1. Liczby zespolone
Niech A i B będą dowolnymi niepustymi zbiorami.
Definicja 1.1. Produktem (iloczynem) kartezjańskim A × B zbiorów A i B nazywamy zbiór
par uporządkowanych (a, b) takich, że a ∈ A i b ∈ B, tj.
A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
W iloczynie kartezjańskim R
2
:= R × R definiujemy sumę oraz iloczyn par z
1
= (x
1
, y
1
)
oraz z
2
= (x
2
, y
2
) następująco:
z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
, y
1
+ y
2
)
z
1
z
2
= (x
1
x
2
− y
1
y
2
, x
1
y
2
+ x
2
y
1
).
Definicja 1.2. Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w po-
wyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy literą C.
Uwaga 1.1.
— Suma i iloczyn liczb zespolonych jest liczbą zespoloną.
— Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami łącznymi i przemiennymi, tzn.
z + w = w + z
zw = wz
z + (u + w) = (z + u) + w
z(uw) = (zu)w
dla dowolnych liczb zespolonych z, u, w.
— Mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.
z(u + w) = zu + zw
dla dowolnych liczb zespolonych z, u oraz w.
Definicja 1.3. Jeśli z = (x, y) jest liczbą zespoloną, to pierwszy element x pary (x, y)
nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy symbolem <z (łac. realis) (lub Rez),
a drugi element tej pary - częścią urojoną liczby z i oznaczamy =z (łac. imaginaris) (lub
Imz).
Uwaga 1.2. Każdej liczbie zespolonej z odpowiada dokładnie jeden punkt (<z, =z) w pro-
stokątnym układzie współrzędnych. Mówimy więc o płaszczyźnie zespolonej C (płaszczyzna
Gaussa). Oś odciętych na płaszczyźnie C nazywamy osią rzeczywistą, a oś rzędnych osią
urojoną.
Definicja 1.4. Liczbę (0, 0) nazywamy zerem zespolonym.
Liczbę (1, 0) nazywamy jedynką zespoloną.
Jednostką urojoną nazywamy liczbę zespoloną i = (0, 1).
Uwaga 1.3.
— Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci sumy z = Rez + iImz:
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy
— Kwadrat jednostki urojonej wynosi −1, gdyż i
2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1+0i = −1.
— Liczby (x, 0) utożsamiamy z x, czyli (x, 0) = x.
Uwaga 1.4. Dowolną liczbę zespoloną z = x + iy możemy przedstawić w postaci trygono-
metrycznej z = r(cos ϕ, sin ϕ) = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r =
q
x
2
+ y
2
, a ϕ jest dowolnym
kątem takim, że
(
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
1
i =
H 0, 1L
Re z
Im z
Rys. 1. Płaszczyzna Gaussa
z =
H x , y L
x
Re z
iy
Im z
j
Definicja 1.5. Jeśli z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ), to liczbę r :=
q
x
2
+ y
2
nazywamy mo-
dułem liczby zespolonej z i oznaczamy |z|, a każdy z kątów ϕ takich, że zachodzą równości
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, nazywamy argumentem liczby z i oznaczamy Argz. Najmniejszy nie-
ujemny argument liczby zespolonej z nazywamy argumentem głównym tej liczby i oznaczamy
argz.
Uwaga 1.5.
ϕ =
arc tg
b
a
,
a > 0
π + arc tg
b
a
,
a < 0
dla a 6= 0
ϕ =
π
2
, b > 0
−
π
2
,
b < 0
dla a = 0
2
Twierdzenie 1.1 (wzór Eulera).
e
iϕ
= cos ϕ + i sin ϕ
Uwaga 1.6. Dowolną liczbę zespoloną z możemy przedstawić w postaci wykładniczej z = re
iϕ
Definicja 1.6. Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy nazywamy liczbę z = x − iy.
Uwaga 1.7.
— Liczba ¯
z = x − iy jest obrazem liczby z = x + iy w symetrii względem osi
rzeczywistej.
