Wykład 5 13.04.2013r.

FALOWE WŁASNOŚCI SKAŁ

Własności falowe skał charakteryzują zdolność skał do przepuszczania, pochłaniania, załamywania
i odbijania drgań sprężystych wywołanych ruchem falowym. Ze względu na częstotliwość fale
sprężyste dzielimy na:

–

fale infradźwiękowe o częstotliwości do

16 Hz

–

fale dźwiękowe (akustyczne) o częstotliwości 16Hz −20kHz

–

fale ultradźwiękowe o częstotliwości

20kHz −1GHz

–

fale hiperdźwiękowe o częstotliwości ponad 1GHz

Ze względu na warunki rozchodzenia się fal sprężystych wyróżnia się:

–

fale podłużne: występują wtedy, gdy cząstki ośrodka drgają równolegle do kierunku
rozchodzenia się fali, fale te występują w ciałach stałych, cieczach i gazach, a więc w
ośrodkach wykazujących sprężystość objętości.

–

fale poprzeczne: występują wtedy, gdy cząstki ośrodka drgają prostopadle do kierunku
rozchodzenia się fali, fale te rozchodzą się jedynie w ciałach stałych, występują wtedy tylko
odkształcenia postaciowe (odkształcenia objętościowe są równe zero).

–

fale powierzchniowe: występuje na zakłóconej powierzchni cieczy, lub powierzchni ciała
stałego graniczącego z próżnią lub gazem, gdy ośrodek stały zostanie ograniczony
powierzchnią swobodną, wówczas wzdłuż tej powierzchni rozchodzi się fala, w której
cząsteczki ośrodka wykonują ruchy po elipsoidalnej trajektorii (a więc zarówno wzdłuż jak i
w poprzek kierunku rozchodzenia się fali).

Rysunek przedstawiający ruch
fali podłużnej (ilustracje z lewej
strony) i fali poprzecznej
(ilustracje z prawej strony).

PRĘDKOŚĆ FAL SPRĘŻYSTYCH

W nieograniczonym, absolutnie sprężystym izotropowym ośrodku prędkość rozchodzenia się fal
sprężystych (czyli szybkość rozchodzenia się zmiennych naprężeń lub odkształceń w skałach)
można określić ze wzorów uzyskanych z teorii sprężystości i ruchu falowego w ośrodku ciągłym.
Na ogół wykorzystuje się zależności w których jako parametry występują:

–

moduł sprężystości podłużnej (Younga)

–

współczynnik Poissona

–

gęstość

V

p

– prędkość fali podłużnej

V

p

=

√

E (1−ν)

ρ (

1+ν) ⋅(1−2 ν)

V

s

– prędkość fali poprzecznej

V

s

=

√

E

2 ρ (1+ν)

V

R

– prędkość fali powierzchniowej

V

R

=

0,87+1,12 ν

1+ν

√

E

2 ρ (1+ν)

V

p

>

V

s

>

V

R

Stosunek prędkości fali podłużnej do prędkości fali poprzecznej jest funkcją współczynnika
Poissona:

V

p

V

s

=

√

2

⋅

1−ν

1−2 ν

, ν=

V

p

2

– 2V

s

2

2(V

p

2

−

V

S

2

)

Znając wartości prędkości fal sprężystych podłużnych i poprzecznych można określić stałe
sprężyste badanego ośrodka:

Moduł sprężystości podłużnej:

E=ρ V

p

2

(

1+ν)(1−2 ν)

1−ν

Moduł sprężystości postaciowej:

G=

E

2 (1+ν)

Moduł sprężystości objętościowej:

K =

E

3(1−2 ν)

Moduł jednostronnego ściskania:

M =

(

1−ν) E

(

1+ν)(1−2 ν)

Wyznaczone w ten sposób wartości wykorzystujące prędkość fal sprężystych noszą nazwę
modułów dynamicznych w odróżnieniu od parametrów sprężystych statycznych wyznaczonych
podczas statycznego obciążania próbki skalnej metodami laboratoryjnymi. Statyczne i dynamiczne
parametry sprężyste mogą się niekiedy różnić między sobą, jednakże rozbieżności zanikają z chwilą
zwiększenia ciśnienia, co wskazuje na to, iż w warunkach rzeczywistych po uwzględnieniu
głębokości zalegania utworów skalnych oba sposoby wyznaczania parametrów sprężystych dają
wyniki prawie jednoznaczne.

