Mechanika kwantowa 1
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
Mechanika kwantowa (albo mechanika falowa) zajmuje się ruchami
mikrocząsteczek i ich oddziaływaniami (o ile nie prowadzą do zmiany liczby i
rodzaju mikrocząstek)
Zajmiemy się mechaniką kwantową nierelatywistyczną.
Hipoteza de Broglie’a (1924 r.)
Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząstkową naturę,
- fale o częstości
ν
i długości
λ
- cząstki o energii
E h
ν
=
i pędzie
E
h
h
p
c
c
ν
λ
=
=
=
to także cząstki o niezerowej masie powinny mieć taką naturę.
Cząstki takie, o energii E i pędzie p , zachowują się jak fale o częstości
E
h
ν
=
i długości
h
p
λ
=
.
( E i p są tu rozumiane w sensie relatywistycznym:
2
2
2
1
E mc
c
υ
=
−
,
2
2
1
p m
c
υ
υ
=
−
)
Doświadczenie Davissona i Germera - pierwsze potwierdzenie hipotezy de
Broglie'a (1927 r.)
2
2
2
2
k
m
p
E
Ue
m
υ
=
=
=
2
p
mUe
=
2
h
h
p
mUe
λ
= =
Mechanika kwantowa 2
k
S - płaszczyzny sieciowe
CD - różnica dróg ciągów
falowych P
1
B i P
2
B.
Wzmocnienie,
gdy
2 cos
CD
d
n
ϑ
λ
≡
=
(warunek Braggów)
W doświadczeniu Davissona i Germera
było:
0,91 Å
d
=
,
25
ϑ
= °
,
1
n
=
stąd
2
cos
1,65 Å
d
n
λ
ϑ
=
=
Z drugiej strony:
34
6,63 10
Js
h
−
=
×
,
54 V
U
=
31
9,1 10
kg
m
−
=
×
stąd
1,64 Å
2
h
mUe
λ
=
=
Wniosek:
Każdej poruszającej się cząstce materialnej można przypisać falę materii,
której długość jest określona wzorem de Broglie'a
h
p
λ
=
Materia, podobnie jak promieniowanie, wykazuje dualizm falowo-cząstkowy.
Zależność prądu detektora D od
napięcia przyspieszającego elek-
trony w doświadczeniu Davissona i
Germera
Mechanika kwantowa 3
Częstość kołowa i wektor falowy fal de Broglie'a
2
2
E
E
h
ω
π ν
π
=
=
=
!
⇒
E
ω
=
!
2
h
π
=
!
2
2 p
p
k
h
π
π
λ
=
=
=
!
⇒
p
k
=
!
Funkcja falowa
W mechanice kwantowej cząstkom przypisuje się zespolone funkcje falowe
( , , , )
( , )
x y z t
r t
Ψ
= Ψ
"
w ogólności będące superpozycjami monochromatycznych fal de Broglie’a
LICZBY ZESPOLONE
Liczby zespolone są jednym z najważniejszych narzędzi matematycznych dla
badań zjawisk przyrodniczych, wskutek czego używanie ich jest w tej samej
mierze słuszne, co używanie liczb rzeczywistych.
Określenie liczb zespolonych
Liczbę zespoloną można traktować jako parę uporządkowaną liczb
rzeczywistych
( , )
z
a b
a bi
=
= +
gdzie liczba i , zwana jednostką urojoną, jest zdefiniowana wzorem
2
1
i
= −
.
a - część rzeczywista liczby
z
, (piszemy
re
a
z
=
),
b
- część urojona liczby
z
, (piszemy
im
a
z
=
),
*
z
z
a bi
=
= −
- liczba sprzężona z liczbą
z a bi
= +
.
Mechanika kwantowa 4
Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych
Niech
z a bi
= +
,
w c di
= +
Dodawanie:
(
) (
)
z w
a c
b d i
+ = + + +
Odejmowanie:
(
) (
)
z w
a c
b d i
− = − + −
Mnożenie:
2
(
)(
)
(
) (
)
zw
a bi c di
ac adi bci bdi
ac bd
ad bc i
= +
+
=
+
+
+
=
−
+
+
Dzielenie:
2
2
2
2
(
)(
)
(
)(
)
z
a bi
a bi c di
ac bd
bc ad
i
w
c di
c di c di
c
d
c
d
+
+
−
+
−
=
=
=
+
+
+
−
+
+
Postać trygonometryczna liczb zespolonych
Liczbę zespoloną
z a bi
= +
można też
traktować jako punkt na płaszczyźnie o
współrzędnych
( , )
a b
2
2
z
r
a
b
= =
+
-
Moduł liczby
z
. Odległość odpowiadającego jej
punktu od początku układu współrzędnych.
