Niezwykle szczególna teoria względności Dragan

Niezwykle szczególna teoria wzgl˛edno´sci

Andrzej Dragan

ST ˛

iniejszy skrypt został przygotowany i udost˛epniony z my´sl ˛

a o studentach ucz˛eszczaj ˛

acych

na wykład ze szczególnej teorii wzgl˛edno´sci, który prowadziłem po raz pierwszy w 2001 roku

Szkole Nauk ´Scisłych Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszy´nskiego, a w kolejnych latach na

Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Pisany był jednak z nadziej ˛

a, ˙ze b˛edzie przy-

datny równie˙z wszystkim zainteresowanym samodzielnym studiowaniem podstaw teorii wzgl˛ed-

no´sci.

Szczególny nacisk podczas przygotowywania skryptu poło˙zony został na ograniczenie do ab-

solutnego minimum aparatu matematycznego potrzebnego do zapoznania si˛e z wyło˙zonym ma-

teriałem. Z wyj ˛

atkiem rozdziału 8 zawieraj ˛

acego rozwa˙zania dotycz ˛

ace elektrodynamiki klasy-

cznej, strona matematyczna prowadzonego wykładu nie wykracza stopniem trudno´sci poza el-

ementarne przekształcenia algebraiczne. W fachowej literaturze dotycz ˛

acej przedstawianych tu

zagadnie´n zawiło´sci analizy matematycznej przysłaniaj ˛

a cz˛esto spore i tak trudno´sci poj˛eciowe.

Niejednokrotnie natomiast zdarza si˛e, ˙ze rzeczy, których nie potrafimy wyja´sni´c własnej babci,

najcz˛e´sciej sami nie rozumiemy. Dlatego te˙z autor ma nadzieje, ˙ze niniejszy skrypt stanowi´c

b˛edzie po˙zyteczn ˛

a lektur˛e dla osób zapoznaj ˛

acych si˛e z teori ˛

a wzgl˛edno´sci po raz pierwszy,

a pozbawionych wiadomo´sci z zakresu matematyki wy˙zszej. Osoby zainteresowane bardziej

sformalizowanym i zmatematyzowanym podej´sciem, niew ˛

atpliwie ciekawym samym w sobie,

musz ˛

a si˛e niestety obej´s´c smakiem i si˛egn ˛

a´c po inn ˛

a pozycj˛e z bogatej literatury dotycz ˛

acej tego

tematu.

Zdaj˛e sobie spraw˛e z licznych pomyłek i nie´scisło´sci, które niechybnie zostały przeze mnie

popełnione i niedostrze˙zone, tym bardziej wdzi˛eczny b˛ed˛e za zwrócenie mi na nie uwagi przez

drogiego Czytelnika.

NDRZEJ

RAGAN

Spis tre´sci

RZ ˛

ESIENIE ZIEMI

1.1

RANSFORMACJA

ORENTZA

a’la M

INKOWSKI

. . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

ZASOPRZESTRZE ´

! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

RANSFORMACJA

ORENTZA JAKO OBRÓT

HIPERBOLICZNY

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

IC NIE MO ˙

ZE PORUSZA ´

C SI ˛

E SZYBCIEJ OD ´SWIATŁA

? . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1

YLEMAT

WROTNICZEGO I RELATYWISTYCZNA DEFINICJA RUCHU

. 14

1.4.2

AJKA O STU KRASNOLUDKACH

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3

ATARNIA MORSKA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5

ARADOKSY PRZYCZYNOWO

SKUTKOWE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6

NTERWAŁ CZASOPRZESTRZENNY

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Pytania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

INEMATYKA RELATYWISTYCZNA

2.1

IELOZNACZNA JEDNOCZESNO ´S ´

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2

YLATACJA CZASU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3

KRÓCENIE

ORENTZA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4

ARADOKS POCI ˛

AGU I DWORCA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5

ZY SKRÓCENIE

ORENTZA JEST RZECZYWISTE

. . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6

LEKTRYZUJ ˛

ACY PARADOKS ELEKTRYCZNY

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7

ARADOKS BLI ´

ZNI ˛

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.8

ARADOKS

OBERTA

ORZENIOWSKIEGO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Geometryczne podej´scie do transformacji Lorentza zostało przedstawione na przykład w referencji [1].

SPIS TRE ´

SCI

2.9

ELATYWISTYCZNE TRANSFORMACJE PR ˛

EDKO ´SCI

. . . . . . . . . . . . . . . 34

Pytania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

IESZTYWNA BRYŁA SZTYWNA

3.1

ACHANIE DŁUGIM KIJEM

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2

ARADOKS TYCZKARZA I STODOŁY

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3

ARADOKS DWÓCH KWADRATÓW

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4

ARADOKS KLOCKA I DZIURY W STOLE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5

API ˛

ECIA WEWN ˛

ETRZNE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Pytania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

ŁOPOTY Z TEORI ˛

A KWANTOW ˛

4.1

NTERFEROMETR

ACHA

-Z

EHNDERA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2

JAWISKO

EPR

I KWANTOWE ZACHWIANIE PRZYCZYNOWO ´SCI

. . . . . . . . 51

4.3

IERÓWNO ´SCI

ELLA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Pytania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

´S

WIATŁO

5.1

ELATYWISTYCZNY EFEKT

OPPLERA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2

FEKT

„

UNOSZENIA

”

´SWIATŁA W PORUSZAJ ˛

ACYM SI ˛

O ´SRODKU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.3

DBICIE ´SWIATŁA OD LUSTRA

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Pytania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

OZORNE DEFORMACJE RUCHOMYCH OBIEKTÓW

6.1

BRAZ PORUSZAJ ˛

ACEGO SI ˛

E OKR ˛

EGU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2

BRAZ PORUSZAJ ˛

ACEJ SI ˛

E KULI

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Pytania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Problem ten został przedstawiony w pracy [2].

Zagadnienie przedstawione w tym podrozdziale pochodzi z pracy [5].

SPIS TRE ´

SCI

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

YNAMIKA RELATYWISTYCZNA

7.1

ZTEROWEKTORY

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2

ZTEROP ˛

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.3

E = mc

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.4

ELATYWISTYCZNA SIŁA I

II P

RAWO

EWTONA

. . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.5

ZTEROPRZYSPIESZENIE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.6

UCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Pytania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

LEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

8.1

RELUDIUM

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.2

OTENCJAŁ PORUSZAJ ˛

ACEGO SI ˛

E ŁADUNKU

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.3

POSZUKIWANIU KOLEJNYCH CZTEROWEKTORÓW

. . . . . . . . . . . . . . 92

8.3.1

ZTEROGRADIENT

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.3.2

ZTEROPR ˛

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.3.3

ZTEROPOTENCJAŁ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.4

RANSFORMACJE PÓL

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.5

ELATYWISTYCZNA SIŁA

ORENTZA I ŁAMANIE

III

ZASADY

EWTONA

. . . 99

Pytania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

IESPODZIANKA

103

9.1

K ˛

AD SI ˛

E BIERZE TRANSFORMACJA

ORENTZA

. . . . . . . . . . . . . . . 103

Pytania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

IBLIOGRAFIA

109

Pomysł wyprowadzenia transformacji Lorentza przedstawion ˛

a metod ˛

a został omówiony w referencjach [8].

SPIS TRE ´

SCI

Rozdział 1

RZ ˛

ESIENIE ZIEMI

zy zastanawiali´scie si˛e kiedy´s w jaki sposób wytłumaczy´c osobie niewidomej od urodzenia, ˙ze

odległe przedmioty „s ˛

a” mniejsze od przedmiotów znajduj ˛

acych si˛e blisko? Przed nami podobne

zadanie. Ju˙z pod koniec pierwszego podrozdziału stanie si˛e jasne dlaczego. Oka˙ze si˛e zreszt ˛

˙ze sami wyst ˛

apimy w roli osób niewidomych od urodzenia, którym rzeczywisto´s´c (jednak nie

do´swiadczana na codzie´n) wydaje si˛e niewiarygodna i niewyobra˙zalna.

1.1

RANSFORMACJA

ORENTZA

a’la M

INKOWSKI

unktem wyj´scia w naszym rozumowaniu b˛edzie przedziwny fakt, który znamy z do´swiad-

czenia: ´swiatło w pró˙zni zawsze porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a c. Co rozumiemy przez „zawsze”?

Chodzi tu o propagacj˛e we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Na przykład ´swiatło

opuszczaj ˛

ace reflektory jad ˛

acego szybko samochodu oddala si˛e od kierowcy z pr˛edko´sci ˛

a c. Ale

z t ˛

a sam ˛

a pr˛edko´sci ˛

a zbli˙za si˛e ono do stoj ˛

acego na chodniku pieszego, niezale˙znie od wzgl˛ed-

nego ruchu samochodu i pieszego. Fakt ten jest niezwykle osobliwy, gdy˙z wydawa´c by si˛e

mogło, ˙ze ´swiatło powinno zbli˙za´c si˛e do pieszego z pr˛edko´sci ˛

a równ ˛

a c + V , gdzie V jest pr˛ed-

ko´sci ˛

a samochodu. Tak jednak nie jest. Oznacza to, ˙ze je´sli ´swiatło w pewnej chwili t

opu´sciło

punkt o współrz˛ednych (x

, y

, z

), a w chwili t

dotarło do punktu (x

, y

, z

), to zawsze, czyli

niezale˙znie od przyj˛etego inercjalnego układu odniesienia, ani pr˛edko´sci ´zródła spełnione jest

nast˛epuj ˛

ace równanie:

Geometryczne podej´scie do transformacji Lorentza zostało przedstawione na przykład w referencji [1].

ROZDZIAŁ 1.

TRZ ˛

ESIENIE ZIEMI

− x

)

+ (y

− y

)

+ (z

− z

)

= c(t

− t

(1.1)

Jest to po prostu równanie: (droga) = (pr˛edko´s´c)×(czas) i pr˛edko´s´c c jest we wszystkich układach

jednakowa.

Rozwa˙zmy teraz proces polegaj ˛

acy na emisji i absorbcji impulsu ´swietlnego w dwóch kole-

jnych chwilach czasu w ró˙znych punktach. B˛edziemy bada´c nast˛epuj ˛

acy problem: czym b˛ed ˛

ró˙zni´c si˛e obserwacje dokonywane przez osob˛e stoj ˛

ac ˛

a w pobli˙zu od obserwacji osoby prze-

je˙zd˙zaj ˛

acej samochodem. W szczególno´sci, interesowa´c nas b˛edzie pytanie czy chwile emisji i

absorbcji impulsu w obu rozwa˙zanych układach b˛ed ˛

a jednakowe. Współrz˛edne i czas obserwa-

tora stoj ˛

acego na chodniku oznaczymy jak w poprzednim wzorze, a współrz˛edne osoby jad ˛

acej

samochodem b˛ed ˛

a tradycyjnie „primowane” - rysunek 1.1.

Rysunek 1.1:

Dwa układy współrz ˛ednych poruszaj ˛

ace si ˛e wzgl ˛edem siebie z pr ˛edko´sci ˛

wzdłu˙z osi

Pocz ˛

atki układów pokrywały si ˛e w chwili

t = t

= 0

. Przyj ˛eta notacja (zmienne primowane i nieprimowane)

b ˛edzie stosowana w całym wykładzie, chyba ˙ze zostanie wyra´znie powiedziane ˙ze jest inaczej.

Poniewa˙z obydwaj obserwatorzy potwierdz ˛

a poprawno´s´c równania (1.1) w swoich układach

odniesienia, to musi zachodzi´c nast˛epuj ˛

aca równo´s´c:

0 = c

∆t

− ∆x

− ∆y

− ∆z

= c

∆t

− ∆x

− ∆y

− ∆z

(1.2)

Zastosujmy teraz pro´sciutkie podstawienie: τ = ict, czyli wprowad´zmy tajemniczy „czas uro-

jony” (pami˛etaj ˛

ac, by nie przesadza´c z wyobra´zni ˛

a). Przepisuj ˛

ac poprzedni wzór otrzymujemy:

1.1.

TRANSFORMACJA LORENTZA A’LA MINKOWSKI

∆τ

+ ∆x

+ ∆y

+ ∆z

= ∆τ

+ ∆x

+ ∆y

+ ∆z

(1.3)

Wyra˙zenie (1.3) wygl ˛

ada jak równo´s´c dwóch odległo´sci w jakiej´s abstrakcyjnej, czterowymia-

rowej przestrzeni. Porzu´cmy na razie kwesti˛e interpretacji fizycznej tej przestrzeni i zastanów-

my si˛e nad stron ˛

a czysto matematyczn ˛

a. Mamy do czynienia z dwoma czterowymiarowymi

układami współrz˛ednych, pomi˛edzy którymi istnieje jaka´s transformacja zachowuj ˛

aca odległo´sci

pomi˛edzy punktami. Przykładem takiej transformacji mo˙ze by´c lustrzane odbicie albo zmiana

kierunku upływu czasu. Je´sli oba układy ró˙zniłyby si˛e wył ˛

acznie znakiem jednej ze współrz˛ed-

nych, oczywi´scie odległo´sci mi˛edzy dowolnymi dwoma punktami byłyby jednakowe w obu tych

układach, zgodnie ze wzorem (1.3). Inn ˛

a prost ˛

a transformacj ˛

a, która nie zmienia odległo´sci

jest obrót. Obroty, odbicia, przesuni˛ecia oraz ich zło˙zenia, to jedyne transformacje liniowe nie

zmieniaj ˛

ace odległo´sci pomi˛edzy dowolnymi punktami. Poniewa˙z rozwa˙zamy tu dwa porusza-

j ˛

ace si˛e wzgl˛edem siebie inercjalne układy odniesienia, interesuj ˛

a nas wył ˛

acznie takie trans-

formacje (współrz˛edne układów inercjalnych powinny transformowa´c si˛e liniowo - dyskusja

tego faktu odb˛edzie si˛e pó´zniej). Przej´scie do układu poruszaj ˛

acego si˛e nie wi ˛

a˙ze si˛e ani z

odbiciem współrz˛ednych przestrzennych, ani z odwróceniem biegu czasu, ani z przesuni˛eciem

współrz˛ednych, ani z przestrzennym obrotem, ani nawet ze zło˙zeniem tych wszystkich transfor-

macji. Zostaje nam tylko jedna mo˙zliwo´s´c: obrót w płaszczy´znie zawieraj ˛

acej „o´s czasu” τ oraz

jaki´s kierunek przestrzenny. Dla ustalenia uwagi przyj˛eli´smy, ˙ze samochód porusza si˛e wzgl˛e-

dem pieszego wzdłu˙z osi x, wi˛ec rozwa˙za´c b˛edziemy obrót w jedynej wyró˙znionej płaszczy´znie

(τ, x) - rysunek 1.2. Je´sli przyjmiemy, ˙ze w chwili t = t

= 0 pocz ˛

atki obu układów odniesienia

x’

Rysunek 1.2:

Obrót układu współrz ˛ednych w płaszczy´znie

(τ, x)

pokrywały si˛e, to transformacja b˛edzie miała ogóln ˛

a posta´c:

ROZDZIAŁ 1.

TRZ ˛

ESIENIE ZIEMI







= τ cos θ + x sin θ =

√

1+tg

x tg θ

√

1+tg

= x cos θ − τ sin θ =

√

1+tg

−

τ tg θ

√

1+tg

(1.4)

gdzie θ jest k ˛

atem obrotu. Przypomnijmy, ˙ze transformacja ta ma zamienia´c poło˙zenie i chwil˛e

emisji ´swiatła widzianego przez obserwatora stoj ˛

acego na chodniku na współrz˛edne i czas zmie-

rzone przez osob˛e jad ˛

ac ˛

a samochodem wzdłu˙z osi x z pr˛edko´sci ˛

a V . Poniewa˙z jednak współ-

rz˛edne wszystkich punktów musz ˛

a tak˙ze transformowa´c si˛e liniowo, to układ równa´n (1.4) musi

opisywa´c przekształcenie dowolnego punktu czterowymiarowej przestrzeni.

We wprowadzonych transformacjach wyst˛epuje nieznany k ˛

at θ. Domy´slamy si˛e, ˙ze musi

on jako´s zale˙ze´c od pr˛edko´sci V (wiemy na przykład, ˙ze dla V = 0, równie˙z θ = 0), no bo od

czegó˙z by innego? Aby wyznaczy´c t˛e zale˙zno´s´c rozwa˙zmy ruch pocz ˛

atku układu współrz˛ednych

zwi ˛

azanego z samochodem: x

= 0. Z perspektywy obserwatora stoj ˛

acego na chodniku, punkt

ten oddala si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V wzdłu˙z osi x. Korzystaj ˛

ac z drugiego z równa´n (1.4) dostajemy:

= 0 ⇒

x
τ

ict

V
ic

= tg θ.

(1.5)

Wstawiaj ˛

ac do równa´n (1.4) znalezion ˛

a warto´s´c tg θ, oraz powracaj ˛

ac do u˙zywania t zamiast τ

otrzymujemy znane wzory opisuj ˛

ace transformacj˛e Lorentza:







t−V x/c

√

1−V

x−V t

√

1−V

(1.6)

Wida´c, ˙ze transformacja zachowuje si˛e kulturalnie, dopóki rozwa˙zamy układy inercjalne porusza-

j ˛

ace si˛e z pr˛edko´sciami V < c. W przeciwnym wypadku pojawiaj ˛

a si˛e w niej liczby zespolone.

Transformacj˛e odwrotn ˛

a mo˙zemy znale´z´c na dwa sposoby: albo pomanipulowa´c równaniami

odwracaj ˛

ac zale˙zno´s´c, albo po prostu zamieni´c V na −V . Wynik oczywi´scie jest ten sam:







t =

+V x

√

1−V

x =

+V t

√

1−V

(1.7)

Czas teraz na nieco gł˛ebsze przemy´slenia. Przede wszystkim widzimy, ˙ze gdy c −→ ∞,

znalezione transformacje przechodz ˛

a w co´s, co nazywa si˛e cz˛esto „transformacjami Galileusza”:

1.2.

CZASOPRZESTRZE ´

(

= t

= x − V t.

(1.8)

W rzeczywisto´sci przed dokonaniem relatywistycznego przewrotu, nikt nie zapisywał tej trans-

formacji w powy˙zszy sposób. Nie uwa˙zano za konieczne rozwa˙zania czasu osobno w obu

układach współrz˛ednych. Czas rozumiano wył ˛

acznie jako pewien tajemniczy parametr nie zwi ˛

zany z przestrzeni ˛

a, a cała transformacja była „trywialna” (nikt nie nazwałby tego nawet trans-

formacj ˛

a). „Po prostu” x

= x − V t.

Podej´scie Minkowskiego ujawnia jednak, ˙ze czas przypomina jeden z wymiarów przestrzen-

nych. Niew ˛

atpliw ˛

a ró˙znic ˛

a, cho´c nie wiadomo czy jedyn ˛

a, jest czynnik i, który wprowadzili´smy,

by „ujednolici´c” obraz czterowymiarowej przestrzeni.

1.2

ZASOPRZESTRZE ´

ozwa˙zania z poprzedniego podrozdziału prowadz ˛

a do niezwykle ciekawego wniosku: czas i

przestrze´n nie mog ˛

a by´c traktowane niezale˙znie. Z tego powodu wprowadza si˛e w teorii wzgl˛ed-

no´sci koncepcj˛e czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Zrozumienie tego poj˛ecia pozwala oswoi´c

si˛e z przedziwnymi wnioskami z jakimi przyjdzie nam si˛e jeszcze zmierzy´c. Ró˙zne tempo up-

ływu czasu, fizyczna zmiana długo´sci poruszaj ˛

acych si˛e obiektów bez istnienia wewn˛etrznych

napi˛e´c w materiale - wszystko to staje si˛e niemal naturalne, gdy zdamy sobie spraw˛e, ˙ze prze-

j´scie do układu poruszaj ˛

acego si˛e odpowiada pewnemu obrotowi w czasoprzestrzeni. Pytania

typu „jaki jest naprawd˛e upływ czasu?” albo „jaka jest prawdziwa długo´s´c?” maj ˛

a taki sam

sens jak spieranie si˛e, jaki kolor ma sze´scian, którego ka˙zda ´sciana pomalowana jest inn ˛

a farb ˛

Dla osoby patrz ˛

acej z jednej strony sze´scian jest niebieski, dla innej - czerwony. Kto ma racj˛e?

Pytanie o racj˛e jest, jak widzimy ´zle postawione. Wystarczy obróci´c sze´scian i obserwatorzy

zmieniaj ˛

a zdanie. Podobnie jest z obserwacj ˛

a ´swiata z ró˙znych, poruszaj ˛

acych si˛e wzgl˛edem

siebie układów inercjalnych.

1.3

RANSFORMACJA

ORENTZA JAKO OBRÓT

HIPERBOLICZNY

auwa˙zyli´smy poprzednio, ˙ze zamieniaj ˛

ac czas rzeczywisty czasem urojonym, mo˙zemy odgad-

ROZDZIAŁ 1.

TRZ ˛

ESIENIE ZIEMI

n ˛

a´c, ˙ze transformacja Lorentza jest obrotem w „urojonej” czasoprzestrzeni. Spróbujemy teraz

stwierdzi´c jaka jest interpretacja geometryczna tej transformacji w „zwykłej”, rzeczywistej cza-

soprzestrzeni. Zapiszmy równania (1.4) przy u˙zyciu czasu rzeczywistego:

(

ict

= ict cos θ + x sin θ

= x cos θ − ict sin θ.

(1.9)

Aby pozby´c si˛e z transformacji liczb urojonych skorzystamy z elementarnych to˙zsamo´sci alge-

braicznych ł ˛

acz ˛

acych funkcje trygonometryczne z ich hiperbolicznymi odpowiednikami:

sin θ = −i sinh iθ

cos θ = cosh iθ.

(1.10)

Wstawiaj ˛

ac je do równa´n (1.9) i podstawiaj ˛

ac ϑ = iθ otrzymujemy:

(

= ct cosh ϑ − x sinh ϑ

= x cosh ϑ − ct sinh ϑ.

(1.11)

Graficzna interpretacja transformacji Lorentza (1.11) znajduje si˛e na rysunku (1.3) przedsta-

wiaj ˛

acym osie dwóch układów inercjalnych poruszaj ˛

acych si˛e wzgl˛edem siebie. Równania osi

Rysunek 1.3:

Osie czasoprzestrzenne dwóch układów inercjalnych

W teorii wzgl˛edno´sci cz˛esto u˙zywa si˛e tego typu rysunków do opisu ró˙znych sytuacji. Nie robi si˛e tego nato-

miast w zasadzie nigdy w teorii Newtona. Jako ´cwiczenie warto si˛e zastanowi´c w jaki sposób wygl ˛

adałby rysunek

1.3 w wersji nierelatywistycznej. Wynik jest zaskakuj ˛

acy!

1.3.

TRANSFORMACJA LORENTZA JAKO OBRÓT

HIPERBOLICZNY

układu primowanego mo˙zemy wyznaczy´c korzystaj ˛

ac z transformacji Lorentza (1.11). O´s czasu

jest wyznaczona równaniem x

= 0, natomiast o´s przestrzenna jest zadana przez ct

= 0. Otrzy-

mujemy st ˛

ad, ˙ze tg φ = tgh ϑ = V /c, gdzie φ jest k ˛

atem wzgl˛ednego nachylenia osi obu układów

(rysunek 1.3). Wida´c, ˙ze osie układów, których pr˛edko´s´c d ˛

a˙zy do c b˛ed ˛

a zbli˙za´c si˛e do przery-

wanej linii. Tory „pod´swietlnych” cz ˛

astek rozpoczynaj ˛

acych swój ruch w x = x

= 0 musz ˛

znajdowa´c si˛e wewn ˛

atrz pionowego „sto˙zka” ograniczonego przerywan ˛

a lini ˛

a. Poniewa˙z brzeg

sto˙zka we wszystkich układach zadany jest tym samym równaniem, to cz ˛

astka, której pr˛edko´s´c

jest mniejsza od c w jednym układzie, b˛edzie równie˙z mniejsza od c w ka˙zdym innym układzie

inercjalnym.

Poprzez bezpo´srednie podstawienie wzorów (1.11), mo˙zemy sprawdzi´c, ˙ze zachodzi:

− x

= c

− x

(1.12)

co wraz z uzupełnieniem transformacji współrz˛ednych o warunki y

= y oraz z

= z daje

równo´s´c (1.2) od której rozpocz˛eli´smy nasze rozwa˙zania. Znalezione przez nas przekształce-

nie (1.11) jest hiperbolicznym obrotem, który odpowiada zwykłemu obrotowi, ale w przestrzeni

w której długo´s´c wektora nie jest sum ˛

a lecz ró˙znic ˛

a kwadratów poszczególnych składowych. W

tym sensie czasoprzestrze´n nie jest zwykł ˛

a, euklidesow ˛

a przestrzeni ˛

a, bo kwadrat długo´sci jest

w niej zdefiniowany jak w równaniu (1.2). Posiada ona jednak trójwymiarow ˛

a i euklidesow ˛

podprzestrze´n.

Zauwa˙zyli´smy, ˙ze wyra˙zenie:

∆s

= c

∆t

− ∆x

− ∆y

− ∆z

(1.13)

nie zmienia si˛e pod wpływem transformacji Lorentza, podobnie jak długo´s´c wektora w dowolnej

euklidesowej przestrzeni nie zmienia si˛e pod wpływem obrotów. Z tego powodu wielko´s´c ∆s

odgrywa bardzo wa˙zn ˛

a rol˛e w teorii wzgl˛edno´sci - nazywa si˛e j ˛

a interwałem czasoprzestrzennym

„pomi˛edzy” dwoma zdarzeniami oddzielonymi w czasie o ∆t, a w przestrzeni o ∆x, ∆y i ∆z.

