Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Podstawowe zasady rysowania asymptotycznych charakterystyk częstotliwościowych
1. Element inercyjny I rzędu
1
)
(
+
=
Ts
k
s
G
.
2
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
i
10
i+1
10
i+2
10
i+3
-20
0
20
charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
L(ω)
10
10
i+1
10
i+2
10
i+3
4
π
−
0
charakterystyka fazowo-częstotliwościowa
[
]
dB
k
log
20
dek
dB
20
−
T
1
2
π
−
T
1
T
10
1
T
10
ω
ω
φ(ω)
i
2. Regulator PD
)
1
(
)
(
+
=
s
T
k
s
G
D
p
.
3
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
10
i+1
10
i+2
10
i+3
0
20
40
charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
L(ω)
10
i
10
i+1
10
i+2
10
i+3
0
2
π
charakterystyka fazowo-częstotliwościowa
i
φ(ω)
ω
ω
D
T
1
D
T
10
D
T
10
1
D
T
1
4
π
p
k
log
20
dek
dB
20
+
[
]
dB
3. Element całkujący
s
k
s
G
=
)
(
.
4
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
i
10
i+1
10
i+2
10
i+3
-20
0
20
charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
L(ω)
10
i
10
i+1
10
i+2
10
i+3
2
π
−
0
charakterystyka fazowo-częstotliwościowa
ω
ω
φ(ω)
k
=
ω
dek
dB
20
−
[
]
dB
4. Element różniczkujący
Ts
s
G
=
)
(
.
5
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
i
10
i+1
10
i+2
10
i+3
-20
0
20
charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
L(ω)
10
i
10
i+1
10
i+2
10
i+3
2
π
0
charakterystyka fazowo-częstotliwościowa
ω
ω
φ(ω)
T
1
=
ω
dek
dB
20
+
[
]
dB
Przykład 1.
Transmitancja operatorowa układu otwartego ma postać:
)
1
01
,
0
(
)
1
1
,
0
(
)
1
100
(
)
1
10
(
)
(
0
+
+
+
+
=
s
s
s
s
s
k
s
G
Dla jakiej wartości statycznego współczynnika wzmocnienia k, układ zamknięty ma zapas fazy
8
π
.
Układ regulacji ma następującą strukturę:
6
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
)
(
0
s
G
+
_
y(s)
u(s)
W pierwszej kolejności należy wyznaczyć zakres pulsacji dla którego będą rysowane charakterystyki:
100
=
max
T
2
10
1
−
=
=
max
min
T
ω
(+ dwie dekady w lewo)
4
2
2
10
10
−
−
−
=
=
min
ω
01
,
0
=
min
T
2
10
1 =
=
min
max
T
ω
(+ dwie dekady w prawo)
4
2
2
10
10
=
=
+
max
ω
Następnie należy zapisać transmitancję operatorową układu otwartego w postaci iloczynowej:
1
01
,
0
1
1
1
,
0
1
1
100
1
1
)
1
10
(
)
(
0
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
=
s
s
s
s
s
s
G
i po kolei narysować charakterystyki składowe:
7
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
8
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-200
-160
-120
-80
-40
0
40
80
120
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
135
charakterystyka fazowo-czestotliwosciowa
1
10
1
−
=
=
ω
T
9
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-200
-160
-120
-80
-40
0
40
80
120
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
135
charakterystyka fazowo-czestotliwosciowa
1
=
=
ω k
10
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-200
-160
-120
-80
-40
0
40
80
120
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
135
charakterystyka fazowo-czestotliwosciowa
2
10
1
−
=
=
ω
T
11
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-200
-160
-120
-80
-40
0
40
80
120
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
135
charakterystyka fazowo-czestotliwosciowa
1
10
1 =
=
ω
T
12
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-200
-160
-120
-80
-40
0
40
80
120
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
135
charakterystyka fazowo-czestotliwosciowa
2
10
1 =
=
ω
T
13
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-200
-160
-120
-80
-40
0
40
80
120
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
135
charakterystyka fazowo-czestotliwosciowa
14
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-200
-160
-120
-80
-40
0
40
80
120
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-4
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
135
charakterystyka fazowo-czestotliwosciowa
dB
j
G
50
)
(
log
20
0
−
=
ω
8
π
=
ϕ
∆
Dla pulsacji
4
5
10
=
ω
zapas fazy
będzie równy
8
π
ϕ
=
∆
, ponieważ
wzmocnienie wypadkowe układu jest
równe
dB
j
G
50
)
(
log
20
−
=
ω
, to
wypadkową charakterystykę
amplitudowo – częstotliwościową
należy przesunąć o 50dB do góry,
stąd
0
316
10
2
5
log
50
log
20
2
5
=
=
=
=
p
p
p
k
k
k
Przykład 2.
