Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Układy z czasem dyskretnym, jedno wejście – jedno wyjście (discrete-time single
input- single output –SISO)
Liniowe równania różnicowe
Różnica progresywna:
)
(
)
1
(
:
)
(
k
x
k
x
k
x
−
+
=
∆
[
]
)
(
)
1
(
2
)
2
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
2
(
)
(
)
1
(
:
)
(
2
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
+
+
−
+
=
=
−
+
−
+
−
+
=
∆
−
+
∆
=
∆
)
(
)
1
(
:
)
(
1
1
k
x
k
x
k
x
m
m
m
−
−
∆
−
+
∆
=
∆
2
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
)
(
!
)!
(
!
)
1
(
)
(
0
i
k
m
x
i
i
m
m
k
x
m
i
i
m
−
+
−
−
=
∆
∑
=
{
} {
} {
}
)
0
(
)
(
)
1
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
1
(
)
(
zx
z
X
z
z
X
zx
z
zX
k
x
Z
k
x
Z
k
x
Z
−
−
=
−
−
=
−
+
=
∆
{
}
{
}
{
} {
}
(
)
(
)
[
]
(
)
)
0
(
)
0
(
)
1
(
)
(
1
)
0
(
)
1
(
)
0
(
)
1
(
)
(
1
)
1
(
)
0
(
)
2
(
)
(
1
)
(
)
0
(
2
)
(
2
)
1
(
)
0
(
)
(
)
(
)
1
(
2
)
2
(
)
(
2
2
2
2
2
2
x
z
x
z
z
z
X
z
x
x
z
x
z
z
z
X
z
zx
x
z
z
z
X
z
z
X
zx
z
zX
zx
x
z
z
X
z
k
x
Z
k
x
Z
k
x
Z
k
x
Z
∆
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
=
+
+
−
−
−
=
=
+
+
−
+
=
∆
{
}
∑
−
=
−
−
∆
−
−
−
=
∆
1
0
1
)
0
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
m
i
i
i
m
m
m
x
z
z
z
X
z
k
x
Z
{
}
∑ ∑
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
∆
m
i
i
m
k
k
i
m
i
m
m
k
x
z
i
i
m
m
z
z
X
z
k
x
Z
0
1
0
)
(
!
)!
(
!
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
3
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
Liniowe równania różnicowe:
)
(
)
(
~
)
(
~
)
(
~
)
(
~
0
1
1
1
kT
f
kT
y
a
kT
y
a
kT
y
a
kT
y
a
n
n
n
n
=
+
∆
+
+
∆
+
∆
−
−
L
)
(
~
)
(
~
)
(
~
)
(
~
)
(
0
1
1
1
kT
u
b
kT
u
b
kT
u
b
kT
u
b
kT
f
n
n
n
n
+
∆
+
+
∆
+
∆
=
−
−
L
warunki początkowe:
)
0
(
),
0
(
,
),
0
(
1
y
y
y
n
∆
∆
−
L
)
(
!
)!
(
!
)
1
(
)
(
0
i
k
m
x
i
i
m
m
k
x
m
i
i
m
−
+
−
−
=
∆
∑
=
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
0
1
1
kT
f
kT
y
a
T
k
y
a
T
k
n
y
a
T
n
k
y
a
n
n
=
+
+
+
+
−
+
+
+
−
L
(
)
(
)
(
)
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
0
1
1
kT
u
b
T
k
u
b
T
k
n
u
b
T
n
k
u
b
kT
f
n
n
+
+
+
+
−
+
+
+
=
−
L
warunki początkowe:
)
0
(
),
1
(
,
),
1
(
x
y
n
y
L
−
{
}
∑
∑
−
=
−
−
=
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
+
1
0
1
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
m
i
i
m
m
m
i
i
m
z
i
x
z
X
z
z
i
x
z
X
z
m
k
x
Z
4
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
1
1
0
0
1
1
1
z
F
zy
a
z
i
y
a
z
i
y
a
z
Y
a
z
zY
a
z
Y
z
a
z
Y
z
a
n
i
i
n
n
n
i
i
n
n
n
n
n
n
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
∑
∑
−
=
−
−
−
=
−
−
−
K
K
)
0
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
1
1
0
1
0
zy
a
z
i
y
a
z
i
y
a
z
A
z
L
n
i
i
n
n
n
i
i
n
n
n
i
i
i
+
+
+
=
=
∑
∑
∑
−
=
−
−
−
=
−
=
K
)
1
(
)
1
(
)
0
(
2
1
1
−
+
+
+
=
n
y
a
y
a
y
a
A
n
L
)
2
(
)
1
(
)
0
(
3
2
2
−
+
+
+
=
n
y
a
y
a
y
a
A
n
L
....................................