— Dla dowolnej liczby z zachodzi równość: z ¯
z = |z|
2
.
— Jeśli z = re
iϕ
, to ¯
z = re
i(−ϕ)
.
— Jeśli z
1
= r
1
e
iϕ
1
oraz z
2
= r
2
e
iϕ
2
, to z
1
z
2
= r
1
r
2
e
i(ϕ
1
+ϕ
2
)
, to znaczy moduł iloczynu
liczb z
1
, z
2
jest iloczynem modułów |z
1
| = r
1
i |z
2
| = r
2
tych liczb, a argument iloczynu
liczb zespolonych jest sumą ich argumentów.
Twierdzenie 1.2 (wzór de Moivre’a). Dla dowolnej liczby zespolonej z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
i dowolnej liczby naturalnej n = 1, 2, 3, . . . zachodzi równość:
z
n
= r
n
(cos nϕ + i sin nϕ),
którą można również wyrazić w postaci wykładniczej: (re
iϕ
)
n
= r
n
e
inϕ
.
Wniosek 1.1. Jeśli w = r(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0 jest dowolną liczbą zespoloną różną od zera,
zaś n = 1, 2, 3, . . . – dowolną liczbą naturalną, to równanie z
n
= w spełnia dokładnie n liczb
zespolonych z
0
, z
1
, z
2
, . . . , z
n−1
z
k
=
n
√
r
cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
!
,
gdzie k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}.
z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
z
6
2 Π
n
r
=
1
Re z
Im z
Rys. 2. Pierwiastki równania z
6
= i
Twierdzenie 1.3 (Zasadnicze twierdzenie algebry). Każdy wielomian stopnia n 1 o do-
wolnych współczynnikach zespolonych ma w dziedzinie zespolonej co najmniej jeden pierwia-
stek.
3
Twierdzenie 1.4. Każdy wielomian zespolony stopnia n można przedstawić w postaci ilo-
czynu:
W
n
(z) = a
n
(z − z
1
)(z − z
2
) . . . (z − z
n
)
dla pewnych a
n
, z
1
, z
2
, . . . , z
n
Twierdzenie 1.5. Jeżeli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu W
n
(z) o współ-
czynnikach rzeczywistych, to liczba zespolona sprzężona ¯
z jest również pierwiastkiem tego
wielomianu
Twierdzenie 1.6. Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych jest iloczynem czyn-
ników co najwyżej drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.
Wniosek 1.2. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, wtedy istnieje przynajmniej jeden pierwiastek
rzeczywisty.
Przykład 1.1. Wyznaczmy wszystkie pierwiastki wielomianu:
W
4
(z) = z
4
+ 2z
3
+ 2z
2
− 2z − 3
Zauważmy, że W
4
(1) = 0 oraz W
4
(−1) = 0, zatem
W
4
(z) = (z − 1)(z + 1)(z
2
+ 2z + 3)
Znajdujemy pozostałe dwa pierwiastki (sprzężone):
z
3
= −1 + i
√
2,
z
4
= −1 − i
√
2.
2. Macierze
Niech ustalony będzie zbiór K i dwie liczby naturalne m, n, gdzie K = R lub K = C.
Definicja 2.1. Macierzą o wyrazach ze zbioru K i wymiarach m na n nazywamy każdą
funkcję
A : {1, ..., m} × {1, ..., n} 3 (i, j) −→ a
ij
∈ K.
Macierz taką zapisujemy w postaci tabelki
A =
a
11
· · ·
a
1n
·
· · ·
·
·
· · ·
·
·
· · ·
·
a
m1
· · ·
a
mn
Uwaga 2.1. Sposoby zapisu macierzy:
— A
m×n
– określono wymiary macierzy,
— [a
ij
] – oznaczono wyrazy macierzy,
— A = [a
ij
]
1 ¬ i ¬ m
1 ¬ j ¬ n
– nazwano wyrazy, określono wymiary.
