12. Funkcje wielu zmiennych

12.1. Przestrzenie metryczne

Definicja 12.1 (metryka, odległość). Niech X będzie zbiorem niepustym. Metryką w zbiorze
X nazywamy dowolną funkcję d : X ×X −→ R

+

= [0, +∞), spełniającą następujące warunki:

1. ∀x, y ∈ X : d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;
2. ∀x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x) (warunek symetrii);
3. ∀x, y, z ∈ X : d(x, y) + d(y, z) ­ d(x, z) (warunek trójkąta).

Parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną. Dla dowolnych x, y ∈ X, liczbę d(x, y) na-
zywamy odległością punktów x i y oraz mówimy, że punkty x i y są oddalone od siebie
o d(x, y).

Definicja 12.2 (kula, kula domknięta). Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Kulą
o środku w punkcie x

0

∈ X i promieniu r ­ 0 nazywamy zbiór:

K(x

0

, r)

df

=

n

x ∈ X : d(x

0

, x) < r

o

.

Kulą domkniętą o środku w punkcie x

0

∈ X i promieniu r ­ 0 nazywamy zbiór:

K(x

0

, r)

df

=

n

x ∈ X : d(x

0

, x) ¬ r

o

.

Definicja 12.3 (Metryka euklidesowa). Niech X = R

N

oraz niech

d(x, y)

df

=

v
u
u
t

N

X

i=1

(x

i

− y

i

)

2

,

gdzie x = (x

1

, . . . , x

N

) oraz y = (y

1

, . . . , y

N

).

Para (R

N

, d) jest przestrzenią metryczną. Funkcję d nazywamy metryką euklidesową

w R

N

, zaś parę (R

N

, d) nazywamy przestrzenią metryczną euklidesową.

Uwaga 12.1. W przestrzeni R

3

metryka euklidesowa ma postać:

d(x, y) =

q

(x

1

− y

1

)

2

+ (x

2

− y

2

)

2

+ (x

3

− y

3

)

2

,

gdzie x = (x

1

, x

2

, x

3

), y = (y

1

, y

2

, y

3

).

Definicja 12.4. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną, niech x

0

∈ X oraz A ⊆ X.

Zbiór U ⊆ X nazywamy otwartym, jeśli każdy punkt zbioru U zawiera się w U wraz

z pewną kulą, czyli

∀x ∈ U ∃r > 0 : K(x, r) ⊆ U.

12.2. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych

Definicja 12.5. Niech (X, d), (Y, ρ) będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech funkcja
f : X → Y .

Mówimy, że g ∈ Y jest granicą funkcji f : X → Y w punkcie x będącym punktem

skupienia dziedziny funkcji f , jeśli

∀ε > 0∃δ > 0 : ∀y : 0 < d(x, y) < δ =⇒ ρ(g, f (y)) < ε.

Mówimy, że funkcja f : X → Y jest ciągła w punkcie x, jeśli

∀ε > 0∃δ > 0 : ∀y : d(x, y) < δ =⇒ ρ(f (x), f (y)) < ε.

45

Uwaga 12.2. Z istnienia granic iterowanych

lim

x→a



lim

y→b

f (x, y)



lim

y→b



lim

x→a

f (x, y)



i równości tych granic nie wynika istnienie granicy funkcji f w punkcie (a, b).

Uwaga 12.3. Jeśli funkcja f : R × R → R ma granicę w punkcie (a, b), to istnieją obie granice
iterowane

lim

x→a



lim

y→b

f (x, y)



lim

y→b



lim

x→a

f (x, y)



i są równe granicy funkcji f w punkcie (a, b), tzn.

lim

(x,y)→(a,b)

f (x, y).

Twierdzenie 12.1. Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi i niech f : X → Y będzie
funkcją. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1. funkcja f jest ciągła w punkcie a ∈ X,
2. istnieje granica lim

x→a

f (x) i jest równa wartości funkcji f (a).

Twierdzenie 12.2. Niech X, Y, Z będą przestrzeniami metrycznymi.

Złożenie g ◦ f : X → Z funkcji ciągłych f : X → Y i g : Y → Z jest funkcją ciągłą.

Twierdzenie 12.3. Jeśli f : X → R oraz g : X → R są funkcjami ciągłymi, to suma f + g

oraz iloczyn f · g są funkcjami ciągłymi. Ponadto odwrotność

1

g

: Z 3 x 7→

1

g(x)

∈ R oraz

iloraz

f

g

: Z 3 x 7→

f (x)

g(x)

∈ R są funkcjami ciągłymi na zbiorze Z := X \ {x ∈ X : g(x) = 0}.

Twierdzenie 12.4 (twierdzenie Weierstrassa). Jeśli f : X → R jest funkcją ciągłą określoną
na zbiorze zwartym X (domknięym i ograniczonym), to istnieją punkty a, b ∈ X, w których
funkcja f osiąga kresy:

kres dolny inf{f (x), x ∈ X} = f (a)
i kres górny sup{f (x), x ∈ X} = f (b).