Znając dwie stałe materiałowe można wyznaczyć trzeci parametr korzystając ze wzorów:

E=

9KG

3K+G

, E=3K (1−2 ν) , E=2G(1+ν)

Dynamiczny moduł sprężystości postaciowej:

G

d

=

ρ

(

V

s

)

2

Dynamiczny moduł sprężystości objętościowej:

K

d

=

ρ

(

V

p

2

–

4(V

S

)

2

3

)

Dynamiczny moduł sprężystości liniowej:

E

d

=

ρ (

V

s

)

2

3

(

V

p

V

s

)

2

−

4

(

V

p

V

s

)

2

−

1

Dynamiczny współczynnik Poissona:

ν

d

=

1
2

(

V

p

V

s

)

2

−

2

(

V

p

V

s

)

2

−

1

Miarą istniejących różnic prędkości fali podłużnej jest współczynnik anizotropii prędkości:

K =

V

pII

V

p



V

pII

– jest to prędkość rozchodzenia się fali w kierunku równoległym do uwarstwienia

V

p



–

jest to prędkość rozchodzenia się fali w kierunku prostopadłym do uwarstwienia

Rozchodzenie się fal sprężystych związane jest z takimi zjawiskami jak odbicie fali, załamanie się
fali sprężystej, czy też tłumienie fali.

Akustyczna oporność falowa: charakteryzuje opór skały przy rozchodzeniu się fali sprężystej, a
liczbowo równa jest iloczynowi gęstości skały i prędkości fali podłużnej

z=ρ ⋅V

p

, [

g

cm

⋅

s]

Współczynnik odbicia: jest to stosunek energii fali odbitej do energii fali padającej. Przy
normalnym (prostopadłym) padaniu fali na powierzchnię graniczną współczynnik odbicia
uzależniony jest od oporności falowej

k

o

=

W

o

W

p

=

(

z

1

−

z

2

z

1

+

z

2

)

2

z

1

– oporność falowa ośrodka od którego fala się odbija

z

2

– oporność falowa ośrodka w którym rozchodzi się fala padająca i fala odbita od granicy

Współczynnik załamania: charakteryzuje on zmianę kierunku fali sprężystej przy przejściu z
jednego ośrodka do drugiego. Ilościowo równy jest stosunkowi sinusa kąta padania do sinusa kąta
załamania.

sin σ

sin ψ

=

V

1

V

2

n=

V

1

V

2

=

2z

1

z

1

+

z

2

ψ

– kąt załamania

σ

– kąt padania

TŁUMIENIE

W ośrodku jednorodnym tłumienie fal sprężystych, czyli pochłaniania ich w miarę oddalania się od
źródła opisać można zależnością:

A= A

0

⋅

e

−α

x

A

– amplituda fali w odległości x od źródła powstania fali

A

0

– amplituda początkowa fali

α

– współczynnik tłumienia w ośrodku skalnym

Współczynnik tłumienia jest to współczynnik charakteryzujący stopień zmniejszenia amplitudy
drgań sprężystych na jednostkę długości drogi:

α=

ln

(

A

0

A

)

x

, [m

−

1

]

Maksymalne tłumienie fal sprężystych obserwuje się w gazach, mniejsze w cieczach a minimalne w
ciałach stałych. Górotwór będąc ośrodkiem mało sprężystym, porowatym, niejednorodnym, tłumi
fale silniej niż ciecz, dlatego współczynnik tłumienia fali w skałach porowatych w miarę nasycania
ich wodą zmniejsza się.