Definicja 2.2. Ciąg a
i1
, ..., a
in
, i = 1, ..., m nazywamy i–tym wierszem macierzy A. Ciąg
a
1j
, ..., a
mj
, j = 1, ..., n, nazywamy j-tą kolumną macierzy A.
4
Definicja 2.3. Macierz A
m×n
nazywamy kwadratową, jeśli m = n i wtedy liczbę n nazywamy
stopniem macierzy.
Jeśli m 6= n, to macierz jest prostokątna.
Dla macierzy kwadratowej A = [a
ij
]
1 ¬ i ¬ n
1 ¬ j ¬ n
definiujemy główną przekątną jako ciąg
a
11
, ..., a
nn
.
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
· · ·
· · ·
. ..
· · ·
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
Definicja 2.4. Macierz kwadratowa nazywa się macierzą trójkątną, jeśli wszystkie jej wyrazy
leżące ponad główną przekątną lub wszystkie wyrazy leżące poniżej głównej przekątnej są
zerami.
a
11
0
0
0
a
21
a
22
· · ·
0
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
a
11
a
12
a
13
a
1n
0
a
22
· · · a
2n
0
0
. ..
..
.
0
0
· · ·
a
nn
Definicja 2.5. Macierz kwadratową A = [a
ij
]
1¬i,j¬n
nazywa się symetryczną, jeśli a
ij
= a
ji
dla każdych i, j = 1, ..., n.
2
−3
1
0
−3 −4
5
−1
1
5
2
−
√
3
0
−1 −
√
3
0
Definicja 2.6. Macierz A nazywa się antysymetryczną (lub skośnie symetryczną), jeśli a
ij
=
−a
ji
dla każdych i, j = 1, ..., n. W macierzy skośnie symetrycznej wszystkie wyrazy leżące
na głównej przekątnej są równe zeru.
0
−3
1
0
3
0
5
−1
−1 −5
0
−
√
3
0
1
√
3
0
Definicja 2.7. Macierz kwadratowa nazywa się diagonalną, jeśli wszystkie jej wyrazy poza
główną przekątną są zerami.
e
0 0
0
0
0
3
0
0
0
0 0
0
0
0
0 0 0
2 − i
0
0 0 0
0
−1
5
Definicja 2.8. Macierz kwadratowa nazywa się jednostkową, jeśli jest diagonalna, a na jej
głównej przekątnej są same jedynki. Macierz tę oznaczać będziemy przez I lub I
n
.
I
5
=
1
0 0 0 0
0
1
0 0 0
0 0
1
0 0
0 0 0
1
0
0 0 0 0
1
Definicja 2.9. Zbiór wszystkich macierzy o wymiarach m na n i wyrazach z K oznaczmy
przez M (m, n; K), gdzie K = R lub K = C.
Definicja 2.10. Macierzą transponowaną A
T
do macierzy A nazywamy macierz powstałą
w wyniku zamiany wierszy na odpowiednie kolumny, tzn. jeśli A = [a
ij
], to A
T
= [aji]
Jeśli macierz A ma wymiar m × n, to macierz A
T
ma wymiar n × m
Uwaga 2.2. Macierz symetryczna spełnia zatem warunek A = A
T
, a macierz antysymetrycz-
na warunek A = −A
T
.
Definicja 2.11. Niech A, B ∈ M (m, n; K) oraz
A =
a
11
. . .
a
1n
.
. . .
.
.
. . .
.
.
. . .
.
a
m1
. . . a
mn
B =
b
11
. . .
b
1n
.
. . .
.
.
. . .
.
.
. . .
.
b
m1
. . . b
mn
Sumą macierzy A, B jest macierz:
A + B =
a
11
+ b
11
. . .
a
1n
+ b
1n
.
. . .
.
.
. . .
.
.
. . .
.
a
m1
+ b
m1
. . . a
mn
+ b
mn
Definicja 2.12. Jeśli λ ∈ K, to macierz λA ma postać:
λA =
λa
11
. . .
λa
1n
.
. . .
.
.
. . .
.
.
. . .