ϕ
- Argument liczby
z
.Kąt zawarty między dodatnią
półosią osi x , a odcinkiem Oz . Kąt ten jest określany
z dokładnością do całkowitej wielokrotności kąta
pełnego. Piszemy
arg z
ϕ
=
.
Zachodzi
cos
a
r
ϕ
=
,
sin
b
r
ϕ
=
(cos
sin )
a b
z a bi r
i
r
i
r
r
ϕ
ϕ
= + =
+
=
+
Mechanika kwantowa 5
Postać wykładnicza liczby zespolonej
Liczbę zespoloną
z
o module r i argumencie
ϕ
można też zapisać w postaci
i
z r e
ϕ
=
Zachodzi:
cos
sin
i
e
i
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
wzór Eulera
Potęgowanie liczb zespolonych
Korzysta się tu ze wzoru Moivre'a
[
]
(cos
sin )
(cos
sin
)
n
n
r
i
r
n
i
n
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
+
Wzór Moivre'a można stosować przy n całkowitym lub ułamkowym,
dodatnim lub ujemnym. Przy n ułamkowym należy uwzględnić
wieloznaczność wyniku.
Sens fizyczny funkcji falowej
Interpretacja Borna (1926 r.)
Sama funkcja falowa nie ma bezpośredniej interpretacji fizycznej.
Interpretację fizyczną ma natomiast kwadrat modułu funkcji falowej
2
*
Ψ = ΨΨ
taką, że
2
dP
dV
Ψ
∼
gdzie
dP
- prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajdzie się wewnątrz
obszaru o objętości
dV
.
Mechanika kwantowa 6
Sens fizyczny funkcji falowej, cd
Funkcja
Ψ
jest często rozumiana jako funkcja znormalizowana (unormowana),
czyli spełniająca warunek
*
1
V
dV
ΨΨ
=
∫
(wtedy
2
dP
dV
= Ψ
)
Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym elemencie
przestrzeni:
2
*
( , )
dP
r t
dV
ρ
=
= Ψ = ΨΨ
"
Opis ruchu cząstki swobodnej za pomocą monochromatycznej fali de Broglie’a
(
)
( , )
i
t k x
x t
A e
ω
−
−
Ψ
=
w jednym wymiarze, dla cząstki poruszającej
się wzdłuż osi x.
(
)
( , )
i
t k r
r t
A e
ω
−
−
Ψ
=
" "
"
w przestrzeni trójwymiarowej, dla cząstki
poruszającej się w kierunku k
"
.
Cząstki opisane taką falą mają ściśle określoną energię i pęd, ale ich zależność
położenia od czasu nie jest określona. Dla cząstek poruszających się z
prędkościami
c
υ
$ zachodzi
2
2
2
2 2
2 4
2
2
2
2 2
2 2
1
1
2
2
p
p
p
E
p c
m c
mc
mc
mc
m c
m c
m
=
+
=
+
≈
+
=
+
a więc wtedy częstość
ω
może być rozumiana jako obliczana z zależności
k
E
ω
=
! , gdzie
2
(2 )
k
E
p
m
=
.
Mechanika kwantowa 7
Opis ruchu cząstki swobodnej za pomocą paczki falowej
Dla uproszczenia weźmy cząstkę poruszającą się równolegle do osi x, w jej
dodatnim kierunku. Takiej cząstce można przypisać grupę fal płaskich o
wartościach modułu wektora falowego zawartych w pewnym przedziale (np. o
szerokości
2 k
∆
) wokół pewnej wartości
0
k .
0
0
(
)
( , )
2
k
k
i
t k x
k
k
A
x t
e
dk
k
ω
+∆
−
−
−∆
Ψ
=
∆
∫
Zwróćmy uwagę, że rozmycie
k
oznacza rozmycie pędu (bo
p
k
=
!
) oraz, że
w takim przypadku wartości częstości
ω
są również rozmyte wewnątrz
pewnego przedziału, co wynika relacji energii i pędu
2 2
2 4
E
p c
m c
=
+
⇒
2 2 2
2 4
k c
m c
ω =
+
!
!
(związek dyspersyjny)
Dla cząstek nierelatywistycznych związek dypersyjny ma postać
2
(2 )
k
E
p
m
=
Zasada nieokreśloności Heisenberga
Aby dokładniej przeanalizować konsekwencje rozmycia energii i pędu w
paczce falowej, wykonajmy całkowanie we wzorze opisującym paczkę
0
0
(
)
( , )
2
k
k
i
t k x
k
k
A
x t
e
dk
k
ω
+∆
−
−
−∆
Ψ
=
∆
∫
Wprowadźmy oznaczenia:
g
g
x
t
υ
=
,
g
d
dk
ω
υ
=
,
0
0
( )
k
ω
ω
=
Rozwińmy
ω
w szereg Taylora
0
0
0
0
( )
( )
(
) ...
