1

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Wykład 3.

Odpowiedź przejściowa i ustalona

Zanim przejdziemy do projektowania sterowników w dziedzinie czasu, wprowadzimy
pojęcie odpowiedzi przejściowej i ustalonej.

W teorii analizy i projektowania układów sterowania automatycznego ważną rolę

odgrywa poznanie pełnej odpowiedzi układu w czasie





, gdzie



jest początko-

wym czasem obserwacji. Na gruncie teorii sterowania przyjmuje się, że pełna odpo-
wiedź układu




jest sumą odpowiedzi przejściowej








i odpowiedzi ustalonej








, co zapisujemy wzorem


 




 




.

(

3.1

)

Chwilę czasową wyznaczającą przejście pomiędzy tymi składowymi określają

pewne założenia projektowe i wymagania jakościowe stawiane obiektowi regulacji.

W zależności od szybkości działania układu w odniesieniu do czasu rzeczywistego,

odpowiedź przejściowa trwa krótko i pojawia się w chwili załączenia układu bądź jego
odpowiedzi na sygnał wymuszający (np. sygnał skokowy lub impulsowy). W związku z
tym, odpowiedź przejściowa zanika szybko w upływem czasu (jeśli wymuszenie usta-

2

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

bilizowało się na stałej wartości, to jej wkład do pełnej odpowiedzi układu jest po
pewnym czasie zerowy), co można zapisać w postaci:

lim








 0.

(

3.2

)

W efekcie (w odniesieniu do układu stabilnego) pozostaje tylko składowa ustalo-

na, która w większości przypadków oscyluje wokół wartości stałej (zadanej). Dokład-
ność, z jaką układ sterowania odzwierciedla zadaną na wejściu wartość pożądaną jest,
dla przykładu, przedmiotem optymalizacji odpowiedzi ustalonej w kontekście minima-
lizacji uchybu statycznego regulacji.

Z uwagi na ważność odpowiedzi o charakterze oscylacyjnym przyjrzymy się dalej

jej opisowi matematycznemu i definicji podstawowych parametrów z nią związanych.

3.1.

Odpowiedź układów drugiego rzędu

Rozpatrzmy zamknięty układ sterowania drugiego rzędu z jednostkowym ujemnym
sprzężeniem zwrotnym i obiektem całkującym z inercją o transmitancji







, który

jest umieszczony na linii toru głównego (rysunek

1

).

3

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Rysunek

1

.

Układ sterowania drugiego rzędu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Transmitancja układu zamkniętego odpowiadająca schematowi z rysunku

1

dana

jest wzorem:



























 !









,

(

3.3

)

w którym

#

$

%

&

jest częstotliwością drgań własnych układu zamkniętego,

'







&

jest współczynnikiem tłumienia układu.

Wartości własne układu (tutaj pierwiastki równania charakterystycznego trans-

mitancji



) dane są wzorem:

(

,

)'#

$

* +#

$

,1 ) '

)'#

$

* +#

.

,

(

3.4

)

gdzie

#

.

#

$

,1 ) '

jest częstotliwością tłumienia układu.

0

1 1

2

3

4

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Umiejscowienie biegunów transmitancji (

3.3

) w odniesieniu do współczynnika

tłumienia, częstotliwości własnej i tłumienia układu pokazano na rysunku

2

.

Rysunek

2

. Wartości własne układu drugiego rzędu danego wzorem (

3.3

) w zależności

od parametrów

', #

$

, #

.

.

Następnie przejdziemy do zbadania odpowiedzi układu (

3.3

) znajdującego się w

stanie niewymuszonym (co odpowiada zerowym warunkom początkowym

0

0, 40 0

) na sygnał skokowy. Oznacza to, że wymuszamy rozważany układ dyna-

miczny i „zmieniamy jego stan” tak, aby poznać charakter odpowiedzi przejściowej

'#

$

0

56789

:;789

(



cos ? )'

#

.

#

$

,1 ) '

?

#

$

(

5

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

i amplitudę odpowiedzi ustalonej. W zależności od zdefiniowanych wyżej parametrów
członu drugiego rzędu rozpatrzymy kilka przypadków odpowiedzi czasowej, jakie po-
jawią się, gdy parametry układu przyjmują określone wartości.

Przyjmując

@
 A
, otrzymujemy:

2 3









 !











B

C









 !













B



 !











.

