Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Automatyka i sterowanie
Krzysztof Marzjan
Przykład 1
Dany jest obiekt o transmitancji operatorowej
1
)
(
0
0
+
=
−
Ts
ke
s
G
sT
. Wyznacz uchyb ustalony w układzie otwartym
2
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
i zamkniętym dla skoku jednostkowego w funkcji współczynnika wzmocnienia.
W otwartym układzie regulacji uchyb należy obliczyć, ponieważ sygnał uchybu nie występuje.
Transformatę uchybu można zapisać następująco:
)
(
)
(
)
(
s
y
s
x
s
e
−
=
Po uwzględnieniu definicji transmitancji operatorowej otrzymuje się:
)
(
)]
(
1
[
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
s
x
s
G
s
x
s
G
s
x
s
e
−
=
−
=
Zatem transmitancja uchybowa dla układu otwartego jest równa:
)
(
1
)
(
0
s
G
s
G
e
−
=
Uchyb ustalony obliczony będzie z twierdzenia granicznego:
)
(
)]
(
1
[
lim
)
(
lim
0
0
0
s
x
s
G
s
s
se
e
s
s
u
−
=
=
→
→
Jeżeli
)
(
1
)
(
t
t
x
=
to
s
s
x
1
)
(
=
, stąd uchyb ustalony jest równy:
k
Ts
ke
s
G
e
sT
s
s
u
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
−
=
−
→
→
1
1
1
lim
)]
(
1
[
lim
0
0
0
0
3
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
x(s)
y(s)
1
)
(
0
0
+
=
−
Ts
ke
s
G
sT
W układzie zamkniętym
Transmitancja uchybowa jest równa:
)
(
1
1
)
(
0
s
G
s
G
e
+
=
Uchyb ustalony:
k
Ts
ke
s
G
e
sT
s
e
s
u
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=
=
−
→
→
1
1
1
1
1
lim
)
(
lim
0
0
0
4
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
+
_
x(s)
y(s)
1
)
(
0
0
+
=
−
Ts
ke
s
G
sT
e(s)
Na rysunku przedstawiono zależność uchybu w stanie ustalonym dla układu otwartego
k
−
1
i zamkniętego
k
+
1
1
.
5
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
1
1
0
k
−
1
k
+
1
1
e
u
k
Przykład 2
Zbadaj stabilność układu przedstawionego na rysunku:
n
Ts
k
)
1
(
+
+
_
x(s)
y(s)
Przy badaniu stabilności tego układu, kryteria algebraiczne zawodzą, postać wielomianu charakterystycznego
zmienia się wraz ze zmianą rzędu układu inercyjnego.
6
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
Jedynym podejściem, które można tu zastosować to kryterium Nyquista. Układ otwarty jest układem stabilnym, n
jednakowych pierwiastków równania charakterystycznego
T
s
i
1
−
=
.
Charakterystyki amplitudowo – fazowe elementu inercyjnego n – tego rzędu:
7
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
Re{G(jω)}
n=1
Im{G(jω)}
k
n=2
n=3
n=5
)
0
,
1
(
j
−
Aby układ zamknięty był stabilny charakterystyka amplitudowo – fazowa układu otwartego nie powinna obejmować
punktu krytycznego
)
0
,
1
(
j
−
, oznacza to, że dla przesunięcia fazowego
π
−
, moduł transmitancji widmowej musi
być mniejszy od 1.
Daje to układ: równanie i nierówność:
{
}
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
−
=
−
−
1
)
(
)
(
arg
π
π
ω
π
ω
j
G
j
G
Transmitancja operatorowa układu otwartego ma postać:
( )
(
)
(
)
ω
ω
ω
ω
arctgT
n
j
n
n
e
T
k
j
T
k
j
G
⋅
−
+
=
+
=
2
2
2
1
1
Stąd należy rozwiązać układ równania i nierówności:
8
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
+
−
=
⋅
−
1
1
2
2
2
n
T
k
arctgT
n
ω
π
ω
Z pierwszego równania wyznaczamy pulsację drgań.
n
tg
T
n
tg
T
π
ω
π
ω
π
π
1
=
=
−
−
Z drugiej nierówności wyznaczamy krytyczny współczynnik wzmocnienia:
9
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
n
n
n
n
n
n
k
n
k
n
n
n
k
n
tg
k
n
tg
k
π
π
π
π
π
π
π
cos
cos
cos
cos
sin
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
1
cos
<
n
n
k
π
Ostatecznie
n
n
k
π
cos
1
<
Krytyczny współczynnik wzmocnienia dla wybranych rzędów układu inercyjnego
Rząd układu
inercyjnego
n=2
n=3
n=4
n=6
∞
→
n
Krytyczny współczynnik
wzmocnienia
∞
→
k
8
=
k
4
=
k
27
64
=
k
1
=
k
10
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
Przykład 3
Transmitancja obiektu regulacji jest postaci:
)
1
5
,
0
(
)
1
2
,
0
(
)
1
(
2
)
(
+
+
+
=
s
s
s
s
G
OR
a. wyznacz krytyczny współczynnik wzmocnienia w regulacji proporcjonalnej P, korzystając
z kryterium Hurwitza.
b. przyjmując współczynnik wzmocnienia w regulacji PD dwukrotnie większy od wyznaczonego w punkcie a.,
wyznacz czas wyprzedzenia regulatora, aby układ był stabilny.