TERMICZNE WŁASNOŚCI SKAŁ

Warunkiem przepływu ciepła przez skałę jest nierównomierny rozkład temperatury. Przepływ
energii cieplnej w ośrodku skalnym odbywa się na drodze:

–

kondukcji: przewodnictwa cieplnego w fazie stałej skały

–

konwekcji: unoszenia w fazie ciekłej, gazowej

–

radiacji: promieniowania w fazie stałej, ciekłej, gazowej

W ciałach jednorodnych przekazywanie ciepła odbywa się w drodze zmiany energii kinetycznej
przy zderzeniach elektronów. Ten typ przewodności nosi nazwę elektronowej i jest
charakterystyczny dla metali i półprzewodników.
W skałach przewodzenie ciepła identyfikować można z drganiami części siatki krystalicznej.
Drgania te mogą być opisane tzw. fononem (analogicznie do fotonu przy polu
elektromagnetycznym). Fonony to kwanty pola drgań siatki krystalicznej, każdy fonon posiada
energię, częstotliwość drgań cieplnych. Charakterystycznym parametrem własności termicznych
jest współczynnik przewodzenia ciepła.

Współczynnik przewodzenia: charakteryzuje on prędkość rozchodzenia się ciepła w skale i równy
jest ilości ciepła przechodzącego w jednostce czasu przez jednostkę przekroju poprzecznego przy
gradiencie temperatur równym jednostce w przypadku stacjonarnego strumienia ciepła.

λ=

Q

F ⋅gradT ⋅τ

=

Q ⋅L

F ⋅(T

1

−

T

2

)

,

[

W

m ⋅K

]

(

kcal

m ⋅h ⋅K

)

Q – ilość ciepła przechodzącego przez próbkę [ J ]

L

– droga przepływu ciepła

[

m]

T

1,

T

2

– droga na skrajnych powierzchniach próbki [ K ]

τ

– czas przepływu ciepła

F

– powierzchnia przekroju poprzecznego próbki

Odwrotnością współczynnika przewodzenia ciepła jest cieplna oporność właściwa:

ξ=

1
λ

Stosunek cieplnej oporności właściwej mierzonej prostopadle do uwarstwienia próbki do oporności
właściwej mierzonej równolegle do uwarstwienia charakteryzuje zjawisko anizotropii cieplnej:

K

ξ

=

ξ

L

ξ

II

>

1,0

Przy przepływie ciepła przez skały obserwuje się częściowe pochłanianie ciepła, tzn. zwiększanie
energii wewnętrznej części siatki krystalicznej skały. Zjawisko to charakteryzowane jest przez:

–

cieplną pojemność właściwą: jest to ilość ciepła Q potrzebnego do podwyższenia
temperatury jednostki masy skały o jeden stopień

C=

Q

m ⋅Δ T

,

[

J

kg ⋅K

]

(

kcal

kg

o

C

)

–

pojemność cieplną objętościową: równa jest ilości ciepła Q koniecznego do zmiany
temperatury jednostki objętości skały o jeden stopień

C

V

=

Q

V ⋅ΔT

,

[

J

m

3

⋅

K

]

(

kcal

m

3

⋅

deg

)

C

V

=

C ⋅

ρ

Zjawisko przewodzenia temperatury (rozchodzenia się temperatury) charakteryzuje współczynnik
przewodzenia temperatury.

a= λ

C ⋅ρ

= λ

C

V

,

[

m

2

s

]

Współczynniki

λ

i a charakteryzują izolacyjne własności skał.

