Automatyka i sterowanie

Krzysztof Marzjan

Przykład 1

Dany jest obiekt o transmitancji operatorowej

1

)

(

0

0

+

=

−

Ts

ke

s

G

sT

. Wyznacz uchyb ustalony w układzie otwartym

2

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

i zamkniętym dla skoku jednostkowego w funkcji współczynnika wzmocnienia.

W otwartym układzie regulacji uchyb należy obliczyć, ponieważ sygnał uchybu nie występuje.
Transformatę uchybu można zapisać następująco:

)

(

)

(

)

(

s

y

s

x

s

e

−

=

Po uwzględnieniu definicji transmitancji operatorowej otrzymuje się:

)

(

)]

(

1

[

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

s

x

s

G

s

x

s

G

s

x

s

e

−

=

−

=

Zatem transmitancja uchybowa dla układu otwartego jest równa:

)

(

1

)

(

0

s

G

s

G

e

−

=

Uchyb ustalony obliczony będzie z twierdzenia granicznego:

)

(

)]

(

1

[

lim

)

(

lim

0

0

0

s

x

s

G

s

s

se

e

s

s

u

−

=

=

→

→

Jeżeli

)

(

1

)

(

t

t

x

=

to

s

s

x

1

)

(

=

, stąd uchyb ustalony jest równy:

k

Ts

ke

s

G

e

sT

s

s

u

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

=

−

=

−

→

→

1

1

1

lim

)]

(

1

[

lim

0

0

0

0

3

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

x(s)

y(s)

1

)

(

0

0

+

=

−

Ts

ke

s

G

sT

W układzie zamkniętym

Transmitancja uchybowa jest równa:

)

(

1

1

)

(

0

s

G

s

G

e

+

=

Uchyb ustalony:

k

Ts

ke

s

G

e

sT

s

e

s

u

+

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

=

=

−

→

→

1

1

1

1

1

lim

)

(

lim

0

0

0

4

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

+

_

x(s)

y(s)

1

)

(

0

0

+

=

−

Ts

ke

s

G

sT

e(s)

Na rysunku przedstawiono zależność uchybu w stanie ustalonym dla układu otwartego

k

−

1

i zamkniętego

k

+

1

1

.

5

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

1

1

0

k

−

1

k

+

1

1

e

u

k

Przykład 2

Zbadaj stabilność układu przedstawionego na rysunku:

n

Ts

k

)

1

(

+

+

_

x(s)

y(s)

Przy badaniu stabilności tego układu, kryteria algebraiczne zawodzą, postać wielomianu charakterystycznego
zmienia się wraz ze zmianą rzędu układu inercyjnego.

6

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

Jedynym podejściem, które można tu zastosować to kryterium Nyquista. Układ otwarty jest układem stabilnym, n

jednakowych pierwiastków równania charakterystycznego

T

s

i

1

−

=

.

Charakterystyki amplitudowo – fazowe elementu inercyjnego n – tego rzędu:

7

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

Re{G(jω)}

n=1

Im{G(jω)}

k

n=2

n=3

n=5

)

0

,

1

(

j

−

Aby układ zamknięty był stabilny charakterystyka amplitudowo – fazowa układu otwartego nie powinna obejmować
punktu krytycznego

)

0

,

1

(

j

−

, oznacza to, że dla przesunięcia fazowego

π

−

, moduł transmitancji widmowej musi

być mniejszy od 1.
Daje to układ: równanie i nierówność:

{

}

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

−

=

−

−

1

)

(

)

(

arg

π

π

ω

π

ω

j

G

j

G

Transmitancja operatorowa układu otwartego ma postać:

( )

(

)

(

)

ω

ω

ω

ω

arctgT

n

j

n

n

e

T

k

j

T

k

j

G

⋅

−

+

=

+

=

2

2

2

1

1

Stąd należy rozwiązać układ równania i nierówności:

8

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

(

)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

<

+

−

=

⋅

−

1

1

2

2

2

n

T

k

arctgT

n

ω

π

ω

Z pierwszego równania wyznaczamy pulsację drgań.