.
λa
m1
. . . λa
mn
Uwaga 2.3. Dodawanie w M (m, n; K)
— jest łączne: A + (B + C) = (A + B) + C,
— jest przemienne: A + B = B + A,
— ma element neutralny O (macierz składającą się z samych zer): A + O = O + A = A,
— każda macierz A ma macierz przeciwną −A, tzn.
A + (−A) = O
6
Definicja 2.13. Niech A = [a
il
]
1 ¬ i ¬ m
1 ¬ l ¬ k
i B = [b
lj
]
1 ¬ l ¬ k
1 ¬ j ¬ n
. Iloczyn macierzy AB definiuje-
my jako macierz C = [c
ij
] o wymiarach m na n, której wyrazy określone są wzorem:
c
ij
=
k
X
l=1
a
il
b
lj
dla wszystkich wskaźników i, j, gdzie i = 1, ..., m oraz j = 1, ..., n.
Przykład 2.1.
1 −2
0
4
3 −1
−2
−2 3
4
−4 1
!
=
1 · (−2) + (−2) · 4
6
1
0 · (−2) + 4 · 4
−16 4
3 · (−2) + (−1) · 4
−2
8
=
=
−10
6
1
16
−16 4
−10
−2
8
Uwaga 2.4.
— Możemy wykonać mnożenie AB tylko takich macierzy A, B, dla których
liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. W rezultacie mnożenia
otrzymujemy macierz, która ma tyle wierszy, co macierz A i tyle kolumn co macierz B.
— Mnożąc macierze najpierw sprawdzamy, czy możemy je pomnożyć, następnie ustalamy
wymiary iloczynu macierzy. Potem wyliczamy wyrazy iloczynu.
Uwaga 2.5. Mnożenie macierzy
— jest łączne, tzn. jeśli A, B, C są takie, że można wykonać mnożenia AB i C(AB), to
można też wykonać mnożenia CA i (CA)B oraz
C(AB) = (CA)B.
— jest rozdzielne względem dodawania macierzy. Jeśli A, B ∈ M (k, n; K) i C ∈ M (m, k; K),
to
C(A + B) = CA + CB.
— nie jest przemienne, tzn. AB 6= BA.
Własność 2.1.
— (AB)
T
= B
T
A
T
— ∃A 6= O ∧ ∃B 6= O : AB = O
3. Wyznaczniki
Definicja 3.1. Permutacją zbioru n–elementowego A = {a
1
, a
2
, . . . , a
n
} nazywamy każde
wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie p zbioru A na siebie. Permutację p : A → A zapisu-
jemy:
p =
a
1
a
2
. . .
a
n
a
α
1
a
α
2
. . . a
α
n
!
Jeśli A = {1, 2, . . . , n}, to
p =
1
2
. . .
n
α
1
α
2
. . . α
n
!
lub zapisujemy tylko dolny wiersz
α
1
α
2
. . . α
n
, gdzie p(i) = α
i
.
7
Definicja 3.2. Zbiór wszystkich permutacji zbioru n–elementowego oznaczamy przez P
n
.
Definicja 3.3. Mówimy, ze para liczb α
i
, α
j
tworzy inwersję (lub nieporządek) w permutacji
α
1
α
2
. . . α
n
, jeżeli:
α
i
> α
j
dla i < j.
Przykład 3.1. W permutacji
3 1 4 2 5
inwersje tworzą pary (3, 1), (3, 2), (4, 2)
Definicja 3.4. Permutację
α
1
α
2
. . . α
n
nazywamy parzystą, gdy ilość inwersji w tej
permutacji jest liczbą parzystą lub równą zero.
Permutację
α
1
α
2
. . . α
n
nazywamy nieparzystą, gdy ilość inwersji w tej permu-
tacji jest nieparzysta.
Każdej permutacji p można przyporządkować znak sgn(p):
sgn(p) = (−1)
k
,
gdzie k oznacza liczbę inwersji w tej permutacji.