)
0
(
y
a
A
n
n
=
znika dla zerowych warunków początkowych
0
1
1
1
)
(
a
z
a
z
a
z
a
z
M
n
n
n
n
+
+
+
+
=
−
−
K
5
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
wielomian charakterystyczny
)
(
)
(
)
(
)
(
0
z
F
z
L
z
Y
z
M
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
z
M
z
F
z
M
z
L
z
Y
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
−
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
0
1
z
M
z
F
Z
z
M
z
L
Z
kT
y
zerowe sterowanie:
)
(
)
(
)
(
0
z
M
z
L
z
Y
=
,
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
)
(
)
(
)
(
0
1
z
M
z
L
Z
kT
y
zerowe warunki początkowe
)
(
)
(
)
(
z
M
z
F
z
Y
=
,
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
−
)
(
)
(
)
(
1
z
M
z
F
Z
kT
y
6
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
z
U
z
L
z
U
b
z
b
z
b
z
b
z
F
n
n
n
n
=
+
+
+
+
=
−
−
L
Transmitancja dyskretna:
7
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
M
z
L
z
G
z
U
z
G
z
U
z
M
z
L
z
Y
=
=
=
8
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
Impulsowanie i ekstrapolacja
out
x(t)
f(u)
IMPULSATOR
T
Ekstrapolator
in
f(t)
5
,
0
)
(
)
(
)
(
*
=
T
t
x
t
f
t
f
[
]
)
(
)
(
)
(
1
1
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
*
0
)
1
(
0
0
s
f
s
E
e
kT
f
s
e
e
s
e
s
kT
f
s
x
T
kT
t
kT
t
kT
f
t
x
T
kT
t
kT
kT
f
t
x
kTs
k
Ts
Ts
k
kTs
k
k
=
−
=
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
=
−
−
−
−
=
+
<
≤
=
−
∞
=
−
+
−
−
∞
=
∞
=
∑
∑
∑
2T
10T
20T
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
*
kT
t
t
f
kT
t
kT
f
t
f
k
k
−
=
−
=
∑
∑
∞
−∞
=
∞
=
δ
δ
[ ]
{
}
Ts
e
z
k
Ts
k
kTs
k
kT
f
Z
e
kT
f
e
kT
f
s
f
=
−
−
∞
=
−
∞
=
=
=
=
∑
∑
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
*
Jak obliczyć transmitancję dyskretną:
Jeżeli układ o wejściu u i wyjściu y składa się z impulsatora i części ciągłej o transmitancji G(s), to na wejście G(s)
do chwili t trafia ciąg impulsów Diraca
)
(
)
(
iT
t
iT
u
−
δ
. Żeby obliczyć y(t) trzeba zsumować odpowiedzi impulsowe
G(s) na wszystkie impulsy do chwili t. Tak więc:
{
}
)
(
)
(
1
s
G
L
t
g
−
=
[
]
∑
=
−
=
k
i
iT
u
T
i
k
g
kT
y
0
)
(
)
(
)
(
jest splotem ciągów u(kT) i g(kT), transformata Z będzie więc iloczynem transformat
{
}
)
(
)
(
)
(
z
U
kT
g
Z
z
Y
=
czyli
9
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
{
}
)
(
)
(
kT
g
Z
z
G
=
Odpowiedź impulsowa
{
}
kT
t
s
G
L
kT
g
=
−
=
)
(
)
(
1
(zerowe war. pocz.)
{
}
{
}
{
}
)
(
)
(
)
(
1
z
G
s
G
L
Z
kT
g
Z
kT
t
=
=
=
−
odpowiedź na dowolne wymuszenie przy zerowych warunkach początkowych jest splotem odpowiedzi impulsowej i
tego wymuszenia
Odpowiedź skokowa
10
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
−
1
)
(
)
(
1
z
z
z
G
Z
kT
h
(zerowe war. pocz.)