Na przykład interwał czasoprzestrzenny pomi˛edzy zdarzeniami w których został wyemitowany,

a nast˛epnie pochłoni˛ety impuls ´swiatła zawsze wynosi zero (1.2).

Nasze rozwa˙zania obrotów w czasoprzestrzeni brzmi ˛

a niezwykle. Dlaczego jednak jad ˛

autobusem nie doznajemy owych „hiperbolicznych obrotów” i wszystko wygl ˛

ada zupełnie „zwy-

czajnie”? Poniewa˙z parametr ϑ wyst˛epuj ˛

acy w przekształceniu (1.11) ϑ = atgh V /c mo˙zemy

ROZDZIAŁ 1.

TRZ ˛

ESIENIE ZIEMI

zazwyczaj (dla niewielkich pr˛edko´sci) przybli˙zy´c przez ϑ ≈ V /c, to powy˙zsza transformacja

uzyskuje przybli˙zon ˛

a posta´c:

(

≈ ct − xϑ

≈ x − ctϑ.

(1.14)

Wida´c, ˙ze z pierwszego równania zostaje w przybli˙zeniu t

≈ t, a z drugiego x

≈ x − V t, czyli

transformacja Galileusza, do której jeste´smy przyzwyczajeni.

1.4

IC NIE MO ˙

ZE PORUSZA ´

C SI ˛

E SZYBCIEJ OD ´SWIATŁA

ówi si˛e cz˛esto, ˙ze „nic nie mo˙ze porusza´c si˛e szybciej od ´swiatła”, czyli wszystko porusza si˛e

od niego wolniej. Bez uprzedniego ustalenia co rozumiemy przez wszystko oraz przez porusza

si˛e, stwierdzenie to mo˙ze doprowadzi´c do wielu nieporozumie´n, co ilustruj ˛

a poni˙zsze (kontr)przy-

kłady.

1.4.1

YLEMAT

WROTNICZEGO I RELATYWISTYCZNA DEFINICJA RUCHU

ewien Zwrotniczy obserwował kiedy´s dwa poci ˛

agi zbli˙zaj ˛

ace si˛e do siebie z ogromn ˛

a pr˛ed-

ko´sci ˛

a - rysunek 1.4. Jeden z poci ˛

agów poruszał si˛e wzgl˛edem niego z pr˛edko´sci ˛

a 0.9c, a drugi

Rysunek 1.4:

Z jak ˛

a pr ˛edko´sci ˛

a poci ˛

agi zbli˙zaj ˛

a si ˛e do siebie według Zwrotniczego?

z pr˛edko´sci ˛

a −0.9c. Zwrotniczego zaintrygowało nast˛epuj ˛

ace pytanie: z jak ˛

a pr˛edko´sci ˛

a z jego

punktu widzenia, poci ˛

agi zbli˙zaj ˛

a si˛e do siebie? Stosuj ˛

ac bezmy´slnie regułk˛e „nic nie mo˙ze

porusza´c si˛e szybciej od ´swiatła” powiedzieliby´smy, ˙ze pr˛edko´sci w jaki´s dziwny sposób musz ˛

si˛e doda´c tak, ˙zeby wyszło co´s mniejszego od c. Otó˙z nie! Je˙zeli zdefiniujemy pr˛edko´s´c zbli˙za-

nia si˛e jako zmian˛e odległo´sci mi˛edzy poci ˛

agami w czasie, to nie mo˙ze wyj´s´c nic innego ni˙z

1.8c! Natomiast, gdyby´smy zapytali jednego z maszynistów, z jak ˛

a pr˛edko´sci ˛

a zbli˙za si˛e do

1.4.

NIC NIE MO ˙

ZE PORUSZA ´

C SI ˛

E SZYBCIEJ OD ´SWIATŁA?

niego drugi poci ˛

ag, bez w ˛

atpienia poda on pr˛edko´s´c mniejsz ˛

a ni˙z c - o tym b˛edzie mowa pó´zniej.

Chc ˛

ac u˙zywa´c powiedzonka „nic nie mo˙ze porusza´c si˛e szybciej od ´swiatła” musimy przede

wszystkim pami˛eta´c, ˙ze „porusza´c si˛e” oznacza tu „porusza´c si˛e wzgl˛edem mnie”. W teorii

wzgl˛edno´sci przez ruch rozumie si˛e zazwyczaj ruch wzgl˛edem ustalonego obserwatora, a nie jak

w przytoczonej sytuacji ruch wzgl˛edny dwóch obiektów z punktu widzenia osoby trzeciej. Jed-

nak, jak wynika z kolejnych przykładów, stwierdzenie, ˙ze nic nie porusza si˛e szybciej od ´swiatła

wymaga dalszego doprecyzowania.

1.4.2

AJKA O STU KRASNOLUDKACH

a przyj˛ecie urodzinowe Królewny ´Snie˙zki przyszło sto krasnoludków z całego lasu. Postanow-

iły one zrobi´c Królewnie przyjemno´s´c i na jej cze´s´c wykona´c „meksyka´nsk ˛

a fal˛e”, któr ˛

a widzia-

ły w telewizji podczas transmisji meczu. Poniewa˙z wszystkie krasnoludki dostały kiedy´s od

Królewny w prezencie po zegarku, postanowiły u˙zy´c ich do wykonania fali. Krasnoludki zsyn-

chronizowały swoje wspaniałe zegarki i ustawiły si˛e w szeregu w równych odst˛epach. Nast˛epnie

ka˙zdy krasnoludek podskoczył o ustalonej wcze´sniej godzinie, przy czym pierwszy z brzegu

podskoczył punktualnie o 12.00, nast˛epny sekund˛e po dwunastej, kolejny dwie sekundy po dwu-

nastej itd. Krasnoludki nie zwracały uwagi na stoj ˛

acych obok kompanów, tylko uwa˙znie patrzyły

na swoje zegarki i o umówionej godzinie podskakiwały. Zastanówmy si˛e teraz czy co´s ogranicza

pr˛edko´s´c takiej poprzecznej fali? Oczywi´scie nie! Krasnoludki mog ˛

a sta´c w dowolnie du˙zych

odległo´sciach, a ustalone odst˛epy czasu pomi˛edzy kolejnymi podskokami mog ˛

a by´c dowolnie

krótkie. W szczególno´sci, taka fala mo˙ze porusza´c si˛e szybciej od ´swiatła (gdyby wszystkie

krasnoludki podskoczyły jednocze´snie, powiedzieliby´smy, ˙ze fala porusza si˛e niesko´nczenie

szybko)! Sytuacja ta nie byłaby natomiast mo˙zliwa gdyby krasnoludki podskakiwały dopiero

w momencie gdy zobacz ˛

a, ˙ze kolega obok wła´snie podskoczył.

1.4.3

ATARNIA MORSKA

ydawałoby si˛e, ˙ze przynajmniej ´swiatło w pró˙zni powinno porusza´c si˛e z pr˛edko´sci ˛

a ´swiatła,

prawda? Przeanalizujmy nast˛epuj ˛

ac ˛

a sytuacj˛e: Na ´srodku okr ˛

agłej wyspy stoi latarnia morska,

której kopuła obraca si˛e, regularnie „przemiataj ˛

ac” wyrzucanym ´swiatłem pełny k ˛

at. Wyobra´zmy

sobie teraz, ˙ze wzdłu˙z całego brzegu wyspy został rozstawiony wysoki parawan, po którym

dookoła porusza si˛e plama ´swiatła z latarni. Jaka jest dopuszczalna pr˛edko´s´c tej plamy? Czy jest

to pr˛edko´s´c ´swiatła? Nic podobnego! ´Swiatło to mo˙ze porusza´c si˛e wzdłu˙z parawanu dowolnie

ROZDZIAŁ 1.

TRZ ˛

ESIENIE ZIEMI

szybko. Tym razem odpowied´z na pytanie jak to mo˙zliwe pozostawiamy Czytelnikowi.

Co w takim razie oznacza stwierdzenie, ˙ze nic nie mo˙ze porusza´c si˛e szybciej od ´swiatła?

Nasze w ˛

atpliwo´sci rozwieje chwilowo kolejny podrozdział.

1.5

ARADOKSY PRZYCZYNOWO

SKUTKOWE

yobra´zmy sobie, ˙ze co´s porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a wi˛eksz ˛

a ni˙z c pomi˛edzy punktami A i B

wzdłu˙z pewnej trajektorii - rysunek 1.5 (trajektori˛e w czasoprzestrzeni nazywa si˛e lini ˛

a ´swiata

poruszaj ˛

acego si˛e obiektu). Mo˙ze to by´c meksyka´nska fala krasnoludków, plama ´swiatła latarni

morskiej, statek kosmiczny, cokolwiek. Z rysunku wida´c, ˙ze w układzie nieprimowanym porusza-

j ˛

acy si˛e obiekt był w punkcie A wcze´sniej ni˙z w punkcie B. Jednak˙ze je´sli linia ´swiata znaj-

duje si˛e poza obszarem dozwolonym dla obiektów poruszaj ˛

acych si˛e wolniej ni˙z c (kropkowany

sto˙zek), istniej ˛

a układy inercjalne w których zdarzenie w punkcie A nast ˛

api pó´zniej ni˙z zdarze-

nie w punkcie B. To znaczy, je´sli co´s porusza si˛e pomi˛edzy dwoma punktami A i B szybciej ni˙z

´swiatło, to w jednych układach odniesienia wida´c b˛edzie ruch z A do B, a w innych z B do A, jak

gdyby czas płyn ˛

ał wstecz. Na przykład je´sli meksyka´nska fala krasnoludków według Królewny

´Snie˙zki porusza si˛e w prawo, to dla przelatuj ˛acej na miotle Baby Jagi fala mo˙ze porusza´c si˛e w

lewo. Primowany układ Baby Jagi przedstawiono wła´snie na rysunku 1.5.

Rysunek 1.5:

Tor obiektu poruszaj ˛

acego si ˛e pomi ˛edzy punktami

z pr ˛edko´sci ˛

a ponad-

´swietln ˛

a. Kropkowane linie ograniczaj ˛

a obszar dozwolony dla obiektów poruszaj ˛

acych si ˛e z pr ˛edko´sciami

mniejszymi ni˙z

i zaczynaj ˛

acymi swój bieg w punkcie

. Linie przerywane rzutuj ˛

a punkty

na osie

czasu dwóch ró˙znych układów inercjalnych. Wida´c, ˙ze „kolejno´s´c nast ˛epstw” ulega odwróceniu.

Je˙zeli rozwa˙zanym, ponad´swietlnym obiektem jest na przykład statek kosmiczny, od razu

pojawia si˛e pewien paradoks: w jednych układach odniesienia załoga statku b˛edzie si˛e starze´c,

1.6.

INTERWAŁ CZASOPRZESTRZENNY

a w innych czas b˛edzie płyn ˛

a´c w odwrotn ˛

a stron˛e i załoga odmłodnieje. W drastycznej wer-

sji paradoksu w pewnych układach odniesienia kosmonauta mógłby najpierw umrze´c, a potem

si˛e urodzi´c. Poniewa˙z istnienie paradoksów tego typu nie mo˙ze by´c zaakceptowane, powszech-

nie twierdzi si˛e, ˙ze obiekty takie jak statek kosmiczny nie mog ˛

a porusza´c si˛e z pr˛edko´sciami

nad´swietlnymi. Przyjmuje si˛e, ˙ze nie mog ˛

a istnie´c ponad´swietlne sygnały nios ˛

ace jak ˛

akolwiek

informacj˛e, bo w pewnych układach odniesienia informacja mogłaby dotrze´c do odbiorcy zanim

została wysłana przez nadawc˛e. W szczególno´sci wolno nam z tego powodu rozwa˙za´c tylko

układy inercjalne poruszaj ˛

ace si˛e wzgl˛edem siebie z pr˛edko´sciami V < c. Okazuje si˛e jednak,

˙ze bardzo ciekawe i zupełnie nowe aspekty tego zagadnienia pojawiaj ˛

a si˛e wraz z mechanik ˛

kwantow ˛

a - b˛edzie o tym mowa pó´zniej. W ka˙zdym razie kwestia jest niezwykle delikatna, a na

pewno nie została dotychczas dobrze zrozumiana.

Zamian˛e kolejno´sci zdarze´n mo˙zna przeanalizowa´c przy pomocy wzorów transformacyjnych

(1.6). Niech zdarzenie A oznacza wysłanie pewnego sygnału, a B jego dotarcie do odbiorcy. Je´sli

w układzie nieprimowanym odległo´s´c przestrzenna pomi˛edzy A i B wynosi ∆x, a odst˛ep czasu

mi˛edzy nimi ∆t > 0, to w układzie primowanym odst˛ep czasu wyniesie:

∆t

∆t − V ∆x/c

1 − V

(1.15)

Przyjrzyjmy si˛e licznikowi tego wyra˙zenia: ∆t − V ∆x/c

. Jest on dodatni w ka˙zdym układzie

inercjalnym poruszaj ˛

acym si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V < c, o ile ∆x ≤ c∆t, czyli je˙zeli sygnał porusza

si˛e najwy˙zej z pr˛edko´sci ˛

a ´swiatła. Natomiast je´sli sygnał jest ponad´swietlny i ∆x > c∆t, to w

pewnych układach odniesienia ∆t

< 0. Oznacza to, ˙ze w tych układach sygnał propaguje si˛e

od odbiorcy do nadawcy. Powracamy zatem do wniosków wyci ˛

agni˛etych na podstawie analizy

rysunku 1.5.

1.6

NTERWAŁ CZASOPRZESTRZENNY

owrócimy teraz do poj˛ecia interwału czasoprzestrzennego. Zauwa˙zmy, ˙ze je˙zeli interwał ∆s

pomi˛edzy dwoma zdarzeniami jest ujemny, to zdarzenia te nie mog ˛

a by´c poł ˛

aczone ˙zadnym

pod´swietlnym sygnałem. Interwały ujemne nazywa si˛e „przestrzennymi”. Je˙zeli interwał jest

dodatni (interwał „czasowy”), to przesłanie pod´swietlnej informacji pomi˛edzy zdarzeniami jest

mo˙zliwe, natomiast je´sli wynosi on zero (interwał „zerowy”), to zdarzenia mog ˛

a zosta´c poł ˛

aczo-

ne tylko sygnałem poruszaj ˛

acym si˛e dokładnie z pr˛edko´sci ˛

a ´swiatła.

ROZDZIAŁ 1.

TRZ ˛

ESIENIE ZIEMI

Chcieliby´smy teraz omówi´c interesuj ˛

ac ˛

a wła´sciwo´s´c interwału czasoprzestrzennego od której

rozpocz˛eli´smy wykład. Wiemy, ˙ze pod wpływem transformacji Lorentza wyra˙zenie:

∆s

= c

∆t

− ∆x

− ∆y

− ∆z

(1.16)

nie zmienia swojej warto´sci przy zmianie układu odniesienia. Konsekwencje tego faktu s ˛

bardzo wa˙zne. Dzi˛eki niemu teoria wzgl˛edno´sci ma szans˛e w deterministyczny sposób opisy-

wa´c ´swiat. Wyobra´zmy sobie, ˙ze zdarzenie B oznacza wybuch bomby w pewnym miejscu i w

okre´slonej chwili. Je˙zeli bomba została uruchomiona zdalnym detonatorem umieszczonym w

innym punkcie przestrzeni i we wcze´sniejszej chwili A, to interwał czasoprzestrzenny pomi˛edzy

tymi dwoma zdarzeniami musi by´c czasowy lub zerowy. Z niezmienno´sci interwału wzgl˛edem

transformacji Lorentza wynika, ˙ze je˙zeli w pewnym układzie nast ˛

apił przyczynowo skutkowy

ci ˛

ag zdarze´n (czyli ci ˛

ag w którym zachodz ˛

ace zdarzenia wynikały ze zdarze´n wcze´sniejszych),

to kolejno´s´c tych zdarze´n w innych układach inercjalnych nie zmieni si˛e (czyli przyczynowo´s´c

b˛edzie zachowana). Je´sli bowiem w jednym układzie inercjalnym interwał mi˛edzy dwoma

zdarzeniami jest dodatni, to taki te˙z b˛edzie w dowolnym innym układzie. W naszym „bom-

bowym” przykładzie, detonator b˛edzie uruchamiany zanim wybuchnie bomba i odpowiednio

wcze´sniej we wszystkich mo˙zliwych układach inercjalnych.

Je˙zeli natomiast w pewnym układzie odniesienia dwa zdarzenia s ˛

a oddzielone interwałem

przestrzennym (czyli nie tworz ˛

a ci ˛

agu przyczynowo skutkowego), to b˛edzie tak równie˙z w

dowolnym innym układzie. Wynika to zreszt ˛

a bezpo´srednio z poprzedniego wniosku i odwracal-

no´sci transformacji Lorentza.

Jest teraz dobra okazja by wspomnie´c o bardzo wa˙znej zasadzie w teorii wzgl˛edno´sci. Za-

sadzie, z której dotychczas po cichu korzystali´smy nie b˛ed ˛

ac tego do ko´nca ´swiadomi. Brzmi

ona tak: ka˙zde zdarzenie widziane w jednym układzie inercjalnym, musi zachodzi´c równie˙z w

ka˙zdym innym inercjalnym układzie. Zatem nie da si˛e stwierdzi´c ˙ze układ inercjalny porusza si˛e

wzgl˛edem jakiegokolwiek wyró˙znionego ciała w inny sposób ni˙z poprzez obserwacj˛e ruchu tego

ciała. Wydaje si˛e oczywiste, prawda? Na przykład je´sli w jednym układzie wybuchła bomba, to

musi ona równie˙z wybuchn ˛

a´c w dowolnym (w szczególno´sci inercjalnym) układzie poruszaj ˛

cym si˛e. Zasada ta oznacza, ˙ze nie istnieje ˙zaden wyró˙zniony układ inercjalny i z tego powodu

nazywa si˛e j ˛

a czasem zasad ˛

a demokracji układów inercjalnych. Wkrótce przekonamy si˛e, ˙ze

mimo pozornej „trywialno´sci” tego faktu, płyn ˛

a z niego bardzo wa˙zne i nietrywialne wnioski.

1.6.

INTERWAŁ CZASOPRZESTRZENNY

Pytania

• Czy mog ˛

a istnie´c nieliniowe transformacje zachowuj ˛

ace stało´s´c pr˛edko´sci ´swiatła we wszys-

tkich układach inercjalnych?

• Czym mo˙zna uzasadni´c wprowadzenie nowego poj˛ecia czasoprzestrzeni?

• Jaka jest interpretacja geometryczna transformacji Lorentza?

• Czy i kiedy zło˙zenie dwóch transformacji Lorentza jest przemienne?

• Czy zło˙zenie transformacji Lorentza dla ruchu z pr˛edko´sci ˛

a V i transformacji dla ruchu z

pr˛edko´sci ˛

a −V wzdłu˙z tego samego kierunku jest identyczno´sci ˛

• Jak poprawnie u´sci´sli´c powszechnie u˙zywane sformułowanie mówi ˛

ace, ˙ze nic nie mo˙ze

porusza´c si˛e szybciej od ´swiatła?

• Jak ˛

a rol˛e w szczególnej teorii wzgl˛edno´sci odgrywa interwał czasoprzestrzenny?

• Dlaczego na rysunku 1.5 rzutowanie zdarze´n na o´s czasu dokonywane jest wzdłu˙z osi

przestrzennej, a nie prostopadle do osi czasu i analogicznie dla rzutowania na o´s przestrzenn ˛

• W jaki sposób mo˙zna łatwo wyprowadzi´c posta´c transformacji Lorentza współrz˛ednej cza-

sowej przy znajomo´sci transformacji współrz˛ednych przestrzennych?

Zadania

• Podaj transformacj˛e Lorentza do układu odniesienia poruszaj ˛

acego si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V

wzdłu˙z prostej le˙z ˛

acej w płaszczy´znie XY nachylonej pod k ˛

atem 45

◦

do osi X. W chwili

t = t

= 0 pocz ˛

atki obu układów inercjalnych pokrywały si˛e. Wskazówka: dogodnie

jest wyrazi´c transformacj˛e Lorentza dla dowolnie skierowanej pr˛edko´sci poprzez iloczyn

skalarny wektora poło˙zenia z wektorem pr˛edko´sci.

• Do milicjanta stoj ˛

acego po´srodku skrzy˙zowania zbli˙zaj ˛

a si˛e z jednakowymi pr˛edko´sciami

V = 0.9c dwa samochody: jeden od północy, a drugi od wschodu. Ze wzgl˛edu na awari˛e

sygnalizacji w chwili t = 0 dojdzie do zderzenia. Zanim dojdzie do wypadku, pomó˙z

milicjantowi odpowiedzie´c na nast˛epuj ˛

ace pytania: Z jak ˛

a pr˛edko´sci ˛

a z punktu widzenia

ROZDZIAŁ 1.

TRZ ˛

ESIENIE ZIEMI

milicjanta zbli˙zaj ˛

a si˛e do siebie samochody? Z jak ˛

a pr˛edko´sci ˛

a według jednego z kierow-

ców zbli˙za si˛e do niego drugi samochód? Czy w którym´s z wymienionych przypadków

milicjant powinien czu´c si˛e zaniepokojony przekroczeniem dozwolonej w obszarze zabu-

dowanym pr˛edko´sci c?

• Dla transformacji Galileusza narysuj osie współrz˛ednych czasoprzestrzennych obserwa-

tora poruszaj ˛

acego si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V wzdłu˙z osi X. Podaj k ˛

aty wzgl˛ednego nachylenia

osi jako funkcje wzgl˛ednej pr˛edko´sci. Uwzgl˛ednij relacje pomi˛edzy jednostkami na osi-

ach.

Rozdział 2

INEMATYKA RELATYWISTYCZNA

2.1

IELOZNACZNA JEDNOCZESNO ´S ´

wa jednoczesne zdarzenia zachodz ˛

ace w ró˙znych punktach przestrzeni (na przykład jedno-

czesne tupni˛ecie dwoma butami) s ˛

a oddzielone interwałem przestrzennym. Wiemy, ˙ze takie

zdarzenia nie mog ˛

a by´c poł ˛

aczone ci ˛

agiem przyczynowo skutkowym, bo mógłby poł ˛

aczy´c je

jedynie sygnał poruszaj ˛

acy si˛e niesko´nczenie szybko. Podobnie w ka˙zdym innym układzie

odniesienia interwał b˛edzie przestrzenny. Jednak˙ze ze zmian ˛

a układu odniesienia wi ˛

a˙ze si˛e

niezwykła konsekwencja: je˙zeli zdarzenia s ˛

a jednoczesne w jednym układzie, to w wi˛ekszo´sci

innych, poruszaj ˛

acych si˛e wzgl˛edem niego inercjalnych układów, zdarzenia te nie b˛ed ˛

a jed-

noczesne! Sprawd´zmy, ˙ze jest tak w rzeczywisto´sci. Rozwa˙zmy dwa jednoczesne (∆t = 0)

zdarzenia oddalone o ∆x. W układzie poruszaj ˛

acym si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V 6= 0 odst˛ep czasu

pomi˛edzy nimi odczytujemy ze wzorów (1.6):

∆t

∆t − V ∆x/c

1 − V

−V ∆x/c

1 − V

6= 0.

(2.1)

Oznacza to, ˙ze osoba przeje˙zd˙zaj ˛

aca w pobli˙zu poci ˛

agiem zaobserwuje, ˙ze najpierw tupn ˛

ał lewy,

a potem prawy but (lub odwrotnie). Jak to mo˙zliwe? Do podobnych wniosków dochodzili´smy

ju˙z w poprzednim rozdziale. Przypomnijmy sobie, ˙ze przej´scie do poruszaj ˛

acego si˛e układu

współrz˛ednych oznacza obserwacj˛e zjawisk z układu „obróconego” w czasoprzestrzeni. Na

tej samej zasadzie dwa ko´nce kija mog ˛

a by´c od jednego obserwatora równooddalone, ale od

drugiego, patrz ˛

acego z boku, ka˙zdy koniec znajdzie si˛e w innej odległo´sci - rysunek 2.1. Wida´c

st ˛

ad, ˙ze zadawanie pytania „czy zdarzenia s ˛

a naprawd˛e jednoczesne, czy nie?” nie ma sensu.

ROZDZIAŁ 2.

KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

Rysunek 2.1:

Dwa ko ´nce kija znajduj ˛

a si ˛e w jednakowych b ˛

ad´z ró˙znych odległo´sciach w zale˙zno´sci od

obserwatora. Na tej samej zasadzie dwa zdarzenia zachodz ˛

ace jednocze´snie dla jednego obserwatora

nie musz ˛

a by´c jednoczesne dla innego.

Podobnie bezsensowne jest zadawanie pytania czy ko´nce kija s ˛

a „naprawd˛e” równooddalone.

Oczywi´scie zale˙zy od kogo! Nie istnieje „bezwzgl˛edne równooddalenie” podobnie jak nie ist-

nieje „bezwzgl˛edna równoczasowo´s´c” czyli „bezwzgl˛edna jednoczesno´s´c”.