11
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
)
1
5
,
0
(
)
1
2
,
0
(
)
1
(
2
+
+
+
s
s
s
p
k
+
_
x(s)
y(s)
Transmitancja układu otwartego ma postać:
)
1
5
,
0
(
)
1
2
,
0
(
)
1
(
2
)
(
0
+
+
+
=
s
s
s
k
s
G
p
Stąd równanie charakterystyczne układu zamkniętego:
0
2
1
7
,
1
8
,
0
1
,
0
0
2
)
1
5
,
0
(
)
1
2
,
0
(
)
1
(
2
3
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
p
p
k
s
s
s
k
s
s
s
Sprawdzamy warunek konieczny kryterium Hurwitza:
0
2
1
>
+
p
k
Stąd otrzymujemy:
12
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
2
1
−
>
p
k
Z warunku wystarczającego otrzymujemy:
p
p
k
k
2
1
0
0
8
,
0
7
,
1
2
1
0
1
,
0
8
,
0
3
+
+
=
∆
Aby układ był stabilny, wystarczy zbadać znak wyznacznika
0
2
>
∆
, pozostałe wyznaczniki będą dodatnie.
3
,
6
0
2
,
0
26
,
1
0
)
2
1
(
1
,
0
7
,
1
8
,
0
)
2
1
(
1
,
0
7
,
1
8
,
0
7
,
1
2
1
1
,
0
8
,
0
2
<
>
−
>
+
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
=
+
=
∆
p
p
p
p
p
k
k
k
k
k
13
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
stąd:
3
,
6
;
3
,
6
,
2
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
∈
R
p
k
k
Układ regulacji z regulatorem PD:
)
1
5
,
0
(
)
1
2
,
0
(
)
1
(
2
+
+
+
s
s
s
)
1
(
6
,
12
D
sT
+
+
_
x(s)
y(s)
Transmitancja układu otwartego ma postać:
)
1
5
,
0
(
)
1
2
,
0
(
)
1
(
)
1
(
2
,
25
)
(
0
+
+
+
+
=
s
s
s
sT
s
G
D
Stąd równanie charakterystyczne układu zamkniętego:
0
2
,
26
)
2
,
25
7
,
1
(
8
,
0
1
,
0
2
3
=
+
+
+
+
s
T
s
s
D
14
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
Warunek konieczny kryterium Hurwitza jest spełniony (dlaczego?).
Z warunku wystarczającego otrzymujemy:
2
,
26
0
0
8
,
0
2
,
25
7
,
1
2
,
26
0
1
,
0
8
,
0
3
D
T
+
=
∆
Aby układ był stabilny, wystarczy zbadać znak wyznacznika
0
2
>
∆
, pozostałe wyznaczniki będą dodatnie.
15
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
0625
,
0
0
26
,
1
16
,
20
0
62
,
2
16
,
20
36
,
1
2
,
26
1
,
0
)
2
,
25
7
,
1
(
8
,
0
2
,
25
7
,
1
2
,
26
1
,
0
8
,
0
2
>
>
−
>
−
+
⋅
−
+
⋅
=
+
=
∆
D
D
D
D
D
T
T
T
T
T
Przykład 4
Za pomocą kryterium Nyquista, wyznacz dla jakiej wartości stałej czasowej, układ przedstawiony na rysunku jest
stabilny. Przyjmij k
1
=5, k
2
=0,1.