n

tg

T

n

tg

T

π

ω

π

ω

π

π

1

=

=

−

−

Z drugiej nierówności wyznaczamy krytyczny współczynnik wzmocnienia:

9

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

n

n

n

n

n

n

k

n

k

n

n

n

k

n

tg

k

n

tg

k

π

π

π

π

π

π

π

cos

cos

cos

cos

sin

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

<

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

1

cos

<

n

n

k

π

Ostatecznie

n

n

k

π

cos

1

<

Krytyczny współczynnik wzmocnienia dla wybranych rzędów układu inercyjnego

Rząd układu

inercyjnego

n=2

n=3

n=4

n=6

∞

→

n

Krytyczny współczynnik

wzmocnienia

∞

→

k

8

=

k

4

=

k

27

64

=

k

1

=

k

10

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

Przykład 3

Transmitancja obiektu regulacji jest postaci:

)

1

5

,

0

(

)

1

2

,

0

(

)

1

(

2

)

(

+

+

+

=

s

s

s

s

G

OR

a. wyznacz krytyczny współczynnik wzmocnienia w regulacji proporcjonalnej P, korzystając

z kryterium Hurwitza.

b. przyjmując współczynnik wzmocnienia w regulacji PD dwukrotnie większy od wyznaczonego w punkcie a.,

wyznacz czas wyprzedzenia regulatora, aby układ był stabilny.

11

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

)

1

5

,

0

(

)

1

2

,

0

(

)

1

(

2

+

+

+

s

s

s

p

k

+

_

x(s)

y(s)

Transmitancja układu otwartego ma postać:

)

1

5

,

0

(

)

1

2

,

0

(

)

1

(

2

)

(

0

+

+

+

=

s

s

s

k

s

G

p

Stąd równanie charakterystyczne układu zamkniętego:

0

2

1

7

,

1

8

,

0

1

,

0

0

2

)

1

5

,

0

(

)

1

2

,

0

(

)

1

(

2

3

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

p

p

k

s

s

s

k

s

s

s

Sprawdzamy warunek konieczny kryterium Hurwitza:

0

2

1

>

+

p

k

Stąd otrzymujemy:

12

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

2

1

−

>

p

k

Z warunku wystarczającego otrzymujemy:

p

p

k

k

2

1

0

0

8

,

0

7

,

1

2

1

0

1

,

0

8

,

0

3

+

+

=

∆

Aby układ był stabilny, wystarczy zbadać znak wyznacznika

0

2

>

∆

, pozostałe wyznaczniki będą dodatnie.

3

,

6

0

2

,

0

26

,

1

0

)

2

1

(

1

,

0

7

,

1

8

,

0

)

2

1

(

1

,

0

7

,

1

8

,

0

7

,

1

2

1

1

,

0

8

,

0

2

<

>

−

>

+

⋅

−

⋅

+

⋅

−

⋅

=

+

=

∆

p

p

p

p

p

k

k

k

k

k

13

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

stąd:

3

,

6

;

3

,

6

,

2

1

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

∈

R

p

k

k

Układ regulacji z regulatorem PD:

)

1

5

,

0

(

)

1

2

,

0

(

)

1

(

2

+

+

+

s

s

s

)

1

(

6

,

12

D

sT

+

+

_

x(s)

y(s)

Transmitancja układu otwartego ma postać:

)

1

5

,

0

(

)

1

2

,

0

(

)

1

(

)

1

(

2

,

25

)

(

0

+

+

+

+

=

s

s

s

sT

s

G

D

Stąd równanie charakterystyczne układu zamkniętego:

0

2

,

26

)

2

,

25

7

,

1

(

8

,

0

1

,

0

2

3

=

+

+

+

+

s

T

s

s

D

14

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

Warunek konieczny kryterium Hurwitza jest spełniony (dlaczego?).

