞ ¬ a < b ¬ +∞ oraz niech f : (a, b) −→ R będzie funkcją. Przez całkę
niewłaściwą funkcji f na przedziale (a, b) rozumiemy
b
Z
a
f (x) dx
df
=
lim
a
0
& a
+
b
0
% b
−
b
0
Z
a
0
f (x) dx,
o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.
Definicja 10.6. Gdy całka niewłaściwa
b
Z
a
f (x) dx istnieje, to mówimy, że całka jest zbieżna
(w przeciwnym razie mówimy, że całka jest rozbieżna).
Przykład 10.3. Pokazać, że całka
1
Z
0
1
x
α
dx jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy α < 1.
Ponieważ
Z
1
x
α
dx =
1
1 − α
x
1−α
+ c dla α 6= 1,
ln x + c
dla α = 1,
więc rozważmy osobno dwa przypadki.
Przypadek 1. α 6= 1.
1
Z
0
1
x
α
dx =
lim
a→0
+
1
Z
a
1
x
α
dx =
lim
a→0
+
1
1 − α
x
1−α
!
1
a
=
lim
a→0
+
1
1−α
(1 − a
1−α
) =
1
1 − α
dla α < 1,
+∞
dla α > 1.
Przypadek 2. α = 1.
1
Z
0
1
x
dx =
lim
a→0
+
1
Z
a
1
x
dx =
lim
a→0
+
ln x
1
a
=
lim
a→0
+
(0 − ln a) = +∞.
Wykazaliśmy zatem, że całka jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy α < 1.
Uwaga 10.4. W rachunkach będziemy pisać krótko
F (x)
+∞
a
zamiast
lim
b
0
→+∞
F (x)
b
0
a
oraz
F (x)
b
−∞
zamiast
lim
a
0
→−∞
F (x)
b
a
0
.
43
10.3. Krzywe i bryły obrotowe
Twierdzenie 10.8. Jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji y = f (x) dla x ∈ [a, b], to
długość krzywej K wyraża się wzorem
l(K) =
b
Z
a
q
1 + f
0
(t)
2
dt.
Twierdzenie 10.9. Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej K : y = f (x) dla x ∈ [a, b]
wokół osi Ox wyraża się wzorem:
S = 2π
b
Z
a
h
f (x)
iq
1 + f
0
(x)
2
dx.
Twierdzenie 10.10. Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru leżącego pod krzywą K : y =
f (x) dla x ∈ [a, b] wokół osi Ox wyraża się wzorem:
V
x
= π
b
Z
a
f (x)
2
dx.
Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru leżącego pod krzywą K : y = f (x) dla x ∈ [a, b]
wokół osi Oy wyraża się wzorem:
V
y
= 2π
b
Z
a
x f (x) dx.
11. Powierzchnie stopnia drugiego
1. Elipsoida
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1
2. Hiperboloida jednopowłokowa
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1
3. Hiperboloida dwupowłokowa
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= −1
4. Paraboloida eliptyczna
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= cz,
c 6= 0
5. Paraboloida hiperboliczna (powierzchnia siodłowa)
x
2
a
2
−
y
2
b
2
= cz,
c 6= 0
6. Stożek eliptyczny
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 0
7. Walec paraboliczny y
2
= 2px
8. Walec kołowy x
2
+ y
2
= r
2
44
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
mat10 s2 notatki
mat4 s2 notatki
mat1 s2 notatki
mat3 s2 notatki
mat5 s2 notatki
mat9 s2 notatki
mat10 s2 notatki
S2 PPP-wykłady Blandyna Żurawska-Grajewska wykład 2, psychologia, Notatki z wykładów PPP
S2 Rola czynników kulturowych w kryzysie finansowym Wiesław Rehan wykład 10, Materiały na studia, No
więcej podobnych podstron