12.3. Poziomice

Definicja 12.6. Niech f : X → R będzie funkcją określoną na przestrzeni metrycznej X
o wartościach rzeczywistych.

Poziomicą funkcji f odpowiadającą wartości a ∈ R nazywamy zbiór

{f = a} = {x ∈ X : f (x) = a},

Przykład 12.1. Jeśli z równania hiperboloidy jednowpowłokowej

x

2

+ y

2

− z

2

= 1

wyznaczymy z, z > 0, to otrzymamy funkcję f dwóch zmiennych, określoną wzorem:

z = f (x, y) =

q

x

2

+ y

2

− 1,

której poziomicami są okręgi x

2

+ y

2

= 1 + a

2

.

46

Rys. 1. Hiperboloida jednopowłokowa x

2

+ y

2

− z

2

= 1 i jej poziomice

12.4. Pochodna kierunkowa i pochodne cząstkowe

Definicja 12.7. Niech X będzie przestrzenią wektorową nad K (K = R lub K = C).
Odwzorowanie k · k : X −→ R

+

nazywamy normą w X, jeśli:

1. ∀x ∈ X :

kxk = 0 ⇐⇒ x = O;

2. ∀x ∈ X, λ ∈ K :

kλxk = |λ| · kxk (jednorodność);

3. ∀x, y ∈ X :

kx + yk ¬ kxk + kyk (subaddytywność).

Parę (X, k · k) nazywamy przestrzenią unormowaną.

Uwaga 12.4. W przestrzeni wektorowej R

N

nad R możemy wprowadzić normę euklidesową:

kxk

df

=

v
u
u
t

N

X

i=1

x

2

i

,

x = (x

1

, . . . , x

N

) ∈ R

N

Twierdzenie 12.5. Jeśli (X, k · k) jest przestrzenią unormowaną, d : X × X −→ R

+

jest

funkcją zadaną przez d(x, y)

df

= kx − yk, to (X, d) jest przestrzenią metryczną. Mówimy, że

d jest metryką zadaną przez normę k · k.

Uwaga 12.5. Każda przestrzeń unormowana jest przestrzenią metryczną, ale nie odwrotnie.
Różnica polega na tym, że w przestrzeni metrycznej nie ma wprowadzonych działań doda-
wania elementów tej przestrzeni i mnożenia ich przez skalary, a w przestrzeni wektorowej
możemy dodawać wektory i mnożyć je przez liczby.

Definicja 12.8. Niech A ⊂ X będzie otwartym podzbiorem przestrzeni unormowanej X.
Niech v ∈ X, v 6= 0 będzie ustalonym niezerowym wektorem tej przestrzeni.

Mówimy, że funkcja f : A → R ma w punkcie a pochodną kierunkową w kierunku wektora

v, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

lim

h→0

f (a + hv) − f (a)

h

.

Granicę tę oznaczamy symbolem ∂

v

f (a) i nazywamy pochodną kierunkową funkcji f w kie-

runku wektora v w punkcie a.

Uwaga 12.6. Zbiór {a + tv, t ∈ R} jest prostą przechodzącą przez punkt a równoległą do
wektora v, stąd pochodna ∂

v

f (a) jest pochodną w punkcie t = 0 funkcji jednej zmiennej

47

rzeczywistej t 7→ f (a + tv). Można zatem powtórzyć jednowymiarowy warunek konieczny
istnienia ekstremum w punkcie, w którym istnieje pochodna kierunkowa funkcji.

Twierdzenie 12.6. Niech A ⊂ X będzie otwartym podzbiorem przestrzeni unormowanej X
i niech v ∈ X, v 6= 0. Jeśli funkcja f : A → R osiąga ekstremum w punkcie a ∈ A i istnieje
pochodna kierunkowa ∂

v

f (a), to pochodna ta zeruje się.

Definicja 12.9. Niech X = R

n

i niech e

1

= (1, 0, 0, . . . , 0), e

2

= (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., e

n

=

(0, 0, 0, . . . , 1) będą wersorami osi. Niech A będzie otwartym podzbiorem przestrzeni R

n

.

Pochodne kierunkowe (o ile istnieją) ∂

e

1

f (a), ∂

e

2

f (a), ..., ∂

e

n

f (a) funkcji f : A → R w kie-

runku wersorów osi {e

1

, e

2

, . . . , e

n

} nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji f w punkcie a.

Pochodną cząstkową funkcji (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) 7→ f (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ R w kierunku wektora e

i

oznaczamy tradycyjnie symbolem:

∂f

∂x

i

(a),

∂

∂x

i

f (a), f

x

i

(a) lub f

0

x

i

(a).

W przypadku, gdy nie numerujemy współrzędnych argumentu funkcji (x, y, z) 7→ f (x, y, z)
pochodne cząstkowe oznaczamy symbolami

∂f

∂x

(a),

∂f

∂y

(a),

∂f

∂z

(a).