Dany jest obiekt o transmitancji
2
)
1
1
,
0
(
)
1
10
(
)
1
10
(
10
)
(
+
+
+
=
s
s
s
s
s
G
OR
. Wyznacz krytyczną wartość współczynnika
wzmocnienia regulatora proporcjonalnego.
Układ regulacji ma następującą strukturę:
p
k
2
)
1
1
,
0
(
)
1
10
(
)
1
10
(
10
+
+
+
s
s
s
s
+
_
y(s)
u(s)
Krytyczna wartość współczynnika wzmocnienia będzie wyznaczona z asymptotycznych charakterystyk
częstotliwościowych.
2
)
1
1
,
0
(
1
1
10
1
1
)
1
10
(
10
)
(
+
⋅
+
⋅
⋅
+
=
s
s
s
s
s
G
OR
15
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
16
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
45
90
135
charakterystyka fazowo-czestotliwosciowa
dB
L 10
=
∆
4
π
ϕ
=
∆
Zapas fazy dla tego układu wynosi
4
π
ϕ
=
∆
, zapas modułu
dB
L 10
=
∆
.
Aby pulsacja odcięcia
0
ω
była równa
pulsacji
π
ω
−
, wypadkową
charakterystykę amplitudowo –
częstotliwościową należy przesunąć
o 10dB do góry, stąd
16
,
3
10
2
1
log
10
log
20
2
1
≈
=
=
=
p
p
p
k
k
k
Przykład 3.
Na rysunku przedstawiono charakterystykę amplitudowo – częstotliwościową układu otwartego złożonego
z szeregowego połączenia członów minimalno – fazowych.
1. Wyznacz transmitancję operatorową układu.
2. Narysuj asymptotyczne charakterystyki: amplitudowo – częstotliwościową i fazowo – częstotliwościową.
17
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
18
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
Charakterystyka amplitudowo - częstotliwościowa
19
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
Charakterystyka amplitudowo - częstotliwościowa
20
Automatyka
ęstotliwościowe, przykłady
i sterowanie – charakterystyki cz
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
0
1
1
10
1 =
=
T
ω
3
5
2
2
10
1 =
=
T
ω
3
)
1
0215
,
0
(
1
1
1
10
)
(
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
s
s
s
G
Charakterystyka amplitudowo - częstotliwościowa
10
log
20
=
k
21
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
Charakterystyka amplitudowo - częstotliwościowa
22
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
Charakterystyka amplitudowo - częstotliwościowa
23
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
Charakterystyka amplitudowo - częstotliwościowa
24
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
Charakterystyka amplitudowo - częstotliwościowa
0
1
1
10
1 =
=
T
ω
1
2
2
10
1 =
=
T
ω
2
3
3
10
1 =
=
T
ω
2
)
1
01
,
0
(
1
1
1
,
0
1
1
1
10
)
(
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
s
s
s
s
G
10
log
20
=
k
25
Automatyka i sterowanie – charakterystyki częstotliwościowe, przykłady
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-150
-100
-50
0
50
100
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
dokladna
asymptotyczna
dokladna
asymptotyczna