Wpływ położenia biegunów transmitancji na odpowiedź układu
∑
∑
=
=
−
=
−
=
=
m
i
m
i
i
i
i
i
i
z
z
z
B
z
A
z
z
C
z
B
z
A
z
F
1
1
1
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
1
)
(
'
)
(
)
(
1
1
−
=
∑
=
−
k
z
z
B
z
A
k
f
m
i
k
i
i
i
Odpowiedź jednostkowa układu o transmitancji
)
(
)
)(
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
2
1
n
z
z
z
z
z
z
z
M
z
M
z
L
z
G
−
−
−
=
=
L
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
−
1
)
(
)
(
1
z
z
z
G
Z
kT
h
(zerowe war. pocz.)
)
(
1
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
)
(
1
1
kT
z
z
M
z
z
L
M
L
z
M
z
z
zL
Z
kT
h
k
i
n
i
i
i
i
∑
=
−
′
−
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
składowa przejściowa
składowa ustalona
11
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
12
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
( )
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
−
+
+
−
+
=
∑
∑
∈
∈
)
(
'
)
1
(
)
(
arg
)
arg(
cos
)
(
'
)
1
(
)
(
2
)
(
1
)
(
'
)
1
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
,
i
i
i
i
C
z
z
k
i
i
i
i
R
z
k
i
i
i
i
z
M
z
z
L
z
k
z
z
M
z
z
L
kT
z
z
M
z
z
L
M
L
kT
h
i
i
i
Ekwiwalentne obszary płaszczyzn s i z
[ ]
{
}
Ts
e
z
k
k
Ts
k
kTs
kT
f
Z
e
kT
f
e
kT
f
s
f
=
∞
=
−
∞
=
−
=
=
=
∑
∑
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
*
ω
σ
j
s
+
=
T
j
T
e
e
z
ω
σ
=
T
z
e
z
T
ω
σ
=
=
)
arg(
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
=
c
T
j
s
π
ω
σ
2
(
)
T
j
T
c
T
jT
T
c
T
j
T
e
e
e
e
e
e
z
ω
σ
π
ω
σ
π
ω
σ
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
2
2
T
i
π
ω
2
=
13
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
Płaszczyzna z
Płaszczyzna s
-jω
i
/2
-3jω
i
/2
jω
i
/2
3jω
i
/2
ω
i
Płaszczyzna z
Płaszczyzna s
-jω
i
/2
-3jω
i
/2
jω
i
/2
3jω
i
/2
a
b
c
d
a
b
c
d
e
e
1)
1
0
<
⇒
<
z
σ
2)
,
T
j
e
z
ω
σ
=
⇒
= 0
1
=
z
3) a)
π
ω
j
i
e
z
j
s
−
=
⇒
−
=
2
,
b)
1
0
=
⇒
=
z
s
,
c)
π
ω
j
i
e
z
j
s
=
⇒
=
2
,
d)
π
σ
ω
σ
j
T
i
e
e
z
j
s
−
=
⇒
+
−
=
2
,
14
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
e)
π
σ
ω
σ
j
T
i
e
e
z
j
s
−
−
=
⇒
−
−
=
2
Płaszczyzna z
Płaszczyzna s
-jω
2
-jω
i
/2
jω
1
jω
i
/2
-σ
1
-σ
2
e
-σ
1
T
e
-σ
2
T
z=e
T(σ-jω
2
)
z=e
T(σ+jω
1
)
4)
const
z
const
=
⇒
=
σ
5)
T
e
z
1
1
σ
σ
σ
<
⇒
<
15
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
6)
const
T
z
const
=
=
⇒
=
ω
ω
)
arg(
Transmitancja widmowa
)
sin(
)
(
t
U
t
u
ω
=
T
Ue
Ue
kT
U
i
jk
kT
j
i
ω
ω
ω
ω
=
=
=
)
(
~
i
j
e
z
z
U
z
G
z
U
z
G
z
Y
ω
−
=
=
)
(
)
(
~
)
(
)
(
~
ustalona część odpowiedzi:
i
i
i
i
j
jk
j
k
j
e
z
ust
Ue
e
G
z
e
z
z
U
z
G
Res
kT
y
ω
ω
ω
ω
)
(
)
(
)
(
~
1