Twierdzenie 12.7 (warunek konieczny istnienia ekstremum). Jeśli funkcja f : A → R

osiąga ekstremum w punkcie a ∈ A, w którym istnieją pochodne cząstkowe

∂

∂x

k

f (a), k ∈

{1, 2, . . . , n}, to pochodne te zerują się w tym punkcie, tj.

∂

∂x

k

f (a) = 0

dla

k = 1, 2, . . . , n.

Uwaga 12.7. Dla funkcji f (x, y) dwóch zmiennych mamy pochodne cząstkowe w punkcie
a = (x

0

, y

0

):

∂f (x

0

, y

0

)

∂x

= lim

h→0

f (x

0

+ h, y

0

) − f (x

0

, y

0

)

h

∂f (x

0

, y

0

)

∂y

= lim

h→0

f (x

0

, y

0

+ h) − f (x

0

, y

0

)

h

W tym przypadku pochodne cząstkowe f

x

(x

0

, y

0

), f

y

(x

0

, y

0

) oznaczają odpowiednio tan-

gensy kątów α, β, jakie tworzy z osiami Ox i Oy styczna w punkcie P (x

0

, y

0

, f (x

0

, y

0

)) do linii,

wzdłuż których płaszczyzny x = x

0

i y = y

0

przecinają powierzchnię o równaniu z = f (x, y).

Przykład 12.2. Obliczmy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego dla funkcji

f (x, y) = x cos

q

x + ln xy

Mamy

∂f

∂x

= 1 · cos

q

x + ln xy + x · (− sin

q

x + ln xy)

1

2

√

x + ln xy

1 +

y

xy

!

∂f

∂y

= x(− sin

q

x + ln xy)

1

2

√

x + ln xy

1

xy

· x

!

48

- 2

0

2

y

- 2

0

2

x

- 5

0

5

z

- 2

0

2

y

- 2

0

2

x

- 5

0

5

z

Rys. 2. Interpretacja graficzna pochodnej cząstkowej

Uwaga 12.8. Dla funkcji dwóch zmiennych z = f (x, y) wektor

~

n =

"

∂z(a)

∂x

,

∂z(a)

∂y

, −1

#

jest wektorem normalnym płaszczyzny stycznej do powierzchni z = f (x, y) w punkcie a =
(x

0

, y

0

, z

0

), stąd równanie tej płaszczyzny ma postać:

z

x

(a)(x − x

0

) + z

y

(a)(y − y

0

) − (z − z

0

) = 0

Przykład 12.3. Dla powierzchni o równaniu z = x

2

y +3y wyznaczyć w punkcie P (1, −1, z

0

)

równanie płaszczyzny stycznej do tej powierzchni.

Ponieważ

∂z

∂x

= 2xy

∂z

∂y

= x

2

+ 3,

stąd ~

n = [−2, 4, −1] oraz z

0

= f (1, −1) = −4, zatem

π : −2(x − 1) + 4(y + 1) − (z + 4) = 0,

czyli

−2x + 4y − z + 2 = 0

12.5. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Definicja 12.10. Rozważmy funkcję

∂f

∂x

i

, która punktowi x ∈ U przyporządkowuje pochod-

ną cząstkową funkcji f po zmiennej x

i

w punkcie a, czyli funkcję

∂f

∂x

i

: U 3 a 7→

∂f

∂x

i

(a) ∈ R.

Jeśli w punkcie a ∈ U istnieje pochodna cząstkowa funkcji

∂f

∂x

i

po zmiennej x

j

, to mówi-

my, że funkcja f ma pochodną cząstkową rzędu drugiego po zmiennych x

i

oraz x

j

. Pochodną

tę oznaczamy symbolem

∂

∂x

j

∂

∂x

i

f (a), bądź

∂

2

∂x

j

∂x

i

f (a) lub

∂

2

f (a)

∂x

j

∂x

i

.

49

Gdy i = j piszemy

∂

2

f (a)

∂x

2

i

zamiast

∂

2

f (a)

∂x

i

∂x

i

.

Uwaga 12.9. Jeśli f : R

n

3 (x, y, z, . . . , t) 7→ f (x, y, z, . . . , t) ∈ R jest funkcją n zmiennych,

to często zamiast pisać

∂

2

f (a)

∂x

2

,

∂

2

f (a)

∂x∂y

,

∂

2

f (a)

∂x∂z

, . . . ,

piszemy

f

xx

(a), f

xy

(a), f

xz

(a), . . . ,

bądź

f

0

xx

(a), f

0

xy

(a), f

0

xz

(a), . . .

Lemat 12.1 (Schwarza). Jeśli f : R

n

⊃ U 3 x 7→ f (x) ∈ R jest funkcją, która w punkcie

a ∈ U ma ciągłe pochodne cząstkowe

∂

∂x

j

∂

∂x

i

f oraz

∂

∂x

i

∂

∂x

j

f , to w punkcie a są one równe,

tj.

