Podstawy logiki i teorii mnogości. Materiały do ćwiczeń .
Maria Bulińska
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ALGEBRA ZBIORÓW - ZADANIA
1. Dany jest zbiór wielokątów i trzy wyróżnione jego podzbiory:
A – zbiór wielokątów foremnych,
B – zbiór trójkątów,
C – zbiór wielokątów posiadających co najmniej jeden kąt prosty
Jakie figury należą do zbiorów:
B
A
∩
,
C
B
A
∩
∩
,
C
B
∩ ,
C
A
∪ ,
B
A \
,
A
C \
,
(
)
C
A
B
∩
\
,
(
)
C
B
A
∪
\
,
(
)
′
∪ B
A
,
(
)
′
∩
′ B
A
.
2. Dane są zbiory:
{
}
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
A
,
{
}
9
,
8
,
6
,
4
,
2
=
B
,
{
}
10
,
8
,
5
,
4
,
0
=
C
.
Wyznacz zbiory:
B
A
∪
,
B
A
∩
,
C
A
∪ ,
C
A
∩ ,
,
C
B
A
∪
∪
C
B
A
∩
∩
,
B
A − ,
(
)
C
B
C
∩
−
,
C
B
×
,
B
C
×
3. Dane są zbiory liczb rzeczywistych:
{
}
0
18
9
2
:
2
3
>
−
−
+
=
x
x
x
x
A
,
{
}
0
4
3
:
2
<
−
+
=
x
x
x
B
.
Wyznacz zbiory:
B
A
∪ ,
B
A
∩ ,
B
A
× ,
A
B
× .
4. Dane są dwa zbiory punktów płaszczyzny:
( )
{
}
12
3
4
:
,
≤
+
=
y
x
y
x
A
i
{
}
2
≤
= y
B
.
Narysować zbiór
B
A
∩ .
5. Dane są dwa zbiory punktów płaszczyzny
OXY
( )
{
}
2
2
:
,
−
≥
+
=
y
x
y
x
A
i
( )
{
}
4
4
:
,
2
≤
+
=
y
x
y
x
B
Znaleźć i narysować zbiory
B
A
∩ i
B
A
−
.
6. Znaleźć zbiory
B
A
∩ i
A
B
−
wiedząc, że
A
i
B
są następującymi zbiorami liczb
rzeczywistych
{
}
5
1
:
>
−
+
=
x
x
x
A
,
{
}
0
7
:
2
≤
−
=
x
x
x
B
.
7. Wyznaczyć zbiory liczb rzeczywistych
<
+
=
1
2
1
:
2
x
x
x
A
i
{
}
2
:
<
=
x
x
B
a następnie znaleźć zbiór
(
)
′
∩
=
B
A
C
.
8. W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj zbiory
B
A,
oraz
B
A
∩ .
a)
( )
( )
{
}
2
1
1
:
,
−
−
≤
+
=
x
y
y
x
A
,
( )
( )
{
}
1
2
:
,
−
−
≥
=
x
y
y
x
B
b)
( )
{
}
4
:
,
2
2
≤
+
=
y
x
y
x
A
,
( )
{
}
2
3
3
:
,
x
y
y
x
B
=
+
=
c)
( )
{
}
4
:
,
2
2
≤
+
=
y
x
y
x
A
,
( )
{
}
2
1
:
,
<
−
=
x
y
x
B
d)
( )
{
}
2
:
,
≤
+
=
y
x
y
x
A
,
( )
{
}
0
:
,
=
+
=
y
x
y
x
B
e)
( )
{
}
2
:
,
≥
=
y
y
x
A
,
( )
{
}
x
y
y
x
B
2
:
,
≤
=
Podstawy logiki i teorii mnogości. Materiały do ćwiczeń .
Maria Bulińska
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. Niech
a)
{
}
3
4
:
≤
−
=
x
x
A
,
{
}
6
5
:
≤
−
=
x
x
B
.
b)
{
}
3
:
≤
=
x
x
A
,
{
}
8
4
:
>
−
=
x
x
B
.
c)
{
}
0
1
:
2
=
−
=
x
x
A
,
{
}
0
5
4
:
2
<
−
−
=
x
x
x
B
.
Zilustrować na osi liczbowej następujące zbiory:
B
A
∪ ,
B
A
∩ ,
'
B
A
∩ ,
'
' B
A
∪ ,
A
B − ,
B
A
× ,
A
B
× .
10. W prostokątnym układzie współrzędnych OXY przedstawić graficznie zbiór
( )
{
}
x
y
x
x
y
x
A
2
1
2
:
,
≤
≤
∧
≤
−
=
oraz obliczyć jego pole.
11. Wyznaczyć część wspólną dziedziny funkcji
x
x
y
2
2
+
=
i przedziału
(
)
2
;
3
−
.