(

3.5

)

Obliczając

D

E

F2G

znajdziemy, z definicji odwrotnej transformaty Laplace’a

odpowiedź




układu (

3.3

) na wymuszenie skokowe.

3.1.1

Odpowiedź przejściowa tłumiona

Odpowiedź przejściowa tłumiona

Odpowiedź przejściowa tłumiona

Odpowiedź przejściowa tłumiona krytycznie

krytycznie

krytycznie

krytycznie ((((

' 1

))))

Na podstawie równania (

3.4

) otrzymujemy biegun podwójny w punkcie

– #

$

, odpo-

wiada temu następująca odpowiedź:

2()





(



)







)







)





(



)



,

której

odwrotna transformata Laplace’a daje krytycznie tłumioną odpowiedź skokową zde-
finiowanego układu drugiego rzędu:





(
) 1 ) exp()#

$

) ) #

$

exp()#

$

).

(

3.6

)

Rozwiązanie





(
)

zostało pokazane poniżej na rysunku

3

.

6

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

3.1.2

OOOOdpowie

dpowie

dpowie

dpowiedź p

dź p

dź p

dź przejściowa tłumiona

rzejściowa tłumiona

rzejściowa tłumiona

rzejściowa tłumiona nadkrytycznie

nadkrytycznie

nadkrytycznie

nadkrytycznie ((((

' ] 1

))))

W przypadku odpowiedzi tłumionej nadkrytycznie, istnieją dwa bieguny rzeczywiste
transmitancji (

3.5

). Otrzymuje się wówczas rozwiązanie asymptotycznie stabilne, po-

nieważ bieguny o współrzędnej rzeczywistej

(

,

)'#

$

* #

.

są mniejsze od zera

i leżą na osi rzeczywistej. Dla takich wartości biegunów odpowiadająca transmitancji
(

3.5

) transmitancja układu tłumionego nadkrytycznie ma następującą postać:

2





^

_

!





`

^



!



E

`

. Rozwiązaniu

2

odpowiada w dziedzinie czasu

następujące rozwiązanie analityczne:


 1 a



bcd()('#

$

#

.

)
) a

bcd()('#

$

) #

.

)
),

(

3.8

)

w którym wyrazy

bcd

znikają w miarę przyrostu czasu

. Rozwiązanie




we

wzorze (

3.8

) zbiega w sposób nadkrytycznie tłumiony do wartości ustalonej





1

.

3.1.3

Odpowiedź przejściowa

Odpowiedź przejściowa

Odpowiedź przejściowa

Odpowiedź przejściowa o charakterze oscylacyjnym (

o charakterze oscylacyjnym (

o charakterze oscylacyjnym (

o charakterze oscylacyjnym (

' f 1

))))

Jest to odpowiedź, która ma istotne znaczenie w teorii regulacji, ponieważ jej poja-
wienie się na wyjściu świadczy o osiągnięciu przez układu stanu poprzedzającego

7

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

przejście do oscylacji. W tym przypadku, odpowiedź jest możliwie najszybsza i zapew-
nia zerowe przeregulowanie.

Rozpatrywana transmitancja układ drugiego rzędu dana wzorem (

3.5

) ma parę biegu-

nów zespolonych sprzężonych, stąd w dziedzinie zmiennej zespolonej



mamy:

2()

^

_



^



!



g

`

^



h

!



Eg

`

. Stosując, jak poprzednio, transformatę Lapla-

ce’a otrzymuje się rozwiązanie w dziedzinie czasu postaci:

(
) 1 exp)'#

$

 /,1 ) '

sin jk#

$

,1 ) '

l
) ?m ,

(

3.9

)

gdzie:

cos θ )ξ, sin θ ,1 ) ξ

,

tan θ

,Ep



Ep

.

(

3.10

)

Odpowiedzi układu drugiego rzędu danego wzorem (

3.5

) w zależności od warto-

ści współczynnika tłumienia

'

pokazane zostały na rysunku

3

.

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Rysunek

3

. Odpowiedzi układu drugiego rzędu danego wzorem (

ści współczynnika tłumienia

8

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Odpowiedzi układu drugiego rzędu danego wzorem (

3.5

) w zależności od wart

ści współczynnika tłumienia .

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

) w zależności od warto-

9

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Rysunek

4

. Odpowiedzi oscylacyjna układu drugiego rzędu danego wzorem (

3.5

) w zależno-

ści od wartości częstości drgań własnych

#

$

,

#

$,

2#

$,

,

#

$,q

2#

$,

.