∂

∂x

j

∂

∂x

i

f (a) =

∂

∂x

i

∂

∂x

j

f (a).

Przykład 12.4. Obliczmy pochodne mieszane rzędu trzeciego dla funkcji

f (x, y) = e

2x

y

2

Mamy

∂

3

f

∂x∂y∂x

=

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂x

e

2x

y

2

!

=

∂

∂x

∂

∂y

2e

2x

y

2

!

=

∂

∂x

4e

2x

y =

= 8e

2x

y

∂

3

f

∂x

2

∂y

=

∂

∂y

∂

∂x

∂

∂x

e

2x

y

2

!

=

∂

∂y

∂

∂x

2e

2x

y

2

!

=

∂

∂y

4e

2x

y

2

=

= 8e

2x

y

∂

3

f

∂y∂x

2

=

∂

∂x

∂

∂x

∂

∂y

e

2x

y

2

!

=

∂

∂x

∂

∂x

2e

2x

y

!

=

∂

∂x

4e

2x

y =

= 8e

2x

y

Definicja 12.11. Załóżmy, że istnieją kolejno pochodne cząstkowe

∂

α

n

∂x

α

n

n

. . .

∂

α

2

∂x

α

2

2



∂

α

1

∂x

α

1

1

f



. . .

!

(a)

i nie zależą od kolejności różniczkowania. Mówimy wówczas, że funkcja f ma pochodną
cząstkową

∂

|α|

f (a)

∂x

α

:=

∂

α

n

∂x

α

n

n

. . .

∂

α

2

∂x

α

2

2



∂

α

1

∂x

α

1

i

f



. . .

!

(a)

rzędu |α| = α

1

+ α

2

+ · · · + α

n

w punkcie a. Pochodną tę notujemy też symbolem D

α

f (a).

50

12.6. Pochodne cząstkowe w fizyce. Elementy teorii pola

Definicja 12.12. Niech f : D → R będzie funkcją określoną na pewnym zbiorze otwartym

D ⊂ R

n

. Załóżmy, że w pewnym punkcie a ∈ D istnieją pochodne cząstkowe

∂f

∂x

1

(a),

∂f

∂x

2

(a),

. . . ,

∂f

∂x

n

(a).

Wektor grad f (a) =

∂f

∂x

1

(a),

∂f

∂x

2

(a), . . . ,

∂f

∂x

n

(a)

!

∈ R

n

nazywamy gradientem funkcji f

w punkcie a.

Wektor ten oznaczamy też symbolem nabla: ∇f (a).
Punkt a, w którym wyznaczamy gradient funkcji f , można także zapisać w formie indeksu

dolnego: grad

a

f, ∇

a

f .

Uwaga 12.10. Jeśli funkcje f, g : R

n

⊃ D → R mają w punkcie a ∈ D pochodne cząstkowe

∂f

∂x

i

(a),

∂g

∂x

i

(a), i = 1, 2, . . . , n, to:

1. grad (f + g)(a) = grad f (a) + grad g(a),
2. grad (f g)(a) = g(a)grad f (a) + f (a)grad g(a).

Twierdzenie 12.8. Jeśli w punkcie a ∈ D ⊂ R

n

istnieje pochodna kierunkowa ∂

v

f (a)

w kierunku wektora v, to można ją przedstawić w postaci:

∂

v

f (a) =

∂f (a)

∂x

1

w

1

+

∂f (a)

∂x

2

w

2

+ . . .

∂f (a)

∂x

n

w

n

= grad f (a) ◦ v

∗

,

gdzie w = (w

1

, w

2

, . . . , w

n

) jest wersorem wektora v, tzn. w = v

∗

.

Przykład 12.5. Obliczymy gradient funkcji f (x, y, z) = x

2

y + 3xy

2

+ xz + z

2

+ z w punkcie

P (−1, 1, 0).

Ponieważ

∂f

∂x

= 2xy + 3y

2

+ z

∂f

∂y

= x

2

+ 6xy

∂f

∂z

= x + 2z + 1,

stąd grad f (P ) = (1, −5, 0).

Przykład 12.6. Obliczymy w punkcie P (1, 1, 2) pochodną funkcji f (x, y, z) = z ln(

x
y

) w kie-

runku wektora v = (−1, 3, 2).

Ponieważ

∂f

∂x

= z

1

x
y

·

1

y

=

z

x

∂f

∂y

= z

1

x
y

·

−x

y

2

= −

z

y

∂f

∂z

= ln

x

y

!

,

stąd grad f (P ) = (2, −2, 0).

Wersorem w wektora v jest w = v

∗

= (

−1

√

14

,

3

√

14

,

2

√

14

), ponieważ kvk =

√

14, zatem

∂

v

f (P ) = grad f (P ) ◦ v

∗

= (2, −2, 0) ◦ (

−1

√

14

,

3

√

14

,

2

√

14

) = −

8

√

14

.

