Fizyka s tatystycz na 1

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

Fizyka
statystyczna 

  -

dzia» fizyki teoretycznej zajmujcy si“ uk»adami
zbudowanymi z duóych iloÑci  czstek .
Rozpatrywanymi wielkoÑciami s parametry
makroskopowe. Obserwowane zaleónoÑci i g»oszone
prawa maj charakter statystyczny

Rozpatrzmy uk»ad 

 jednakowych czstek

-

Funkcja falowa uk»adu musi zaleóeƒ od wspó»rz“dnych wszystkich
czstek.

-

Funkcja falowa 

 musi spe»niaƒ dodatkowy postulat mechaniki

kwantowej, óe czstki jednakowego typu s nierozróónialne. Moóna
mówiƒ o prawdopodobie½stwie znalezienia jakiejkolwiek czstki w
danym miejscu, ale nie moóna odpowiedzieƒ na pytanie która to
czstka.

-

Z postulatu nierozróónialnoÑci czstek wynika, óe rozk»ad
prawdopodobie½stwa znalezienia tych czstek musi byƒ symetryczny
przy formalnej zamianie wspó»rz“dnych czstek

Zatem funkcja falowa uk»adu, z dok»adnoÑci do nieistotnego czynnika
fazowego, musi mieƒ w»asnoу

Pauli pokaza», óe znak „+” (funkcja symetryczna) lub „-“ (funkcja
antysymetryczna) w powyószym równaniu zaleóy od spinu czstek. 

Fizyka s tatystycz na 2

Bozony

  -

czstki opisan e sym etryczn  funkcj falow,
charakteryzujce si“ spinem ca»kowitym (w jednostkach £).
Bozonami s np. fotony, fonony, mezony, uk»ady czstek
zbudowane z parzystej liczby fermionów.

Fermiony    -

czstki op isane an tysymetryczn    f u nkcj falow,
charakteryzujce si“ spinem po»ówkowym (w jednostkach
£). Fermionami s np. elektrony, neutrony, protony, kwarki,
uk»ady czstek zbudowane z nieparzystej liczby fermionów.

Za»óómy, óe dwie jednakowe czstki zaj“»y ten sam stan kwantowy.

a) przypadek funkcji antysymetrycznej (fermiony)

czyli równieó 

W uk»adzie identycznych fermionów w dowolnym stanie
kwantowym moóe znajdowaƒ si“ tylko jedna czstka. (zasada
wykluczania Pauliego).

a) przypadek funkcji symetrycznej (bozony)

W przypadku bozonów iloу czstek w danym stanie nie jest
ograniczona.

Fizyka s tatystycz na 3

GAZ DOSKONAºY JAKO NAJPROSTSZY UKºAD

Gaz doskona»y    - 

zbiór czstek, których energia oddzia»ywania
wzajemnego jest ma»a w porównaniu z ich energi
kinetyczn

UÑciÑlenia modelu gazu doskona»ego:
1. S»abe oddzia»ywanie wzajemne czstek oznacza s»abe

oddzia»ywanie si»owe. Silne natomiast moóe byƒ oddzia»ywanie
wymienne, wskutek czego gaz moóe znajdowaƒ si“ w stanie
zwyrodnia»ym.

2. W modelu gazu doskona»ego zak»ada si“, óe czstki poruszaj si“

tylko ruchem post“powym. Inne rodzaje ruchu (drgajcy, obrotowy)
trzeba uwzgl“dniaƒ oddzielnie.

Przestrze½ fazowa czstek

Przestrze½ fazowa  - sze Ñ c i o wy m iar owa  przest rze½   o   o si a c h

wspó»rz“dnych  ,  ,  , 

, 

, 

.

Punkt fazowy        - punkt 

w przestrzeni fazowej

okreÑlajcy stan czstki.

- element przestrzeni fazowej 

- element obj“toÑci przestrzeni wspó»rz“dnych

- element obj“toÑci przestrzeni p“dów

Fizyka s tatystycz na 4

Przestrze½ fazowa gazu doskona»ego czstek swobodnych

W przypadku gazu doskona»ego, który nie jest poddany dzia»aniu pola
zewn“trznego, zmiana po»oóenia czstki nie wióe si“ ze zmian jej
energii. Wtedy wygodniej jest pos»ugiwaƒ si“ trójwymiarow
przestrzeni p“dów, a nie szeÑciowymiarow przestrzeni fazow. W
takim przypadku przyjmuje si“, óe element 

 jest równy obj“toÑci

, w której poruszaj si“ czstki.

Trajektoria fazowa    -

tor punktu fazowego czstki w przestrzeni
fazowej.

Przyk»ady trajektorii fazowych dla ruchu jednowymiarowego

Czstka porusza si“ wzd»uó osi   z

pr“dkoÑci 

C z  s t k a   w y k o n u j e   d r g a n i a
harmoniczne wzd»uó osi 

   

   

    

elipsa

Fizyka s tatystycz na 5

Kwantowanie przestrzeni fazowej

Dla czstek b“dcych mikrobiektami nie moóna jednoczeÑnie dok»adnie
okreÑliƒ wspó»rz“dnej i p“du. Stanowi czstki nie moóna przypisaƒ punktu
w przestrzeni fazowej, ale pewien element „obj“toÑci”.  

Fazowe komórki elementarne dla czstki
w przestrzeni jednowymiarowej

 

Fazowa komórka elementarna dla czstki poruszajcej si“ w przestrzeni
trójwymiarowej

Poniewaó  przestrze½ fazowa poruszajcej si“ czstki rozpada si“ na
poszczególne komórki fazowe, mówimy, óe przestrze½ fazowa jest
skwantowana.

Dla czstki swobodnej

Uwzgl“dnienie spinu czstek 

zwi“ksza 

liczb“ 

stanów 

w 

przestrzeni 

fazowej 

razy.

Fizyka s tatystycz na 6

G“stoу stanów w przestrzeni p“dów i w przestrzeni energii

Rozwaómy czstki swobodne zlokalizowane w jakiejÑ obj“toÑci  .  W tym

przypadku elementarna komórka fazowa jest równa

- elementarna komórka fazowa w przestrzeni p“dów

Obliczmy liczb“ 

komórek 

fazowych 

odpowiadajcych 

p“dom 

z 

przedzia»u 

czyli

 - g“stoу stanów w przestrzeni

p“dów

G“stoу stanów w przestrzeni energii

Fizyka s tatystycz na 7