Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 29

29. Dyfrakcja

Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu się

promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny).
Wyjaśnienie dyfrakcji w oparciu o zasadę Huyghensa - Fresnel (przełom XVIII i XIX
w). (W jego czasach wierzono, że fale świetlne są falami mechanicznymi w przenikają-
cym wszechświat eterze. Dopiero Maxwell pokazał, że fale świetlne są falami elektro-
magnetycznymi, a Einstein odrzucił postulat konieczności istnienia eteru).
Rysunek (a) pokazuje ogólnie na czym polega dyfrakcja.

S

B

C

P

a)

Fala ze źródła S pada na szczelinę B i przechodzące przez otwór pada na ekran C. Natę-
żenie w punkcie P można obliczyć dodając do siebie wszystkie zaburzenia falowe (tj.
wektory E). Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i fazy ponieważ:
• elementarne źródła Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych odległościach od

punktu P.

• światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami.
Taka sytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe)
pojawia się gdy źródło fal S i ekran (C), na którym powstaje obraz znajdują się w skoń-
czonej odległości od ekranu ze szczeliną (B). Taki przypadek nosi nazwę

dyfrakcji

Fresnela

. Obliczenia natężeń światła są w tej sytuacji trudne.

Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran C odsuniemy na bardzo duże odległości od
otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy

dyfrakcją Fraunhofera

. Czoła

fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak to wi-
dać na rysunku (b).

do bardzo
odległego
ekranu

z bardzo
odległęgo
źródła

b)

θ

B

29-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można zrealizować w laboratorium za
pomocą dwu soczewek (rysunek c).

S

f

f

B

C

P

θ

c)

Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległa, a druga skupia w punkcie P
fale płaskie opuszczające otwór. Wszystkie promienie oświetlające punkt P opuszczają
otwór równolegle do linii przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki). Warunki
dyfrakcji Fraunhofera były z założenia spełnione w doświadczeniu Younga.
W dalszej części wykładu będziemy zajmować się tylko dyfrakcją Fraunhofera.

29.1 Pojedyncza

szczelina

Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości a.

Rozpatrzmy punkt środkowy P

0

ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego

punktu te same drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą
ilość długości fal (soczewki cienkie). Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fa-
zie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie.
Dlatego w środkowym punkcie P

0

będzie maksimum.

P

0

f

B

a

C

Rozpatrzmy teraz inny punkt P

1

na ekranie (rysunek poniżej). Promienie docierające do

P

1

wychodzą ze szczeliny pod kątem

θ. Jeden promień ma początek u góry szczeliny, a

drugi w jej środku. (Promień xP

1

przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchy-

lany).

29-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

a

θ

θ

b

’

b

λ/2

x

P

1

P

0

Jeżeli wybierzemy punkt P

1

tak, żeby różnica dróg bb’ wynosiła

λ/2 to promienie zgod-

ne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P

1

fazy przeciwne i wygaszą się. Podob-

nie każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z
odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości a/2 poniżej. Punkt P

1

będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisujący to
minimum ma następującą postać

λ

θ

2

1

sin

2

1

=

a

czyli

asin

θ = λ

Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny była równa

λ wtedy pierwsze minimum pojawiłoby

się dla

θ = 90° czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę rozszerza-

nia szczeliny środkowe maksimum staje się węższe. (Podobnie było dla interferencji
Younga w miarę zmiany odległości między szczelinami punktowymi). Podobne rozwa-
żania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie
dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci

asin

θ = mλ, m = 1, 2, 3,...... (minimum)

(29.1)

Mniej więcej w połowie między każdą para sąsiednich minimów występują oczywiście
maksima natężenia.

29.2 Pojedyncza szczelina, rozważania jakościowe

Teraz chcemy znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym obszarze dyfrakcyj-

nym w funkcji kąta

θ. Teraz zrobimy to jakościowo.

Wyobraźmy sobie, że szczelinę o szerokości a dzielimy na N pasków o małej szeroko-
ści

∆x. Każdy pasek jest źródłem fal kulistych Huyghensa, które wytwarzają na ekranie

określone zaburzenie falowe.

29-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

a

θ

θ

∆x sinθ

B

C

P

P

0

Różnica dróg między sąsiednimi paskami wynosi

∆xsin

θ stąd różnica faz ∆ϕ pomiędzy

falami pochodzącymi z sąsiednich pasków wynosi

λ

θ

π

ϕ

sin

2

x

∆

=

∆

czyli

θ

λ

π

ϕ

sin

2

x

∆

=

∆

• Zakładamy, że paski są tak wąskie, że wszystkie punkty na danym pasku mają tę sa-

mą drogę optyczną do punktu P (całe światło ma tę samą fazę).

• Dla małych kątów

θ amplitudy ∆E

0

zaburzeń falowych w punkcie P pochodzące od

różnych pasków przyjmujemy za jednakowe.

Zatem w punkcie P dodaje się N wektorów (pól elektrycznych E) o tej samej amplitu-
dzie

∆E

0

, tej samej częstości i tej samej różnicy faz

∆

ϕ między kolejnymi wektorami.

Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P, tzn. dla różnych ką-
tów

θ, tzn. dla różnych ∆ϕ.

Poniżej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku różnych
miejsc na ekranie.
• Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum środkowego (∆

ϕ=0°).

• Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum

środkowego (

∆

ϕ=5°).

• Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (∆

ϕ=30°).

• Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza środkowym)

(

∆

ϕ=42°).

29-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

E

θ

= E

M

E

θ

E

θ

E

θ

E

θ

= 0

a)

b)

c)

d)

Zwróćmy uwagę, że długość łuku jest zawsze równa E

M

ale amplituda E

θ

jest różna.