51

Uwaga 12.11. Jeśli przez ϕ oznaczymy kąt między wektorem v i grad f (a), to z definicji
iloczyny skalarnego i z tego, że v

∗

jest wersorem, tzn. kv

∗

k = 1, wynika, że

∂

v

f (a) = kgrad f (a)kkv

∗

k cos ϕ = kgrad f (a)k cos ϕ,

zatem pochodna kierunkowa w kierunku wektora gradientu jest największa (cos ϕ = 1).
Wektor gradientu wskazuje więc kierunek największego wzrostu wartości funkcji.

Uwaga 12.12. W fizyce funkcję f : R

3

→ R o wartościach liczbowych nazywa się funkcją ska-

larną, natomiast funkcję F : R

3

→ R

3

nazywa się polem (wektorowym). Przykładem funkcji

skalarnych są np. temperatura, potencjał pola grawitacyjnego. Przykładem pola wektorowego
jest pole grawitacyjne.

Definicja 12.13. Pole wektorowe F : R

3

⊃ D → R

3

nazywamy polem potencjalnym, jeśli

istnieje funkcja skalarna U : D → R, taka że grad U (a) = F (a) w dowolnym punkcie a zbioru
otwartego D ⊂ R

3

.

Funkcję U nazywamy wówczas potencjałem pola wektorowego F .

Przykład 12.7. Pole grawitacyjne F (~

r) = −

k

r

3

~

r jest polem potencjalnym. Potencjałem

tego pola jest funkcja skalarna U (~

r) =

k

r

, gdzie ~

r = (x, y, z) oraz r = k~

rk =

q

x

2

+ y

2

+ z

2

.

Licząc pochodne cząstkowe funkcji U (x, y, z) =

k

√

x

2

+ y

2

+ z

2

=

k

r

określonej w zbiorze

otwartym D = R

3

\ {0}, czyli wszędzie w przestrzeni R

3

poza początkiem układu współrzęd-

nych, mamy :

∂

∂x

U (~

r) =

∂

∂x

k

r

= −

k

r

2

·

∂r

∂x

= −

k

r

2

·

2x

2r

= −

k

r

3

x

∂

∂y

U (~

r) =

∂

∂y

k

r

= −

k

r

2

·

∂r

∂y

= −

k

r

2

·

2y

2r

= −

k

r

3

y

∂

∂z

U (~

r) =

∂

∂z

k

r

= −

k

r

2

·

∂r

∂z

= −

k

r

2

·

2z

2r

= −

k

r

3

z,

czyli

grad U (~

r) = grad U (x, y, z) = (−

k

r

3

x, −

k

r

3

y, −

k

r

3

z)

= −

k

r

3

(x, y, z) = −

k

r

3

~

r

= F (~

r).

Definicja 12.14. Dywergencją pola wektorowego F = (F

x

, F

y

, F

z

) : R

3

⊃ D → R

3

w punkcie

a ∈ D nazywamy liczbę

div F (a) =

∂F

x

∂x

(a) +

∂F

y

∂y

(a) +

∂F

z

∂z

(a),

o ile istnieją pochodne cząstkowe

∂F

x

∂x

(a),

∂F

y

∂y

(a),

∂F

z

∂z

(a).

Jeśli w dowolnym punkcie a ∈ D dywergencja div F (a) = 0, to pole wektorowe F nazy-

wamy polem bezźródłowym.

Przykład 12.8. Pole grawitacyjne F (~

r) = −

k

r

3

~

r jest polem bezźródłowym w R

3

\ {0}.

W dowolnym punkcie ~

r = (x, y, z) 6= 0 mamy

52

∂F

x

∂x

(~

r) =

∂

∂x

−

k

r

3

x

!

= −k

∂x

∂x

1

r

3

+ x

∂

∂x

1

r

3

!

= −k

1

r

3

+ x ·

(−3)

r

4

∂r

∂x

!

= −k

1

r

3

−

3x

2

r

5

!

i podobnie

∂F

y

∂y

(~

r) = −k

1

r

3

−

3y

2

r

5

!

oraz

∂F

z

∂z

(~

r) = −k

1

r

3

−

3z

2

r

5

!

.

Stąd

div F (~

r) =

∂F

x

∂x

(~

r) +

∂F

y

∂y

(~

r) +

∂F

z

∂z

(~

r)

= −k

1

r

3

−

3x

2

r

5

!

− k

1

r

3

−

3y

2

r

5

!

− k

1

r

3

−

3z

2

r

5

!

= −k

3

r

3

−

3(x

2

+ y

2

+ z

2

)

r

5

!

= −k

3

r

3

−

3r

2

r

5

!

= 0.

Definicja 12.15. Rotacją pola wektorowego F = (F

x

, F

y

, F

z

) : R

3

⊃ D → R

3

w punkcie

a ∈ D nazywamy wektor

rot F (a) =

∂F

z

∂y

(a) −

∂F

y

∂z

(a),

∂F

x

∂z

(a) −

∂F

z

∂x

(a),

∂F

y

∂x

(a) −

∂F

x

∂y

(a)

!