Z warunku wystarczającego otrzymujemy:

2

,

26

0

0

8

,

0

2

,

25

7

,

1

2

,

26

0

1

,

0

8

,

0

3

D

T

+

=

∆

Aby układ był stabilny, wystarczy zbadać znak wyznacznika

0

2

>

∆

, pozostałe wyznaczniki będą dodatnie.

15

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

0625

,

0

0

26

,

1

16

,

20

0

62

,

2

16

,

20

36

,

1

2

,

26

1

,

0

)

2

,

25

7

,

1

(

8

,

0

2

,

25

7

,

1

2

,

26

1

,

0

8

,

0

2

>

>

−

>

−

+

⋅

−

+

⋅

=

+

=

∆

D

D

D

D

D

T

T

T

T

T

Przykład 4

Za pomocą kryterium Nyquista, wyznacz dla jakiej wartości stałej czasowej, układ przedstawiony na rysunku jest
stabilny. Przyjmij k

1

=5, k

2

=0,1.

s

k

1

(

)

2

2

1

+

Ts

k

+

_

x(s)

y(s)

Transmitancja widmowa układu otwartego ma postać:

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

+

−

+

=

+

=

ω

π

ω

ω

ω

ω

ω

arctgT

j

e

T

k

k

j

T

j

k

k

j

G

2

2

2

2

2

1

2

2

1

0

)

1

(

)

1

(

lub

( )

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

0

)

1

(

]

1

[

)

1

(

2

)

1

(

]

2

1

[

)

1

(

)

1

(

+

−

−

+

+

−

=

+

−

−

−

=

+

+

−

−

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

T

T

k

jk

T

T

k

k

T

jT

T

k

jk

T

jT

k

jk

j

G

16

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

( )

( )

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

)

1

(

]

1

[

)

1

(

2

+

−

−

=

+

−

=

ω

ω

ω

ω

ω

ω

T

T

k

k

Q

T

T

k

k

P

( )
( )

0

)

(

;

)

1

(

]

1

[

0

0

)

(

;

2

0

2

2

2

2

2

2

1

2

1

=

∞

−∞

=

+

−

−

=

=

∞

−

=

Q

T

T

k

k

Q

P

T

k

k

P

ω

ω

ω

Charakterystykę amplitudowo – fazową elementu całkującego z inercją II – go rzędu przedstawia rysunek:

17

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

Re{G

0

(jω)}

Im{G

0

(jω)}

T

k

k

2

1

2

−

Układ otwarty jest układem strukturalnie niestabilnym. Jeżeli przypiszemy biegun zerowy do lewej półpłaszczyzny,
to układ otwarty możemy traktować jak układ stabilny. Charakterystykę amplitudowo – fazową uzupełniamy łukiem
okręgu o promieniu

∞

→

R

, w sposób pokazany na rysunku:

18

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

Re{G

0

(jω)}

Im{G

0

(jω)}

∞

→

R

T

k

k

2

1

2

−

Fragment charakterystyki pokazujący jej przebieg w pobliżu punktu krytycznego (–1, j0), przedstawia kolejny
rysunek:

Re{G

0

(jω)}

Im{G

0

(jω)}

(-1, j0)

Aby wyznaczyć szukaną wartość stałej czasowej, należy rozwiązać układ składający się z równania i nierówności:

{

}

19

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

−

=

−

−

1

)

(

)

(

arg

π

π

ω

π

ω

j

G

j

G

lub

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

<

=

−

−

1

)

(

0

)

(

π

π

ω

ω

P

Q

(

)

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<

+

−

=

⋅

−

−

1

1

2

2

2

2

2

1

ω

ω

π

ω

π

T

k

k

arctgT

lub

(

)

(

)

⎪

⎪
⎩

⎪

⎪
⎨

⎧

<

+

=

+

−

−

1

1

2

0

1

]

1

[

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

ω

ω

ω

ω

T

T

k

k

T

T

k

k

20

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

4

1

,

0

;

5

;

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

<

=

=

<

<

=

=

−

−

T

k

k

k

k

T

T

k

k

T

T

π

π

ω

ω

Przykład 5

Układ o transmitancji

)

1

(

2

)

(

+

=

s

s

s

G

odwiedziono sztywnym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym. Czy układ ten jest

astatyczny pierwszego rzędu względem wymuszenia (uzasadnij)? Jaka jest wartość ustalona uchybu przy
wymuszeniu

)

(

1

2

)

(

t

t

t

u

⋅

=

i zerowych warunkach początkowych?