Wektory na rysunku odpowiadają amplitudom (a nie natężeniom). Żeby otrzymać natę-
żenia trzeba je podnieść do kwadratu. W przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego

natężenia kolejnych maksimów nie są jednakowe

.

29.3 Pojedyncza szczelina, rozważania ilościowe

Na rysunku poniżej jest przedstawiona konstrukcja służąca do obliczenia natężenia
światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej
na poprzednim rysunku (b).

R

R

E

m

E

m

E

θ

α

α

ϕ

ϕ

Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele małych pasków o szerokości dx to
łuk strzałek będzie łukiem koła o promieniu R. Długość łuku wynosi E

m

czyli równa jest

amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek).
Kąt

ϕ w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w

łuku tzn.

ϕ jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeli-

ny.

29-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jak widać z rysunku

2

sin

2

ϕ

θ

=

R

E

czyli

2

sin

2

ϕ

θ

R

E

=

(29.2)

W mierze łukowej

R

E

m

=

ϕ

Stąd

ϕ

m

E

R

=

Podstawiając do równania (29.2) otrzymamy

2

sin

2

ϕ

ϕ

θ

m

E

E

=

czyli

α

α

θ

sin

m

E

E

=

(29.3)

gdzie

α = ϕ/2.

Przypomnijmy, że

ϕ jest różnicą faz dla promieni wychodzących z krańców szczeliny.

Ponieważ różnica dróg dla tych promieni wynosi asin

θ (a szerokość szczeliny) więc

możemy posłużyć się znanym związkiem

różnica faz/2

π = różnica dróg/λ

otrzymując

θ

λ

π

ϕ

sin

2 a

=

lub

θ

λ

π

ϕ

α

sin

2

a

=

=

(29.4)

Teraz możemy już obliczyć natężenie światła dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie.
Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Otrzymujemy więc

29-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

2

sin













=

α

α

θ

m

I

I

(29.5)

Wyrażenie na natężenie przyjmuje wartość minimalną dla

α = mπ, m = 1, 2, 3,....

Podstawiając do równania (29.4) otrzymujemy

asin

θ = mλ, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)

Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozważania jakościowe).
Obliczmy teraz względne natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych.
Maksima leżą w środku pomiędzy minimami, a więc w punktach, dla których

α = (m+1/2)π, m = 1, 2, 3,.......

Podstawiając to do równania (29.5) na natężenie otrzymujemy
I

θ

/I

m

= 0.045, 0.016, 0.008 dla m = 1, 2, 3. Widać, że

natężenia kolejnych maksimów

bardzo szybko maleją

.

Na rysunku poniżej przedstawiono krzywe I

θ

dla różnych szerokości szczeliny (w sto-

sunku do długości fali

λ) w funkcji położenia na ekranie (kąta θ).

a=10

λ

a=5

λ

a=

λ

10

5

10

5

wzg

lę

dne nat

ęż

enie

θ

(deg)

29-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

29.4 Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach

W doświadczeniu Younga szczeliny były wąskie ( a <<

λ) tak, że każda ze szczelin

oświetlała równomiernie ekran. Jeżeli takie fale (spójne) interferowały to otrzymywali-
śmy prążki o jednakowym natężeniu.
Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek a <<

λ. Oznacza to, że pojedyn-

cza szczelina będzie dawała obraz dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w któ-
rym natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu Younga) ale zależne od te-
go obrazu dyfrakcyjnego.
Odejście od założenia a <<

λ powoduje głównie zmianę natężenia prążków (ich poło-

żenia pozostają prawie nie zmienione).
Przypomnijmy, że obraz interferencyjny dla dwóch szczelin dany jest równaniem

β

θ

2

int

,

int

,

cos

m

I

I

=

gdzie

θ

λ

π

β

sin

d

=

przy czym d jest odległością między szczelinami.
Natomiast natężenie fali ugiętej na szczelinie jest dane równaniem

2

,

,

sin













=

α

α

θ

dyf

m

dyf

I

I

gdzie

θ

λ

π

α

sin

a

=

przy czym a jest szerokością szczeliny.
Teraz chcemy otrzymać łączny efekt. Dlatego w równaniu dla interferencji stałą ampli-
tudę (dla wąskich szczelin) zastępujemy realnym natężeniem dyfrakcyjnym. Otrzymu-
jemy

2

2

sin

)

(cos













=

α

α

β

θ

m

I

I

(29.6)

Ten wynik opisuje następujące fakty. W pewnym punkcie ekranu natężenie światła, z
każdej szczeliny osobno, jest dane przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dy-
frakcyjne dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nakładają się (fale interferują).
Rysunek poniżej jest wykresem powyższego równania dla d = 50

λ i trzech wartości sto-

sunku a/

λ.

29-8

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a =

λ

wz

gl

ędne nat

ęż

eni

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a = 5

λ

wz

gl

ędne nat

ęż

eni

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a = 10

λ

10

10

5

5

wz

gl

ędne nat

ęż

eni

e

θ

(deg)

29-9

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Obwiednie prążków interferencyjnych pokrywają się dokładnie z obrazem dyfrakcyj-
nym. Obraz jest więc

iloczynem czynnika interferencyjnego i dyfrakcyjnego

(rysunek

poniżej).

Czynnik interferencyjny (cos

2

β)

jest pokazany na górnym wykresie,

czynnik

dyfrakcyjny (sin

α/α)

2

na środkowym, a ich iloczyn na dolnym.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

wz

gl

ędne na

tęż

eni

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

wz

gl

ędne na

tęż

eni

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

10

10

5

5

θ

(deg)

a = 5

λ

wz

gl

ędne na

tęż

eni

e

29-10