.

Wektor ten oznaczamy też symbolem ∇ × F (a), przy czym × oznacza iloczyn wektorowy

wektora ∇ =

∂

∂x

,

∂

∂y

,

∂

∂z

!

oraz wektora F (a) = (F

x

(a), F

y

(a), F

z

(a)).

Jeśli w każdym punkcie a ∈ D rotacja rot F (a) = 0, to pole wektorowe F nazywamy

bezwirowym.

Przykład 12.9. Pole grawitacyjne F (~

r) = −

k

r

3

~

r jest polem bezwirowym w R

3

\ {0}.

W dowolnym punkcie ~

r = (x, y, z) 6= 0 mamy

∂

∂y

F

z

(~

r) =

∂

∂y

− k

1

r

3

z

!

= −kz

∂

∂y

1

r

3

!

= −kz

(−3)

r

4

∂r

∂y

= 3kz

y

r

5

= zy

3k

r

5

oraz podobnie

∂

∂z

F

y

(~

r) = yz

3k

r

5

.

Pierwsza współrzędna wektora rotacji jest więc równa zeru, gdyż

∂F

z

∂y

(~

r) −

∂F

y

∂z

(~

r) = zy

3k

r

5

− yz

3k

r

5

= 0.

W ten sam sposób sprawdzamy, że również druga i trzecia współrzędna wektora rotacji

zerują się:

∂F

x

∂z

(~

r) −

∂F

z

∂x

(~

r) = xz

3k

r

5

− zx

3k

r

5

= 0

∂F

y

∂x

(~

r) −

∂F

x

∂y

(~

r) = yx

3k

r

5

− xy

3k

r

5

= 0.

Stąd rot F (~

r) = 0 dla ~

r 6= 0.

12.7. Różniczka zupełna

Definicja 12.16. Niech f jest funkcją n zmiennych określoną w otoczeniu U punktu (x

1

, x

2

, . . . , x

n

)

i niech ∆x

i

oznacza przyrost zmiennej niezależnej x

i

, i = 1, 2, . . . , n.

Przyrostem zupełnym ∆f (x) funkcji f w punkcie x, odpowiadającym przyrostom ∆x

1

,

∆x

2

, . . ., ∆x

n

nazywamy różnicę wartości funkcji w punkcie x i x + ∆x

∆f (x) = f (x) − f (x + ∆x)

53

Definicja 12.17. Mówimy, że funkcja n zmiennych jest różniczkowalna w punkcie x, je-
żeli w dowolnie małym otoczeniu U punktu x przyrost zupełny ∆f (x) tej funkcji można
przedstawić w postaci

∆f (x) =

n

X

i=1

A

i

∆x

i

+ ε%,

gdzie A

i

, i = 1, 2, . . . , n są pewnymi stałymi, ε = ε(∆x

1

, ∆x

2

, . . . , ∆x

n

), % = k∆xk =

q

(∆x

1

)

2

+ (∆x

2

)

2

+ . . . (∆x

n

)

2

, przy czym ε → 0, gdy % → 0.

Twierdzenie 12.9. Jeżeli funkcja n zmiennych jest różniczkowalna w punkcie x, to istnieją
w tym punkcie skończone pochodne cząstkowe

∂f (x)

∂x

i

,

i = 1, 2, . . . , n,

oraz przyrost zupełny tej funkcji w punkcie x można przedstawić w postaci:

∆f (x) =

n

X

i=1

∂f (x)

∂x

i

∆x

i

+ ε%,

Definicja 12.18. Różniczką zupełną df (x) funkcji f o n zmiennych nazywamy liniowy skład-
nik przyrostu zupełnego ∆f (x), zatem

df (x) =

n

X

i=1

∂f (x)

∂x

i

∆x

i

Uwaga 12.13. Ponieważ dla zmiennych niezależnych x

1

, x

2

, . . . , x

n

, mamy dx

1

= ∆x

1

, dx

2

=

∆x

2

, . . . dx

n

= ∆x

n

, więc

df (x) =

n

X

i=1

∂f (x)

∂x

i

dx

i

Uwaga 12.14. Dla dostatecznie małych przyrostów ∆x

i

, i = 1, 2, . . . , n słuszny jest wzór

przybliżony:

∆f (x) ≈ df (x),

stąd maksymalny błąd bezwzględny ∆f wartości funkcji możemy obliczyć ze wzoru:

∆f =

n

X

i=1







∂f (x)

∂x

i







∆x

i

Przykład 12.10. Okres wahania T wahadła prostego jest dany wzorem

T = 2π

s

l

g

,

gdzie l oznacza długość wahadła, a g przyspieszenie grawitacyjne. Ocenić błąd ∆T , jeśli l i
g są obarczone błędami dl i dg.