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
−
=
)
(
)
(
i
i
j
j
e
z
e
G
z
G
ω
ω
=
=
- transmitancja widmowa
)
(
i
j
G
ω
)
(
)
(
)
(
i
i
i
jQ
P
j
G
ω
ω
ω
+
=
)
(
)
(
i
i
P
P
ω
ω
=
−
)
(
)
(
i
i
Q
Q
ω
ω
−
=
−
charakterystyki częstotliwościowe:
16
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
amplitudowo-fazowa, amplitudowa, fazowa, logarytmiczne
Wyznacz transmitancje i odpowiedzi układu:
s
K
s
e
sT
−
−
1
T
y(kT)
y(t)
1
1
)
(
−
=
z
KT
z
G
1
1
)
(
)
(
−
=
=
=
i
i
i
j
j
j
e
z
e
KT
e
G
z
G
ω
ω
ω
dla KT=1,
π
ω
π
<
<
−
i
:
17
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
18
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
Jeśli układ ma wiele wejść i wyjść, to można opisać go macierzą transmitancji dyskretnych:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
11
z
G
z
G
z
G
z
G
z
G
mr
m
r
L
M
O
M
L
)
(
)
(
)
(
z
U
z
Y
z
G
j
i
ij
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
11
1
z
U
z
U
z
G
z
G
z
G
z
G
z
Y
z
Y
r
mr
m
r
m
M
L
M
O
M
L
M
19
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
)
(
)
(
)
(
z
U
z
G
z
Y
=
Opis układów dyskretnych w przestrzeni stanów
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
]
)
1
[(
kT
Du
kT
Cx
kT
y
kT
Bu
kT
Ax
T
k
x
+
=
+
=
+
20
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
1
z
u(kT)
x[(k+1)T]
y(kT)
x(kT)
Układ ciągły:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
u
D
t
x
C
t
y
t
u
B
t
x
A
t
x
dt
d
c
c
c
c
c
c
+
=
+
=
poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu (odpowiedniego wymiaru) i impulsatorem:
∫
−
−
+
=
t
t
c
c
t
A
t
t
A
d
u
B
e
t
x
e
t
x
c
c
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
0
)
(
τ
τ
τ
)
(
)
(
,
)
1
(
,
0
kT
u
t
u
T
k
t
kT
t
c
=
+
=
=
∫
−
+
+
=
+
t
t
c
T
k
A
T
A
d
kT
u
B
e
kT
x
e
T
k
x
c
c
0
)
(
)
(
]
)
1
[(
}
}
)
1
{[(
τ
τ
21
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
∫
−
+
+
=
+
t
t
c
T
k
A
T
A
kT
u
B
d
e
kT
x
e
T
k
x
c
c
0
)
(
)
(
]
)
1
[(
}
}
)
1
{[(
τ
τ
∫
∫
=
=
=
−
+
T
c
A
t
t
c
T
k
A
T
A
B
d
e
B
d
e
B
e
A
c
c
c
0
)
)
1
((
0
,
τ
τ
τ
τ
gdy
0
det
≠
c
A
[
]
c
T
A
c
T
c
A
B
I
e
A
B
d
e
B
c
c
−
=
=
−
∫
1
0
τ
τ
22
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
0
)
det(
)
det(
)
(
≠
=
=
⇒
=
T
A
tr
T
A
T
A
c
c
c
e
e
A
e
A
Rozwiązanie:
)
(
)
(
]
)
1
[(
kT
Bu
kT
Ax
T
k
x
+
=
+
)
0
(
)
0
(
)
(
Bu
Ax
T
x
+
=
)
(
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
)
2
(
2
T
Bu
ABu
x
A
T
Bu
T
Ax
T
x
+
+
=
+
=
)
2
(
)
(
)
0
(
)
0
(
)
3
(
)
2
(
)
3
(
2
3
T
Bu
T
ABu
Bu
A
x
A
T
Bu
T
Ax
T
x
+
+
+
=
+
=
.....................................................................