)

1

(

2

+

s

s

u(s)

y(s)

e(s)

_

Układ jest astatyczny względem wymuszenia, ponieważ:

21

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

0

2

)

1

(

)

1

(

)

1

(

2

1

1

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

0

0

0

=

+

+

+

=

+

+

=

=

=

=

=

∞

→

→

→

→

→

∞

→

s

s

s

s

lim

s

s

lim

s

G

lim

s

s

sG

lim

s

se

lim

t

e

lim

e

s

s

e

s

e

s

s

t

2

2

)

(

)

(

1

2

)

(

s

s

u

t

t

t

u

=

⇒

⋅

=

22

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

1

2

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

2

1

1

2

)

(

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

0

2

0

0

0

=

+

+

+

=

+

+

=

=

=

=

=

=

=

∞

→

→

→

→

→

→

∞

→

s

s

s

lim

s

s

s

lim

s

s

G

lim

s

s

sG

lim

s

u

s

sG

lim

s

se

lim

t

e

lim

e

s

s

e

s

e

s

e

s

s

t

Przykład 6

Narysuj asymptotyczne charakterystyki częstotliwościowe układu o transmitancji

2

)

1

10

(

01

,

0

)

(

+

=

s

s

s

G

. Czy po

obwiedzeniu sztywnym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym otrzymamy układ stabilny? Jaki będzie zapas amplitudy i
fazy?

23

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

2

)

1

10

(

01

,

0

+

s

s

u(s)

y(s)

e(s)

_

24

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-200

-160

-120

-80

-40

0

charakterystyka amplitudowo-czestotliwosciowa

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

charakterystyka fazowo-czestotliwosciowa

dB

L 20

=

∆

2

π

ϕ

=

∆

Przykład ten można rozwiązać analitycznie

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

−

+

=

+

=

)

10

(

2

2

2

2

)

1

100

(

01

,

0

)

1

10

(

01

,

0

)

(

ω

π

ω

ω

ω

ω

ω

arctg

j

e

j

j

j

G

1

,

0

4

10

4

)

10

(

2

)

10

(

2

)

10

(

2

2

=

=

=

=

−

=

−

−

−

−

−

−

−

π

π

π

π

π

ω

π

ω

π

ω

π

ω

π

ω

π

tg

arctg

arctg

arctg

25

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

dB

,

log

log

log

j

G

log

L

26

05

0

20

)

1

01

,

0

100

(

1

,

0

01

,

0

20

)

1

100

(

01

,

0

20

)

(

20

2

=

−

=

+

⋅

−

=

+

−

=

−

=

∆

−

−

−

π

π

π

ω

ω

ω

0

01

,

0

100

01

,

0

)

1

100

(

1

)

1

100

(

01

,

0

1

3

1

2

1

1

2

1

1

=

−

+

=

+

=

+

ω

ω

ω

ω

ω

ω

01

,

0

1

300

01

,

0

100

1

2

3

1

≈

+

−

+

−

=

+

ω

ω

ω

ω

ω

ω

n

n

n

n

n

26

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

{

}

0

1

84

47

,

1

)

1

,

0

(

2

)

(

=

≈

−

−

=

+

=

∆

arctg

j

G

arg

π

π

ω

π

ϕ

27

Automatyka i sterowanie – jakość regulacji, przykłady

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-200

-160

-120

-80

-40

0

charakterystyki amplitudowo-czestotliwosciowe rzeczywiste i asymptotyczne

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-270

-225

-180

-135

-90

-45

charakterystyki fazowo-czestotliwosciowe rzeczywiste i asymptotyczne