Ponieważ

∂T

∂l

= 2π

1

2

q

l

g

·

1

g

= π

r

g

l

·

1

g

,

∂T

∂g

= 2π

1

2

q

l

g

·

−

l

g

2

!

= −π

r

g

l

·

l

g

2

,

54

więc

dT = π

r

g

l

dl

g

−

ldg

g

2

!

,

zatem maksymalny błąd bezwzględny wynosi:

∆T = π

r

g

l

∆l

g

+

l∆g

g

2

!

,

a maksymalny błąd względny

∆T

T

=

1

2

∆l

l

+

∆g

g

!

,

czyli jest równy połowie maksymalnych błędów względnych popełnionych przy pomiarach l
i g.

Przykład 12.11. Długość krawędzi prostopadłościanu wynoszą a = 3 ± 0, 2 cm, b = 4 ±
0, 2 cm, c = 12 ± 0, 1 cm. Znajdziemy długość przekątnej prostopadłościanu i podamy do-
kładność jej obliczenia.

Długość przekątnej

d = d(a, b, c) =

√

a

2

+ b

2

+ c

2

.

Aby wyznaczyć maksymalny błąd bezwzględny obliczamy pochodne cząstkowe:

∂d

∂a

=

a

√

a

2

+ b

2

+ c

2

,

∂d

∂b

=

b

√

a

2

+ b

2

+ c

2

,

∂d

∂c

=

c

√

a

2

+ b

2

+ c

2

,

zatem

∂d(3, 4, 12)

∂a

=

3

13

,

∂d(3, 4, 12)

∂b

=

4

13

,

∂d(3, 4, 12)

∂c

=

12

13

,

więc maksymalny błąd względny wynosi

∆d =

a∆a + b∆b + c∆c

√

a

2

+ b

2

+ c

2

=

1

13

(3 · 0, 2 + 4 · 0, 2 + 12 · 0, 1) = 0, 2,

stąd d = 13 ± 0, 2 cm.

Maksymalny błąd względny

∆d

d

=

a∆a + b∆b + c∆c

a

2

+ b

2

+ c

2

≈ 0, 015 = 1, 5%

Definicja 12.19. Różniczką zupełną rzędu drugiego d

2

f (x)funkcji f w obszarze D ⊂ R

n

nazywamy różniczkę zupełną różniczki zupełnej pierwszego rzędu tej funkcji w obszarze D,
czyli

d

2

f (x) = d(df (x)).

Uwaga 12.15. Ponieważ

df (x) =

n

X

i=1

∂f (x)

∂x

i

dx

i

,

zatem

d

2

f (x) =

n

X

j=1

∂

∂x

j

"

n

X

i=1

∂f (x)

∂x

i

dx

i

#

dx

j

stąd

d

2

f (x) =

n

X

j=1

n

X

i=1

∂

2

f (x)

∂x

i

∂x

j

dx

i

dx

j

55

Uwaga 12.16. Oznaczając dx =









dx

1

dx

2

..

.

dx

n









różniczkę d

2

f (x) możemy zapisać w postaci macie-

rzowej:

d

2

f (x) =

h

dx

1

dx

2

. . . dx

n

i
















∂

2

f (x)

∂x

2
1

∂

2

f (x)

∂x

1

∂x

2

. . .

∂

2

f (x)

∂x

1

∂x

n

∂

2

f (x)

∂x

2

∂x

1

∂

2

f (x)

∂x

2
2

. . .

∂

2

f (x)

∂x

2

∂x

n

..

.

..

.

. ..

..

.

∂

2

f (x)

∂x

n

∂x

1

∂

2

f (x)

∂x

n

∂x

2

. . .

∂

2

f (x)

∂x

2

n
























dx

1

dx

2

..

.

dx

n









Definicja 12.20. Macierz

H

f

(x) =
















∂

2

f (x)

∂x

2
1

∂

2

f (x)

∂x

1

∂x

2

. . .

∂

2

f (x)

∂x

1

∂x

n

∂

2

f (x)

∂x

2

∂x

1

∂

2

f (x)

∂x

2
2

. . .

∂

2

f (x)

∂x

2

∂x

n

..

.

..

.

. ..

..

.

∂

2

f (x)

∂x

n

∂x

1

∂

2

f (x)

∂x

n

∂x

2

. . .

∂

2

f (x)

∂x

2

n
















nazywamy hesjanem lub macierzą Hessego funkcji f

Uwaga 12.17. Hesjan jest macierzą symetryczną i przy jego pomocy można zapisać różniczkę
zupełną drugiego rzędu w następującej postaci:

d

2

f (x) = (dx)

T

H

f

(x)dx.

Zapis ten oznacza, że różniczka zupełna drugiego rzędu jest formą kwadratową względem
przyrostów dx

1

, . . . , dx

n

.

Definicja 12.21. Macierz symetryczną A nazywamy określoną dodatnio (ujemnie), jeśli
skojarzona z nią forma kwadratowa jest określona dodatnio (ujemnie).