Definicja 3.5. Wyznacznikiem |A| lub det A (z łac. determinant) kwadratowej macierzy A
nazywać będziemy liczbę przyporządkowaną tej macierzy zgodnie ze wzorem:
det A =
X
p∈P
n
sgn(p)a
1α
1
a
2α
2
. . . a
nα
n
,
gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie permutacje p =
α
1
α
2
. . . α
n
zbioru
{1, 2, . . . , n}.
Przykład 3.2. Obliczymy wyznacznik z macierzy kwadratowej stopnia drugiego:
A =
a
11
a
12
a
21
a
22
!
Ponieważ macierz jest stopnia drugiego, mamy zbiór {1, 2}, zatem mamy dwie permutacje:
p
1
= (1, 2) oraz p
2
= (2, 1).
Permutacja p
1
jest parzysta, zatem sgn(p
1
) = 1,
a p
2
jest nieparzysta, więc sgn(p
2
) = −1,
stąd
det A =
X
p∈P
n
sgn(p)a
1α
1
a
2α
2
=
= sgn(p
1
)a
11
a
22
+ sgn(p
2
)a
12
a
21
= a
11
a
22
− a
12
a
21
.
Definicja 3.6. Minorem M
ij
(podwyznacznikiem) elementu a
ij
macierzy kwadratowej A
nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i–tego wiersza i
j–tej kolumny.
Definicja 3.7. Dopełnieniem algebraicznym A
ij
elementu a
ij
macierzy kwadratowej A na-
zywamy liczbę określoną wzorem:
A
ij
= (−1)
i+j
M
ij
.
8
Definicja 3.8. Macierzą dopełnień algebraicznych A
d
kwadratowej macierzy A nazywamy
macierz utworzoną z dopełnień algebraicznych A
ij
macierzy A, tzn.
A
d
= [A
ij
]
Twierdzenie 3.1. Jeśli w macierzy kwadratowej A pewien wiersz lub pewna kolumna składa
się z samych zer, to wyznacznik tej macierzy równa się zero.
Twierdzenie 3.2. Jeśli macierz A
0
jest macierzą otrzymaną z macierzy A przez zamianę
miejscami dwóch kolumn (lub dwóch wierszy), to wyznacznik zmieni swój znak, tzn.
detA
0
= − det A.
Twierdzenie 3.3. Jeśli w macierzy A do pewnej kolumny (lub pewnego wiersza) dodamy
odpowiednie elementy innej kolumny (wiersza) pomnożone przez jedną i tę samą liczbę, to
wyznacznik macierzy się nie zmieni.
Twierdzenie 3.4. Jeśli pewną kolumnę (wiersz) macierzy A pomnożymy przez skalar λ, to
dla otrzymanej w ten sposób macierzy A
0
mamy wzór
det A
0
= λ det A.
Uwaga 3.1. Wymienione operacje na macierzach są takie, że, po ich zastosowaniu do danej
macierzy, wyznacznik macierzy się nie zmieni lub łatwo kontrolujemy ewentualne zmiany wy-
znacznika tej macierzy. Mówimy, że są to operacje elementarne (lub dopuszczalne ze względu
na wyznacznik).
Twierdzenie 3.5. Dla dowolnych macierzy A, B ∈ M (n, n; K) zachodzi wzór
det AB = det A det B.
Twierdzenie 3.6. Jeżeli A ∈ M (n, n; K), to det A
T
= det A.
Twierdzenie 3.7. Niech A = [a
ij
] ∈ M (n, n; K). Dla każdego ustalonego wskaźnika j (j =
1, ..., n) zachodzi wzór (rozwinięcie względem j–tej kolumny)
det A = a
1j
A
1j
+ ... + a
nj
A
nj
,
gdzie A
ij
oznacza dopełnienie algebraiczne elementu a
ij
.
Odpowiednio rozwinięcie względem i–tego wiersza:
det A = a
i1
A
i1
+ ... + a
in
A
in
.