2.2

YLATACJA CZASU

nalogi˛e z kijem mo˙zemy nadal eksploatowa´c. Na przykład obserwator patrz ˛

acy na kij „pod

k ˛

atem” mo˙ze uzna´c, ˙ze kij jest krótszy, a patrz ˛

ac zupełnie z boku mo˙ze wr˛ecz stwierdzi´c, ˙ze

długo´s´c kija wynosi zero (oczywi´scie nasz idealny kij jest niesko´nczenie cienki ;-). Czy to

samo mo˙ze dotyczy´c równie˙z czasu? Okazuje si˛e, ˙ze tempo upływu czasu w ró˙znych układach

inercjalnych jest ró˙zne. Rzu´cmy okiem raz jeszcze na rysunek 1.5. S ˛

a na nim narysowane dwa

zdarzenia A i B zrzutowane na osie czasu dwóch układów inercjalnych. Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze

odst˛ep czasu na osi ct (czyli długo´s´c odcinka pomi˛edzy rzutami punktów A i B) jest inny ni˙z na

osi ct

. Aby jednak stwierdzi´c czy tempo upływu czasu zale˙zy od układu odniesienia musimy

przeanalizowa´c wskazania zegara umieszczonego nieruchomo w jednym z układów z punktu

widzenia drugiego układu.

Przeanalizujemy zmian˛e upływu czasu w sposób ilo´sciowy przy pomocy transformacji Lorentza.

Rozwa˙zmy zegar umieszczony w pocz ˛

atku x

= 0 układu inercjalnego poruszaj ˛

acego si˛e z pr˛ed-

ko´sci ˛

a V . Zegar odmierzył odst˛ep czasu ∆t

pomi˛edzy pewnymi dwoma zdarzeniami widzianymi

z punktu widzenia tego układu. Sprawd´zmy jakiemu odst˛epowi czasu ∆t odpowiada to w

układzie nieruchomym. Z transformacji (1.7) znajdujemy:

2.3.

SKRÓCENIE LORENTZA

∆t =

∆t

1 − V

(2.2)

czyli ∆t

< ∆t. Według obserwatora nieruchomego czas w poruszaj ˛

acym si˛e układzie płynie

wolniej! Chod´z wygl ˛

ada to dziwnie, taki sam wniosek musi wyci ˛

agn ˛

a´c „obserwator primowany”

na temat upływu czasu w układzie nieprimowanym. Ten pozornie paradoksalny fakt zostanie

jeszcze omówiony dalej.

2.3

KRÓCENIE

ORENTZA

odobnym do spowolnienia upływu czasu zjawiskiem jest skrócenie poruszaj ˛

acych si˛e obiek-

tów w kierunku ruchu. Je˙zeli udało nam si˛e przełkn ˛

a´c geometryczn ˛

a interpretacj˛e zmiany układu

odniesienia, spowolnienie upływu czasu, skrócenie obiektów w ruchu nie powinno nas ju˙z dzi-

wi´c. Ilo´sciowa analiza tego skrócenia jest podobna do rozumowania z poprzedniego podrozdzia-

łu. Wyobra´zmy sobie kij o długo´sci ∆x

, spoczywaj ˛

acy w primowanym układzie wzdłu˙z osi x

Jak wygl ˛

ada kij z punktu widzenia układu nieprimowanego (wzgl˛edem którego poprzedni układ

porusza si˛e tradycyjnie z pr˛edko´sci ˛

a V wzdłu˙z osi x)? To znaczy ile wynosi w tym układzie

długo´s´c kija ∆x? Znajdujemy j ˛

a bez problemu korzystaj ˛

ac z transformacji (1.6). W tym celu

musimy obliczy´c ró˙znic˛e współrz˛ednych ∆x w tej samej chwili w układzie nieprimowanym, wi˛ec

bierzemy ∆t = 0:

∆x = ∆x

1 − V

(2.3)

Jest to wła´snie słynne skrócenie Lorentza: im szybciej porusza si˛e kij, tym staje si˛e krótszy.

Chcieliby´smy teraz wyra´znie podkre´sli´c, dlaczego korzystali´smy z transformacji (1.6), a nie z

transformacji odwrotnej (1.7). Gdyby´smy skorzystali z tej drugiej bior ˛

ac ∆t

= 0, otrzymaliby´s-

my w wyniku raczej wydłu˙zenie, ni˙z skrócenie Lorentza. Otó˙z jest rzecz ˛

a niezwykle istotn ˛

a, ˙ze

mierz ˛

ac w wybranym układzie odniesienia jak ˛

a´s długo´s´c, czyli ró˙znic˛e współrz˛ednych dwóch

punktów, musimy zawsze oblicza´c odejmowane współrz˛edne w tej samej chwili czasu. Je˙zeli

mierzyliby´smy poło˙zenie ko´nców poruszaj ˛

acego si˛e kija w ró˙znych chwilach, kij w mi˛edzycza-

sie zd ˛

a˙zyłby si˛e troch˛e przesun ˛

a´c zafałszowuj ˛

ac wyniki naszych pomiarów. Dlatego wła´snie

musimy koniecznie przyj ˛

a´c, ˙ze poło˙zenie obu ko´nców obliczamy (lub mierzymy) jednocze´snie,

ROZDZIAŁ 2.

KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

czyli ∆t = 0, a nie ∆t

= 0. Poniewa˙z z pocz ˛

atku rozdziału wiemy, ˙ze poj˛ecie jednoczesno´sci

zale˙zy od układu odniesienia, oba podej´scia nie s ˛

a równowa˙zne.

Skrócenie o którym mówili´smy jest skróceniem w kierunku ruchu. Czy mo˙zliwe jest równie˙z

skrócenie w kierunku poprzecznym do kierunku ruchu? Załó˙zmy, ˙ze jest ono mo˙zliwe i przeana-

lizujmy nast˛epuj ˛

acy eksperyment my´slowy - rysunek 2.2. Rozwa˙zmy dwie identyczne, współ-

osiowe rury zbli˙zaj ˛

ace si˛e do siebie wzdłu˙z wspólnej osi symetrii. Je˙zeli podczas szybkiego

ruchu obiekty doznaj ˛

a skrócenia wzdłu˙z kierunku poprzecznego do pr˛edko´sci, to w układzie

zwi ˛

azanym z ka˙zd ˛

a z rur, druga b˛edzie zawsze w˛e˙zsza i przy odpowiednio du˙zej pr˛edko´sci

mo˙ze przelecie´c „na wylot”. Jest jasne, ˙ze to, która rura przeleci wewn ˛

atrz drugiej zale˙zy

od punktu widzenia. Zatem, je´sli jedn ˛

a z rur zast ˛

apimy wypełnionym w ´srodku walcem, to

w jednym układzie inercjalnym ciała bezpiecznie si˛e min ˛

a, a w drugim dojdzie do zderzenia.

Przykład ten ilustruje niemo˙zno´s´c istnienia skrócenia poprzecznego. Byłoby to niezgodne z za-

sad ˛

a demokracji: w ró˙znych układach odniesienia działyby si˛e ró˙zne rzeczy.

Rysunek 2.2:

Ruch wzgl ˛edny dwóch rur z hipotetycznym skróceniem poprzecznym. Widok z dwóch

układów odniesienia.

2.4

ARADOKS POCI ˛

AGU I DWORCA

e skróceniem Lorentza wi ˛

a˙ze si˛e wiele „paradoksów”. Naturalnie owe paradoksy nie s ˛

a wcale

„paradoksalne” w tym sensie, ˙ze rzekome sprzeczno´sci s ˛

a czysto pozorne i, w przeciwie´nstwie

2.5.

CZY SKRÓCENIE LORENTZA JEST RZECZYWISTE?

do problemów zwi ˛

azanych ze skróceniem poprzecznym, po krótkim namy´sle mo˙zna wskaza´c

przyczyn˛e zamieszania i rozwi ˛

aza´c paradoks.

Paradoks poci ˛

agu i dworca jest nast˛epuj ˛

acy: wzdłu˙z peronu szybko przeje˙zd˙za poci ˛

ag. Gdyby

poci ˛

ag si˛e zatrzymał, jego długo´s´c byłaby dokładnie równa długo´sci peronu. Poniewa˙z jednak

wagony poruszaj ˛

a si˛e bardzo szybko, pojawia si˛e skrócenie Lorentza i w pewnej chwili cały skład

poci ˛

agu znajduje si˛e „wewn ˛

atrz” peronu. Jednak˙ze z punktu widzenia pasa˙zerów to peron ulega

skróceniu i w ˙zadnej chwili poci ˛

ag nie znajduje si˛e „wewn ˛

atrz” peronu. Jest wr˛ecz odwrotnie,

to peron mie´sci si˛e „wewn ˛

atrz” poci ˛

agu. Jak to mo˙zliwe?

Pozorna sprzeczno´s´c wynika z tego, ˙ze w problemie pojawia si˛e tylnymi drzwiami poj˛e-

cie jednoczesno´sci. Mówi ˛

ac, ˙ze w pewnej chwili poci ˛

ag znajduje si˛e wewn ˛

atrz peronu mamy

na my´sli, ˙ze czoło lokomotywy znajduje si˛e w obr˛ebie peronu jednocze´snie z tyłem ostatniego

wagonu. Naturalnie momenty w których mierzono na peronie poło˙zenie lokomotywy i ostat-

niego wagonu nie b˛ed ˛

a jednoczesne dla pasa˙zerów poci ˛

agu. Według nich poło˙zenie lokomo-

tywy zostanie zmierzone najpierw, a w chwil˛e pó´zniej, gdy poci ˛

ag zd ˛

a˙zy kawałek przejecha´c,

zmierzone zostanie poło˙zenie ostatniego wagonu i vice versa. Przykład ten powinien nauczy´c

nas ostro˙znego przygl ˛

adania si˛e wszelkim „paradoksom” teorii wzgl˛edno´sci. Powinni´smy by´c

szczególnie czujni, czy gdzie´s nie pojawia si˛e wła´snie zdradliwa jednoczesno´s´c.

2.5

ZY SKRÓCENIE

ORENTZA JEST RZECZYWISTE

Stawimy teraz czoła nast˛epuj ˛

acemu wa˙znemu pytaniu: czy skrócenie Lorentza jest rzeczywiste,

czy te˙z jest jedynie czym´s pozornym, matematyczn ˛

a ciekawostk ˛

a nie maj ˛

ac ˛

a zwi ˛

azku z rzeczy-

wisto´sci ˛

a? Musimy by´c udzielonej odpowiedzi absolutnie pewni, bowiem tylko wówczas mamy

szans˛e dobrze zrozumie´c relatywistyczny charakter rzeczywisto´sci. Pewno´s´c ta powinna nam

towarzyszy´c od samego pocz ˛

atku gdy analizowali´smy relatywistyczne transformacje zmiany

układu odniesienia. Rzeczy te s ˛

a jednak dla nas wci ˛

a˙z nowe i st ˛

ad konieczno´s´c oswojenia si˛e z

nimi (czemu zreszt ˛

a słu˙zy´c maj ˛

a równie˙z kolejne rozdziały).

Rozwa˙zmy sytuacj˛e przedstawion ˛

a na rysunku 2.3. Mamy tam poruszaj ˛

acy si˛e poziomo pr˛et

oraz poruszaj ˛

ac ˛

a si˛e pionowo „dziur˛e”. Ich poło˙zenia i pr˛edko´sci mo˙zemy dobra´c w taki sposób,

aby, o ile skrócenie Lorentza jest rzeczywiste, pr˛et przeleciał przez dziur˛e bez szwanku. Gdyby

jednak skrócenie było jedynie matematycznym trikiem, musiałoby doj´s´c do zderzenia. Szek-

spirowski dylemat, który przed nami stoi, brzmi: przeleci czy nie przeleci? - oto jest pytanie!

Przede wszystkim kto´s z Was mógłby zauwa˙zy´c co nast˛epuje. Przejd´zmy do układu odniesie-

ROZDZIAŁ 2.

KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

Rysunek 2.3:

Poruszaj ˛

acy si ˛e poziomo pr ˛et oraz poruszaj ˛

ac ˛

a si ˛e pionowo „dziura”. Kropkowan ˛

a lini ˛

zaznaczono kształty spoczynkowe. Poło˙zenia i pr ˛edko´sci dobrane s ˛

a w taki sposób, aby skrócony pr ˛et

przeleciał przez dziur ˛e bez szwanku.

nia w którym pr˛et spoczywa, a dziura porusza si˛e uko´snie. Poniewa˙z dziura ma teraz dodatkow ˛

poziom ˛

a składow ˛

a pr˛edko´sci, musi pojawi´c si˛e dodatkowe poziome skrócenie - rysunek 2.4.

Zatem widzimy, ˙ze niezale˙znie czy skrócenie jest czy go nie ma - musi doj´s´c do zderzenia!

Czyli rozumuj ˛

ac dalej, stosujemy zasad˛e demokracji - i tak˙ze w pierwszym układzie odniesienia

zderzenie musi nast ˛

api´c, czyli skrócenie wcale nie jest rzeczywiste.

Ale czy rzeczywi´scie? :-)

Rysunek 2.4:

Ta sama sytuacja w układzie spoczynkowym pr ˛eta.

Otó˙z popełnili´smy powa˙zny bł ˛

ad! Rysunek 2.4 i przedstawione rozumowanie s ˛

a niepoprawne.

Wła´sciwa wersja wydarze´n w drugim układzie odniesienia przedstawiona jest na rysunku 2.5.

Musimy przecie˙z pami˛eta´c, ˙ze skrócenie jest zawsze w kierunku ruchu! Nie mo˙zemy uzyska´c

poprawnego skrócenia dokonuj ˛

ac go wzdłu˙z kierunku jednej składowej pr˛edko´sci, a nast˛epnie

wzdłu˙z kierunku drugiej składowej. Tak wła´snie uczynili´smy na rysunku 2.4 na którym wida´c

gołym okiem, ˙ze skrócenie nie jest wzdłu˙z kierunku pr˛edko´sci, czyli ´zle! Jednak na rysunku

2.5 jest ju˙z wszystko w porz ˛

adku - skrócenie jest, tak jak powinno, wzdłu˙z kierunku pr˛edko´sci.

Widzimy, ˙ze skrócenie Lorentza wymaga, by dziura si˛e obróciła.

Widzimy ponadto, ˙ze tak˙ze w tym układzie losy klocka zale˙z ˛

a od tego czy skrócenie jest

2.6.

ELEKTRYZUJ ˛

ACY PARADOKS ELEKTRYCZNY

Rysunek 2.5:

Ta sama sytuacja w układzie spoczynkowym pr ˛eta - tym razem wersja poprawna.

rzeczywiste czy nie! Je´sli jest - zderzenia nie b˛edzie w ˙zadnym z układów jak tego ˙z ˛

ada za-

sada demokracji. Je˙zeli nie jest, zderzenie b˛edzie (tak˙ze w obu układach). Zatem nic nie stoi

na przeszkodzie by twierdzi´c, ˙ze skrócenie Lorentza jest jak najbardziej rzeczywiste i pr˛et w

obydwu układach przeleci przez dziur˛e na wylot.

2.6

LEKTRYZUJ ˛

ACY PARADOKS ELEKTRYCZNY

mienimy teraz na chwil˛e temat. Zajmiemy si˛e bowiem paradoksem, znanym jeszcze przed

pojawieniem si˛e teorii wzgl˛edno´sci, a zwi ˛

azanym z klasyczn ˛

a teori ˛

a elektromagnetyzmu. Jest

rzecz ˛

a ciekaw ˛

a, ˙ze spory i trudno´sci wokół tego problemu nie dawały si˛e przez kilkadziesi ˛

at lat w

˙zaden „klasyczny” sposób usun ˛

a´c i dopiero teoria wzgl˛edno´sci przyniosła ostateczne rozwi ˛

azanie.

Naprawd˛e, paradoks ten, jak i inne niepokonane wówczas sprzeczno´sci elektrodynamiki Maxwel-

la były bod´zcem do powstania szczególnej teorii wzgl˛edno´sci. Nie zapominajmy zreszt ˛

a, ˙ze

rozwa˙zaj ˛

ac na pocz ˛

atku tego wykładu zachowanie si˛e ´swiatła, zajmowali´smy si˛e w gruncie

rzeczy badaniem pró˙zniowych rozwi ˛

aza´n równa´n Maxwella. ´Swiatło jest w ko´ncu fal ˛

a elektro-

magnetyczn ˛

Przyst ˛

apmy zatem do przedstawienia problemu. Rozwa˙zmy oboj˛etnie naładowany, pros-

toliniowy przewód elektryczny przez który płynie pr ˛

ad. Z mikroskopowego punktu widzenia

pr ˛

ad jest ruchem ujemnych elektronów z pewn ˛

a ´sredni ˛

a wypadkow ˛

a pr˛edko´sci ˛

a V na tle do-

datnich, nieruchomych jonów sieci krystalicznej przewodnika. Nat˛e˙zenie tego pr ˛

adu wynosi

I = e%

−

V S, gdzie %

−

jest g˛esto´sci ˛

a elektronów w przewodniku, a S polem przekroju drutu.

Wyobra´zmy sobie, ˙ze w odległo´sci r od przewodu, równolegle do niego porusza si˛e z t ˛

a sam ˛

ROZDZIAŁ 2.

KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

pr˛edko´sci ˛

a V swobodny elektron - rysunek 2.6 A). Poniewa˙z ruch ładunków wewn ˛

atrz przewod-

nika wytwarza na zewn ˛

atrz pole magnetyczne B = I/2πε

r, w którym porusza si˛e elektron,

pojawi si˛e działaj ˛

aca na niego siła F skierowana ku przewodnikowi:

F = eV B =

eV I

2πε

−

2πε

(2.4)

Siła ta spowoduje, ˙ze zewn˛etrzny elektron zacznie si˛e coraz bardziej zbli˙za´c do przewodu z

pr ˛

adem.

Kłopot pojawi si˛e w momencie, gdy rozwa˙zymy t˛e sam ˛

a sytuacj˛e w (primowanym) iner-

cjalnym układzie odniesienia poruszaj ˛

acym si˛e razem z elektronami - rysunek 2.6 B). Wówczas

pr ˛

ad elektronowy wynosi zero, ale pojawia si˛e analogiczny pr ˛

ad pochodz ˛

acy od dodatnich jonów

sieci poruszaj ˛

acych si˛e w przeciwnym kierunku. Pr ˛

ad ten naturalnie równie˙z wytwarza pole

magnetyczne. Kłopot w tym, ˙ze teraz zewn˛etrzny elektron nie porusza si˛e ju˙z w tym polu, lecz

spoczywa i dlatego nie działa na niego ˙zadna magnetyczna siła! Jak temu zaradzi´c?

Rysunek 2.6:

Ruch swobodnego ładunku w pobli˙zu przewodnika z pr ˛

adem widziany w dwóch układach

inercjalnych. Skrócenie Lorentza zostało celowo wyolbrzymione. W rzeczywisto´sci wypadkowa pr ˛edko´s´c

elektronów w przewodzie elektrycznym jest rz ˛edu centymetrów na minut ˛e.

Wida´c, ˙ze problem le˙zy gł˛eboko, bo we wzorze na sił˛e Lorentza: F = qv × B. Wyst˛epuje w

nim pr˛edko´s´c v ładunku q w polu magnetycznym B. Ale co to za pr˛edko´s´c? Pr˛edko´s´c wzgl˛edem

2.6.

ELEKTRYZUJ ˛

ACY PARADOKS ELEKTRYCZNY

czego? Przecie˙z mo˙zemy przej´s´c do układu w którym ładunek spoczywa - i co wtedy? Siła

przestanie działa´c?

Powró´cmy raz jeszcze do układu nieprimowanego i rozwa˙zmy fragment przewodu elek-

trycznego o długo´sci L. Całkowity ładunek zawarty wewn ˛

atrz tego fragmentu pochodzi cz˛e´s-

ciowo od elektronów Q

−

, a cz˛e´sciowo od dodatnich jonów Q

, w sumie wynosz ˛

aca 0 = Q

−

= −eSL%

−

+ eSL%

(przewodnik jest nienaładowany). Wynika st ˛

ad oczywisty wniosek, ˙ze

g˛esto´s´c elektronów %

−

w przewodzie równa jest g˛esto´sci jonów %

. Co si˛e stanie gdy przejdzie-

my do układu poruszaj ˛

acego si˛e? Przede wszystkim musimy stanowczo stwierdzi´c, ˙ze ładunek

elementarny e nie zale˙zy od pr˛edko´sci nios ˛

acej go cz ˛

astki. Gdyby e zmieniał si˛e wraz pr˛edko´s-

ci ˛

a, to podgrzewane ciała ładowałyby si˛e elektrycznie, bo cz˛e´s´c ciepła przekazywana jest swo-

bodnym, lekkim elektronom, a cz˛e´s´c ci˛e˙zkim jonom sieci. W zwi ˛

azku z ró˙znic ˛

a mas, elektrony

nabieraj ˛

a o wiele wi˛ekszej pr˛edko´sci ni˙z jony i dlatego ka˙zda, cho´cby najmniejsza zale˙zno´s´c e od

pr˛edko´sci spowodowałaby powstanie nadwy˙zki (lub zmniejszenia) ujemnego ładunku wewn ˛

atrz

ciała, co nie jest jednak obserwowane.

Skoro zatem całkowita warto´s´c ujemnego ładunku elektronowego nie ulega zmianie (podob-

nie jak warto´s´c dodatniego ładunku jonowego), to mo˙ze zmienia si˛e jego g˛esto´s´c? Poniewa˙z

wybrany odcinek zawieraj ˛

acy poruszaj ˛

ace si˛e elektrony zmienia swoj ˛

a długo´s´c przy zmianie

układu odniesienia z L na L/

1 − V

, to przy ustalonej warto´sci ładunku, musi zmienia´c

si˛e g˛esto´s´c elektronów (ta sama ilo´s´c elektronów znajduje si˛e teraz w dłu˙zszym odcinku drutu)!

Z równo´sci ładunków elektronowych zgromadzonych w ustalonym fragmencie przewodu Q

−

oraz wzoru opisuj ˛

acego skrócenie Lorentza znajdujemy:

−

= %

−

1 − V

(2.5)

Analizuj ˛

ac w podobny sposób ładunki pochodz ˛

ace od jonów sieci otrzymujemy:

1 − V

(2.6)

Wypadkowa g˛esto´s´c ładunku zgromadzona w przewodniku w primowanym układzie odniesienia

wynosi e%

= −e%

−

+ e%

> 0. Oznacza to, ˙ze przewodnik w tym układzie jest naładowany

dodatnio i b˛edzie przyci ˛

agał zewn˛etrzny elektron sił ˛

a elektryczn ˛

a! Wszystko si˛e zatem zgadza,

przynajmniej jako´sciowo. W obydwu układach odniesienia sytuacja b˛edzie identyczna: ładunek

b˛edzie przyci ˛

agany przez przewodnik z pr ˛

adem. Ciekawe, ˙ze przyczyn ˛

a przyci ˛

agania w jednym

ROZDZIAŁ 2.

KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

układzie jest pole magnetyczne, a w drugim elektryczne. W dalszej cz˛e´sci przekonamy si˛e, ˙ze

w teorii wzgl˛edno´sci nie da si˛e nigdy oddzieli´c jednego pola od drugiego, bo warto´sci tych pól

zale˙z ˛

a od układu odniesienia. Natomiast efekt ko´ncowy - wpływ na ruch cz ˛

astek naładowanych

musi by´c we wszystkich układach odniesienia jednakowy.

Sprawd´zmy, ˙ze jest tak w rzeczywisto´sci i przeanalizujmy ilo´sciowo przyci ˛

aganie zewn˛etrzne-

go elektronu przez przewodnik w układzie primowanym. W tym układzie g˛esto´s´c ładunku w

przewodniku wynosi:

= −e%

−

+ e%

−

1 − V

(2.7)

Pole elektryczne pochodz ˛

ace od tej g˛esto´sci wynosi:

E =

2πε

(2.8)

Zatem siła elektryczna F

z jak ˛

a swobodny ładunek jest przyci ˛

agany przez przewodnik w układzie

primowanym wynosi:

−

2πε

1 − V

(2.9)

Wida´c, ˙ze siły F i F

w obu układach s ˛

a niemal identyczne. Wzory (2.4) oraz (2.9) ró˙zni ˛

si˛e bowiem tylko o niewielki czynnik

1 − V

. Pami˛etajmy jednak, ˙ze najwa˙zniejsze jest,

a˙zeby w obu układach siły te wywoływały jednakowy efekt, to znaczy tak ˛

a sam ˛

a zmian˛e p˛edu

swobodnego elektronu. Poprawne relatywistycznie II prawo Newtona jest postaci:

F =

(2.10)

o czym b˛edzie mowa w kolejnych rozdziałach. Oczekujemy, ˙ze p˛ed jaki uzyska elektron w

krótkim czasie ∆t w układzie nieprimowanym oraz odpowiadaj ˛

acym mu czasie ∆t

w układzie

primowanym b˛edzie taki sam, czyli musi zachodzi´c F ∆t = F

∆t

. St ˛

ad natychmiast wynika, ˙ze

F = F

1 − V

, czyli wszystko si˛e zgadza!

Zwró´cmy teraz uwag˛e, ˙ze przedstawiony problem mo˙zna rozwi ˛

aza´c wył ˛

acznie stosuj ˛

ac re-

latywistyczne prawa. Obserwacja ta powinna nam u´swiadomi´c co´s bardzo wa˙znego: teoria elek-

tromagnetyzmu Maxwella jest teori ˛

a relatywistyczn ˛

a (z czego Maxwell nie mógł sobie rzecz

2.7.

PARADOKS BLI ´

ZNI ˛

jasna zdawa´c sprawy). Oznacza to, ˙ze równa´n Maxwella nie trzeba b˛edzie modyfikowa´c by

otrzyma´c wersj˛e relatywistyczn ˛

a. Równania takie, jak je znamy s ˛

a ju˙z relatywistycznie niez-

miennicze. Zagadnieniom elektromagnetycznym i ich zwi ˛

azkowi z teori ˛

a wzgl˛edno´sci zostanie

po´swi˛econy jeden z dalszych, obszernych rozdziałów.