Definicja 12.22. Minorem głównym macierzy A = [a

ij

]

n×n

nazywamy minor o postaci:












a

11

a

12

. . . a

1i

a

21

a

22

. . . a

2i

..

.

..

.

. .. . . .

a

i1

a

i2

. . . a

ni












dla i = 1, 2, . . . , n

tzn.

A

1

= a

11

,

A

2

=







a

11

a

12

a

21

a

22







,

A

3

=









a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33









, . . . , A

n

= det A

Twierdzenie 12.10 (kryterium Sylvestra). Forma kwadratowa o macierzy skojarzonej A
jest:

1. dodatnio określona ⇐⇒ A

k

> 0

∀k = 1, 2, . . . , n

2. ujemnie określona ⇐⇒ (−1)

k

A

k

> 0

∀k = 1, 2, . . . , n

56

3. półokreślona dodatnio ⇐⇒ A

k

­ 0

∀k = 1, 2, . . . , n

4. półokreślona ujemnie ⇐⇒ (−1)

k

A

k

­ 0

∀k = 1, 2, . . . , n

5. nieokreślona, gdy nie zachodzi żaden z powyższych przypadków

Przykład 12.12. Zbadamy określoność formy kwadratowej

Φ(x) = −x

2
1

+ 4x

1

x

2

− 5x

2
2

+ 2x

2

x

3

− 4x

2
3

Macierz formy kwadratowej Φ ma postać:

A =






−1

2

0

2

−5

1

0

1

−4






,

ponieważ

Φ(x) = x

T

Ax =

h

x

1

x

2

x

3

i






−1

2

0

2

−5

1

0

1

−4











x

1

x

2

x

3






Obliczając kolejne minory główne, mamy:

A

1

= −1 < 0,

A

2

=







−1

2

2

−5







= 1 > 0,

A

3

=









−1

2

0

2

−5

1

0

1

−4









= −3 < 0,

zatem forma kwadratowa jest ujemnie określona

Definicja 12.23. Niech D ⊂ R

n

jest zbiorem otwartym oraz f : D → R jest funkcją

różniczkowalną.

Każdy punkt a ∈ D, spełniający warunki:

∂f (a)

∂x

k

= 0,

k = 1, 2, . . . n

nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f .

Twierdzenie 12.11. Niech D ⊂ R

n

oraz funkcja f : D → R.

Jeśli f ma w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego x

0

∈ D ciągłe wszystkie pochod-

ne rzędu pierwszego i drugiego, to w punkcie x

0

funkcja ma ekstremum lokalne, gdy forma

kwadratowa

d

2

f (x

0

) =

n

X

j=1

n

X

i=1

∂

2

f (x

0

)

∂x

i

∂x

j

dx

i

dx

j

jest określonego znaku i ekstremum to jest

1. maksimum lokalnym, gdy forma ta jest określona ujemnie,
2. minimum lokalnym, gdy forma jest określona dodatnio.

Jeżeli forma kwadratowa d

2

f (x

0

) nie jest określona, to w punkcie stacjonarnym a nie ma

ekstremum.

Przykład 12.13. Wyznaczymy ekstrema lokalne funkcji

f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 15x − 12y

57

Z warunku koniecznego ekstremum otrzymujemy układ równań:

∂f

∂x

= 3x

2

+ 3y

2

− 15 = 0

∂f

∂y

= 6xy − 12 = 0

Z drugiego równania mamy y =

2

x

, stąd podstawiając do pierwszego równania, dostajemy:

x

2

+

4

x

2

= 5,

stąd

x

4

− 5x

2

+ 4 = 0

zatem x = ±1 lub x = ±2. Otrzymujemy zatem cztery punkty stacjonarne:

A(1, 2),

B(−1, −2),

C(2, 1),

D(−2, −1)

Wyznaczamy teraz hesjan H

f

(x, y). Ponieważ

∂

2

f

∂x

2

= 6x,

∂

2

f

∂x∂y

=

∂

2

f

∂y∂x

= 6y,

∂

2

f

∂y

2

= 6x,

zatem

H

f

(x, y) =

"

6x 6y
6y

6x

#

H

f

(1, 2) =

"

6

12

12

6

#

,

H

f

(−1, −2) =

"

−6

−12

−12

−6

#

H

f

(2, 1) =

"

12

6

6

12

#

,

H

f

(−2, −1) =

"

−12

−6

−6

−12

#

stąd macierz H

f

(2, 1) jest dodatnio określona, a macierz H

f

(−2, −1) jest ujemnie określona.

Natomiast macierze H

f

(1, 2) i H

f

(−1, −2) są nieokreślone. Punkt (2, 1) jest zatem punktem

minimum lokalnego funkcji f , a punkt (−2, −1) punktem maksimum lokalnego. Mamy zatem:

f

min

(2, 1) = −28

f

max

(−2, −1) = 28.

58