s
k
1
(
)
2
2
1
+
Ts
k
+
_
x(s)
y(s)
Transmitancja widmowa układu otwartego ma postać:
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅
+
−
+
=
+
=
ω
π
ω
ω
ω
ω
ω
arctgT
j
e
T
k
k
j
T
j
k
k
j
G
2
2
2
2
2
1
2
2
1
0
)
1
(
)
1
(
lub
( )
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
0
)
1
(
]
1
[
)
1
(
2
)
1
(
]
2
1
[
)
1
(
)
1
(
+
−
−
+
+
−
=
+
−
−
−
=
+
+
−
−
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
k
jk
T
T
k
k
T
jT
T
k
jk
T
jT
k
jk
j
G
16
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
)
1
(
]
1
[
)
1
(
2
+
−
−
=
+
−
=
ω
ω
ω
ω
ω
ω
T
T
k
k
Q
T
T
k
k
P
( )
( )
0
)
(
;
)
1
(
]
1
[
0
0
)
(
;
2
0
2
2
2
2
2
2
1
2
1
=
∞
−∞
=
+
−
−
=
=
∞
−
=
Q
T
T
k
k
Q
P
T
k
k
P
ω
ω
ω
Charakterystykę amplitudowo – fazową elementu całkującego z inercją II – go rzędu przedstawia rysunek:
17
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
Re{G
0
(jω)}
Im{G
0
(jω)}
T
k
k
2
1
2
−
Układ otwarty jest układem strukturalnie niestabilnym. Jeżeli przypiszemy biegun zerowy do lewej półpłaszczyzny,
to układ otwarty możemy traktować jak układ stabilny. Charakterystykę amplitudowo – fazową uzupełniamy łukiem
okręgu o promieniu
∞
→
R
, w sposób pokazany na rysunku:
18
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
Re{G
0
(jω)}
Im{G
0
(jω)}
∞
→
R
T
k
k
2
1
2
−
Fragment charakterystyki pokazujący jej przebieg w pobliżu punktu krytycznego (–1, j0), przedstawia kolejny
rysunek:
Re{G
0
(jω)}
Im{G
0
(jω)}
(-1, j0)
Aby wyznaczyć szukaną wartość stałej czasowej, należy rozwiązać układ składający się z równania i nierówności:
{
}
19
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
−
=
−
−
1
)
(
)
(
arg
π
π
ω
π
ω
j
G
j
G
lub
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
=
−
−
1
)
(
0
)
(
π
π
ω
ω
P
Q
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
+
−
=
⋅
−
−
1
1
2
2
2
2
2
1
ω
ω
π
ω
π
T
k
k
arctgT
lub
(
)
(
)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
+
=
+
−
−
1
1
2
0
1
]
1
[
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
ω
ω
ω
ω
T
T
k
k
T
T
k
k
20
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
4
1
,
0
;
5
;
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
<
=
=
<
<
=
=
−
−
T
k
k
k
k
T
T
k
k
T
T
π
π
ω
ω
Przykład 5
Układ o transmitancji
)
1
(
2
)
(
+
=
s
s
s
G
odwiedziono sztywnym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Czy układ ten jest
astatyczny pierwszego rzędu względem wymuszenia (uzasadnij)? Jaka jest wartość ustalona uchybu przy
wymuszeniu
)
(
1
2
)
(
t
t
t
u
⋅
=
i zerowych warunkach początkowych?
)
1
(
2
+
s
s
u(s)
y(s)
e(s)
_
Układ jest astatyczny względem wymuszenia, ponieważ:
21
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
0
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
=
+
+
+
=
+
+
=
=
=
=
=
∞
→
→
→
→
→
∞
→
s
s
s
s
lim
s
s
lim
s
G
lim
s
s
sG
lim
s
se
lim
t
e
lim
e
s
s
e
s
e
s
s
t
2
2
)
(
)
(
1
2
)
(
s
s
u
t
t
t
u
=
⇒
⋅
=
22
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
1
2
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
2
1
1
2
)
(
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
2
0
0
0
=
+
+
+
=
+
+
=
=
=
=
=
=
=
∞
→
→
→
→
→
→
∞
→
s
s
s
lim
s
s
s
lim
s
s
G
lim
s
s
sG
lim
s
u
s
sG
lim
s
se
lim
t
e
lim
e
s
s
e
s
e
s
e
s
s
t
Przykład 6
Narysuj asymptotyczne charakterystyki częstotliwościowe układu o transmitancji
2
)
1
10
(
01
,
0
)
(
+
=
s
s
s
G
. Czy po
obwiedzeniu sztywnym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym otrzymamy układ stabilny? Jaki będzie zapas amplitudy i
fazy?
23
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
2
)
1
10
(
01
,
0
+
s
s
u(s)
y(s)
e(s)
_
24
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-160
-120
-80
-40
0
charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
charakterystyka fazowo-czestotliwosciowa
dB
L 20
=
∆
2
π
ϕ
=
∆
Przykład ten można rozwiązać analitycznie
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
+
=
+
=
)
10
(
2
2
2
2
)
1
100
(
01
,
0
)
1
10
(
01
,
0
)
(
ω
π
ω
ω
ω
ω
ω
arctg
j
e
j
j
j
G
1
,
0
4
10
4
)
10
(
2
)
10
(
2
)
10
(
2
2
=
=
=
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
π
π
π
π
π
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
tg
arctg
arctg
arctg
25
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
dB
,
log
log
log
j
G
log
L
26
05
0
20
)
1
01
,
0
100
(
1
,
0
01
,
0
20
)
1
100
(
01
,
0
20
)
(
20
2
=
−
=
+
⋅
−
=
+
−
=
−
=
∆
−
−
−
π
π
π
ω
ω
ω
0
01
,
0
100
01
,
0
)
1
100
(
1
)
1
100
(
01
,
0
1
3
1
2
1
1
2
1
1
=
−
+
=
+
=
+
ω
ω
ω
ω
ω
ω
01
,
0
1
300
01
,
0
100
1
2
3
1
≈
+
−
+
−
=
+
ω
ω
ω
ω
ω
ω
n
n
n
n
n
26
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
{
}
0
1
84
47
,
1
)
1
,
0
(
2
)
(
=
≈
−
−
=
+
=
∆
arctg
j
G
arg
π
π
ω
π
ϕ
27
Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-200
-160
-120
-80
-40
0
charakterystyki amplitudowo-czestotliwosciowe rzeczywiste i asymptotyczne
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-270
-225
-180
-135
-90
-45
charakterystyki fazowo-czestotliwosciowe rzeczywiste i asymptotyczne