2.7

ARADOKS BLI ´

ZNI ˛

mówimy teraz słynny paradoks bli´zni ˛

at. Brzmi on nast˛epuj ˛

aco: dwaj bracia bli´zniacy, Jacek

i Placek udali si˛e na stacj˛e kosmiczn ˛

a. Jacek wsiadł do rakiety i odbył dług ˛

a podró˙z, po czym

powrócił na Ziemi˛e. Z punktu widzenia Placka, pozostaj ˛

acego cały czas na Ziemi, upływ czasu

w rakiecie był spowolniony (rakieta cały czas poruszała si˛e z jak ˛

a´s du˙z ˛

a pr˛edko´sci ˛

a) i dlatego

jego brat Jacek po powrocie powinien zestarze´c si˛e mniej ni˙z on sam. Je˙zeli Placek czekał na

brata czas T , to według niego podczas całej podró˙zy kosmicznej Jacka a˙z do momentu jego

powrotu, upływ czasu w rakiecie powinien wynosi´c:

1 − V

(t)/c

< T,

(2.11)

gdzie V (t) jest zmienn ˛

a w czasie pr˛edko´sci ˛

a rakiety. Zatem po powrocie bracia powinni by´c

ju˙z w ró˙znym wieku. Kto´s mógłby tu spostrzec pewien pozorny paradoks: przecie˙z z punktu

widzenia Jacka, to Placek cały czas si˛e poruszał i po powrocie, to Placek powinien by´c młodszy.

Bł ˛

ad w tym rozumowaniu polega na tym, ˙ze układ Jacka nie jest inercjalny (bo rakieta musi

porusza´c si˛e z przyspieszeniem) i dlatego relatywistyczne wzory, które dotychczas wyprowadza-

li´smy i stosowali´smy nie s ˛

a w tym układzie poprawne.

W oparciu o t˛e prost ˛

a konsekwencj˛e szczególnej teorii wzgl˛edno´sci wykonywane były pewne

ciekawe eksperymenty. Na przykład jeden z dwóch zsynchronizowanych zegarów atomowych

umieszczano w ponadd´zwi˛ekowym samolocie, który odbywał dług ˛

a podró˙z, po czym wracał w

miejsce startu. Okazywało si˛e wówczas, ˙ze zegar, który odbył podró˙z nieznacznie si˛e pó´znił

w stosunku do zegara, który cały czas pozostawał nieruchomy. Zaobserwowane odst˛epstwo

zgadzało si˛e zreszt ˛

a idealnie ze wzorem (2.11).

2.8

ARADOKS

OBERTA

ORZENIOWSKIEGO

tym podrozdziale b˛edziemy mieli nareszcie okazj˛e prze´cwiczy´c w nieco bardziej zło˙zonym

ROZDZIAŁ 2.

KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

rachunku nasze nowe wiadomo´sci dotycz ˛

ace szczególnej teorii wzgl˛edno´sci. Oto kolejny zwi ˛

zany z ni ˛

a „paradoks”.

Rozwa˙zmy bardzo szybki, relatywistyczny chód Roberta Korzeniowskiego. Poniewa˙z wew-

n ˛

atrz obiektów poruszaj ˛

acych si˛e z bardzo du˙zymi pr˛edko´sciami czas płynie wolniej dla obser-

watorów zewn˛etrznych, nale˙zy si˛e spodziewa´c, ˙ze zegarek na r˛ece Roberta Korzeniowskiego

b˛edzie chodził wolniej. Powolniejsze b˛edzie równie˙z bicie jego serca. A co mo˙zna powiedzie´c

o ruchu jego nóg? Czy im szybciej b˛edzie szedł tym wolniej porusza´c b˛edzie nogami? Czy w

granicy pr˛edko´sci ´swiatła wcale nie b˛edzie nimi poruszał? W jaki sposób mo˙zna chodzi´c nie

ruszaj ˛

ac nogami?

Rzeczywi´scie, z punktu widzenia obserwatora zewn˛etrznego, upływ czasu w układzie Ro-

berta Korzeniowskiego (wielko´sci w tym układzie oznacza´c b˛edziemy literkami z primem) jest

powolniejszy. Tempo upływu czasu ró˙zni si˛e o czynnik

1 − V

, gdzie V jest pr˛edko´s-

ci ˛

a chodu. Nie oznacza to jednak, ˙ze mo˙zna przez ten˙ze czynnik skalowa´c pr˛edko´sci wszyst-

kich ruchów w poruszaj ˛

acym si˛e obiekcie! Prawo „spowolnianie upływu czasu” o podany

czynnik dotyczy obiektów nieruchomych (na przykład zegarów) w poruszaj ˛

acym si˛e układzie

odniesienia. Działa ono dobrze równie˙z dla obiektów poruszaj ˛

acych si˛e w układzie primowanym

powoli. Poniewa˙z jednak ruch nóg w układzie primowanym musi by´c równie szybki co ruch

piechura, musimy dokona´c transformacji Lorentza współrz˛ednych okre´slaj ˛

acych poło˙zenie nóg

oraz ´srodka masy chodziarza niezale˙znie. W tym celu wprowadzimy najprostszy z mo˙zliwych

model chodu.

W całym problemie wa˙zne s ˛

a naprawd˛e tylko trzy punkty: ´srodek masy (A), i poło˙zenie

dwóch stóp (B i C). Rozwa˙zmy sytuacj˛e z punktu widzenia Roberta Korzeniowskiego (czyli w

układzie primowanym). Przedstawia j ˛

a rysunek 2.7. W tym układzie ´srodek masy (A) jest nieru-

chomy, chodnik porusza si˛e do tyłu z pewn ˛

a pr˛edko´sci ˛

a −V , stopa aktualnie dotykaj ˛

aca ziemi

a −V , a druga stopa, przenoszona do przodu (B) porusza si˛e

z pr˛edko´sci ˛

a V . Poniewa˙z zgodnie z przepisami chodu sportowego w ka˙zdej chwili czasu conaj-

mniej jedna stopa musi dotyka´c ziemi, Robert Korzeniowski chc ˛

ac i´s´c jak najszybciej, stawiaj ˛

jedn ˛

a stop˛e jednocze´snie odrywa drug ˛

a. Powiedzmy, ˙ze w chwili t

= 0 stopa odrywana znajduje

si˛e w punkcie x

= −d, a stopa stawiana w punkcie x

= d. Natomiast przez cały czas ´srodek

masy A znajduje si˛e w punkcie x

= 0. Zamiana ról nast˛epuje w chwili t

. Przez nast˛epne

40 km ruch jest cyklicznie powtarzany.

Pytanie, które nas interesuje, to jak wygl ˛

ada chód z punktu widzenia obserwatora stoj ˛

acego na

chodniku (układ nieprimowany), dla którego ´srodek masy Roberta Korzeniowskiego porusza si˛e

2.8.

PARADOKS ROBERTA KORZENIOWSKIEGO

Rysunek 2.7:

Prosty model chodu w inercjalnym układzie piechura.

zgodnie z równaniem x

= V t. Sprawd´zmy najpierw przy pomocy transformacji Lorentza jak

wygl ˛

adaj ˛

a czasoprzestrzenne współrz˛edne opisuj ˛

ace stawianie i odrywanie stóp. Rozpocznijmy

od pierwszego tupni˛ecia: stopa C postawiona zostaje w punkcie x

√

1−V

, a stopa B oder-

wana w punkcie x

= −

√

1−V

, czyli krok staje si˛e dłu˙zszy. Okazuje si˛e jednak, ˙ze stopy s ˛

stawiane i odrywane w ró˙znych chwilach: stopa B zostaje oderwana w chwili t

−dV /c

√

1−V

jeszcze zanim zostanie postawiona stopa C, co ma miejsce w chwili t

dV /c

√

1−V

(nawiasem

mówi ˛

ac mo˙ze to by´c przyczyn ˛

a dyskwalifikacji Roberta Korzeniowskiego, mimo i˙z ten twierdzi

˙ze stopy zmieniał jednocze´snie ;-). Rozwa˙zmy teraz drugie tupni˛ecie, w którym stopa B zostaje

postawiona w punkcie x

√

1−V

, a stopa C oderwana w punkcie x

√

1−V

, za-

tem krok jest znowu dłu˙zszy. Odpowiednie chwile odpowiadaj ˛

ace tym zdarzeniom to t

2d/V +dV /c

√

1−V

oraz t

2d/V −dV /c

√

1−V

. Nast˛epnie proces powtarzany jest cyklicznie. Sprawd´zmy

ROZDZIAŁ 2.

KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

teraz, ˙ze czas oderwania stopy od ziemi wynosi:

∆t

↑

1 +

1 −

(2.12)

natomiast czas w którym druga stopa dotyka ziemi to:

∆t

↓

1 −

(2.13)

Mo˙zemy teraz odpowiedzie´c ju˙z w pełni na pytanie co dzieje si˛e z nogami podczas relatywis-

tycznego chodu według naszego prostego modelu. Czas trwania pełnego „okresu” w którym

stopa jest przenoszona, a nast˛epnie spoczywa na ziemi wynosi:

∆t = ∆t

↑

+ ∆t

↓

4d/V

1 −

(2.14)

i jest dłu˙zszy od czasu ∆t

widzianego przez Roberta Korzeniowskiego: ∆t

. Zatem

odpowied´z na pytanie, czy im szybciej idziemy tym wolniej ruszamy nogami dla zewn˛etrznego

obserwatora jest, paradoksalnie, twierdz ˛

aca! W granicy V → c czas trwania pełnego kroku

staje si˛e wr˛ecz niesko´nczony! Jest i druga ciekawa obserwacja: w tej granicy obie stopy przez

wi˛ekszo´s´c czasu „frun ˛

a w powietrzu” robi ˛

ac ogromne kroki i prawie wcale nie dotykaj ˛

ac ziemi.

To ostatnie stwierdzenie staje si˛e wr˛ecz oczywiste, gdy zdamy sobie spraw˛e, ˙ze w układzie

Roberta Korzeniowskiego cały zewn˛etrzny ´swiat (zatem równie˙z chodnik) si˛e skraca. I mimo,

˙ze długo´s´c kroku według Korzeniowskiego jest zwyczajna, to skracanie chodnika powoduje,

˙ze ka˙zdy krok wi ˛

a˙ze si˛e z pokonaniem ogromnego dystansu. Nic wi˛ec dziwnego, ˙ze z punktu

widzenia s˛edziów kroki piechura staj ˛

a si˛e nienaturalnie długie. Poniewa˙z natomiast nogi Ko-

rzeniowskiego nie mog ˛

a si˛e wydłu˙za´c, to jedyn ˛

a mo˙zliwo´sci ˛

a zrealizowania tej sytuacji jest bieg

z wydłu˙zon ˛

a faz ˛

a lotu.

2.9

ELATYWISTYCZNE TRANSFORMACJE PR ˛

EDKO ´SCI

oznana dawka „paradoksów” teorii wzgl˛edno´sci jest na razie wystarczaj ˛

aca. Zajmiemy si˛e

teraz innym zagadnieniem. Zapomnijmy na chwil˛e o teorii wzgl˛edno´sci i spójrzmy raz jeszcze na

2.9.

RELATYWISTYCZNE TRANSFORMACJE PR ˛

EDKO ´SCI

transformacj˛e Galileusza (1.8). Rozwa˙zmy ruch punktu opisanego w układzie nieprimowanym

równaniem x(t), a w układzie primowanym równaniem x

). Pr˛edko´s´c punktu w pewnej chwili

t wynosi v(t) =

dx(t)

. Z jak ˛

a pr˛edko´sci ˛

a punkt ten poruszał si˛e b˛edzie w układzie primowanym?

Ró˙zniczkuj ˛

ac transformacj˛e Galileusza (1.8) bez trudu znajdujemy:

− V = v − V.

(2.15)

Wzór ten znamy oczywi´scie z codziennego do´swiadczenia wi˛ec niczym si˛e nie dziwimy. W

podobny sposób mo˙zemy jednak znale´z´c jego relatywistyczny odpowiednik ró˙zniczkuj ˛

ac trans-

formacj˛e Lorentza (1.6):

v − V

1 − vV /c

(2.16)

T ˛

a prost ˛

a metod ˛

a udało nam si˛e otrzyma´c wzór przy pomocy którego mo˙zemy odpowiada´c na

pytanie: z jak ˛

a pr˛edko´sci ˛

a porusza si˛e jaki´s punkt w układzie primowanym, je´sli wiadomo, ˙ze

w układzie nieprimowanym jego pr˛edko´s´c wynosi v. Co wi˛ecej, nasz wzór jest poprawny dla

dowolnego ruchu rozwa˙zanego punktu, niekoniecznie ruchu ze stał ˛

a pr˛edko´sci ˛

a. Ze stał ˛

a pr˛ed-

ko´sci ˛

a V musi si˛e natomiast porusza´c układ inercjalny z którego prowadzimy obserwacje.

Maj ˛

ac powy˙zszy wzór, pierwsz ˛

a rzecz ˛

a, któr ˛

a musimy sprawdzi´c jest rzekoma stało´s´c pr˛ed-

ko´sci ´swiatła. Je´sli w jednym układzie co´s porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v = c, to w drugim układzie,

poruszaj ˛

acym si˛e tradycyjnie z dowoln ˛

a pr˛edko´sci ˛

a V :

c − V

1 − cV /c

= c

1 − V /c
1 − V /c

= c.

(2.17)

Zatem wszystko si˛e zgadza! Pr˛edko´s´c ´swiatła po przej´sciu do dowolnego inercjalnego układu si˛e

nie zmieni. Doskonale. W podobny sposób mo˙zemy si˛e przekona´c, ˙ze je˙zeli w jednym układzie

odniesienia pr˛edko´s´c jakiego´s punktu jest mniejsza od c, to b˛edzie równie˙z mniejsza od c w

innym układzie. Na rysunku 2.8 znajduje si˛e wykres przykładowej zale˙zno´sci pr˛edko´sci obser-

wowanego punktu v

od pr˛edko´sci układu odniesienia V z którego prowadzona jest obserwacja.

Przyj˛eli´smy, ˙ze w układzie „spoczywaj ˛

acym” punkt porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v = 0.5c. Wida´c,

˙ze im szybciej porusza si˛e układ odniesienia, tym mniejsza jest obserwowana pr˛edko´s´c punktu.

Dla V = v pr˛edko´sci si˛e zrównuj ˛

a i ciało staje si˛e „nieruchome”. Zauwa˙zmy, ˙ze zale˙zno´s´c v

(V )

jest liniowa dla małych warto´sci V , jak w nierelatywistycznej mechanice.

ROZDZIAŁ 2.

KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

Rysunek 2.8:

Zale˙zno´s´c pr ˛edko´sci poruszaj ˛

acego si ˛e ciała od pr ˛edko´sci układu odniesienia z którego

prowadzona jest obserwacja. W układzie nieruchomym ciało porusza si ˛e z pr ˛edko´sci ˛

v = 0.5c

. Im szyb-

ciej porusza si ˛e układ odniesienia, tym mniejsza jest obserwowana pr ˛edko´s´c. Dla

V = v

pr ˛edko´sci si ˛e

zrównuj ˛

a i ciało staje si ˛e „nieruchome”. Zauwa˙zmy, ˙ze zale˙zno´s´c

(V )

jest liniowa dla małych pr ˛edko´sci

, jak w mechanice nierelatywistycznej.

Za chwil˛e poznamy jednak co´s bardzo niezwykłego. W poprzednim przykładzie obiek-

tem obserwacji był punkt poruszaj ˛

acy si˛e z pr˛edko´sci ˛

a mniejsz ˛

a ni˙z c. Przeprowadzimy teraz

podobn ˛

a analiz˛e dla „obiektu” poruszaj ˛

acego si˛e z nad´swietln ˛

a pr˛edko´sci ˛

a. Pami˛etacie meksy-

ka´nsk ˛

a fal˛e krasnoludków na urodzinach Królewny ´Snie˙zki? Sprawdzimy teraz jak ˛

a pr˛edko´s´c

fali zaobserwuje przelatuj ˛

aca na miotle z pr˛edko´sci ˛

a V Baba Jaga poruszaj ˛

aca si˛e wzdłu˙z szeregu

podskakuj ˛

acych krasnoludków - rysunek 2.9.

Powiedzmy, ˙ze według Królewny meksyka´nska fala przesuwa si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v = 1.5c.

Na rysunku 2.10 znajduje si˛e pr˛edko´s´c fali v

zarejestrowana przez Bab˛e Jag˛e w zale˙zno´sci od

pr˛edko´sci miotły V . Zale˙zno´s´c ta wydaje si˛e bardzo nieintuicyjna. Im szybciej Baba Jaga „goni”

fal˛e krasnoludków, tym szybciej ona ucieka! Dla V = c

/v pr˛edko´s´c fali staje si˛e niesko´nczona

(wszystkie krasnoludki podskakuj ˛

a jednocze´snie). Dopiero przy dalszym wzro´scie pr˛edko´sci

miotły kierunek fali odwraca si˛e i fala zaczyna si˛e porusza´c w przeciwn ˛

a stron˛e. Ten nieco-

dzienny, lecz prawdziwy efekt „uciekaj ˛

acych krasnoludków” przypomina ´swiat Alicji w Krainie

Czarów, nieprawda˙z? Krasnoludki uciekaj ˛

a Babie Jadze tym szybciej im szybciej goni je ona na

2.9.

RELATYWISTYCZNE TRANSFORMACJE PR ˛

EDKO ´SCI

Rysunek 2.9:

Baba Jaga przelatuj ˛

aca nad meksyka ´nsk ˛

a fal ˛

a krasnoludków.

swej miotle. Domy´slamy si˛e te˙z, ˙ze je˙zeli krasnoludki wykonałyby fal˛e poruszaj ˛

ac ˛

a si˛e dokład-

nie z pr˛edko´sci ˛

a ´swiatła, to niezale˙znie od pr˛edko´sci miotły, pr˛edko´s´c fali byłaby zawsze taka

sama - c.

Nasz wynik w postaci wzorów transformacyjnych pr˛edko´sci (2.16) nie jest jednak ogólny,

a dotyczy tylko jednowymiarowego ruchu wzdłu˙z osi x. Rozwa˙zmy zatem przypadek ruchu

trójwymiarowego widzianego z punktu widzenia układu spoczywaj ˛

acego oraz poruszaj ˛

acego si˛e

wzdłu˙z osi x. Je˙zeli ruch w układzie nieprimowanym opisywany jest wektorem pr˛edko´sci v =

, v

), to w układzie primowanym b˛edziemy mieli:

− V

1 − v

V /c

1 − V

1 − v

V /c

(2.18)

1 − V

1 − v

V /c

Powy˙zszy układ równa´n transformacyjnych mo˙zna równie˙z zapisa´c w ogólnej postaci dla dowol-

nej pr˛edko´sci V ruchu wzgl˛ednego dwóch układów odniesienia:

ROZDZIAŁ 2.

KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

Rysunek 2.10:

Efekt „uciekaj ˛

acych krasnoludków”. Bardzo nieintuicyjna zale˙zno´s´c nad´swietlnej pr ˛ed-

ko´sci z jak ˛

a porusza si ˛e „fala krasnoludków” od pr ˛edko´sci układu odniesienia z którego prowadzona jest

obserwacja. W układzie nieruchomym (

V /c = 0

) fala porusza si ˛e z pr ˛edko´sci ˛

v = 1.5c

. Im szybciej

porusza si ˛e układ odniesienia, tym wi ˛eksza jest obserwowana pr ˛edko´s´c, czyli im szybciej gonimy fal ˛e,

tym szybciej ona ucieka! Dla

V = c

pr ˛edko´s´c fali staje si ˛e niesko ´nczona (wszystkie krasnoludki pod-

skakuj ˛

a jednocze´snie). Przy dalszym wzro´scie pr ˛edko´sci układu odniesienia kierunek fali odwraca si ˛e.

1 −

v −

v·V

−

V −

v·V

1 −

v·V

(2.19)

I pomy´sle´c jak bardzo sprawy mog ˛

a si˛e skomplikowa´c. Przypomnijmy tylko, ˙ze zwykły, niere-

latywistyczny odpowiednik powy˙zszego potwora to po prostu v

= v − V.

Pytania

• Czy dowolne dwa zdarzenia zachodz ˛

ace w ró˙znych miejscach, w pewnym układzie inerc-

jalnym s ˛

a jednoczesne?

• Czy dla dowolnej pary zdarze´n oddzielonych interwałem czasowym istnieje układ odniesienia

w którym te zdarzenia zachodz ˛

a w tym samym miejscu?

2.9.

RELATYWISTYCZNE TRANSFORMACJE PR ˛

EDKO ´SCI

• Czy kolejno´s´c zdarze´n oddzielonych interwałem zerowym zale˙zy od układu odniesienia?

• Czy dla ka˙zdej pary zdarze´n istnieje nietrywialna transformacja Lorentza nie zmieniaj ˛

aca

odst˛epu czasu mi˛edzy tymi zdarzeniami?

• Bli´zniak L spoczywaj ˛

acy w pewnym układzie inercjalnym obserwuje ruch bli´zniaka J ze

zmienn ˛

a w czasie pr˛edko´sci ˛

a v(t). Bli´zniak J na pocz ˛

atku i na ko´ncu ruchu trwaj ˛

acego T

spoczywa wzgl˛edem bli´zniaka L. O ile zestarzał si˛e bli´zniak J w czasie w którym bli´zniak

L zestarzał si˛e o T ?

• Czy przy zmianie układu odniesienia w ogólno´sci zmieniaj ˛

a si˛e tylko składowe pr˛edko´sci

ciał wzdłu˙z kierunku ruchu układu, czy tak˙ze w kierunkach poprzecznych?

• Uzasadnij czy to mo˙zliwe, by fala propaguj ˛

aca si˛e z pr˛edko´sci ˛

a wi˛eksz ˛

a ni˙z c poruszała

si˛e szybciej je´sli obserwator stara si˛e j ˛

a dogoni´c?

• Czy to prawda, ˙ze warto´s´c i kierunek pr˛edko´sci ´swiatła nie zale˙zy od układu odniesienia?

• Czy przej´scie z układu A do poruszaj ˛

acego si˛e wzgl˛edem niego z pr˛edko´sci ˛

a V układu

B, a nast˛epnie z układu B do układu C poruszaj ˛

acego si˛e wzgl˛edem B z pr˛edko´sci ˛

a V

wzdłu˙z tej samej osi jest równowa˙zne przej´sciu z układu A do układu D poruszaj ˛

acego si˛e

wzgl˛edem A z pr˛edko´sci ˛

a 2V ?

Zadania

• W przestrzeni kosmicznej porusza si˛e wzdłu˙z wspólnej prostej sto rakiet w taki sposób, ˙ze

druga oddala si˛e od pierwszej z pr˛edko´sci ˛

a 0.9c, trzecia od drugiej równie˙z z pr˛edko´sci ˛

0.9c i tak dalej a˙z do ostatniej rakiety. Jaka jest wzgl˛edna pr˛edko´s´c pierwszej i setnej

rakiety?

• Z oddalaj ˛

acego si˛e radialnie od Ziemi z pr˛edko´sci ˛

a v statku kosmicznego nadawana jest

audycja radiowa. Czas nadawania audycji w studio na statku wynosi τ = 30 minut. Jak

długa trwa odbiór audycji na Ziemi?

ROZDZIAŁ 2.

KINEMATYKA RELATYWISTYCZNA

Rozdział 3

IESZTYWNA BRYŁA SZTYWNA

rzed nami kolejny etap poznawania teorii wzgl˛edno´sci. Tym razem zwi ˛

azany z „brył ˛

a sztyw-

n ˛

a”. Cudzysłów znalazł si˛e tu nieprzypadkowo, bo jak si˛e wkrótce oka˙ze, poj˛ecie bryły sztywnej

w teorii wzgl˛edno´sci jest w pewnym sensie pozbawione sensu ;-). W mechanice nierelatywisty-

cznej bryła sztywna jest to ciało, w którym dowolnie wybrana para punktów nie zmienia wzgl˛ed-

nego poło˙zenia w czasie. W mechanice o´srodków ci ˛

agłych poj˛ecie to uogólni´c si˛e dopuszczaj ˛

powstawanie odkształce´n i napi˛e´c w o´srodku tworz ˛

acym brył˛e. W przypadku relatywistycznym

od razu na my´sl przychodzi nam skrócenie Lorentza. Bryła sztywna poruszaj ˛

aca si˛e ze stał ˛

a pr˛ed-

ko´sci ˛

a staje si˛e spłaszczona, poniewa˙z jednak efekt ten jest czysto geometryczny, nie wywołuje

to powstawania ˙zadnych napi˛e´c wewn˛etrznych (co innego, gdy ciało nie porusza si˛e ruchem jed-

nostajnym - do tego tematu jeszcze powrócimy). Okazuje si˛e jednak, ˙ze nie to jest najwi˛ekszym

problemem. Aby zrozumie´c istot˛e kłopotów jakie pojawiaj ˛

a si˛e, gdy chcemy wprowadzi´c do

teorii wzgl˛edno´sci poj˛ecie bryły sztywnej, przemy´slmy nast˛epuj ˛

acy przykład.

3.1

ACHANIE DŁUGIM KIJEM

yobra´zmy sobie bardzo długi, lekki, sztywny i wytrzymały kij. Je˙zeli złapiemy za jeden

koniec i zaczniemy go obraca´c, to drugi koniec b˛edzie si˛e bardzo szybko poruszał. Wystarczy

do tego niewielki ruch r˛ek ˛

a, a je´sli kij jest bardzo lekki, to nie trzeba do tego nawet wielkiej siły.