Przyrost temperatury próbki skały może wywoływać zmianę jej wymiarów początkowych.
Charakteryzują to współczynniki:

–

cieplnej rozszerzalności liniowej: charakteryzuje on zdolność skały do zmiany swoich
wymiarów liniowych podczas przyrostu temperatury

β=

Δ

L

L ⋅Δ T

,

[

1

K

]

L

– początkowa długość nieobciążonej próbki skalnej

Δ

L

– przyrost długości

Δ

T

– przyrost temperatury

–

cieplnej rozszerzalności objętościowej: charakteryzuje on zdolność skały do zmiany swej
objętości podczas przyrostu temperatury

ω=

Δ

V

V ⋅Δ T

,

[

1

K

]

(dla skał izotropowych ω=3β )

W skale w wyniku nierównomiernego ogrzewania poszczególnych cząstek skały lub
nierównomiernego rozszerzania się poszczególnych ziarn mineralnych powstają naprężenia
termiczne. Przy uwzględnieniu jedynie rozszerzalności liniowej σ

T

możemy określić

zależnością:

σ

T

=

E ⋅β ⋅Δ T

Przy uwzględnieniu rozszerzalności objętościowej σ

T

będą równe:

σ

T

=

K ω Δ T =

E ⋅ω ⋅Δ T

3(1−2 ν)

=

E ⋅β ΔT

1−2 ν

,

[

N

m

2

]

K – moduł sprężystości objętościowej (Kirchhoffa)

Zmiany temperatury wraz z głębokością opisane są przez dwa parametry:

–

Stopień geometryczny: liczba metrów, przy których temperatura wzrasta o jeden stopień
Celsjusza, względnie o jeden Kelvin

S

g

=

Δ

H

Δ

T

, [

m
K

]

–

Gradient geotermiczny: charakteryzuje zmianę temperatury na jeden metr głębokości.

G

g

=

Δ

T

Δ

H

Stały wzrost temperatury zgodnie z gradientem następuje dopiero od tzw. warstwy neutralnej
(w Polsce około 15-20m). Temperaturę na danej głębokości można określić z zależności:

T =T

0

+

G

g

(

H−H

0

)

(dotyczy skał jednorodnych pod względem litologicznym)

T

– temperatura panująca na głębokości

H

T

0

– temperatura warstwy neutralnej na

H

0

=

20 m

, równa średniej rocznej temperaturze

powierzchni Ziemi,

H – rozpatrywana głębokość
H

0

– głębokość warstwy neutralnej

Dla skał niejednorodnych przebieg zmiany temperatury z głębokością nie ma charakteru
prostoliniowego.

T =T

0

+

a (H −H

0

)

b

(dotyczy skał niejednorodnych pod względem litologicznym)

a , b

– parametry związane z charakterem zmiany gradientu wraz z głębokością

Zmianę temperatury skał związaną z głębokością obserwuje się także w zakresie temperatur
ujemnych. Dotyczy to gruntów budowlanych poddanych okresowemu przemarzaniu. Głębokość
i prędkość przemarzania zależą nie tylko od temperatury powietrza i czasu trwania procesu, ale
także od:

–

struktury gruntu,

–

tekstury gruntu,

–

składu granulometrycznego gruntu,

–

osłony termo.

Długotrwały wpływ temperatury ujemnej powoduje, że granica przemarzania przesuwa się w dół.
Wzrost objętości gruntu poprzez tworzenie się soczewek lodowych (w trakcie przyciągania
kolejnych molekuł lodowych) uzewnętrznia się w postaci powstawania tzw. wysadzin, czyli
poruszenia się powierzchni terenu tam, gdzie grunty są szczególnie wrażliwe na przemarzanie.
Odmarzanie gruntu np. pod nawierzchnią drogową jest powodem tworzenia się tzw. przełomów.

Odmarznięcie gruntu pod nawierzchnią drogową i utworzenie się przełomów:

1 - spękana nawierzchnia (przełomy)
2 - podłoże odmarznięte
3 - grunt zamarznięty
4 - granica przemarzania
5 - śnieg

Pod względem głębokości przemarzania teren Polski podzielony jest na cztery strefy dla których
głębokość przemarzania wynosi:

–

0,8 m (I strefa),

–

1,0 m (II strefa),

–

1,2 m (III strefa),

–

1,4 m (IV strefa)

–

Wartości te przyjmuje się przy projektowaniu fundamentów budowli.

Podział kraju na strefy w zależności od głębokości przemarzania gruntu (wg PN-81/B-03020):