3.2.

Parametry odpowiedzi przejściowej o charakterze oscyla-
cyjnym

Odpowiedź przejściowa o charakterze oscylacyjnym pozwala na przejrzyste zdefinio-
wanie jej parametrów. Parametry odpowiedzi przejściowej określają jej postać i mogą

0.9

0.95

1.05

r



s





t

0.1

1

us

10

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

podlegać optymalizacji z uwagi na postawione zadanie projektowe. Zadanie może do-
tyczyć optymalizacji przebiegu przejściowego odpowiedzi układu na zadany sygnał
sterujący, np. w postaci funkcji skokowej. Optymalizacja odpowiedzi zmierzonej w
funkcji czasu ma na celu jej ukształtowanie (np. przez stosowanie odpowiednich kom-
pensatorów lub układów sprzężeń zwrotnych) a parametrami kontrolnymi wykorzy-
stywanymi w tym procesie są: czas narastania

t

, czas maksymalnego przeregulowa-

nia



, czas ustalania



i maksymalne przeregulowanie

r



. Parametry kontrolne za-

znaczone zostały na rysunku

4

, ich odpowiednie definicje można podać na podstawie

trajektorii czasowej odpowiedzi skokowej zaznaczonej kolorem niebieskim.

Maksymalne przeregulowanie można obliczyć przyrównując do zera pochodną

wyrażenia na

(
)

danego wzorem (

3.9

) względem czasu

:

.v()

.

)

!



,E!



bcd()'#

$

) wx(#

.

) ?)



`

,E!



bcd()'#

$

) yz(#

.

) ?) 0

,

co sprowadza się do:

'#

$

sin#

.

) ? #

.

cos#

.

) ? 0.

(

3.11

)

Wzór (

3.9

) można uprościć stosując tożsamości trygonometryczne na

sin i

cos różnicy kątów, tzn.:

11

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

sin#

.

) ? sin#

.

 cosθ ) cos#

.

 sinθ,

cos#

.

) ? cos#

.

 cosθ sin#

.

 sinθ,

(

3.12

)

oraz na podstawie wzoru (

3.10

):

yz ? )'

,

wx ? ,1 ) '

. Upraszczając wzór

(

3.11

) otrzymujemy:

'#

$

wx#

.

) ? ) #

.

yz#

.

) ? 0

/C

A

{|

}

oraz z rys. 2

#

.

#

$

,1 ) '

~

wx#

.

) ? )





,E!



!



yz#

.

) ? 0

/ stosujemy tożsamości (3.12) ~

wx#

.

 yz? ) yz#

.

 wx? )

,1 ) '

'

yz#

.

 yz? wx#

.

 wx? 0

/uwzględniamy wzory (3.10)

~

)' wx(#

.

) ) ,1 ) '

yz#

.

 )

,1 ) '

'

k)'yz#

.

 wx#

.

 ,1 ) '

l 0

/C )' ~

'

wx#

.

 ',1 ) '

yz#

.

 ,1 ) '

k)'yz#

.

 wx#

.

 ,1 ) '

l 0

/ wymnażamy trzeci wyraz powyższego równania

12

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

'

wx(#

.

) ',1 ) '

yz#

.

 ) ',1 ) '

yz#

.

 1 ) '

wx#

.

 0

Redukując wyrazy w ostatniej zależności możemy zapisać warunek na zerowanie

się pierwszej pochodnej względem czasu równania (

3.9

):

sin#

.

 0.

(

3.12

)

Na podstawie równania (

3.12

) oraz tego, że funkcja

sin przyjmuje wartość

równą zero w punktach

w

,

w 0,1,2, …

#

.

w,

(

3.13

)

Pierwsza wartość maksymalna, a więc maksymalne przeregulowanie, wystąpi dla

w 1

, stąd czas



odpowiadający amplitudzie maksymalnej odpowiedzi układu o cha-

rakterze oscylacyjnym jest dany wzorem:







`







,E!



.

(

3.14

)

Analizowana funkcja

us

przyjmie na przemian wartości minimalne i maksymal-

ne w punktach:

,‚

‚





,E!



dla

w 2,3,4 …

.