Pytanie, czy maj ˛

ac dowolnie długi kij, mo˙zna wprawi´c w ten sposób jego przeciwległy koniec

w dowolnie szybki ruch? Oczywi´scie nie. Nie chodzi tu o ˙zaden praktyczny kłopot, ˙ze kij mu-

siałby by´c niesłychanie długi, a przy tym nic nie wa˙zy´c. Problem jest bardziej fundamentalny.

W chwili, gdy zaczniemy rusza´c r˛ek ˛

a, wzdłu˙z kija zacznie propagowa´c si˛e fala „d´zwi˛ekowa”

ROZDZIAŁ 3.

NIESZTYWNA BRYŁA SZTYWNA

nios ˛

aca o tym informacj˛e. Dlatego odległy koniec nie dowie si˛e od razu o tym, ˙ze zacz˛eli´smy

rusza´c kijem i przez jaki´s czas pozostanie nieruchomy. Zagadnienie, jaki b˛edzie naprawd˛e ruch

kija jest niezwykle trudne, bo do jego rozwi ˛

azania wymagana jest znajomo´s´c dynamiki tensora

napi˛e´c wewn ˛

atrz o´srodka z którego wykonany został kij. Nam jednak nie zale˙zy na znalezieniu

rzeczywistej reakcji całego kija na ruch trzymanego r˛ek ˛

a ko´nca. Wa˙zne jest jedynie, aby´smy si˛e

przekonali, ˙ze w teorii wzgl˛edno´sci nie mo˙zna mówi´c o „sztywno´sci” ciał. Idealne „nierelaty-

wistyczne” ciało sztywne, reaguje bowiem na dowoln ˛

a sił˛e zewn˛etrzn ˛

a jednocze´snie cał ˛

a swoj ˛

obj˛eto´sci ˛

a. Tego typu błyskawiczna reakcja jest w oczywisty sposób sprzeczna z zało˙zeniem, ˙ze

sygnały nie mog ˛

a porusza´c si˛e dowolnie szybko.

3.2

ARADOKS TYCZKARZA I STODOŁY

Rysunek 3.1:

Biegn ˛

acy tyczkarz z punktu widzenia dwóch układów odniesienia: swojego własnego i

układu stodoły. W pierwszym przypadku, stodoła (której drzwi s ˛

a otwarte) doznaje skrócenia Lorentza i

tyczka nie ma szans zmie´sci´c si ˛e w ´srodku. Jednak w układzie stodoły, to tyczka si ˛e skraca, zatem bez

problemu zmie´sci si ˛e w ´srodku i b ˛edzie mo˙zna nawet zamkn ˛

a´c za ni ˛

a drzwi.

ami˛etacie paradoks poci ˛

agu i dworca z rozdziału 2.4? Z punktu widzenia jad ˛

acego poci ˛

agu

3.3.

PARADOKS DWÓCH KWADRATÓW

skracał si˛e peron mieszcz ˛

ac si˛e „wewn ˛

atrz” poci ˛

agu. Z punktu widzenia osoby stoj ˛

acej na

peronie, to poci ˛

ag si˛e skracał i w pewnej chwili znajdował si˛e w cało´sci „wewn ˛

atrz” peronu.

Rozwi ˛

azanie problemu wymagało spostrze˙zenia, ˙ze w obu układach odniesienia równoczesno´s´c

oznaczała co innego. Jednak kto´s z Was mógł ju˙z wówczas zauwa˙zy´c kolejny problem zwi ˛

azany

z tym zagadnieniem. Oto on.

Wyobra´zmy sobie, ˙ze zamiast jad ˛

acego poci ˛

agu mamy biegn ˛

acego niezwykle szybko czło-

wieka trzymaj ˛

acego poziomo dług ˛

a tyczk˛e. Zamiast peronu jest natomiast stodoła z otwartymi

drzwiami, której długo´s´c jest równa długo´sci tyczki - rysunek 3.1. Biegn ˛

acy tyczkarz próbuje

zmie´sci´c si˛e wewn ˛

atrz skracaj ˛

acej si˛e (z jego punktu widzenia) stodoły - rysunek 3.1 A) i wszyst-

ko wskazuje na to, ˙ze mu si˛e to nie uda. Jednak z „punktu widzenia stodoły”, to tyczka si˛e skraca

mog ˛

ac bez problemu zmie´sci´c si˛e w ´srodku, a nawet mo˙zna b˛edzie zamkn ˛

a´c za ni ˛

a drzwi. Widzi-

my, ˙ze pojawia si˛e tu problem. Przecie˙z nie mo˙zemy si˛e zgodzi´c na to, ˙ze w jednym układzie

tyczkarz zmie´scił si˛e wewn ˛

atrz stodoły i drzwi zostały za nim zamkni˛ete, a w drugim układzie

pozostał na zewn ˛

atrz. Pami˛etamy przecie˙z o zasadzie demokracji układów inercjalnych!

Sytuacja w układzie stodoły nie budzi w ˛

atpliwo´sci: tyczkarz bez trudu zmie´sci si˛e wewn ˛

atrz

i b˛edzie mo˙zna zamkn ˛

a´c go razem z tyczk ˛

a w ´srodku. W momencie gdy zderzy si˛e on ze ´scian ˛

stodoły, jego pr˛edko´s´c spadnie do zera i tyczka wydłu˙zy si˛e wewn ˛

atrz stodoły utykaj ˛

ac pomi˛edzy

´scian ˛

a a zamkni˛etymi drzwiami. To samo musi si˛e wydarzy´c w układzie tyczkarza. Musimy

sobie zda´c spraw˛e z faktu, ˙ze w momencie gdy jeden koniec tyczki zostanie uderzony przez

tyln ˛

a ´scian˛e stodoły, drugi koniec stodoły nie zd ˛

a˙zy si˛e o tym dowiedzie´c natychmiast i jeszcze

przez jaki´s czas b˛edzie si˛e poruszał. Czas ten jest wystarczaj ˛

acy by cała tyczka zmie´sciła si˛e w

´srodku równie˙z w tym układzie. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze nawet sygnał poruszaj ˛

acy si˛e z pr˛edko´sci ˛

´swiatła (a w rzeczywisto´sci z pr˛edko´sci ˛

a d´zwi˛eku) nie zd ˛

a˙zy przyby´c do drugiego ko´nca stodoły

zanim cała tyczka znajdzie si˛e wewn ˛

atrz, niezale˙znie od długo´sci stodoły ani pr˛edko´sci z jak ˛

si˛e porusza. Zatem z powodu relatywistycznej „niesztywno´sci” tyczki (i stodoły), paradoks daje

si˛e, jak wida´c, rozwi ˛

aza´c.

3.3

ARADOKS DWÓCH KWADRATÓW

rzekom ˛

a sztywno´sci ˛

a „bryły sztywnej” wi ˛

a˙ze si˛e wiele innych interesuj ˛

acych paradoksów.

Oto kolejny: rozwa˙zmy ruch płaski dwóch kwadratów. Niech w spoczynkowym układzie od-

niesienia pierwszego kwadratu drugi porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v wzdłu˙z swojej przek ˛

atnej jak

na rysunku 3.2 A). Zgodnie ze szczególn ˛

a teori ˛

a wzgl˛edno´sci poruszaj ˛

acy si˛e kwadrat skraca

ROZDZIAŁ 3.

NIESZTYWNA BRYŁA SZTYWNA

si˛e w kierunku ruchu staj ˛

ac si˛e rombem. Z rysunku wida´c, ˙ze kwadraty zderz ˛

a si˛e, przy czym

wierzchołek pierwszego kwadratu uderzy w kraw˛ed´z drugiego pozostawiaj ˛

ac w niej zapewne

widoczne wgniecenie. To samo zderzenie „z punktu widzenia” drugiego kwadratu przedstaw-

iono na rysunku 3.2 B). Widzimy, ˙ze jako pierwsze zderz ˛

a si˛e wierzchołek drugiego kwadratu

z kraw˛edzi ˛

a pierwszego i widoczny ´slad uderzenia b˛edzie gdzie indziej. Poniewa˙z lokalizacja

„wgniecenia” nie mo˙ze zale˙ze´c od układu odniesienia, gdzie´s w przedstawionym rozumowaniu

musi tkwi´c bł ˛

ad. Jakie jest poprawne rozumowanie i gdzie jest ów bł ˛

ad?

Rysunek 3.2:

Zderzenie kwadratów w dwóch zwi ˛

azanych z nimi układach odniesienia.

W układzie odniesienia w którym kwadraty poruszaj ˛

a si˛e z równymi co do warto´sci, ale prze-

ciwnie skierowanymi pr˛edko´sciami, obydwa staj ˛

a si˛e jednakowymi rombami, które zderz ˛

a si˛e ze

sob ˛

a kraw˛edziami. Poniewa˙z w tym układzie oba wierzchołki doznaj ˛

a uderzenia jednocze´snie,

to w dowolnym innym układzie odniesienia punkt w którym zderzaj ˛

a si˛e kwadraty b˛edzie prze-

suwał si˛e wzdłu˙z kraw˛edzi z pr˛edko´sci ˛

a wi˛eksz ˛

a ni˙z c. Dlatego wgniecenia b˛ed ˛

a jednakowo

mocne na całej długo´sci zderzaj ˛

acych si˛e obszarów i punkty zderzaj ˛

ace si˛e w pierwszej kole-

jno´sci wcale nie pozostawi ˛

a wyra´zniejszych ´sladów. Wynika to z tego, ˙ze poszczególne zderza-

j ˛

ace si˛e punkty nie zd ˛

a˙z ˛

a „dowiedzie´c” si˛e, ˙ze doszło ju˙z do zderzenia pomi˛edzy ich s ˛

asiadami i

wytraci´c pr˛edko´sci decyduj ˛

acej o sile i impecie zderzenia.

3.4

ARADOKS KLOCKA I DZIURY W STOLE

mówimy teraz jeszcze jeden paradoks zwi ˛

azany z relatywistycznym ruchem bryły sztywnej.

Wyobra´zmy sobie kwadratowy (w swoim układzie spoczynkowym) klocek poruszaj ˛

acy si˛e po

Problem ten został przedstawiony w pracy [2].

3.4.

PARADOKS KLOCKA I DZIURY W STOLE

dziurawym stole - rysunek 3.3. W układzie stołu klocek doznaje skrócenia Lorentza i dlatego

łatwo b˛edzie mu wpa´s´c do dziury (rysunek 3.3A). Z drugiej strony, z punktu widzenia klocka, to

dziura si˛e skraca uniemo˙zliwiaj ˛

ac klockowi wpadni˛ecie do ´srodka (rysunek 3.3B).

Rysunek 3.3:

Klocek poruszaj ˛

acy si ˛e po dziurawym stole z punktu widzenia dwóch inercjalnych układów

odniesienia: A) zwi ˛

azanego ze stołem, B) zwi ˛

azanego z klockiem.

Problem pozostawili´smy na koniec tego rozdziału, gdy˙z okazuje si˛e on by´c do´s´c skompli-

kowany. W momencie, gdy klocek znajdzie si˛e cz˛e´sciowo nad dziur ˛

a, b˛edzie na niego działał

pewien moment siły, który wywoła ruch obrotowy. To mo˙ze bardzo skomplikowa´c spraw˛e. Aby

nieco upro´sci´c sobie ˙zycie przyjmiemy, ˙ze dziura zamkni˛eta jest zapadk ˛

a, która w układzie stołu

zostaje nagle usuni˛eta. Dzieje si˛e to w momencie, gdy klocek w cało´sci znajdzie si˛e nad otwo-

rem. Nasz problem jest jednak nast˛epuj ˛

acy: kwadrat w swoim układzie odniesienia nigdy w

cało´sci nie znajduje si˛e nad otworem, bo w momencie, gdy tylni wierzchołek znajdzie si˛e nad

dziur ˛

a, przedni powinien ju˙z by´c po drugiej stronie. Czy oznacza to, ˙ze w tym układzie klocek

nie ma szans wpa´s´c do dziury? Oczywi´scie, nie. Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze w układzie stołu cała

zapadka zostaje usuni˛eta jednocze´snie w chwili, gdy tylni wierzchołek znalazł si˛e nad otwo-

rem. Jednak w układzie klocka zapadka „znika” stopniowo, zaczynaj ˛

ac od drugiego brzegu

ROZDZIAŁ 3.

NIESZTYWNA BRYŁA SZTYWNA

dziury jeszcze zanim klocek znajdzie si˛e w cało´sci nad ni ˛

a. Pami˛etaj ˛

ac, ˙ze klocek nie mo˙ze

by´c uznany za brył˛e sztywn ˛

a zauwa˙zmy, ˙ze fragment spod którego usuni˛eto zapadk˛e zacznie

spada´c pomimo, ˙ze reszta klocka wci ˛

a˙z jeszcze znajduje si˛e na powierzchni stołu - rysunek

3.4. Z rysunku wida´c, ˙ze wewn ˛

atrz klocka pojawi ˛

a si˛e napi˛ecia, które strasznie skomplikuj ˛

a cał ˛

Rysunek 3.4:

Fragment klocka pod którym zapadka została usuni ˛eta „zsuwa si ˛e” do dziury zanim

jeszcze dowie si ˛e o tym reszta „kwadratu”. Prowadzi to naturalnie do powstawania silnych wewn ˛etrznych

napi ˛e´c.

dynamik˛e. Widzimy bowiem, ˙ze zwi˛eksza si˛e obj˛eto´s´c „kwadratowego” klocka. Napi˛ecia musz ˛

zatem istnie´c równie˙z w układzie inercjalnym zwi ˛

azanym ze stołem w którym cała zapadka znika

jednocze´snie. W momencie, gdy nacisk zapadki na klocek ustaje, jego dolna kraw˛ed´z zaczyna

swobodnie opada´c. Informacja o tym zaczyna si˛e rozchodzi´c pionowo wzdłu˙z klocka i dopiero

po pewnej chwili górna kraw˛ed´z równie˙z zaczyna spada´c. Powoduje to, ˙ze klocek rozci ˛

aga si˛e,

co wywołuje wła´snie wewn˛etrzne napi˛ecia w materiale.

Co gorsza, to jeszcze nie koniec komplikacji. ´Srodek masy klocka w układzie stołu pocz ˛

at-

kowo porusza si˛e poziomo, lecz po usuni˛eciu zapadki stopniowo nabywa pionowej składowej

pr˛edko´sci. Poniewa˙z skrócenie Lorentza ma miejsce zawsze w kierunku ruchu, to nawet je´sli

zaniedbamy efekty zwi ˛

azane z wewn˛etrznymi napi˛eciami, klocek zmieni kształt z prostok ˛

atnego

na równoległoboczny - rysunek 3.5 w zwi ˛

azku ze zmian ˛

a kierunku pr˛edko´sci . Oznacza to kolej-

ne ogromne komplikacje. Mo˙ze si˛e bowiem zdarzy´c, ˙ze pomimo i˙z ´srodek masy klocka spada,

to prawy, dolny wierzchołek podnosi si˛e ponad poziom stołu. W takiej sytuacji bardzo trudno

powiedzie´c, czy klocek wpadnie do dziury, czy nie. Potrzeba by tu bowiem szczegółowej anali-

zy zderzenia. Przykład ten pokazuje jak skomplikowany mo˙ze by´c relatywistyczny problem

bryły sztywnej. Pami˛etajmy, ˙ze zajmowali´smy si˛e geometri ˛

a kwadratu - jednym z najprostszych

mo˙zliwych przykładów.

3.5.

NAPI ˛

ECIA WEWN ˛

ETRZNE

Rysunek 3.5:

Ze zmian ˛

a kierunku pr ˛edko´sci klocka wi ˛

a˙ze si ˛e równie˙z zmiana kierunku skrócenia

Lorentza. Klocek, który w układzie spoczynkowym jest kwadratowy, w układzie stołu zmienia si ˛e z pros-

tok ˛

ata w równoległobok.

3.5

API ˛

ECIA WEWN ˛

ETRZNE

iemy ju˙z, ˙ze w poruszaj ˛

acych si˛e ciałach czasami musz ˛

a pojawi´c si˛e napi˛ecia wewn˛etrzne

wywołane odkształceniami. Z cał ˛

a pewno´sci ˛

a jednak napi˛e´c tych nie ma w bryle poruszaj ˛

acej

si˛e ze stał ˛

a pr˛edko´sci ˛

a, bo nie ma ich w układzie spoczynkowym bryły. Napi˛ecia nie mog ˛

a si˛e

przecie˙z pojawi´c w wyniku przej´scia do innego inercjalnego układu odniesienia!

Rysunek 3.6:

Tarcza wiruj ˛

aca z relatywistyczn ˛

a pr ˛edko´sci ˛

a wokół nieruchomego rdzenia.

Wyobra´zmy sobie teraz okr ˛

agły pier´scie´n wiruj ˛

acy wokół pionowego trzpienia, jak na ry-

sunku 3.6. Analizuj ˛

ac ruch ka˙zdego elementu pier´scienia osobno stwierdzamy, ˙ze w wyniku

ruchu stycznego do okr˛egu powinny one dozna´c skrócenia Lorentza. Zatem obwód całego pier´s-

cienia powinien si˛e skróci´c, co wymagałoby zmniejszenia promienia. Mimo relatywistycznego

ruchu, spoczywaj ˛

acy rdze´n uniemo˙zliwia jednak pier´scieniowi zmian˛e kształtu. Nie mo˙ze si˛e

on zatem lorentzowsko skróci´c i z tego powodu paradoksalnie powstan ˛

a wewn ˛

atrz pier´scienia

napi˛ecia, mimo ˙ze jego kształt nie uległ wcale zmianie. Oczywi´scie napr˛e˙zenia te nie maj ˛

a nic

wspólnego z działaniem siły od´srodkowej. Maj ˛

a one charakter czysto relatywistyczny. Jednak˙ze

ROZDZIAŁ 3.

NIESZTYWNA BRYŁA SZTYWNA

W rzeczywisto´sci siła od´srodkowa odgrywa tu najwa˙zniejsz ˛

a rol˛e. Nie trzeba si˛e w zasadzie

martwi´c, czy pier´scie´n zmniejszy swój promie´n, tylko czy siła od´srodkowa go nie rozsadzi.

Pytania

• W jaki sposób z zasady demokracji wynika, ˙ze skrócenie poruszaj ˛

acych obiektów, poprzeczne

do kierunku ruchu jest niemo˙zliwe?

• Czy to prawda, ˙ze skrócenie Lorentza jest efektem pozornym i wynika z tego, ˙ze ´swiatło

opuszczaj ˛

ace obserwowany obiekt potrzebuje sko´nczonego czasu by dotrze´c do obserwa-

tora?

• Czy ciała poruszaj ˛

ace si˛e ze stał ˛

a pr˛edko´sci ˛

a doznaj ˛

a wewn˛etrznych napi˛e´c w zwi ˛

azku ze

skróceniem Lorentza?

Zadania

• Otwarta stodoła oraz tyczka maj ˛

a długo´s´c spoczynkow ˛

a L. W układzie stodoły biegn ˛

acy z

relatywistyczn ˛

a pr˛edko´sci ˛

a V tyczkarz mo˙ze by´c bez trudu zamkni˛ety wewn ˛

atrz. Rozwa˙z

sytuacj˛e w układzie tyczkarza, w którym w pewnym momencie pierwszy koniec tyczki

uderzy w tyln ˛

a ´scian˛e stodoły. Poka˙z, ˙ze i w tym układzie tyczka zostanie zamkni˛eta

wewn ˛

atrz. W tym celu udowodnij, ˙ze ˙zaden sygnał pochodz ˛

acy od uderzenia, a propagu-

j ˛

acy si˛e wzdłu˙z tyczki nie zd ˛

a˙zy dotrze´c do jej drugiego ko´nca zanim ten nie znajdzie

si˛e wewn ˛

atrz (ruchomej w tym układzie) stodoły oraz, ˙ze ˙zaden sygnał propaguj ˛

acy si˛e

wzdłu˙z stodoły nie zd ˛

a˙zy dotrze´c do jej drzwi zanim wewn ˛

atrz znajdzie si˛e cała tyczka.

Rozdział 4

ŁOPOTY Z TEORI ˛

A KWANTOW ˛

tym rozdziale zajmiemy si˛e czym´s co z pewno´sci ˛

a zdziwi niejednego z Was. Opowiemy

o przedziwnym zwi ˛

azku pomi˛edzy skwantowaniem energii a szczególn ˛

a teori ˛

a wzgl˛edno´sci -

jednym z najbardziej fascynuj ˛

acych i dot ˛

ad niezrozumiałych zagadnie´n mechaniki kwantowej.

Dla ustalenia uwagi, skupimy si˛e na kwantowych wła´sciwo´sciach ´swiatła, a wszystko o czym

powiemy b˛edzie wynika´c z „niegro´znego” z pozoru faktu istnienia fotonów...

4.1

NTERFEROMETR

ACHA

-Z

EHNDERA

pójrzmy na rysunek 4.1 na którym znajduje si˛e schemat interferometru Macha-Zehndera. Uk-

ład składa si˛e z dwóch luster, dwóch płytek ´swiatłodziel ˛

acych, które przepuszczaj ˛

a połow˛e

´swiatła, a połow˛e odbijaj ˛

a oraz dwóch detektorów ´swiatła czułych na pojedyncze fotony.

Co si˛e stanie, gdy z lewej strony o´swietlimy strumieniem ´swiatła doln ˛

a płytk˛e? Oczywi´scie,

cz˛e´s´c ´swiatła odbije si˛e od niej i pójdzie „górn ˛

a” drog ˛

a, a cz˛e´s´c przeniknie przez płytk˛e i dalej

b˛edzie podró˙zowa´c „dołem”. Obie wi ˛

azki odbij ˛

a si˛e od luster i natrafi ˛

a na kolejn ˛

a płytk˛e na

której ponownie si˛e nało˙z ˛

a. A co b˛edzie potem? Okazuje si˛e, ˙ze całe ´swiatło dotrze tylko do

jednego detektora, cho´c wydaje si˛e, ˙ze cz˛e´s´c powinna dotrze´c tak˙ze i do drugiego. Oto dlaczego

tak si˛e dzieje. Poniewa˙z drogi górna i dolna s ˛

a równej długo´sci, zmiana fazy fali elektromagne-

tycznej podró˙zuj ˛

acej obiema drogami jest identyczna. Jednak˙ze ka˙zdemu odbiciu fali (od lustra

lub płytki ´swiatłodziel ˛

acej) towarzyszy dodatkowa zmiana fazy o

. W formalizmie zespolonym

pole elektryczne przy ka˙zdym odbiciu nale˙zy pomno˙zy´c przez −i.

Przeanalizujmy teraz jakie pole elektromagnetyczne dociera do górnego detektora. Cz˛e´s´c

pola podró˙zowała górn ˛

a cz˛e´sci ˛

a interferometru odbijaj ˛

ac si˛e po drodze 3 razy, czyli nale˙zy je

ROZDZIAŁ 4.

KŁOPOTY Z TEORI ˛

A KWANTOW ˛

Rysunek 4.1:

Schemat interferometru Macha-Zehndera.

pomno˙zy´c przez (−i)

= i. Pozostała cz˛e´s´c przechodz ˛

ac dołem odbiła si˛e tylko raz, czyli

mno˙zymy pole przez −i. Widzimy, ˙ze dodaj ˛

ac wkłady do całkowitego pola elektromagnety-

cznego pochodz ˛

ace od obu dróg otrzymujemy zero na powierzchni górnego detektora. Dlatego

wła´snie górny detektor niczego nie rejestruje. Analizuj ˛

ac w analogiczny sposób pole dociera-

j ˛

ace do dolnego detektora łatwo przekonujemy si˛e, ˙ze pola podró˙zuj ˛

ace alternatywnymi drogami

dodadz ˛

a si˛e. Wida´c, ˙ze pole nigdzie nie znika, tylko w cało´sci kumuluje si˛e w dolnym detek-

torze. Na razie wszystko jest do´s´c wiarygodne, jednak za chwil˛e dowiecie si˛e czego´s absolutnie

niesamowitego.

Poniewa˙z ka˙zdy strumie´n ´swiatła składa si˛e naprawd˛e z pojedynczych fotonów, zastanówmy

si˛e co b˛edzie si˛e działo gdy płytk˛e ´swiatłodziel ˛

ac ˛

a „o´swietlimy” pojedynczym fotonem. Do

którego detektora foton mo˙ze dotrze´c? Wydawa´c by si˛e mogło, ˙ze foton musi w jaki´s sposób

„zdecydowa´c si˛e” na jedn ˛

a z dróg i nie maj ˛

ac z czym interferowa´c b˛edzie równie cz˛esto wpadał

do jednego detektora co do drugiego, je´sli eksperyment b˛edziemy wielokrotnie powtarza´c. Co

prawda nie bardzo wiadomo co miałoby decydowa´c o wyborze przez foton tej a nie innej drogi,

4.2.

ZJAWISKO EPR I KWANTOWE ZACHWIANIE PRZYCZYNOWO ´SCI

ale czy przychodzi nam do głowy inne rozwi ˛

azanie? Okazuje si˛e, ˙ze musi nam przyj´s´c do głowy

inne rozwi ˛

azanie, bo nasze wnioski s ˛

a bł˛edne. W eksperymencie okazuje si˛e, ˙ze nawet u˙zywa-

j ˛

ac pojedynczych fotonów nie da si˛e „obudzi´c” górnego detektora. Znowu zawsze klika dolny!

Wygl ˛

ada wi˛ec na to, ˙ze foton z czym´s musi interferowa´c. Poniewa˙z w okolicy nie ma innych fo-

tonów musi zatem interferowa´c z samym sob ˛

a! Maj ˛

ac do dyspozycji dwa alternatywne sposoby

przebycia interferometru foton wybiera obydwa naraz podró˙zuj ˛

ac w pewnym sensie dwiema

drogami jednocze´snie! Powoli wkraczamy ju˙z na niebezpieczne tereny mechaniki kwantowej.

