MATEMATYKA - Biotechnologia

Zestaw 13. - Rachunek caªkowy - caªka oznaczona

Zad. 1. Korzystaj¡c ze wzoru Newtona-Leibniza obliczy¢ podane caªki:

a)

Z

1

0



x +

3

p

x

2



dx;

b)

Z



6



2

sin

5

x cos

3

x dx;

c)

Z

p

3

1

arctan x dx:

Zad. 2. Korzystaj¡c z wªasno±ci addytywno±ci caªki wzgl¦dem przedziaªu caªkowania obliczy¢:

a)

Z



0

p

1 + sin x dx;

b)

Z

2

2

jx(x 1)(x + 1)j dx;

c)

Z

2

0

jcos x sin xj dx:

Zad. 3. Obliczy¢ pole obszaru D, je±li:

a) D jest ograniczony wykresami funkcji y = x

2

; y = 2x + 3,

b) D jest ograniczony osi¡ OX, prostymi x =



2

i x =  oraz wykresem funkcji

y = cos x,

c) D jest ograniczony wykresami funkcji y =

1

2

x; y = 2x; y =

2

x

,

d) D jest ograniczony wykresami funkcji y = 2x 4; y

2

= 4x,

e) D = f(x; y) : 0 < x < 3; 0 < y < minf4; x

1

gg.

Zad. 4. Wykorzystuj¡c wªasno±ci caªek dla funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych

obliczy¢:

a)

Z





3

p

sin x dx;

b)

Z

10

10

x

8

dx;

c)

Z

40

10

jsin xj dx

d)

Z

1

1

e

x

2

sin x dx:

Zad. 5. Korzystaj¡c z twierdzenia o zachowaniu nierówno±ci przy caªkowaniu uzasadni¢ po-

dane oszacowania:

a)

1

10

p

2

¬

Z

1

0

x

9

p

1 + x

dx ¬

1

10

;

b) 9 ¬

Z

18

8

1 + x
2 + x

dx ¬ 9; 5;

c) 0 ¬

Z

1

0

x

3=2

1 + x

2

dx ¬ 1:

Zad. 6. Wyka», »e dla dowolnych staªych a; b; c 2 R n f0g funkcja f(x) = a cos x + b sin 2x +

c cos 3x przujmuje na odcinku [0; 2] warto±ci dodatnie i ujemne.

Zad. 7. Wyznaczy¢ pierwsz¡ pochodn¡ w punktach 0 i



2

dla funkcji

F (x) =

Z

x

0

sin t

1 + t

2

dt:

1

Zad. 8. Wyznaczy¢ pierwsz¡ pochodn¡ funkcji

F (x) =

Z

x

2

0

t dt:

Zad. 9. Wyznaczy¢ przedziaªy monotoniczno±ci funkcji F : [0; +1) ! R okre±lonej wzorem

F (x) =

Z

x

4

0

1

1 + t

4

dt:

Zadanie domowe

Zad. 1. Korzystaj¡c ze wzoru Newtona-Leibniza obliczy¢ podane caªki:

a)

Z

4

0

dx

1 +

p

x

;

b)

Z

12

0

(2x + 1)

4

dx;

c)

Z



2

0

cos x

p

4 sin

2

x

dx:

Zad. 2. Korzystaj¡c z wªasno±ci addytywno±ci caªki wzgl¦dem przedziaªu caªkowania obliczy¢:

a)

Z

4

0

p

x

2

2x + 1 dx;

b)

Z

1

1

(j2x 1j jxj)

2

dx;

c)

Z

2

0

jsin x + cos xj dx:

Zad. 3. Obliczy¢ pole obszaru D, je±li:

a) D jest ograniczony wykresami funkcji y = sin x; y = cos 2x oraz osi¡ OY,

b) D jest ograniczony ªukami parabol y = 4 x

2

; y = x

2

2x,

c) D jest ograniczony wykresami funkcji x 2y 4 = 0; y

2

x + 1 = 0,

d) D = f(x; y) : 0 < x < 1; jx 1j < y < 1 + 2x x

2

g.

Zad. 4. Wykorzystuj¡c wªasno±ci caªek dla funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych

obliczy¢:

a)

Z

20

20

2 cos x dx; b)

Z

1

1

x

5

3x

3

x

4

+ 1

dx; c)

Z

9

9

x

5

p

3 x

2

dx; d)

Z

36

8

(1+sin x) dx:

Zad. 5. Korzystaj¡c z twierdzenia o zachowaniu nierówno±ci przy caªkowaniu uzasadni¢ po-

dane oszacowania:

a)

1

20

p

2

¬

Z

1

0

x

19

p

1 + x

2

dx ¬

1

20

;

b)

2

13

¬

Z

2

0

1

10 + 3 cos x

dx ¬

2

7

;

c)

1

2e

100

¬

Z

100

0

e

x

x + 100

dx ¬ 1:

Zad. 6. Wyznaczy¢ pierwsz¡ pochodn¡ funkcji

F (x) =

Z

1+x

2

0

3

p

1 + t

4

dt:

Zad. 7. Wyznaczy¢ drug¡ pochodn¡ funkcji

F (x) =

Z

1+x

x

t

1 + sin

2

t

dt:

2