23
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
]
)
[(
)
0
(
)
(
)
0
(
)
(
1
1
1
0
1
T
i
k
Bu
A
x
A
i
Bu
A
x
A
kT
x
k
i
i
k
k
i
i
k
k
−
+
=
+
=
∑
∑
=
−
−
=
−
−
Operatorowo
)
(
)
(
)
0
(
)
(
z
Bu
z
AX
zx
z
zX
+
=
−
(
) (
)
)
(
)
0
(
)
(
1
z
Bu
zx
A
zI
z
X
+
−
=
−
(
)
{
}
1
1
−
−
−
=
A
zI
z
Z
A
k
macierz tranzycyjna
(
)
{
}
1
1
1
−
−
−
−
=
A
zI
Z
A
k
(
) (
)
)
(
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
(
1
z
Du
z
Bu
zx
A
zI
C
z
Du
z
CX
z
Y
+
+
−
=
+
=
−
(
)
)
(
]
[
)
(
0
)
0
(
1
z
u
D
B
A
zI
C
z
Y
x
+
−
=
⇒
=
−
24
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
(
)
D
B
A
zI
C
z
G
+
−
=
−1
)
(
macierz transmitancji dyskretnych
Postać modalna rozwiązania:
A ma n różnych wartości własnych z
i
Macierzą przekształcenia przez podobieństwo do postaci diagonalnej jest macierz, której kolumnami są wektory
własne:
[
]
n
v
v
v
V
L
2
1
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Λ
n
z
z
z
L
M
O
M
M
L
L
0
0
0
0
0
0
2
1
n
i
v
z
v
A
i
i
i
,
,
2
,
1 K
=
=
Λ
= V
AV
25
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
1
−
Λ
=
V
V
A
Λ
=
−
AV
V
1
1
2
1
1
2
−
−
−
Λ
=
Λ
Λ
=
V
V
V
V
V
V
A
1
3
1
1
2
3
−
−
−
Λ
=
Λ
Λ
=
V
V
V
V
V
V
A
.........................
1
−
Λ
=
V
V
A
k
k
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Λ
k
n
k
k
k
z
z
z
L
M
O
M
M
L
L
0
0
0
0
0
0
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
−
T
n
T
T
w
w
w
W
V
M
2
1
1
:
( )
T
j
j
n
j
k
j
k
k
w
v
z
V
V
A
∑
=
−
=
Λ
=
1
1
26
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
( )
( )
]
)
[(
)
0
(
]
)
[(
)
0
(
)
(
1
0
1
1
0
1
T
i
k
Bu
w
v
z
x
w
v
z
T
i
k
Bu
A
x
A
kT
x
k
i
T
j
j
n
j
i
j
T
j
j
n
j
k
j
k
i
i
k
−
+
=
−
+
=
∑∑
∑
∑
=
=
−
=
=
−
( )
( )
]
)
[(
)
0
(
)
(
1
0
1
1
T
i
k
Bu
z
w
v
x
w
v
z
kT
x
i
j
k
i
n
j
T
j
j
T
j
j
n
j
k
j
−
+
=
−
=
=
=
∑
∑
∑
część swobodna
część wymuszona
27
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
Opis układu w przestrzeni stanów:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
]
)
1
[(
kT
Du
kT
Cx
kT
y
kT
Bu
kT
Ax
T
k
x
+
=
+
=
+
x(kT) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(kT) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(kT) – wektor wyjść o wymiarze mx1
wprowadzamy nowe zmienne stanu:
0
det
),
(
)
(
≠
=
P
kT
x
kT
Pq
)
(
)
(
]
)
1
[(
kT
Bu
kT
APq
T
k
Pq
+
=
+
nowe równanie stanu
)
(
)
(
)
(
kT
Du
kT
CPx
kT
y
+
=
nowe równanie wyjścia
)
(
)
(
]
)
1
[(
1
1
kT
Bu
P
kT
APq
P
T
k
q
−
−
+
=
+
nowe równanie stanu
28
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
)
(
)
(
)
(
kT
Du
kT
CPx
kT
y
+
=
nowe równanie wyjścia
B
P
B
AP
P
A
kT
u
B
kT
q
A
T
k
q
1
1
~
,
~
)
(
~
)
(
~
]
)
1
[(
−
−
=
=
+
=
+
CP
C
kT
Du
kT
x
C
kT
y
=
+
=
~
)
(
)
(
~
)
(
wartości własne
nowej macierzy stanu
są takie same
jak starej!!
Jaka będzie transmitancja:
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
~
)
~
(
~
)
(
~
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
z
G
D
B
A
zI
C
D
B
PP
A
zI
CPP
D
B
P
P
A
zI
P
CP
D
B
P
AP
P
zI
CP
D
B
A
zI
C
z
G
=
+
−
=
=
+
−
=
+
−
=
=
+
−
=
+
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!!
29
Automatyka i sterowanie – układy dyskretne
1
1
1
)
(
−
−
−
=
M
N
MN
bo