Dalej b˛edzie ju˙z coraz dziwniej. Pami˛etajmy jednak przez cały czas, ˙ze to nie wina teorii, ˙ze jest

dziwna. To raczej Natura jest przedziwna!

Z tego co powiedzieli´smy mo˙ze pozornie wynika´c, ˙ze z jednego fotonu robi ˛

a si˛e dwa. Czy

oznacza to, ˙ze energia nie jest zachowana? Aby to sprawdzi´c wystarczy postawi´c dwa detektory

tu˙z za pierwsz ˛

a płytk ˛

a ´swiatłodziel ˛

ac ˛

a. Zadaniem tych detektorów b˛edzie sprawdzenie któr˛edy

„naprawd˛e” podró˙zuje foton. I oto stanie si˛e co´s jeszcze dziwniejszego: b˛edzie klika´c zawsze

tylko jeden detektor, ale czasami pierwszy, a czasami drugi. To, który detektor kliknie w konkret-

nym przypadku jest zupełnie przypadkowe i niczym nieuzasadnione! Indeterminizm wyniku tego

eksperymentu jest, według doktryn mechaniki kwantowej fundamentalnym prawem przyrody.

Oto w jak dziwny sposób foton ratuje zasad˛e zachowania energii. Nasz eksperyment wygl ˛

ada

troch˛e tak, jakby foton poruszał si˛e dwiema drogami naraz, dopóki nikt nie próbuje sprawdzi´c

któr˛edy „naprawd˛e” przeszedł. Gdy jednak kto´s próbuje to zrobi´c stawiaj ˛

ac na dwóch drogach

detektory, foton zawsze zdecyduje si˛e na jedn ˛

a z alternatywnych mo˙zliwo´sci, zupełnie bez ˙zad-

nej przyczyny na t˛e, a nie inn ˛

a. W formalizmie kwantowomechanicznym taki „rozdwojony” stan

fotonu |Ψi zapisuje si˛e w nast˛epuj ˛

acy sposób:

|Ψi = |(foton przeszedł gór ˛

a)i + |(foton przeszedł dołem)i

(4.1)

i nazywa stanem superponowanym albo po prostu superpozycj ˛

a dwóch mo˙zliwo´sci. Na pozór

nasza kwantowa opowie´s´c nie ma nic wspólnego ze szczególn ˛

a teori ˛

a wzgl˛edno´sci, lecz za

chwil˛e przekonamy si˛e, ˙ze jednak ma, i to bardzo wiele.

4.2

JAWISKO

EPR

I KWANTOWE ZACHWIANIE PRZYCZYNO

WO ´SCI

o fotonów jeszcze powrócimy, a tymczasem teraz zajmiemy si˛e słynnym „paradoksem” Ein-

ROZDZIAŁ 4.

KŁOPOTY Z TEORI ˛

A KWANTOW ˛

steina-Podolskiego-Rosena. Oto jak si˛e on przedstawia. Wyobra´zmy sobie nieruchom ˛

a, radioak-

tywn ˛

a (rozpadaj ˛

ac ˛

a si˛e) cz ˛

astk˛e, której całkowity, wewn˛etrzny moment p˛edu (nazywany spinem)

jest równy zero. Gdyby cz ˛

astka była zwykł ˛

a kulk ˛

a, to powiedzieliby´smy po prostu, ˙ze si˛e ona

nie kr˛eci, ale wiemy, ˙ze cz ˛

astki to nie s ˛

a zwykłe kulki. Dlatego nale˙zy powiedzie´c, ˙ze ich spin

wynosi zero. Z zasady zachowania p˛edu wynika, ˙ze je´sli cz ˛

astka ta rozpadnie si˛e na dwie iden-

tyczne, mniejsze cz ˛

astki, to polec ˛

a one w przeciwnych kierunkach. Oprócz zasady zachowania

p˛edu musi by´c równie˙z spełniona zasada zachowania momentu p˛edu z której wynika, ˙ze je´sli

spin poszczególnych produktów rozpadu nie jest równy zero, to zawsze spin pierwszej cz ˛

astki

musi by´c skierowany przeciwnie ni˙z spin drugiej. By´c mo˙ze słyszeli´scie, ˙ze spin cz ˛

astek ele-

mentarnych nie mo˙ze by´c dowolny. Na przykład spin elektronu w pewnym układzie jednostek

wynosi

1
2

. Oznacza to, ˙ze mo˙ze on by´c skierowany w dowolnym kierunku, ale jego warto´s´c musi

by´c dla ka˙zdego elektronu taka sama.

Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, ˙ze produktami rozpadu s ˛

a wła´snie dwa elektrony. Skoro ich

spiny musz ˛

a by´c skierowane przeciwnie, to równie˙z dowolna składowa spinu musi mie´c ró˙zny

znak dla obu elektronów. Poniewa˙z składowe spinu elektronu mo˙zna mierzy´c eksperymentalnie,

to wnioskujemy st ˛

ad, ˙ze pomiar składowej spinu, na przykład wzdłu˙z osi z dla jednego elektronu

da zawsze wynik przeciwny ni˙z analogiczny pomiar składowej spinu dla drugiego elektronu.

W jaki sposób zapisa´c stan kwantowy pary elektronów wyprodukowanych w rozpadzie? S ˛

dwie mo˙zliwo´sci. Po pierwsze składowa spinu pierwszego elektronu mo˙ze by´c skierowana zgod-

nie z osi ˛

a z, a składowa spinu drugiego elektronu przeciwnie. Wówczas dwa elektrony byłyby

w stanie kwantowym | ↑i

| ↓i

. Jest te˙z druga, odwrotna mo˙zliwo´s´c w której elektrony s ˛

a w

stanie | ↓i

| ↑i

. Która z alternatyw zostanie w rzeczywisto´sci wybrana? W tym momencie na

my´sl przychodzi nast˛epuj ˛

aca analogia. Gdy zdejmiemy z nóg oba buty i jeden rzucimy w prawo,

a drugi w lewo, nie patrz ˛

ac który poleciał w któr ˛

a stron˛e, wydaje si˛e, ˙ze para butów b˛edzie

w podobnym stanie co para elektronów. Albo prawy but pofrun ˛

ał w prawo, a lewy w lewo,

albo na odwrót. Okazuje si˛e jednak, ˙ze sytuacja kwantowa jest diametralnie ró˙zna, bowiem

podobnie jak w przykładzie z poprzedniego podrozdziału zrealizowane zostan ˛

a obie alternatywy

jednocze´snie! W przypadku butów, ich skr˛etno´sci zostały ustalone ju˙z w momencie rzucania. W

przypadku elektronów, a˙z do momentu pomiaru kierunki ich spinów nie s ˛

a okre´slone. Całkowity

stan pary elektronów powstałych w rozpadzie jest postaci:

|Ψi = | ↑i

| ↓i

+ | ↓i

| ↑i

(4.2)

4.2.

ZJAWISKO EPR I KWANTOWE ZACHWIANIE PRZYCZYNOWO ´SCI

W gruncie rzeczy sytuacja jest bardzo podobna do omówionej w poprzednim podrozdziale.

Ró˙znica jest taka, ˙ze poprzednio rozwa˙zali´smy stan superponowany pojedynczego fotonu, a

teraz mówimy o superpozycji pary elektronów. Zanim nie wykonamy pomiaru, oba człony

superpozycji s ˛

a jednocze´snie „realizowane” i nie mo˙zna powiedzie´c czy „naprawd˛e” pierwsza

cz ˛

astka ma spin skierowany w gór˛e, czy w dół osi z. Bardzo podobny przykład został podany w

słynnej pracy Einsteina, Podolskiego i Rosena w której autorzy wyci ˛

agn˛eli wniosek, ˙ze je´sli

mechanika kwantowa jest „prawdziwa”, to elektrony musiałby si˛e ze sob ˛

a „skomunikowa´c”

dopiero w chwili pomiaru (je˙zeli ich spiny mierzone były jednocze´snie), aby unikn ˛

a´c złama-

nia zasady zachowania momentu p˛edu. Jednak˙ze tego typu komunikacja wymagałaby „u˙zycia”

przez elektrony sygnału poruszaj ˛

acego si˛e niesko´nczenie szybko, co jak wiemy jest do´s´c bolesne

z punktu widzenia szczególnej teorii wzgl˛edno´sci. Czy oznacza to, ˙ze mechanika kwantowa nie

jest dobr ˛

a teori ˛

a? Einstein uznał, ˙ze nie jest. My jednak spróbujemy mimo wszystko przyjrze´c

si˛e sprawie uwa˙zniej, tym bardziej, ˙ze pomimo swej „niecodzienno´sci” mechanika kwantowa

jeszcze ani razu, w ˙zadnym eksperymentalnym te´scie nie zawiodła. W dodatku, z nast˛epnego

podrozdziału dowiemy si˛e, ˙ze rzekome rozwi ˛

azanie problemu podane przez Einsteina nie jest

zgodne z rzeczywisto´sci ˛

a. Istnieje bowiem mo˙zliwo´s´c eksperymentalnej weryfikacji prawdzi-

wo´sci jego stwierdzenia.

Einstein nie mógł przełkn ˛

a´c faktu, ˙ze zjawisko o którym pisał wygl ˛

ada z punktu widzenia

mechaniki kwantowej dokładnie tak, jak gdyby elektrony wymieniały sygnały ponad´swietlne.

Pytanie, które si˛e narzuca to, czy mo˙zna by zastosowa´c efekt EPR do przesyłania informacji

ponad´swietlnych pomi˛edzy osobami dokonuj ˛

acymi pomiarów? Gdyby było to mo˙zliwe, wów-

czas zasady przyczynowo´sci uległyby zachwianiu o czym przekonali´smy si˛e ju˙z w rozdziale

1.5. Z drugiej strony osoba dokonuj ˛

aca pomiaru spinu dowiaduje si˛e jednocze´snie jaki b˛edzie

wynik analogicznego pomiaru na drugim elektronie mimo, ˙ze ten mo˙ze znajdowa´c si˛e ju˙z bardzo

daleko, a w przeciwie´nstwie do pary butów wynik nie był przed pomiarem okre´slony. Wygl ˛

ada

to tak, jakby´smy byli w stanie natychmiast dowiedzie´c si˛e o stanie odległego elektronu. Jednak˙ze

wynik naszego pomiaru jest, dokładnie jak w przypadku poprzedniego rozdziału, zupełnie przy-

padkowy. Co z tego, ˙ze natychmiast dowiadujemy si˛e o rezultacie odległego pomiaru, skoro nie

potrafimy wpływa´c na jego wynik? Nie potrafimy zmusi´c elektronu znajduj ˛

acego si˛e w ł ˛

acznym

stanie (4.1) do tego by jego spin był skierowany tak jak nam si˛e podoba. Dopiero gdyby to

nam si˛e udało, byliby´smy w stanie przesyła´c informacje przy pomocy „zjawiska EPR”. Natura

pomy´slała to naprawd˛e niezwykle chytrze. Cho´c mamy w r˛eku nielokalne (czyli oddziałuj ˛

ace na

odległo´s´c) zjawisko, nie potrafimy go u˙zy´c do kontrolowania obiektów na odległo´s´c ze wzgl˛edu

ROZDZIAŁ 4.

KŁOPOTY Z TEORI ˛

A KWANTOW ˛

na jego indeterminizm (fundamentaln ˛

a nieokre´slono´s´c wyników pomiarów). Pytanie czy to tylko

przypadek, zło´sliwe zrz ˛

adzenie losu, czy te˙z konsekwencja jakich´s bardziej fundamentalnych

praw? Tego nikt nie wie.

4.3

IERÓWNO ´SCI

ELLA

rzedziwna kwantowomechaniczna zasada mówi ˛

aca, ˙ze w ogólno´sci wynik pojedynczego po-

miaru nie jest przez nic okre´slony, budzi sprzeciw u wi˛ekszo´sci osób, które j ˛

a po raz pierwszy

poznaj ˛

a. Nic dziwnego. Słyszy si˛e na przykład: „Ja w to nigdy nie uwierz˛e! Na pewno ist-

nieje co´s, co sprawia, ˙ze foton odbija si˛e lub przechodzi przez płytk˛e ´swiatłodziel ˛

ac ˛

a. Prze-

cie˙z indeterminizm to absurd!”. Powstało nawet wiele konkurencyjnych teorii u˙zywaj ˛

acych za-

miast słowa „co´s”, terminu parametr ukryty. Teorie te mówi ˛

a: istniej ˛

a pewne, na razie niez-

nane (ukryte), parametry, które determinuj ˛

a wyniki pojedynczych pomiarów. Na przykład je´sli

chodzi o eksperyment z fotonem przechodz ˛

acym przez płytk˛e ´swiatłodziel ˛

ac ˛

a wydaje si˛e, ˙ze w

rzeczywisto´sci o tym czy foton odbije si˛e, czy przejdzie decyduje wła´snie jaki´s ukryty para-

metr. Podobnie na paradoks EPR patrzył Einstein. Twierdził on, ˙ze w momencie wytworzenia

pary elektronów, ich spiny s ˛

a ju˙z okre´slone. Okre´slone przez jaki´s niepoznany dot ˛

ad, ukryty

parametr.

Sytuacja radykalnie si˛e zmieniła, gdy w 1964 roku ukazała si˛e praca Bella zawieraj ˛

aca słynne

nierówno´sci nazwane pó´zniej jego nazwiskiem. Dzi˛eki nim, pojawiła si˛e mo˙zliwo´s´c ekspery-

mentalnego sprawdzenia, czy ukryte parametry istniej ˛

a, czy te˙z nie. Aby przedstawi´c ide˛e Bella,

powró´cmy do analizy paradoksu EPR. Przyjmijmy, ˙ze elektrony w chwili emisji ustalaj ˛

a mi˛edzy

sob ˛

a parametry: „ty bierzesz spin w gór˛e, ja bior˛e spin w dół i lecimy!”. Załó˙zmy, ˙ze obie cz ˛

astki

charakteryzuje parametr (lub zestaw parametrów) λ, okre´slaj ˛

acy kierunek spinu obu elektronów.

A jaka jest natura tych parametrów? Nie mam poj˛ecia i nic mnie to nie obchodzi! - mówi Bell.

Je˙zeli ukryte parametry rzeczywi´scie istniej ˛

a, to pr˛edzej czy pó´zniej zostan ˛

a odkryte, a na razie

po prostu zakładam, ˙ze jakie´s dziwne parametry nieznanej natury istniej ˛

a i decyduj ˛

a o wynikach

wszystkich pomiarów.

W eksperymencie my´slowym EPR u˙zyli´smy dwóch urz ˛

adze´n mierz ˛

acych spin wzdłu˙z tych

samych kierunków (wzdłu˙z osi z). Nic jednak nie zabrania nam ich zmieni´c! Mo˙zemy prze-

cie˙z urz ˛

adzenia mierz ˛

ace rzut spinu ustawi´c na pomiar ró˙znych składowych momentu p˛edu i

zobaczy´c jak wpłynie to na wyniki. Je´sli chcemy ukrytych parametrów, to musimy przyj ˛

a´c,

˙ze determinuj ˛

a one wynik ka˙zdego eksperymentu jaki przyjdzie nam do głowy wykona´c (czyli

4.3.

NIERÓWNO ´SCI BELLA

jak by´smy nie ustawili detektorów, wynik musi by´c zdeterminowany parametrem λ). Wynik

ka˙zdego eksperymentu mo˙ze by´c tylko: „w gór˛e” albo „w dół”. Trzeciego wyj´scia by´c nie mo˙ze.

Je˙zeli w wyniku pomiaru oka˙ze si˛e, ˙ze spin jest skierowany „w gór˛e”, to za wynik eksperymentu

przyjmiemy +1, a je´sli nie, to −1. Potem mo˙zemy wykona´c sto lub wi˛ecej eksperymentów i

obliczy´c jaki jest ´sredni wynik. Je´sli wyjdzie on zero, to znaczy, ˙ze tak samo cz˛esto spin trafia

si˛e skierowany „w gór˛e” jak i „w dół”. ´Srednia mo˙ze by´c te˙z dodatnia lub ujemna. Domy´slamy

si˛e co to oznacza. W pierwszym przypadku spin b˛edzie cz˛e´sciej ustawiony „w gór˛e”, a w drugim

cz˛e´sciej „w dół”. We´zmy sobie wi˛ec dwa detektory i jeden ustawmy w pewnym poło˙zeniu a, a

drugi w poło˙zeniu b. Nast˛epnie sprawd´zmy jakie s ˛

a wyniki pomiarów spinu dla obu cz ˛

astek. Oz-

naczmy przez A

(λ) wynik eksperymentu na pierwszym elektronie, a przez B

(λ) na drugim.

Jak wida´c, wyniki (mog ˛

ace jedynie przyj ˛

a´c warto´sci ±1) zale˙z ˛

a tylko od ustawienia detektorów

i ukrytego parametru. Co dalej? Powiedzmy sobie: te ukryte parametry, których nie znamy,

nie mog ˛

a by´c równie˙z przez nas nijak kontrolowane. Wi˛ec tak naprawd˛e, przypisywane s ˛

a one

elektronom losowo (w zasadzie, w naszej teorii musi istnie´c jaki´s czynnik, który decyduje o tym

jaki parametr zostaje w danym rozpadzie przypisany, ale my go nie potrafimy kontrolowa´c, wi˛ec

wychodzi na jedno).

Oznaczmy zbiór wszystkich mo˙zliwych parametrów przez Λ. Mo˙zemy jeszcze przyj ˛

a´c dla

ogólno´sci mo˙zliwo´s´c, ˙ze niektóre parametry trafiaj ˛

a si˛e cz˛e´sciej, a inne rzadziej, wi˛ec okre´slamy

jaki´s nieznany rozkład prawdopodobie´nstwa na zbiorze wszystkich parametrów p(λ). Im wi˛ek-

sza warto´s´c p(λ), tym cz˛e´sciej b˛edzie trafiał si˛e parametr λ. Suma wszystkich prawdopodo-

bie´nstw musi by´c równa jeden, tzn.

dλ p(λ) = 1. Skoro ju˙z to wszystko wiemy, mo˙zemy

przyst ˛

api´c do rachunków. Obliczmy najpierw, jaka jest ´srednia warto´s´c iloczynu wyników otrzy-

manych dla obu cz ˛

astek:

E(a, b) =

dλ p(λ)A

(λ)B

(λ).

(4.3)

Dodam tu istotn ˛

a uwag˛e: powy˙zszy wzór kamufluje pewne wa˙zne zało˙zenie. Mianowicie takie,

ze wyniki obu pomiarów s ˛

a niezale˙zne. Innymi słowy, pomiary dokonane na odległych cz ˛

astkach

nie maj ˛

a na siebie wpływu (zało˙zenie to nazywa si˛e postulatem lokalno´sci). Formalne zas-

tosowanie tego zało˙zenia polega na stwierdzeniu, ˙ze wynik pomiaru spinów mo˙ze by´c zapisany

w postaci iloczynu wyników dla pierwszego i drugiego elektronu osobno (to wcale nie jest takie

oczywiste i po prostu zakładamy, ˙ze tak jest!). Skorzystamy teraz z elementarnego twierdzenia

całkowego: |

f (x)| ≤

|f (x)|. Mo˙zemy dokona´c serii pomiarów przy pewnych ustawie-

ROZDZIAŁ 4.

KŁOPOTY Z TEORI ˛

A KWANTOW ˛

niach detektorów i obliczy´c warto´s´c ´sredni ˛

a, nast˛epnie powtórzy´c procedur˛e zmieniaj ˛

ac jeden z

kierunków, a na ko´ncu odj ˛

a´c od siebie otrzymane wyniki i wzi ˛

a´c warto´s´c bezwzgl˛edn ˛

a. Otrzy-

mamy wówczas:

|E(a

, b) − E(a

, b

)| ≤

dλ p(λ) |A

(λ)B

(λ) − A

(λ)B

(λ)|,

(4.4)

a jak si˛e uwa˙zniej przyjrze´c, to si˛e oka˙ze, ˙ze prawa strona mo˙ze by´c równie˙z zapisana w sprytny

sposób:

dλ p(λ) |A

| |B

(1 ± A

) − B

(1 ± A

)|.

(4.5)

Znak ± mo˙zemy sobie wybra´c na ko´ncu jaki nam si˛e spodoba. Dla prostoty pomin˛eli´smy w

zapisie zale˙zno´s´c wyników od parametru λ. Wiemy, ˙ze dla ka˙zdego λ mamy |A

(λ)| = 1.

Zatem to ostatnie równa si˛e po prostu:

dλ p(λ) |B

(1 ± A

) − B

(1 ± A

)| ≤

≤

dλ p(λ)

¯|B

|(1 ± A

) + |B

|(1 ± A

)

¯ =

dλ p(λ)

¯2 ± (A

+ A

)

¯ = 2 ± (E(a, b

) + E(a, b)).

(4.6)

W wyniku tych wszystkich zawiłych (cho´c przyznacie, niezbyt wyrafinowanych) rachunków,

dostajemy nierówno´s´c:

|E(a

, b) − E(a

, b

)| ≤ 2 ± (E(a, b

) + E(a, b)),

(4.7)

a z tego ju˙z łatwo otrzymujemy to, co nazywa si˛e szumnie „nierówno´sci ˛

a Bella” (wystarczy

sprytnie dobra´c znaki: raz plus, a raz minus w powy˙zszym wyra˙zeniu):

−2 ≤ S(a, b, a

, b

) ≤ 2,

(4.8)

gdzie

4.3.

NIERÓWNO ´SCI BELLA

S(a, b, a

, b

) = E(a, b) + E(a, b

) + E(a

, b) − E(a

, b

(4.9)

Chyba nikt nie spodziewa si˛e, ˙ze ten prosty wynik mo˙ze tak wiele znaczy´c! Zatem czeka Was

spora niespodzianka. Okazuje si˛e (te rachunki sobie ju˙z darujemy), ˙ze je´sli zapyta´c mechanik˛e

kwantow ˛

a, jaka jest warto´s´c kombinacji S dla pewnych szczególnych ustawie´n detektorów, to

oka˙ze si˛e, ˙ze mo˙zemy dosta´c wynik nawet S = 2

√

2. Ka˙zdy widzi, ˙ze łamie on nierówno´s´c Bella

(jest on przecie˙z wi˛ekszy ni˙z dwa!). Mamy nareszcie to, na co czekali´smy: znale´zli´smy mo˙zli-

wo´s´c eksperymentalnej weryfikacji przyj˛etych zało˙ze´n (determinizmu i lokalno´sci) w naszym

prostym modeliku. Wystarczy w odpowiedni sposób ustawi´c detektory, zmierzy´c przy ich po-

mocy spiny wielu par elektronów, obliczy´c warto´sci ´srednie i utworzy´c z nich kombinacj˛e S.

Je˙zeli otrzymany wynik przekroczy warto´s´c 2 (jak to przewiduje mechanika kwantowa), to

b˛edzie to bezpo´sredni dowód nieadekwatno´sci przyj˛etych zało˙ze´n do badanej sytuacji fizycznej!

Jaki jest werdykt? Eksperymenty badaj ˛

ace nierówno´sci Bella (w nieco zmienionej formie, przys-

tosowanej do mo˙zliwo´sci praktycznych) zostały ju˙z wykonane. Jak dot ˛

ad, ogłaszano jednogło´sne

werdykty na korzy´s´c mechaniki kwantowej: nierówno´sci Bella s ˛

a łamane! Có˙z to mo˙ze oz-

nacza´c? Na pewno tyle, ˙ze przyj˛ety przez nas ogólny model lokalnych teorii parametrów ukry-

tych nie jest poprawnym opisem praw przyrody. Wydaje si˛e, ˙ze nic sobie ona nie robi z naszych

zdroworozs ˛

adkowych oczekiwa´n.

Pytania

• Czy łamanie nierówno´sci Bella jest sprzeczne ze szczególn ˛

a teori ˛

a wzgl˛edno´sci?

• Czy ka˙zde zjawisko, które spełnia nierówno´sci Bella mo˙ze zosta´c opisane deterministy-

czn ˛

a teori ˛

• Czy ka˙zde zjawisko, które łamie nierówno´sci Bella musi by´c uznane za niedeterministy-

czne?

• Czy ka˙zde zjawisko, które łamie nierówno´sci Bella musi by´c uznane za nielokalne?

Zadania

ROZDZIAŁ 4.

KŁOPOTY Z TEORI ˛

A KWANTOW ˛

Rozdział 5

´S

WIATŁO

wycieczki po ´swiecie mechaniki kwantowej powracamy do teorii wzgl˛edno´sci. W tym roz-

dziale opiszemy kilka efektów relatywistycznych zwi ˛

azanych ze ´swiatłem. Oprócz słynnego

efektu Dopplera opowiemy tak˙ze o tym jak poruszaj ˛

acy si˛e o´srodek ci ˛

agnie za sob ˛

a propaguj ˛

ace

si˛e w nim ´swiatło oraz sprawdzimy, czy to prawda, ˙ze k ˛

at padania równy jest k ˛

atowi odbicia.

5.1

ELATYWISTYCZNY EFEKT

OPPLERA

aczniemy od relatywistycznego efektu Dopplera, o którym ka˙zdy z Was zapewne słyszał.

