Matematyka A, egzamin poprawkowy, 31 stycznia 2012, 13:05 – 16:00
Rozwia
,
zania kolejnych zada´
n nale˙zy pisa´c na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elek-
tronicznych; je´sli kto´s ma, musi wy la
,
czy´
c i schowa´
c! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore zo-
sta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. 3 pt. Zdefiniowa´c log
d
b pamie
,
taja
,
c o za lo˙zeniach o d i b .
7 pt. Rozwia
,
za´c r´ownanie log
10
(x − 2) + log
10
(x + 9) +
1
2
log
10
0,25 = 1 +
1
4
log
10
81 − log
10
(x + 2) .
2. 3 pt. Poda´c definicje
,
kosinusa, sinusa i tangensa dowolnego ka
,
ta.
4 pt. Rozwia
,
za´c nier´owno´s´c 8 sin
4
t − 6 sin
2
t + 1 < 0 .
3 pt. Zilustrowa´c jej rozwia
,
zanie na okre
,
gu x
2
+ y
2
= 1 .
3. 10 pt. Obliczy´c pole obszaru ograniczonego przez proste x = 0 , x = 1 oraz wykresy funkcji
y = x · 2
x
, y =
x−1
x+1
.
4. Niech f (x) = x
2/3
(1 − x)
4/3
(x
2
+ 1)
−2/3
. Zachodza
,
wtedy r´owno´sci:
f
0
(x) =
2
3
(−1 + 3x + x
2
+ x
3
)x
−1/3
(1 − x)
1/3
(x
2
+ 1)
−5/3
,
f
00
(x) = −
2
9
(1 + 6x + 7x
2
− 32x
3
+ 7x
4
+ 2x
5
+ x
6
)x
−4/3
(1 − x)
−2/3
(x
2
+ 1)
−8/3
.
Wielomian −1 + 3x + x
2
+ x
3
ma jeden pierwiastek: x
1
≈ 0,3 , jest on pojedynczy, a wielomian
1 + 6x + 7x
2
− 32x
3
+ 7x
4
+ 2x
5
+ x
6
ma dwa pierwiastki: x
2
≈ 0,69 i x
3
≈ 1,86 , oba pojedyncze.
2 pt. Rozstrzygna
,
´c, czy istnieje f
0
(0) . Je´sli istnieje, obliczy´c ja
,
.
1 pt. Rozstrzygna
,
´c, czy istnieje f
00
(1) . Je´sli istnieje, obliczy´c ja
,
.
2 pt. Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje oraz te, na kt´orych ro´snie.
2 pt. Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la oraz te, na kt´orych jest wkle
,
s la.
3 pt. Naszkicowa´c wykres funkcji f korzystaja
,
c z uzyskanych informacji.
5. (10 pt.) Znale´z´c granice
,
lim
x→0
ln(1 − x
2
) · (sin x − x) · cos(sin(x
2
)) · (
√
36 + x − 6)
tg
2
x · (
√
1 − x
2
− cos x) · 2
cos(3x)−tg x
.
6. Niech A = (0, 0, 3) , B = (1, 0, 1) , v = [2, 1, 2] , w = [0, 1, 1] .
2 pt. Znale´z´c iloczyn v × w .
2 pt. Znale´z´c r´ownania p laszczyzn π
A
i π
B
przechodza
,
cych odpowiednio przez punkty A i B
r´ownoleg lych do obu wektor´ow v, w .
2 pt. Obliczy´c kosinus ka
,
ta mie
,
dzy wektorami w × v i [0, 0, 1]
2 pt. Obliczy´c odleg lo´s´c p laszczyzny π
A
od p laszczyzny π
B
.
1 pt. Znale´z´c zbi´or z lo˙zony ze wszystkich punkt´ow wsp´olnych prostej `
A
przechodza
,
cej przez
punkt A i r´ownoleg lej do wektora v oraz prostej `
B
przechodza
,
cej przez punkt B i r´ow-
noleg lej do wektora w .
1 pt. Znale´z´c najmniejsza
,
z liczb kX − Y k , gdzie X ∈ `
A
, Y ∈ `
B
.
Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie
,
mo˙ze przyda´c): (1 + x)
a
= 1 + ax +
a
2
x
2
+
a
3
x
3
+ · · · =
P
∞
n=0
a
n
x
n
,
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
+ · · · =
P
∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n+1)!
,
cos x
0
= − sin x ,
tg x = x +
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+ · · · ,
ln(1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+ . . . .