Fizyka statystyczna 15

STATYSTYCZNY OPIS UKºADU

Stan uk»adu moóe byƒ opisany przez dwa rodzaje wielkoÑci:

- makroskopowe

-

np. temperatura, obj“toу, ciÑnienie,
potencja» chemiczny,

- mikroskopowe

-

np. pr“dkoу czstki, p“d czstki, energia
czstki, po»oóenie czstki.

Statystyczna
funkcja rozk»adu

- zwizek mi“dzy tymi dwoma rodzajami wielkoÑci.

Jest to funkcja parametryczna. Jej parametrami s
paramertry termodynamiczne, np. temperatura i

potencja» chemiczny . Argumentami tej funkcji s

wspó»rz“dne i sk»adowe p“du czstki.

Pe»na
statystyczna
funkcja rozk»adu

- funkcja

, taka, óe pomnoóona przez

wyraóa liczb“ czstek uk»adu, których energie
zawarte s w przedziale

b“dziemy w skrócie oznaczali

moóna przedstawiƒ w postaci

- g“stoу stanów

-

funkcja rozk»adu (prawdopodobie½stwo zajÑcia danego stanu,

odpowiednik Ñredniej liczby czstek w danym stanie)

Fizyka statystyczna 16

Funkcja rozk»adu dla gazu doskona»ego niezwyrodnia»ego

Dla gazu niezwyrodnia»ego

, dlatego w tym przypadku musi

zachodziƒ

.

Funkcja rozk»adu

dla gazu niezwyrodnia»ego nazywana jest rozk»adem

Maxwella-Boltzmanna i ma postaƒ

- potencja» chemiczny,

- sta»a Boltzmanna

Pe»na funkcja rozk»adu

Fizyka statystyczna 17

Potencja» chemiczny gazu niezwyrodnia»ego

Potencja» chemiczny gazu niezwyrodnia»ego moóna wyliczyƒ z warunku

unormowania pe»nej funkcji rozk»adu

Wiedzc, óe

otrzymujemy

Std dla gazu niezwyrodnia»ego

Poniewaó dla gazu niezwyrodnia»ego

(kryterium niezwyrodnienia)

wi“c potencja» chemiczny gazu niezwyrodnia»ego jest zawsze ujemny.

Fizyka statystyczna 18

Funkcja rozk»adu Maxwella-Boltzmanna

Znaleziona postaƒ potencja»u chemicznego dla gazu niezwyrodnia»ego

pozwala zapisaƒ pe»n funkcj“ rozk»adu i rozk»ad Maxwella-Boltzmanna w
postaci jawnie zaleónej od parametrów uk»adu.

Dla pe»nej funkcji rozk»adu Maxwella-Boltzmanna

Dla rozk»adu Maxwella-Boltzmanna

W ostatnim wzorze wprowadziliÑmy koncentracj“ czstek

.

Fizyka statystyczna 19

Efektywna liczba stanów

Funkcj“ rozk»adu Maxwella-Boltzmanna

moóemy zapisaƒ w postaci

gdzie

z

- efektywna g“stoу stanów

efektywna g“stoу stanów dla

.

Uóywajc

warunek niezwyrodnienia gazu doskona»ego

lub

dla dowolnej energii

moóna zapisaƒ w innej postaci

Fizyka statystyczna 20

Rozk»ad czstek wzgl“dem pr“dkoÑci i p“dów

OtrzymaliÑmy

Znajc

spróbujmy otrzymaƒ

W podobny sposób moóna otrzymaƒ rozk»ad czstek wzgl“dem p“dów

Fizyka statystyczna 21

Funkcja rozk»adu gazu zwyrodnia»ego fermionów

Przyk»adem gazu zwyrodnia»ego fermionów jest gaz elektronowy w
metalach. Funkcj rozk»adu dla takiego gazu jest funkcja Fermiego-Diraca

- energia kinetyczna czstki

- potencja» chemiczny

Dla porównania funkcja rozk»adu gazu niezwyrodnia»ego mia»a postaƒ

Prawo rozk»adu fermionów wzgl“dem energii

Dla elektronów

, wi“c wtedy

Fizyka statystyczna 22

Rozk»ad Fermiego-Diraca w temperaturze zera bezwzgl“dnego

Dla elektronów swobodnych metal jest swego rodzaju jam potencja»u

Poziom
Fermiego

- poziom energetyczny , na

którym znajduje si“ elektron
o najwi“kszej energii
kinetycznej w temperaturze
0 K.

Energia
Fermiego

- energia kinetyczna

elektronu na poziomie
Fermiego

W temperaturze zera bezwzgl“dnego wszystkie stany o energii

s

obsadzone, a stany o energii

s puste.

Aby otrzymaƒ ten wynik z rozk»adu Fermiego-Diraca, naleóy przyjƒ