Je˙zeli ´swiatło emitowane jest przez ruchome ´zródło, to pr˛edko´s´c fali ´swietlnej nie zale˙zy od

pr˛edko´sci ´zródła. Natomiast od pr˛edko´sci ´zródła zale˙zy cz˛esto´s´c emitowanej fali. St ˛

ad bierze si˛e

wła´snie słynne „przesuni˛ecie ku czerwieni” widma oddalaj ˛

acych si˛e gwiazd i galaktyk. Niek-

tórzy twierdz ˛

a równie˙z, ˙ze z tego samego powodu ´swiatła zbli˙zaj ˛

acego si˛e samochodu s ˛

a białe,

ale oddalaj ˛

acego si˛e s ˛

a ju˙z czerwone.

Rozwa˙zmy zatem ´zródło, które w swoim spoczynkowym układzie inercjalnym emituje we

wszystkich kierunkach ´swiatło o długo´sci fali λ

. Niech w innym inercjalnym układzie odniesienia

´zródło to porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v o składowych radialnej i transwersalnej (v

, v

). Naszym

celem b˛edzie znalezienie długo´sci fali ´swiatła λ w tym układzie.

Jak wiadomo, ´swiatło nie jest niczym innym jak propaguj ˛

ac ˛

a si˛e fal ˛

a elektromagnetyczn ˛

Powiedzmy, ˙ze dwa kolejne w˛ezły takiej fali zostały wyemitowane w chwilach t

i t

gdy ´zródło

znajdowało si˛e w odległo´sciach r

i r

od obserwatora. Chwile odbioru ´swiatła wynosz ˛

a: t

i t

= t

. Znajdujemy st ˛

ad zarejestrowan ˛

a długo´s´c fali:

ROZDZIAŁ 5.

´SWIATŁO

λ = c(t

− t

) = c(t

− t

)

1 +

− r

c(t

− t

)

c(t

− t

)

1 − v

1 +

= λ

1 +

1 − v

(5.1)

gdzie czasy „primowane” oznaczaj ˛

a czasy mierzone w układzie zwi ˛

azanym ze ´zródłem. Wzór,

który otrzymali´smy ró˙zni si˛e od nierelatywistycznego wzoru na przesuni˛ecie Dopplera trady-

cyjnie o czynnik

1 − v

. Czynnik ten jest jednak bardzo wa˙zny, bo ujawnia mo˙zliwo´s´c

obserwowania przesuni˛ecia Dopplera dla ´zródła, które si˛e nie oddala, tylko obraca wokół obser-

watora. Jak wida´c, długo´sci fal elektromagnetycznych emitowanych przez oddalaj ˛

ace si˛e ´zródła

staj ˛

a si˛e wi˛eksze (czyli ´swiatło jest „bardziej czerwone”), podczas gdy ´zródła zbli˙zaj ˛

ace si˛e emi-

tuj ˛

a ´swiatło o mniejszej długo´sci (przesuni˛ecie „ku fioletowi”). To ostatnie stwierdzenie nie

jest jednak prawdziwe w ogólno´sci. Przyjrzyjcie si˛e wzorowi (5.1) - wynika z niego, ˙ze ´zródło

zbli˙zaj ˛

ace si˛e do obserwatora po pewnym spiralnym torze, mo˙ze nie doznawa´c przesuni˛ecia ku

fioletowi, a nawet by´c przesuni˛ete ku czerwieni! A kto´s mógłby pomy´sle´c, ˙ze efekt Dopplera

niczym go ju˙z nie zdziwi.

5.2

FEKT

„

UNOSZENIA

”

´SWIATŁA W PORUSZAJ ˛

ACYM SI ˛

O ´SRODKU

rzed nami kolejna niespodzianka. Zawsze gdy mówi si˛e, ˙ze pr˛edko´s´c ´swiatła wynosi c, nale˙zy

doda´c sakramentalne „w pró˙zni”. Wiadomo bowiem, ˙ze w o´srodkach takich jak szkło, czy woda,

pr˛edko´s´c ´swiatła jest mniejsza ni˙z c i nic nie stoi nawet na przeszkodzie, ˙zeby w tego typu

o´srodku od ´swiatła szybciej poruszał si˛e na przykład elektron. Pr˛edko´s´c fotonu w takim mate-

riale wynosi z grubsza

, gdzie n ≥ 1 jest współczynnikiem załamania. To dla o´srodka nieru-

chomego. A jaka jest pr˛edko´s´c ´swiatła w o´srodku o współczynniku załamania n i poruszaj ˛

acym

si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v? Czy równie˙z wynosi

? Nic podobnego!

Aby dosta´c poprawn ˛

a pr˛edko´s´c ´swiatła w poruszaj ˛

acym si˛e o´srodku, nale˙zy po prostu prze-

transformowa´c pr˛edko´s´c

z układu w którym o´srodek spoczywa do układu w którym si˛e porusza.

Je˙zeli w układzie o´srodka ´swiatło propaguje si˛e w kierunku osi x i chcemy odpowiedzie´c na py-

tanie jaka b˛edzie pr˛edko´s´c ´swiatła w układzie w którym o´srodek porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V

wzdłu˙z osi −x, wystarczy zastosowa´c wzór (2.16):

5.3.

ODBICIE ´SWIATŁA OD LUSTRA

− V

1 −

= c

c − nV
nc − V

(5.2)

Oznacza to ni mniej ni wi˛ecej, tylko ˙ze je´sli o´srodek porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a −

, to w tym

układzie ´swiatło spoczywa! Kto by si˛e spodziewał? Efekt wygl ˛

ada dokładnie tak, jakby o´srodek

„ci ˛

agn ˛

ał” za sob ˛

a ´swiatło lub je „unosił”. Dokładnie w taki sam sposób w jaki płyn ˛

aca rzeka

unosi pływaj ˛

ac ˛

a po niej kaczk˛e.

5.3

DBICIE ´SWIATŁA OD LUSTRA

iemy, ˙ze ´swiatło odbija si˛e od spoczywaj ˛

acego lustra pod takim samym k ˛

atem pod jakim pada.

Poniewa˙z długo´s´c fali odbitego ´swiatła jest taka sama co długo´s´c fali ´swiatła padaj ˛

acego, to z

zasady zachowania p˛edu (składowej równoległej do powierzchni lustra) otrzymujemy równo´s´c

k ˛

atów padania i odbicia. Wiemy bowiem, ˙ze p˛ed ´swiatła zale˙zy od długo´sci fali. Jednak porusza-

j ˛

ace si˛e lustro mo˙ze zmieni´c cz˛esto´s´c odbijanego ´swiatła. Dlatego aby w odbiciu zachowana była

składowa p˛edu równoległa do powierzchni lustra, k ˛

at odbicia musi ró˙zni´c si˛e od k ˛

ata padania.

Nie poznali´smy jeszcze zasad relatywistycznej dynamiki, ale zwi ˛

azek pomi˛edzy obydwoma k ˛

tami mo˙zna znale´z´c wył ˛

acznie przy u˙zyciu tego co ju˙z wiemy.

Rysunek 5.1:

Odbicie ´swiatła od nieruchomego lustra.

Rozwa˙zmy (primowany) układ współrz˛ednych w którym o´s x

jest prostopadła do nieru-

chomego lustra - rysunek 5.1. Poniewa˙z w tym układzie cz˛esto´s´c ´swiatła nie zmienia si˛e przy

odbiciu, to k ˛

at padania jest równy k ˛

atowi odbicia, θ

. Zatem składowa x

pr˛edko´sci fali pada-

j ˛

acej jest równa v

= −c sin θ

, a fali odbitej v

= c sin θ

. Odpowiednie składowe pr˛edko´sci w

ROZDZIAŁ 5.

´SWIATŁO

układzie w którym lustro porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V wzdłu˙z osi x mo˙zna łatwo znale´z´c korzys-

taj ˛

ac ze wzoru odwrotnego do (2.16):

−c sin θ

+ V

1 −

sin θ

= −c sin θ

(5.3)

c sin θ

+ V

1 +

sin θ

= c sin θ

gdzie θ

jest k ˛

atem padania ´swiatła, a θ

jest k ˛

atem odbicia. Widzimy, ˙ze dla V = 0 oba k ˛

aty s ˛

równe: θ

= θ

. Aby znale´z´c zale˙zno´s´c jednego k ˛

ata od drugiego, pozbywamy si˛e θ

z równa´n

(5.3) otrzymuj ˛

ac zwi ˛

azek:

sin θ

= sin θ

1 + 2

sin

−1

1 + 2

sin θ

(5.4)

Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze dla lustra którego pr˛edko´s´c d ˛

a˙zy do pr˛edko´sci ´swiatła mamy:

lim

V →c

sin θ

= 1,

(5.5)

czyli θ

d ˛

a˙zy do

. Łatwo jest „machaj ˛

ac r˛ekami” wytłumaczy´c, dlaczego k ˛

at odbicia jest wi˛ek-

szy ni˙z k ˛

at padania. Otó˙z ´swiatło padaj ˛

ace pod jakim´s k ˛

atem posiada pewn ˛

a składow ˛

a p˛edu

równoległego do powierzchni lustra. W wyniku odbicia składowa ta nie mo˙ze si˛e zmieni´c. Jed-

nak˙ze je˙zeli lustro porusza si˛e tak jak w omawianym przykładzie, to podczas odbicia skraca si˛e

długo´s´c fali ´swiatła, czyli zwi˛eksza si˛e jego p˛ed. Aby skompensowa´c t˛e zmian˛e p˛edu ´swiatło

musi odbi´c si˛e pod wi˛ekszym k ˛

atem dzi˛eki czemu p˛ed „poprzeczny” udaje si˛e zachowa´c. Oczy-

wi´scie je˙zeli pr˛edko´s´c lustra jest niewielka w porównaniu z pr˛edko´sci ˛

a ´swiatła V ¿ c, efekt

Dopplera prawie nie wyst˛epuje i k ˛

at padania jest niemal równy k ˛

atowi odbicia.

Pytania

• Czy ´zródło ´swiatła, którego odległo´s´c od inercjalnego obserwatora stale si˛e zwi˛eksza jest

zawsze charakteryzowana widmem przesuni˛etym ku czerwieni?

• Czy dowolne ´zródło ´swiatła, którego odległo´s´c od inercjalnego obserwatora stale si˛e zm-

niejsza jest zawsze charakteryzowana widmem przesuni˛etym ku fioletowi?

5.3.

ODBICIE ´SWIATŁA OD LUSTRA

• Czy k ˛

at padania ´swiatła na lustro jest zawsze równy k ˛

atowi odbicia?

• Czy pr˛edko´s´c ´swiatła w rzece wzgl˛edem brzegu rzeki zale˙zy od pr˛edko´sci wody?

Zadania

• ´Zródło ´swiatła porusza si˛e wzgl˛edem spoczywaj ˛

acego obserwatora wzdłu˙z krzywolin-

iowego toru ze z pewn ˛

a stał ˛

a co do warto´sci pr˛edko´sci ˛

a w taki sposób, ˙ze widmo ´swiatła

rejestrowane przez obserwatora jest dokładnie takie jak dla ´zródła spoczywaj ˛

acego. Dla

jakiej warto´sci pr˛edko´sci przeci ˛

a˙zenia, których doznaje ´zródło s ˛

a najwi˛eksze?

ROZDZIAŁ 5.

´SWIATŁO

Rozdział 6

OZORNE DEFORMACJE RUCHOMYCH

OBIEKTÓW

biekty poruszaj ˛

ace si˛e z du˙zymi pr˛edko´sciami ulegaj ˛

a skróceniu Lorentza. Wydawa´c by

si˛e mogło, ˙ze lec ˛

aca szybko na miotle Baba Jaga b˛edzie wygl ˛

adała na „krótsz ˛

a” ni˙z w czasie

spoczynku. Nic podobnego! Baba Jaga b˛edzie rzeczywi´scie krótsza, ale jej wygl ˛

ad b˛edzie zu-

pełnie inny. Brzmi od rzeczy? Problem polega na tym, ˙ze to co widzimy to ´swiatło docieraj ˛

ace

do naszych oczu od poruszaj ˛

acego si˛e obiektu. W wyniku tego, ˙ze rozwa˙zany obiekt sam porusza

si˛e z pr˛edko´sciami porównywalnymi z pr˛edko´sci ˛

a ´swiatła, jego obraz b˛edzie bardzo zniekształ-

cony. W tym rozdziale zajmiemy si˛e wła´snie tym zagadnieniem. Spróbujemy odpowiedzie´c na

pytanie, jak wygl ˛

adaj ˛

a proste, geometryczne obiekty w relatywistycznym ruchu.

6.1

BRAZ PORUSZAJ ˛

ACEGO SI ˛

E OKR ˛

EGU

ozpoczniemy od analizy obrazu okr˛egu poruszaj ˛

acego si˛e wzdłu˙z swojej ´srednicy. Wiemy ju˙z

z poprzednich rozdziałów, ˙ze rzeczywistym kształtem takiego „okr˛egu” jest elipsa. Musimy si˛e

teraz zastanowi´c w jaki sposób okre´sli´c jego wygl ˛

ad. Innymi słowy spróbujemy wywnioskowa´c

jak wygl ˛

adałaby fotografia okr˛egu.

Przede wszystkim b˛edziemy potrzebowa´c równania okre´slaj ˛

acego rzeczywiste poło˙zenie pun-

któw na okr˛egu. W jego układzie spoczynkowym mo˙ze ono na przykład by´c postaci x

+ y

, z

= d. Stosuj ˛

ac transformacj˛e Lorentza bez trudu znajdujemy równanie okre´slaj ˛

ace kształt

„okr˛egu” w układzie w którym porusza si˛e on wzdłu˙z osi x z pr˛edko´sci ˛

a V :

ROZDZIAŁ 6.

POZORNE DEFORMACJE RUCHOMYCH OBIEKTÓW

(x − V t)

1 − V

+ y

= R

, z = d.

(6.1)

Rozwa˙zmy teraz promienie ´swiatła emitowane przez ten okr ˛

ag, które dotarły do aparatu fo-

tograficznego umieszczonego w pocz ˛

atku układu współrz˛ednych w chwili t

. Ich „równanie

ruchu” jest postaci: x

+ y

+ z

= c

− t)

. Je˙zeli potraktujemy nasze równania jako układ,

to jego rozwi ˛

azaniem b˛edzie zbiór zdarze´n w czasoprzestrzeni w których zostało wyemitowane

´swiatło docieraj ˛

ace do aparatu. Z układu tego nale˙zy w pierwszej kolejno´sci wyeliminowa´c

t, gdy˙z nie interesuj ˛

a nas chwile emisji, tylko punkty z których ´swiatło zostało wyemitowane.

Wyznaczaj ˛

ac t z drugiego równania i wstawiaj ˛

ac do (6.1) dostajemy równanie czwartego stopnia:

(x − V t

+ y

+ d

)

1 − V

+ y

= R

(6.2)

Rozwi ˛

azaniem równania jest krzywa czwartego stopnia, której kształt wyznaczyli´smy numerycznie

- rysunek 6.1. Wynik jest zaiste piorunuj ˛

acy. Na rysunku znajduj ˛

a si˛e zbiory punktów z których

emitowane było ´swiatło docieraj ˛

ace do aparatu w okre´slonych chwilach. Przyj˛eli´smy, ˙ze okr ˛

o promieniu R = 1 poruszał si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V = 0.9c, a jego odległo´s´c od płaszczyzny (x, y)

wynosiła d =

1
2

. Z rysunku wynika, ˙ze zbli˙zaj ˛

acy si˛e okr ˛

ag wygl ˛

ada na niesłychanie wydłu˙zony,

a oddalaj ˛

acy si˛e przypomina kształtem banan.

Wykonane fotografie b˛ed ˛

a nieco ró˙zni´c si˛e od obrazów znajduj ˛

acych si˛e na rysunku 6.1 je´sli

aparat b˛edzie ustawiony pod pewnym k ˛

atem do płaszczyzny ruchu okr˛egu. W zwi ˛

azku z tym,

obraz efektywnie ulegnie dodatkowemu „´sci´sni˛eciu” wzdłu˙z osi x. Oka˙ze si˛e, ˙ze po uwzgl˛ed-

nieniu tego ´sci´sni˛ecia, elipsa w chwili t

= 0 b˛edzie wygl ˛

ada´c jak idealny okr ˛

ag, o ile aparat

b˛edzie „celował” w jej ´srodek. Poniewa˙z jednak ludzkie oko (i mózg) posiada zdolno´s´c dostrze-

gania gł˛ebi obrazu, efekt ten b˛edzie w zasadzie „sztuczny” równie˙z dlatego, ˙ze widmo ´swiatła

ró˙znych punktów okr˛egu b˛edzie przesuni˛ete dopplerowsko w ró˙zny sposób. Punkty zbli˙zaj ˛

acego

si˛e okr˛egu, które s ˛

a bardziej odległe od obserwatora b˛ed ˛

a wydawa´c si˛e niebieskawe, a te bli˙zej

czerwonawe. Gdyby natomiast poruszaj ˛

acy si˛e okr ˛

ag został o´swietlony od tyłu, jego cie´n byłby

rzeczywi´scie okr ˛

agły w chwili t

= 0.

Podobn ˛

a analiz˛e mo˙zemy powtórzy´c dla dowolnego płaskiego ciała, którego kształt w spoczynku

opisuje równanie postaci F (x, y) = 0, poruszaj ˛

acego si˛e w swej płaszczy´znie z pr˛edko´sci ˛

a v

wzdłu˙z osi x. (F jest pewn ˛

a funkcj ˛

a dwóch zmiennych). Dla takiego kształtu, pozorny obraz

zarejestrowany przez aparat fotograficzny w chwili t

jest dany równaniem:

6.1.

OBRAZ PORUSZAJ ˛

ACEGO SI ˛

E OKR ˛

EGU

Rysunek 6.1:

Punkty poruszaj ˛

acego si ˛e okr ˛egu z których dobiega ´swiatło do aparatu fotograficznego.

„Zdj ˛ecia” robione s ˛

a w równych odst ˛epach czasu, pr ˛edko´s´c okr ˛egu wynosi

0.9c

, a odległo´s´c aparatu od

płaszczyzny ruchu równa jest

ROZDZIAŁ 6.

POZORNE DEFORMACJE RUCHOMYCH OBIEKTÓW

x −

(ct

−

+ y

+ d

)

1 − v

, y

= 0.

(6.3)

Dla urozmaicenia przeanalizujmy jako przykład kontur przedstawiaj ˛

acy rower [4] - rysunek 6.2.

Rysunek 6.2:

Spoczywaj ˛

acy rower.

Analiza nie jest zbyt skomplikowana, bo rower składa si˛e wył ˛

acznie z odcinków i okr˛egów,

opisywanych elementarnymi równaniami. Dlatego posługuj ˛

ac si˛e równaniem (6.3) mo˙zemy

przeanalizowa´c wygl ˛

ad ka˙zdego z tych elementów osobno, a nast˛epnie zło˙zy´c otrzymane kształ-

ty w jedn ˛

a cało´s´c. Numeryczne rozwi ˛

azania tego równania znajduj ˛

a si˛e na rysunku 6.3. S ˛

a na

nim „fotografie” roweru jad ˛

acego z pr˛edko´sci ˛

a v = 0.8c wykonane z odległo´sci równej ´srednicy

koła roweru w kilku równych odst˛epach czasu. Przyznacie, ze zdj˛ecia s ˛

a niezwykle zaskaku-

j ˛

ace! Na trzecim od góry zdj˛eciu, ´srodek przeje˙zd˙zaj ˛

acego roweru akurat mijał obserwatora.

Wcze´sniejsze zdj˛ecia ukazuj ˛

a rower zbli˙zaj ˛

acy si˛e, podczas gdy na kolejnych rower ju˙z oddala

si˛e od aparatu.

6.2

BRAZ PORUSZAJ ˛

ACEJ SI ˛

E KULI

kazuje si˛e, ˙ze bardzo interesuj ˛

acymi własno´sciami „optycznymi” mo˙ze poszczyci´c si˛e porusza-

j ˛

aca si˛e kula. Przekonamy si˛e za chwil˛e, ˙ze niezale˙znie od kierunku i warto´sci pr˛edko´sci, cie´n

rzucany przez ni ˛

a na płaszczyzn˛e prostopadł ˛

a do kierunku padania promieni jest zawsze okr ˛

agły.

Rozwa˙zmy dowolny, spoczynkowy układ kuli - rysunek 6.4. W tym układzie „obwódka”

kuli jest okr ˛

agła. Mo˙zemy to stwierdzi´c badaj ˛

ac punkty na obwiedni kuli z których do obser-

watora docieraj ˛

a promienie ´swiatła w okre´slonej chwili. Przykładowy bieg tych promieni jest

przedstawiony na rysunku.

Zagadnienie przedstawione w tym podrozdziale pochodzi z pracy [5].

6.2.

OBRAZ PORUSZAJ ˛

ACEJ SI ˛

E KULI

Rysunek 6.3:

Fotografie roweru jad ˛

acego z pr ˛edko´sci ˛

v = 0.8c

wykonane z odległo´sci równej ´srednicy

koła roweru w kilku równych odst ˛epach czasu. W chwili wykonywania trzeciej fotografii ´srodek roweru

wła´snie mijał aparat fotograficzny.

ROZDZIAŁ 6.

POZORNE DEFORMACJE RUCHOMYCH OBIEKTÓW

Rysunek 6.4:

Kula widziana w dowolnym spoczynkowym układzie odniesienia.

Oznaczmy w układzie spoczynkowym kuli wersor skierowany od obserwatora do ´srodka kuli

przez a

, natomiast wektor od obserwatora do punktu w którym promie´n ´swiatła rozpoczyna swój

bieg przez r

. K ˛

at pomi˛edzy a

oraz r

oznaczmy przez θ

. Wówczas równanie sto˙zka ´swietlnego:

· a

= x

+ y

+ z

= r

cos θ

= −ct

cos θ

(6.4)

okre´sla bieg promieni wyemitowanych w chwili t

< 0, które dotarły do obserwatora w chwili

= 0. Analogiczne równanie promieni docieraj ˛

acych do obserwatora poruszaj ˛

acego si˛e z pr˛ed-

ko´sci ˛

a V wzdłu˙z osi x w chwili, gdy obserwatorzy mijaj ˛

a si˛e jest postaci:

x − V t

1 − V

+ ya

+ za

= −c

t − xV /c

1 − V

cos θ

(6.5)

Otrzymali´smy je dokonuj ˛

ac transformacji Lorentza współrz˛ednych i czasu wyst˛epuj ˛

acych w

poprzednim równaniu. Po pomno˙zeniu obu stron przez dowoln ˛

a stał ˛

a N i drobnych przekształ-

ceniach dostajemy st ˛

ad:

− V cos θ

1 − V

N + yNa

+ zNa

= −ctN

cos θ

− V a

1 − V

(6.6)

6.2.

OBRAZ PORUSZAJ ˛

ACEJ SI ˛

E KULI

Przyjrzyjmy si˛e uwa˙znie otrzymanemu wyra˙zeniu, jest ono w zasadzie tej samej postaci co rów-

nanie (6.4), tylko zapisane przy u˙zyciu współrz˛ednych nieprimowanych oraz z innym wersorem

i k ˛

atem. Po podstawieniu

= N

− V cos θ

1 − V

= Na

(6.7)

= Na

cos θ = N

cos θ

− V a

1 − V

i wybraniu N w taki sposób by długo´s´c wersora a wynosiła 1, otrzymujemy równanie:

r · a = xa

+ ya

+ za

= −ct cos θ,

(6.8)

które jest tak˙ze równaniem sto˙zka, co oznacza, ˙ze cie´n rzucany przez poruszaj ˛

ac ˛

a si˛e kul˛e jest

wci ˛

a˙z okr ˛

agły. Co prawda wybrali´smy szczególn ˛

a chwil˛e obserwacji t

= t

= 0, jednak ze

wzgl˛edu na dowolno´s´c poło˙zenia kuli w układzie primowanym, nasz wynik jest zupełnie ogólny:

kula poruszaj ˛

aca si˛e z dowoln ˛

a, stał ˛

a pr˛edko´sci ˛

a zawsze rzuca okr ˛

agły cie´n. W ró˙znych układach

cie´n b˛edzie padał z ró˙znych kierunków a i b˛edzie miał ró˙zne rozmiary θ, jednak b˛edzie zawsze

okr ˛

agły.

Pytania

• Czy na podstawie analizy pozornego kształtu ruchomej kuli mo˙zemy co´s powiedzie´c o po-

zornym kształcie ruchomego okr˛egu w chwili, gdy okr ˛

ag ten mija obserwatora? Uzasadnij

odpowied´z analiz ˛

a równania (6.3).

ROZDZIAŁ 6.

POZORNE DEFORMACJE RUCHOMYCH OBIEKTÓW

Zadania

• Wzgl˛edem spoczywaj ˛

acego obserwatora porusza si˛e prostoliniowo i ze stał ˛

a pr˛edko´sci ˛

niewielki obiekt. Jego pozorna pr˛edko´s´c wynosi 2c. Jaka jest rzeczywista pr˛edko´s´c obiektu?

Obserwator znajduje si˛e w punkcie przecinaj ˛

acym tor ruchu.

Rozdział 7

YNAMIKA RELATYWISTYCZNA

otychczas zajmowali´smy si˛e w zasadzie relatywistyczn ˛

a kinematyk ˛

a i jej konsekwencjami.