(
)
g
d
k
k
k k
k k
dk
ω
ω
ω
ω υ
=
+
−
+ ≅
+
−
(wyrazy rzędu wyższego niż pierwszy można pominąć ze względu na założoną
małą wartość
k
∆
).
Mechanika kwantowa 8
Zasada nieokreśloności Heisenberga, cd.
0
0
(
)
( , )
2
k
k
i
t k x
k
k
A
x t
e
dk
k
ω
+∆
−
−
−∆
Ψ
=
∆
∫
0
0
( )
(
)
g
k
k k
ω
ω υ
≅
+
−
Stąd
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
g
g
g
g
g
t kx
t
k k t kx
t
kt
k t kx
t k x
x x k
ω
ω
υ
ω
υ
υ
ω
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
−
− −
0
0
(
)
(
)
(
)
g
g
i
t k x
i x x k
i
t kx
e
e
e
ω
ω
−
−
−
−
−
=
Paczka falowa może być zapisana w postaci
0
0
0
0
(
)
(
)
( , )
2
g
g
k
k
i x x k
i
t k x
k
k
A
x t
e
dk e
k
ω
+∆
−
−
−
−∆
Ψ
=
∆
∫
Po scałkowaniu i wykorzystaniu zależności
sin
2
i
i
e
e
i
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
=
otrzymujemy
0
0
(
)
sin (
)
( , )
(
)
g
i
t k x
g
x x
k
x t
A
e
x x
k
ω
−
−
−
∆
Ψ
=
−
∆
Sens fizyczny ma kwadrat modułu funkcji falowej
*
( , )
x t
ρ
ΨΨ
∼
Stąd mamy
2
2
sin
( , )
x t
α
ρ
α
∼
, gdzie
(
)
(
)
g
g
x x
k
x
t k
α
υ
= −
∆ = −
∆
Mechanika kwantowa 9
Zasada nieokreśloności Heisenberga, cd.
Dla cząstki opisanej paczką falową mamy pewien zakres wartości
α
(nie
pojedynczą wartość). Analizując powyższy rysunek można w pierwszym
przybliżeniu przyjąć, że rozmycie (nieokreśloność)
α
wynosi nie mniej niż 2
π
2
α
π
∆ ≥
czyli, że
(
)
2
g
x
t k
υ
π
∆ − ∆ ∆ ≥
1. Jeśli ustalimy czas
(
0)
t
∆ =
, to mamy
2
x k
π
∆ ∆ ≥
2
x
x
p
k
k
p
h
π
=
→ ∆ =
∆
!
2
2
x
x
p
h
π
π
∆
∆ ≥
→
x
x p
h
∆ ∆ ≥
W analogiczny sposób można otrzymać
y
y p
h
∆ ∆ ≥
z
z p
h
∆ ∆ ≥
Wniosek:
Niemożliwe jest jednoczesne określenie pędu i położenia cząstki.
2. Jeśli ustalimy położenie
(
0)
x
∆ =
, to mamy
2
g
t k
υ
π
∆ ∆ ≥
2
g
t
k
ω
υ
ω
π
∆
=
→
∆ ∆ ≥
∆
2
E
E
h
π
ω
ω
=
→
∆ =
∆
!
2
2
E t
h
π
π
∆ ∆ ≥
→
E t h
∆ ∆ ≥
Wniosek:
Energia cząstki w danym stanie może być określona z tym większą
dokładnością, im dłużej cząstka znajduje się w tym stanie.
Mechanika kwantowa 10
Równanie Schrödingera (1926)
2
2
i
U
t
m
∂Ψ = − ∆Ψ + Ψ
∂
!
!
1
i
= −
2
h
π
=
!
,
2
2
2
2
2
2
2
x
y
z
∂
∂
∂
∆ = ∇ =
+
+
∂
∂
∂
Funkcja
( , , , )
U x y z t
spełnia warunek
U
F
−∇ =
"
, gdzie
x
y
z
e
e
e
x
y
z
∂
∂
∂
∇ =
+
+
∂
∂
∂
"
"
"
(gradient U ze znakiem minus jest równy
wypadkowej sile działającej na cząstkę). Jeśli U nie zależy od czasu, to
( , , )
U U x y z
=
jest energią potencjalną cząstki.
Ogólne właściwości rozwiązań równania Schrödingera
Rozwiązując równanie Schrödingera możemy znaleźć postać funkcji falowej
Ψ
. Funkcja ta musi spełniać przy tym tzw. warunki naturalne. Zgodnie z nimi
funkcja falowa musi być:
! ciągła,
!
gładka - pochodne
/ ,
/ ,
/
x
y
z
∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂ ∂Ψ ∂
powinny być ciągłe,
! jednoznaczna,
! ograniczona,
! funkcja
2
Ψ
powinna być całkowalna, tzn. całka
2
V
dV
Ψ
∫
powinna
mieć wartość skończoną.