Jeśli zauważymy, że odpowiedź ustalona zbiega do

1

, a więc

„w…











 1

, to maksymalne przeregulowanie będzie jak następuje:

13

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

r



†



‡ ) 



(
)

1

bcd†)'#

$



‡

,1 ) '

wx jk#

$

,1 ) '

l



) ?m ) 1

bcd ˆ)'#

$



#

$

,1 ) '

‰

1

,1 ) '

wx Šk#

$

,1 ) '

l



#

$

,1 ) '

) ?‹

bcd ˆ)

'

,1 ) '

‰

1

,1 ) '

wx ) ?

Następnie stosując tożsamość trygonometryczną

wx ) ? wx ?

, oraz wzory

(

3.10

), tzn., że

wx ? ,1 ) '

otrzymuje się:

r



exp Œ)

!

,E!



.

(

3.15

)

Przyjęto zapisywać maksymalne przeregulowanie

r



w procentach, dlatego

r

%







% .

(

3.16

)

14

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

Na rysunku

4

przyjęto (dla przykładu), że rozwiązanie ustalone otrzymamy wte-

dy, gdy amplituda znajdzie się w przedziale

*0.05



1.05

, dlatego czas wyznaczający

chwilę przejścia od odpowiedzi przejściowej do ustalonej określa się ze wzoru





 1

’“”E!





•



,E!



1.05,

(

3.17

)

Dla standardowych wartości współczynnika tłumienia

0.4 f ' f 0.8

, stąd



)



!



ln0.05,1 ) '

 —

q

!



.

(

3.18

)

Czas narastania

t

jest zdefiniowany jako czas potrzebny na zmianę wartości am-

plitudy odpowiedzi skokowej układu od

0.1

do

0.9

wartości ustalonej





.

3.3.

Odpowiedź przejściowa układów wyższych rzędów – uwaga

W poprzednim punkcie odnotowaliśmy, że możliwe jest wyznaczenie dokładnego
rozwiązania analitycznego układu oscylacyjnego drugiego rzędu. W przypadku ukła-
dów wyższych rzędów, nie jest możliwe znalezienie takiego rozwiązania w sposób do-
kładny (czasami można to wykonać stosując pewne przybliżenia), dlatego do układów
tego typu stosuje się pewne uproszczenia nie wpływające w sposób znaczący na cha-
rakter odpowiedzi impulsowej czy skokowej. Jednym z takich przybliżeń jest rugowa-

15

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

nie postaci (postać jest czasami określana jako mod) odpowiedzi, które mają coraz
mniejsze znaczenie w miarę upływu czasu (takich, które szybko zanikają).

Szczególnie ważnym przypadkiem jest ten, dla którego układ stabilny asympto-

tycznie posiada parę biegunów zespolonych sprzężonych (wartości własnych) leżących
bliżej osi urojonej niż pozostałe (tablica: mały rysunek poglądowy). Bieguny transmi-
tancji układu zamkniętego leżące daleko na lewo od osi urojonej o ujemnych czę-
ściach rzeczywistych, powodują, że odpowiadające im mody postaci

bcd(™

‚

)

, gdzie

™

‚

jest ujemną częścią rzeczywistą bieguna, szybko zanikają (zbiegają do zera). Konse-
kwencją tego jest to, że dominujący wkład do amplitudy odpowiedzi w miarę upływu
czasu mają mody odpowiadające biegunom zespolonym sprzężonym umiejscowionym
blisko (w stosunku do pozostałych) osi urojonej płaszczyzny zespolonej. Taką zależ-
ność prześledzimy na przykładzie.

Przykład. Załóżmy, że transmitancja układu dana jest następującym wzorem:

()



š

( )

(Eg)(g)(›)(œ)

, wyłączając liczby

40

i

50

przed odpowiednie nawiasy i

skracając z licznikiem otrzymamy

()

œ( )

(Eg)(g)k

•

š

lk

•

ž

l

. Z uwagi na podane

16

P. Olejnik, Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej

wyżej wyjaśnienia, pomijamy bieguny daleko oddalone na płaszczyźnie zespolonej od

osi urojonej i przyjmujemy, że

()

œ( )

(Eg)(g)

.

Rysunek

5

. Porównanie odpowiedzi skokowej układu aproksymowanego (1)

i dokładnego (2).

0

1

2

3

4

5

6

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

czas t [sekundy]

(1

):

y

a

p

ro

k

s

y

m

o

w

a

n

e

(t

),

(

2

):

y

d

o

k

la

d

n

e

(1)

(2)

y(t)