Uwaga 3.2. Suma iloczynów elementów pewnego wiersza (kolumny) pomnożonych przez do-
pełnienia algebraiczne innego wiersza (kolumny) jest równa zeru, tzn.
a
i1
A
k1
+ ... + a
in
A
kn
= 0,
i 6= k,
a
1j
A
1s
+ ... + a
nj
A
ns
= 0,
j 6= s.
9
4. Macierz odwrotna
Definicja 4.1. Macierz kwadratową A nazywamy osobliwą, gdy
det A = 0.
Macierz, której wyznacznik jest różny od zera, nazywa się macierzą nieosobliwą.
Definicja 4.2. Macierz kwadratową A ∈ M (n, n : K) nazywamy odwracalną, jeśli istnieje
macierz B ∈ M (n, n; K), taka że
AB = BA = I.
Macierz B spełniającą ten warunek nazywamy macierzą odwrotną do A. Oznaczamy tę ma-
cierz przez A
−1
.
Twierdzenie 4.1. Istnieje co najwyżej jedna macierz odwrotna względem danej macierzy.
Twierdzenie 4.2. Macierz odwrotna A
−1
istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierzą
nieosobliwą, przy czym zachodzi równość:
A
−1
=
1
det A
(A
d
)
T
,
gdzie A
d
jest macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A.
Przykład 4.1. Macierzą odwrotną do macierzy A =
−1
0
2
−2
!
jest macierz
A
−1
=
1
2
−2
0
−2 −1
!
.
Własność 4.1.
— I
−1
= I.
— (A
−1
)
−1
= A
— (A
−1
)
T
= (A
T
)
−1
— (AB)
−1
= B
−1
A
−1
— det(A
−1
) = (det A)
−1
(lub prościej
|A
−1
| =
1
|A|
)
Rząd macierzy Minor
Definicja 4.3. Niech dana będzie macierz A = [a
ij
] ∈ M (m, n; K) oraz niech k będzie pewną
liczbą naturalną nie większą od m i n. Ustalmy ciągi wskaźników 1 ¬ i
1
< ... < i
k
¬ m, 1 ¬
j
1
< ... < j
k
¬ n. Oznaczmy przez
A
i
1
,...,i
k
j
1
,...,j
k
macierz powstałą przez wybór wyrazów stojących na przecięciu wierszy o numerach i
1
, ..., i
k
i kolumn o numerach j
1
, ..., j
k
. Otrzymujemy macierz kwadratową o wymiarach k na k.
Wyznacznik tak otrzymanej macierzy nazywamy minorem (podwyznacznikiem) stopnia k
macierzy A.
Definicja 4.4. Rzędem rkA macierzy A nazywamy najwyższy stopień niezerowego wyznacz-
nika wyjętego z tej macierzy.
Twierdzenie 4.3. Operacje elementarne na macierzy A nie zmieniają jej rzędu.
10
Przykład 4.2. Rząd macierzy
A =
1
−2 0 −3
2
0
1 −2
−2
12
2
14
−3
6
0
9
wynosi 2, tzn. rkA = 2
Uwaga 4.1. Określenie rzędu macierzy na podstawie definicji jest uciążliwe.
Twierdzenie 4.4. Operacje elementarne na macierzy nie zmieniają jej rzędu.
Uwaga 4.2. Rząd macierzy można łatwo określić sprowadzając macierz do tzw. postaci schod-
kowej, w której pierwszy różny od zera element danego wiersza znajduje się bardziej na prawo
niż niezerowy element z poprzedniego wiersza.
Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej niezerowych wierszy.
rk
2
1
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
= 3
5. Układy równań liniowych
Definicja 5.1. Układem równań liniowych nazywamy układ równań
a
11
x
1
+ ... + a
1n
x
n
= b
1
.........................................
a
m1
x
1
+ ... + a
mn
x
n
= b
m
,
gdzie x
1
, ..., x
n
są niewiadomymi, zaś a
ij
, b
i
, gdzie i = 1, ..., m; j = 1, ....n są skalarami ze
zbioru K, gdzie K = R lub K = C.
