Matematyka A, egzamin poprawkowy, 31 stycznia 2012, 13:05 – 16:00

Rozwia

,

zania kolejnych zada´

n nale˙zy pisa´c na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´sli kto´s ma, musi wy la

,

czy´

c i schowa´

c! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zo-

sta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. 3 pt. Zdefiniowa´c log

d

b pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o d i b .

7 pt. Rozwia

,

za´c r´ownanie log

10

(x − 2) + log

10

(x + 9) +

1
2

log

10

0,25 = 1 +

1
4

log

10

81 − log

10

(x + 2) .

2. 3 pt. Poda´c definicje

,

kosinusa, sinusa i tangensa dowolnego ka

,

ta.

4 pt. Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c 8 sin

4

t − 6 sin

2

t + 1 < 0 .

3 pt. Zilustrowa´c jej rozwia

,

zanie na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3. 10 pt. Obliczy´c pole obszaru ograniczonego przez proste x = 0 , x = 1 oraz wykresy funkcji

y = x · 2

x

, y =

x−1
x+1

.

4. Niech f (x) = x

2/3

(1 − x)

4/3

(x

2

+ 1)

−2/3

. Zachodza

,

wtedy r´owno´sci:

f

0

(x) =

2
3

(−1 + 3x + x

2

+ x

3

)x

−1/3

(1 − x)

1/3

(x

2

+ 1)

−5/3

,

f

00

(x) = −

2
9

(1 + 6x + 7x

2

− 32x

3

+ 7x

4

+ 2x

5

+ x

6

)x

−4/3

(1 − x)

−2/3

(x

2

+ 1)

−8/3

.

Wielomian −1 + 3x + x

2

+ x

3

ma jeden pierwiastek: x

1

≈ 0,3 , jest on pojedynczy, a wielomian

1 + 6x + 7x

2

− 32x

3

+ 7x

4

+ 2x

5

+ x

6

ma dwa pierwiastki: x

2

≈ 0,69 i x

3

≈ 1,86 , oba pojedyncze.

2 pt. Rozstrzygna

,

´c, czy istnieje f

0

(0) . Je´sli istnieje, obliczy´c ja

,

.

1 pt. Rozstrzygna

,

´c, czy istnieje f

00

(1) . Je´sli istnieje, obliczy´c ja

,

.

2 pt. Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje oraz te, na kt´orych ro´snie.
2 pt. Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la oraz te, na kt´orych jest wkle

,

s la.

3 pt. Naszkicowa´c wykres funkcji f korzystaja

,

c z uzyskanych informacji.

5. (10 pt.) Znale´z´c granice

,

lim

x→0

ln(1 − x

2

) · (sin x − x) · cos(sin(x

2

)) · (

√

36 + x − 6)

tg

2

x · (

√

1 − x

2

− cos x) · 2

cos(3x)−tg x

.

6. Niech A = (0, 0, 3) , B = (1, 0, 1) , v = [2, 1, 2] , w = [0, 1, 1] .

2 pt. Znale´z´c iloczyn v × w .
2 pt. Znale´z´c r´ownania p laszczyzn π

A

i π

B

przechodza

,

cych odpowiednio przez punkty A i B

r´ownoleg lych do obu wektor´ow v, w .

2 pt. Obliczy´c kosinus ka

,

ta mie

,

dzy wektorami w × v i [0, 0, 1]

2 pt. Obliczy´c odleg lo´s´c p laszczyzny π

A

od p laszczyzny π

B

.

1 pt. Znale´z´c zbi´or z lo˙zony ze wszystkich punkt´ow wsp´olnych prostej `

A

przechodza

,

cej przez

punkt A i r´ownoleg lej do wektora v oraz prostej `

B

przechodza

,

cej przez punkt B i r´ow-

noleg lej do wektora w .

1 pt. Znale´z´c najmniejsza

,

z liczb kX − Y k , gdzie X ∈ `

A

, Y ∈ `

B

.

Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie

,

mo˙ze przyda´c): (1 + x)

a

= 1 + ax +

a
2

x

2

+

a
3

x

3

+ · · · =

P

∞
n=0

a

n

x

n

,

sin x = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+ · · · =

P

∞
n=0

(−1)

n x

2n+1

(2n+1)!

,

cos x

0

= − sin x ,

tg x = x +

1
3

x

3

+

2

15

x

5

+

17

315

x

7

+ · · · ,

ln(1 + x) = x −

x

2

2

+

x

3

3

−

x

4

4

+ . . . .