12. Wyznacz iloczyn kartezjański
B
A
× i
A
B
× dla następujących zbiorów:
a)
{{{{
}}}}
2
1
:
<
<<
<
<
<<
<
ℜ
ℜ
ℜ
ℜ
∈
∈
∈
∈
=
==
=
x
x
A
,
{{{{
}}}}
1
0
:
<
<<
<
<
<<
<
ℜ
ℜ
ℜ
ℜ
∈
∈
∈
∈
=
==
=
x
x
B
b)
{{{{
}}}}
3
:
<
<<
<
ℜ
ℜ
ℜ
ℜ
∈
∈
∈
∈
=
==
=
x
x
A
,
{{{{
}}}}
4
:
2
>
>>
>
ℜ
ℜ
ℜ
ℜ
∈
∈
∈
∈
=
==
=
x
x
B
c)
{{{{
}}}}
3
2
1
0
:
≤
≤≤
≤
<
<<
<
∨
∨
∨
∨
<
<<
<
<
<<
<
ℜ
ℜ
ℜ
ℜ
∈
∈
∈
∈
=
==
=
x
x
x
A
,
{{{{
}}}}
4
3
2
1
:
≤
≤≤
≤
<
<<
<
∨
∨
∨
∨
≤
≤≤
≤
<
<<
<
ℜ
ℜ
ℜ
ℜ
∈
∈
∈
∈
=
==
=
x
x
x
B
13. Niech
C
oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych. Znajdź elementy zbioru
(
) (
)
B
A
A
B
×
−
×
wiedząc, że
{
}
5
,
1
:
−
∈
∈
=
k
C
k
A
i
{
}
4
,
0
:
∈
∈
=
k
C
k
B
.
14. Wykaż, że zachodzą równości
a)
((((
)))) ((((
)))) ((((
))))
C
A
B
A
C
B
A
××××
∪
∪
∪
∪
××××
====
∪
∪
∪
∪
××××
b)
((((
)))) ((((
)))) ((((
))))
C
A
B
A
C
B
A
××××
∩
∩
∩
∩
××××
====
∩
∩
∩
∩
××××
15. Które z poniższych równości są prawdziwe, a które fałszywe, jeśli
B
A
⊂ ?
1.
A
B
A
=
∩
,
2.
A
B
A
=
∪
,
3.
∅
=
B
A \
,
4.
B
A
B
=
\
,
5.
(
)
∅
=
∪
B
B
A
\
,
6.
(
)
B
B
B
A
=
∪
∩
.
16. Sprawdź za, czy zachodzą następujące prawa za pomocą:
a) definicji
b) tabel prawdziwościowych
c) diagramów Venna
1.
A
B
B
A
′
′
= \
\
,
2.
(
)
(
) (
)
C
B
C
A
C
B
A
∩
∪
∩
=
∩
∪
,
3.
(
)
(
) (
)
C
B
C
A
C
B
A
∪
∩
∪
=
∪
∩
,
Podstawy logiki i teorii mnogości. Materiały do ćwiczeń .
Maria Bulińska
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.
(
) (
) (
) (
)
A
C
B
A
B
A
C
A
\
\
\
∪
=
∩
∪
,
5.
(
) (
)
(
)
C
B
A
B
A
B
A
\
\
\
=
∩
∪
,
6.
(
)
(
)
C
A
B
C
B
A
\
\
∩
=
∩
,
7.
(
) (
)
C
B
A
C
B
A
′
∩
′
∩
′
⊆
′
∩
∩
,
8.
(
) (
)
′
′
∩
′
∩
′
⊆
∪
∪
C
B
A
C
B
A
,
9.
(
) (
)
(
)
C
B
A
C
A
B
A
∪
∩
=
∩
∪
∩
,
10.
(
)
(
)
′
∪
∪
⊆
′
∪
′
C
B
A
B
A
,
11.
(
) (
) (
) (
)
A
B
B
A
B
A
B
A
\
\
\
∪
=
∩
∪
,
12.
(
) (
)
C
B
A
C
B
A
′
∩
⊆
′
∩
\
\
,
13.
(
) (
) (
)
C
A
B
A
C
B
A
∩
∩
=
∩
\
\
,
14.
(
)
(
) (
)
C
B
C
A
C
B
A
∩
∪
∩
′
=
∩
′
\
,
15.
(
) (
)
C
B
A
C
B
A
∪
∩
⊆
∩ \
,
16.
(
)
(
) (
)
C
B
C
A
C
B
A
∩
′
∪
∩
′
=
∩
′
∩
,
17.
(
)
(
)
C
B
A
C
B
A
∪
∩
⊆
∪
∩
.
18. A \ (A
∩
B ) = A \ B
19. (A
∪
B) \ B = A
20. (A
∪
B) \ B = A \ B
21. A
∪
( A
∩
B) = A
22. A
∪
(A
∪
B) = A
∪
B
23. A \ B = B \ A
24. A \ (A \ B) = A
∩
B
25. A
∩
(B \ C) = (A
∩
B) \ (A
∩
C)
26. A
∪
(B \ C) = (A
∪
B) \ (A
∪
C)
27. A \ (B \ C) = (A \ B) \ C