Definicja 5.2. Rozwiązaniem tego układu nazywamy każdy ciąg (x
1
, ..., x
n
) ∈ K
n
, który
spełnia ten układ.
Definicja 5.3. Skalary a
ij
nazywają się współczynnikami układu równań.
Skalary b
1
, ..., b
m
nazywają się wyrazami wolnymi układu.
Definicja 5.4. Jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zeru, układ równań nazywa się
jednorodnym. W przeciwnym wypadku mówimy, że układ jest niejednorodny.
Definicja 5.5. Układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej
Ax = b,
gdzie macierz A o m wierszach i n kolumnach
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
..
.
..
.
. . .
..
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
nazywa się macierzą współczynników.
11
Definicja 5.6. Macierze kolumnowe:
b =
b
1
·
·
·
b
m
,
x =
x
1
·
·
·
x
n
.
nazywane są wektorem wyrazów wolnych oraz wektorem niewiadomych.
Twierdzenie 5.1 (Kroneckera–Capellego). Układ równań ma rozwiązanie wtedy i tylko wte-
dy, gdy
rkA = rk[A, b] = r,
gdzie [A, b] jest macierzą utworzoną z macierzy A przez dopisanie do niej kolumny wyrazów
wolnych.
Uwaga 5.1. Macierz [A, b] nazywa się macierzą rozszerzoną (uzupełnioną) układu.
Definicja 5.7. Układy równań dzielimy na trzy typy ze względu na liczbę rozwiązań:
1. Układy sprzeczne, gdy układ nie ma rozwiązania:
rkA 6= rk[A, b].
2. Układy oznaczone, gdy mają dokładnie jedno rozwiązanie (jeden wektor x):
rkA = rk[A, b] = n
3. Układy nieoznaczone, gdy zbiór rozwiązań zawiera nieskończenie wiele rozwiązań (nie-
skończenie wiele wektorów x):
rkA = rk[A, b] = r < n.
Definicja 5.8. Układ równań, który posiada rozwiązanie (jedno lub więcej), nazywamy
układem zgodnym.
Definicja 5.9. Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtedy i tylko wtedy, gdy
mają dokładnie taki sam zbiór rozwiązań.
Uwaga 5.2. Aby otrzymać układy równoważne, można wykonywać operacje elementarne na
układzie równań liniowych, które polegają na:
— przestawieniu dwóch dowolnych równań,
— pomnożeniu obu stron równania przez dowolny skalar różny od zera,
— dodaniu wielokrotności jednego równania do innego równania
Definicja 5.10. Metoda rozwiązywania układu równań, polegająca na sprowadzeniu go do
równoważnego układu schodkowego nosi nazwę metody eliminacji Gaussa.
Twierdzenie 5.2 (Cramera). Niech dany będzie układ równań
a
11
x
1
+ ... + a
1n
x
n
= b
1
,
.......................................
a
n1
x
1
+ ... + a
nn
x
n
= b
n
,
taki że det A 6= 0 (macierz A jest kwadratowa!),
wtedy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie i rozwiązanie to jest dane wzorami
x
i
=
det A
i
det A
dla
i = 1, ..., n,
gdzie A
i
jest macierzą otrzymaną z macierzy A przez zastąpienie i–tej kolumny kolumną
wyrazów wolnych.
12
Twierdzenie 5.3. Układ n równań liniowych jednorodnych
Ax = 0
ma rozwiązanie niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
det A = 0.
13
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
mat10 s2 notatki
mat4 s2 notatki
mat7 s2 notatki
mat3 s2 notatki
mat5 s2 notatki
mat9 s2 notatki
mat10 s2 notatki
S2 PPP-wykłady Blandyna Żurawska-Grajewska wykład 2, psychologia, Notatki z wykładów PPP
S2 Rola czynników kulturowych w kryzysie finansowym Wiesław Rehan wykład 10, Materiały na studia, No
więcej podobnych podstron