To zabawne, ˙ze materiał ten w nierelatywistycznej mechanice jest niemal „trywialny” i na wi˛ek-

szo´sci wykładów po´swi˛eca mu si˛e z tego powodu bardzo niewiele czasu. O wiele szerszym

działem mechaniki jest nierelatywistyczna dynamika. Poniewa˙z w naszym wykładzie kładziemy

nacisk na nowe poj˛ecia i zjawiska niewyst˛epuj ˛

ace w wersji nierelatywistycznej, dynamice po´s-

wi˛ecimy jedynie jeden obszerny rozdział analizuj ˛

ac ró˙znice pomi˛edzy dynamik ˛

a relatywisty-

czn ˛

a i nierelatywistyczn ˛

a. Poniewa˙z istnieje mi˛edzy nimi cała masa podobie´nstw, nie b˛edzie

konieczne rozwa˙zanie wielu przykładów, bo ich nierelatywistyczne odpowiedniki s ˛

a zazwyczaj

szczegółowo omawiane na kursach mechaniki klasycznej. Uogólnienie na wersj˛e relatywisty-

czn ˛

a, o ile jest mo˙zliwe, jest zazwyczaj naturalne (wyj ˛

atkiem mo˙ze by´c szczegółowa analiza

ruchu bryły sztywnej).

7.1

ZTEROWEKTORY

odobnie jak w trójwymiarowej przestrzeni wygodnym poj˛eciem jest wektor posiadaj ˛

acy trzy

niezale˙zne składowe, tak w czterowymiarowej czasoprzestrzeni równie wygodnym obiektem jest

czterowektor. Oczywi´scie naturalnym kandydatem na czterowektor jest zbiór liczb okre´slaj ˛

acych

poło˙zenie i chwil˛e zaj´scia jakiego´s zjawiska (ct, x, y, z), albo w skrócie (ct, r). Czynnik c został

wprowadzony, aby wymiar wszystkich składowych czterowektora był jednakowy. Z poprzednich

rozdziałów wiemy ju˙z w jaki sposób transformuje si˛e czterowektor pomi˛edzy ró˙znymi układami

współrz˛ednych, przechodz ˛

ac z (ct, r) w (ct

, r

). Transformacja Lorentza opisuj ˛

aca owo przej-

´scie zachowuje, jak wiemy wielko´s´c (ct)

− r

, któr ˛

a mo˙zemy nazwa´c kwadratem „długo´sci”

ROZDZIAŁ 7.

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

czterowektora. Ten prosty przykład podsuwa nam pomysł na uogólnienie poj˛ecia czterowek-

tora w nast˛epuj ˛

acy sposób. Czterowektorem (A

, A

) albo (A

, A) nazywamy wielko´s´c,

która pod wpływem przej´scia do układu inercjalnego poruszaj ˛

acego si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V wzdłu˙z

osi x przechodzi w (A

, A

) równ ˛











−A

V /c

√

1−V

−A

V /c

√

1−V

= A

(7.1)

oraz analogicznie pod wpływem innych transformacji układu odniesienia. Nasza definicja mówi

po prostu, ˙ze czterowektorem jest wszystko co transformuje si˛e jak „czteropoło˙zenie” (ct, r),

czyli nie zmienia swojej czterowektorowej długo´sci. Czterowektory b˛edziemy oznacza´c małym

kwadracikiem A

, aczkolwiek notacja ta zostanie wprowadzona wył ˛

acznie na potrzeby tego

wykładu (o dziwo nie ma sensownego zapisu czterowektora podobnego do stawiania strzałki

nad zwykłym wektorem).

Z łatwo´sci ˛

a sprawdzamy, ˙ze pod wpływem transformacji (7.1) wyra˙zenie A

−A

nie zmienia

swojej warto´sci, czyli jest równe A

− A

. Nie mo˙zemy przepu´sci´c tak niepowtarzalnej okazji

i nie nazwa´c powy˙zszego wyra˙zenia kwadratem długo´sci naszego dowolnego czterowektora.

Wszak˙ze w fizyce (jak równie˙z w matematyce) ka˙zdy niezmiennik jest wa˙zny i zostaje przeto ob-

darowany nazw ˛

a (wyznacznik macierzy w algebrze, długo´s´c i odst˛ep czasu w mechanice niere-

latywistycznej, ładunek elektryczny w elektrodynamice, kwadrat modułu funkcji falowej w me-

chanice kwantowej - wszystkie te wielko´sci s ˛

a wa˙zne dlatego, ˙ze si˛e nie zmieniaj ˛

a pod wpływem

pewnych przekształce´n). Mo˙zna bez trudu sprawdzi´c, ˙ze dla dowolnej pary czterowektorów A

i B

transformacja Lorentza nie zmienia warto´sci wyra˙zenia A

− A

, a

tak˙ze długo´sci czterowektora równego sumie (cztero)wektorowej A

+ B

7.2

ZTEROP ˛

a razie zdefiniowali´smy sobie w abstrakcyjny sposób nowe i ogólne poj˛ecie czterowektora.

Przydałby si˛e teraz jaki´s przykład. Prosz˛e bardzo. Rozpatrzmy czterowektor nast˛epuj ˛

acej postaci:

7.2.

CZTEROP ˛

1 − v

(7.2)

Czy rzeczywi´scie jest to czterowektor? Aby to sprawdzi´c, wystarczy zastosowa´c transformacj˛e

(7.1) i porówna´c wynik z obiektem uzyskanym z (7.2) poprzez transformacj˛e pr˛edko´sci wyst˛epu-

j ˛

acej we wzorze. Chwilowo odło˙zymy to zadanie do dalszej cz˛e´sci, a teraz przekonamy si˛e je-

dynie, ˙ze długo´s´c wyra˙zenia (7.2) rzeczywi´scie nie zmienia si˛e przy zmianie układu odniesienia.

Wynosi ona:

1 − v

−

1 − v

= c

(7.3)

Otrzymali´smy stał ˛

a c

, co oznacza, ˙ze po zastosowaniu transformacji Lorentza równie˙z otrzy-

mamy t˛e sam ˛

a stał ˛

a. Znaleziony czterowektor ma ju˙z nawet własn ˛

a nazw˛e: czteropr˛edko´s´c.

Nietrudno zreszt ˛

a zauwa˙zy´c czemu. Z czteropr˛edko´sci mo˙zemy zbudowa´c wiele innych czte-

rowektorów. Na przykład mno˙z ˛

ac wyra˙zenie (7.2) przez dowoln ˛

a stał ˛

a m otrzymamy nowy

czterowektor, którego kwadrat długo´sci wynosi m

1 − v

(7.4)

Jeste´smy ju˙z blisko słynnego mc

. Có˙z to za czterowektor? Aby zacz ˛

a´c rozumie´c co otrzyma-

li´smy, rozwi´nmy poszczególne składowe w szereg wokół małych pr˛edko´sci do drugiego rz˛edu

(wł ˛

acznie):

1 − v

≈ mc +

+ . . .

(7.5)

1 − v

≈ mv + . . .

Wzory zaczynaj ˛

a wygl ˛

ada´c znajomo: w rozwini˛eciu pierwszej składowej znajdujemy wyra˙zenie

na energi˛e kinetyczn ˛

a cz ˛

astki o masie m poruszaj ˛

acej si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v. Znane z przedszkola

wyra˙zenie

jest przeskalowane o addytywny czynnik mc

i dodatkowo podzielone przez c.

ROZDZIAŁ 7.

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

Rysunek 7.1:

Dwie jednakowe kule zderzaj ˛

ace si ˛e spr ˛e˙zy´scie w układzie ´srodka masy.

Natomiast pierwszy człon rozwini˛ecia drugiego wyra˙zenia wygl ˛

ada jak p˛ed tej samej cz ˛

astki.

Czy to rzeczywi´scie mo˙zliwe, ˙ze otrzymane wyra˙zenia okre´slaj ˛

a relatywistyczn ˛

a energi˛e swo-

bodn ˛

a (podzielon ˛

a przez c dla ujednolicenia jednostek) i relatywistyczny p˛ed? Koniecznie to

sprawd´zmy rozwa˙zaj ˛

ac przypadek zderzenia spr˛e˙zystego dwóch ciał. Je˙zeli oka˙ze si˛e, ˙ze we

wszystkich mo˙zliwych układach odniesienia spełniona jest zasada zachowania naszych kandy-

datów na energi˛e swobodn ˛

a i p˛ed, to oznacza´c to b˛edzie, ˙ze zaproponowane wyra˙zenia, nazwi-

jmy je roboczo E i p:

E =

1 − v

(7.6)

p =

1 − v

rzeczywi´scie s ˛

a energi ˛

a i p˛edem. Rozpatrzmy najprostszy mo˙zliwy przypadek dwóch identycz-

nych kul zderzaj ˛

acych si˛e spr˛e˙zy´scie w układzie ´srodka masy - rysunek 7.1. Jak wida´c, do-

puszczamy sytuacj˛e ogóln ˛

a, w której zderzenie nie musi by´c centralne.

Po zderzeniu pr˛edko´sci obu kul musiały mie´c jednakow ˛

a warto´s´c i by´c przeciwnie skierowane.

Nie wynika to z zasady zachowania p˛edu czy energii (których przecie˙z jeszcze nie znamy), ale z

symetrii zagadnienia. Ponadto mo˙zemy równie˙z wywnioskowa´c stosuj ˛

ac argument symetrii, ˙ze

pr˛edko´sci kul po zderzeniu maj ˛

a t˛e sam ˛

a warto´s´c co przed zderzeniem. Wynika to z faktu, ˙ze

zderzenie całkowicie spr˛e˙zyste powinno by´c odwracalne w czasie. Gdyby w wyniku zderzenia

7.2.

CZTEROP ˛

pr˛edko´sci zmalały, to my´slowo odwracaj ˛

ac proces w czasie okazałoby si˛e, ˙ze pr˛edko´sci wzrosły.

Zatem proces przebiegałby w ró˙zny sposób w zale˙zno´sci od kierunku upływu czasu i nie byłby

wcale odwracalny. Jedynym wyj´sciem jest przyj˛ecie, ˙ze w elastycznym zderzeniu jednakowych

kul w układzie ´srodka masy mog ˛

a zmieni´c si˛e jedynie kierunki pr˛edko´sci i to wył ˛

acznie w sym-

etryczny sposób (jak na rysunku 7.1).

Skoro tak, to w naszym zderzeniu zachowana jest zarówno suma wielko´sci E dla obu kulek

jak i suma (wektorowa) wielko´sci p dla obu kul. Sumy te wynosz ˛

a odpowiednio

2mc

√

1−v

oraz

0, gdzie v jest pr˛edko´sci ˛

a kul. Musimy teraz pokaza´c, ˙ze zarówno suma E jak i suma p jest

zachowana w zderzeniu rejestrowanym przez dowolnego obserwatora inercjalnego. W tym celu

skorzystamy z ogólnego wzoru (2.19) transformuj ˛

acego pr˛edko´s´c v przy przej´sciu do układu

poruszaj ˛

acego si˛e z dowoln ˛

a pr˛edko´sci ˛

a V. W układzie ´srodka masy cz ˛

astki poruszały si˛e przed

zderzeniem z pewnymi pr˛edko´sciami ±v, a po zderzeniu z pr˛edko´sciami ±u, przy czym warto´sci

tych pr˛edko´sci były równe: u = v. Stosuj ˛

ac cierpliwie wzór (2.19) wyznaczamy pr˛edko´sci kul

przed i po zderzeniu w nowym inercjalnym układzie:

1 −

±v ∓

v·V

−

V ∓

v·V

1 ∓

v·V

(7.7)

1 −

±u ∓

u·V

−

V ∓

u·V

1 ∓

u·V

Zbadajmy teraz wyra˙zenie opisuj ˛

ace sum˛e „energii” obu cz ˛

astek przed zderzeniem w układzie

poruszaj ˛

acym si˛e. W tym celu sprawdzamy, ˙ze:

1 −

´ ³

1 −

1 ∓

v·V

(7.8)

i st ˛

ad wyznaczamy całkowit ˛

a „energi˛e” przed zderzeniem:

2mc

q¡

1 −

¢ ¡

1 −

¢.

(7.9)

Poniewa˙z otrzymane wyra˙zenie nie zale˙zy od wzgl˛ednej orientacji pr˛edko´sci v i V, a jedynie od

ich warto´sci, to obliczaj ˛

ac to samo dla cz ˛

astek po zderzeniu, otrzymamy identyczny wynik! O to

ROZDZIAŁ 7.

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

nam wła´snie chodziło. Niezale˙znie od k ˛

ata rozproszenia w elastycznym zderzeniu dwóch iden-

tycznych cz ˛

astek, całkowita wielko´s´c E jest zachowana we wszystkich inercjalnych układach

odniesienia! Oznacza to, ˙ze od teraz mo˙zemy ju˙z oficjalnie nazywa´c wielko´s´c E =

√

1−v

energi ˛

a swobodn ˛

a cz ˛

astki o masie m i pr˛edko´sci v. Co prawda powinni´smy jeszcze wykaza´c,

˙ze energia swobodna jest równie˙z zachowana w zderzeniu elastycznym kulek o ró˙znych masach,

jednak to zadanie zostawimy zainteresowanemu Czytelnikowi. Podobnie zreszt ˛

a post ˛

apimy z

dowodzeniem „p˛edowo´sci” p. Procedura jest zaiste ta sama, zatem Czytelnik nie powinien

mie´c najmniejszych problemów z wykazaniem, ˙ze p jest w zderzeniu zachowany we wszyst-

kich układach.

W tym momencie powinno by´c ju˙z zupełnie jasne dlaczego czterowektor (7.4) nazywany

jest czterowektorem energii-p˛edu lub w skrócie czterop˛edem. Wypiszemy jeszcze wa˙zny i cz˛esto

stosowany zwi ˛

azek pomi˛edzy energi ˛

a i p˛edem cz ˛

astki swobodnej. Zastosujemy po prostu wzór

na kwadrat długo´sci czterowektora energii-p˛edu:

− p

= m

lub równowa˙znie:

= (mc

)

+ p

(7.10)

Mo˙zemy ju˙z teraz odpowiedzie´c na bardzo wa˙zne pytanie: co naprawd˛e sprawia, ˙ze nie da si˛e

rozp˛edzi´c cz ˛

astki do dowolnie du˙zej pr˛edko´sci? Dlaczego na przykład u˙zywaj ˛

ac bardzo du˙zej

energii do rozp˛edzenia cz ˛

astki nie pozwoli ona nada´c sobie pr˛edko´sci wi˛ekszej ni˙z c? Odpowied´z

na to pytanie kryje si˛e we wzorze na energi˛e swobodn ˛

a. Wynika z niego, ˙ze energia cz ˛

astki,

której pr˛edko´s´c zbli˙za si˛e do c gwałtownie wzrasta a˙z do niesko´nczono´sci. Oznacza to, ˙ze do

rozp˛edzenia masywnej cz ˛

astki do pr˛edko´sci ´swiatła trzeba by u˙zy´c niesko´nczonej energii, a to

jest oczywi´scie niemo˙zliwe.

Analizuj ˛

ac ten sam wzór mo˙zemy równie˙z stwierdzi´c, ˙ze cz ˛

astki, które nie posiadaj ˛

a masy,

a przenosz ˛

a energi˛e (na przykład fotony), musz ˛

a zawsze porusza´c si˛e z pr˛edko´sci ˛

a ´swiatła.

7.3

E = mc

adszedł wła´sciwy moment, aby zrozumie´c sens legendarnej formuły Einsteina E = mc

(btw,

wzór ten wzbudza szacunek ludno´sci cywilnej do tego stopnia, ˙ze na drzwiach toalety w jednym

z warszawskich klubów studenckich znalazła si˛e jego parafraza: E = wc

). Pod koniec tego

podrozdziału wszystko b˛edzie ju˙z jasne. Na pocz ˛

atek powró´cmy do rozwini˛ecia wyra˙zenia na

energi˛e swobodn ˛

a (podzielon ˛

a przez c) cz ˛

astki o masie m (7.5). W pierwszym członie pojawia

7.3.

E = MC

si˛e znajomy czynnik mc

nazywany niekiedy energi ˛

a spoczynkow ˛

a. Czy ma on jakie´s znacze-

nie? Kto´s z Was mógłby przecie˙z powiedzie´c, ˙ze energi˛e tak czy inaczej mo˙zemy zdefiniowa´c

z dokładno´sci ˛

a do dowolnej stałej addytywnej (a nawet multiplikatywnej przeskalowuj ˛

ac mas˛e).

Mogliby´smy na przykład rozwa˙za´c wyra˙zenie na energi˛e kinetyczn ˛

a postaci E − mc

, tak aby

energia cz ˛

astki spoczywaj ˛

acej wynosiła zero. Co prawda tego typu energia nie byłaby składo-

w ˛

a czterowektora energii-p˛edu o którym była mowa w poprzednim podrozdziale, ale czy jest to

wystarczaj ˛

acy powód by czynnik ten traktowa´c powa˙znie? Sama elegancja nie jest dowodem na

to, ˙ze energia spoczynkowa ma jakiekolwiek znaczenie fizyczne (dla niektórych elegancja mo˙ze

by´c jednak wa˙znym argumentem).

Aby przekona´c si˛e o znaczeniu czynnika spoczynkowego, przeanalizujmy idealnie nieelasty-

czne zderzenie dwóch jednakowych kulek o masie m. W układzie ´srodka masy kulki po prostu

sklej ˛

a si˛e ze sob ˛

a pozostaj ˛

ac po zderzeniu nieruchome. Co si˛e stanie z ich energi ˛

a? Wiemy to

chocia˙zby z mechaniki nierelatywistycznej: cz˛e´s´c energii kinetycznej zamieni si˛e na ciepło, a

cz˛e´s´c wywoła deformacj˛e materiału. Podobnie jak w mechanice nierelatywistycznej oczeku-

jemy, ˙ze niezale˙znie od tego czy energia mechaniczna jest zachowana, czy nie, zachowany

b˛edzie p˛ed. I rzeczywi´scie, w układzie ´srodka masy p˛ed jest zachowany. Sprawd´zmy jeszcze

dla pewno´sci czy podobnie jest w innych układach inercjalnych. Niech przed zderzeniem, w

układzie ´srodka masy kulki poruszaj ˛

a si˛e wzdłu˙z osi x z pr˛edko´sciami ±v. W układzie inercjal-

nym poruszaj ˛

acym si˛e tradycyjnie z pr˛edko´sci ˛

a V wzdłu˙z osi x pr˛edko´sci kulek przed zderze-

niem wynosz ˛

±v − V

1 ∓

(7.11)

a ich całkowity p˛ed jest równy:

m(v − V )

q¡

1 −

¢ ¡

1 −

¢ +

m(−v − V )

q¡

1 −

¢ ¡

1 −

¢ =

−2mV

q¡

1 −

¢ ¡

1 −

¢.

(7.12)

Natomiast pr˛edko´s´c zlepionych kulek wynosi po prostu −V , a ich p˛ed...

−2mV

1 −

(7.13)

ROZDZIAŁ 7.

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

...zaraz, zaraz, co´s tu si˛e nie zgadza! Wyra˙zenia na p˛ed przed zderzeniem (7.12) i po zderze-

niu (7.13) s ˛

a ró˙zne! Wygl ˛

ada to tak, jak gdyby masa zł ˛

aczonych kulek wynosiła nie 2m, ale

√

1−v

. Czy to mo˙zliwe? Przecie˙z to s ˛

a te same kulki co przed zderzeniem. Ró˙zni je naj-

wy˙zej temperatura, czyli energia wewn˛etrzna! Chwileczk˛e, ale wiemy, ˙ze energia wewn˛etrzna,

to po prostu ruch cz ˛

asteczek z których zbudowane s ˛

a nasze kulki. Wi˛eksza energia wewn˛etrzna

oznacza wi˛eksz ˛

a pr˛edko´s´c tych cz ˛

asteczek. Czy to jednak mo˙zliwe, ˙zeby masa poruszaj ˛

acych

si˛e cz ˛

asteczek realnie wzrastała ze wzrostem ich pr˛edko´sci? We wzorze na relatywistyczny p˛ed

(7.6) wyst˛epuje czynnik

√

1−v

, który wygl ˛

ada jak „relatywistyczna masa” poruszaj ˛

acej si˛e

cz ˛

astki (lub kulki). Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli na moment zało˙zymy, ˙ze czynnik ten wyznacza rzeczy-

wist ˛

a mas˛e poruszaj ˛

acego si˛e ciała, którego masa spoczynkowa wynosi m, to nasze kłopoty z

zachowaniem p˛edu w zderzeniu nieelastycznym znikn ˛

a! Powró´cmy raz jeszcze do układu ´srodka

masy przyjmuj ˛

ac nasz ˛

a robocz ˛

a hipotez˛e na temat zmiany masy. Energia, która znika w zderze-

niu jest równa

2mc

√

1−v

− 2mc

. Według naszego pomysłu masa spoczynkowa sklejonych kulek

po zderzeniu wynosi

√

1−v

, a przed zderzeniem po prostu 2m. Zauwa˙zmy, ˙ze przyrosty tych

wielko´sci spełniaj ˛

a upragniony zwi ˛

azek:

∆E = ∆mc

(7.14)

który wynika z naszej roboczej hipotezy przyj˛etej na potrzeb˛e ratowania zasady zachowania p˛edu

w zderzeniach nieelastycznych.

Maj ˛

ac w pami˛eci mikroskopowy obraz kulek, potrafimy od pocz ˛

atku prze´sledzi´c losy zagu-

bionej energii. Pocz ˛

atkowo chłodne kulki posiadały pewn ˛

a energi˛e spoczynkow ˛

a oraz dodatkow ˛

energi˛e kinetyczn ˛

a. W momencie zderzenia energia kinetyczna została zamieniona na ciepło,

czyli energie kinetyczne cz ˛

asteczek materiału. Wzrost ich pr˛edko´sci spowodował wzrost ich mas

- czyli w opisie makroskopowym wzrost masy spoczynkowej zł ˛

aczonych kulek, a zatem równie˙z

ich energii spoczynkowych. Oznacza to, ˙ze wzrost masy spoczynkowej kulek mo˙zemy uwa˙za´c

za efekt kinetyczny pami˛etaj ˛

ac o ich budowie wewn˛etrznej. Problem pojawi si˛e, gdy zapytamy

o zderzenia nieelastyczne b ˛

ad´z rozpady cz ˛

astek elementarnych, nie posiadaj ˛

acych wewn˛etrznej

struktury. W tym przypadku, nasze relatywistyczne wzory na energi˛e i p˛ed s ˛

a nadal poprawne

i mamy ten sam problem: musi wzrosn ˛

a´c masa spoczynkowa, lecz tym razem efekt nie mo˙ze

by´c czysto kinetyczny, bo wewn ˛

atrz cz ˛

astek elementarnych nie ma ju˙z niczego co mogłoby si˛e

rusza´c! Nie pozostaje nam nic innego jak przyj ˛

a´c, ˙ze zwi ˛

azek pomi˛edzy mas ˛

a a energi ˛

a nie jest

prawem wył ˛

acznie kinetycznym, ale fundamentalnym prawem przyrody spełnionym nawet, gdy

7.4.

RELATYWISTYCZNA SIŁA I II PRAWO NEWTONA

wewn ˛

atrz masy nie ma ˙zadnego ruchu. Napiszmy wi˛ec raz jeszcze:

E = mc

(7.15)

gdzie E jest energi ˛

a spoczywaj ˛

acej cz ˛

astki. Widzimy, ˙ze mc

nie jest wcale nieistotn ˛

a stał ˛

a masa musi by´c jedn ˛

a z dost˛epnych form energii. Inaczej w zderzeniach nieelastycznych nie

byłby zachowany p˛ed. Nie jest to zreszt ˛

a wcale czysta teoria. Dzi˛eki poprawno´sci tego wzoru

powiodła si˛e przecie˙z budowa bomby atomowej!

7.4

ELATYWISTYCZNA SIŁA I

II P

RAWO

EWTONA

lekro´c rozwa˙zamy dowolny, zamkni˛ety układ ciał, spełniona jest zasada zachowania całkowite-

go p˛edu (a tak˙ze energii). Jednak˙ze cz˛esto rozwa˙za si˛e p˛ed pojedynczego ciała na które działaj ˛

ciała zewn˛etrzne, nieuwzgl˛ednione w układzie. Wówczas, naturalnie p˛ed rozwa˙zanego ciała nie

jest zachowany i mo˙ze si˛e zmienia´c. Mówimy wtedy, ˙ze za zmian˛e p˛edu odpowiedzialna jest

działaj ˛

aca siła. W gruncie rzeczy poj˛ecie siły jest obiektem czysto pomocniczym, ułatwiaj ˛

cym opisywanie oddziaływa´n pomi˛edzy ciałami. W mechanice nierelatywistycznej siła pojawia

si˛e (i jest niejako definiowana) w równaniu Newtona F = ma lub równowa˙znie F =

. W

jaki sposób uogólni´c poj˛ecie siły na mechanik˛e relatywistyczn ˛

a? Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze w teorii

wzgl˛edno´sci ma = m

to nie to samo, co

= m

√

1−v

! Nie do´s´c, ˙ze wektory te przyj-

muj ˛

a ró˙zne warto´sci, to mog ˛

a mie´c nawet ró˙zne kierunki! Aby zdefiniowa´c relatywistyczn ˛

a sił˛e

musimy si˛e zatem zdecydowa´c na jedn ˛

a z alternatywnych mo˙zliwo´sci. Ze wzgl˛edu na to, ˙ze p˛ed

relatywistyczny jest wielko´sci ˛

a maj ˛

ac ˛

a ogromne znaczenie (w ko´ncu w zamkni˛etych układach

jest zachowany), powszechnie definiuje si˛e sił˛e poprzez relatywistyczne II Prawo Newtona, czyli:

F =

(7.16)

Oczywi´scie w ka˙zdej chwili mo˙zemy rozwa˙zany układ rozszerzy´c na wszystkie oddziałuj ˛

ace

ciała i wówczas całkowita zmiana p˛edu b˛edzie wynosi´c zero, co oznacza, ˙ze b˛edzie musiało

by´c tak˙ze spełnione III Prawo Newtona mówi ˛

ace, ˙ze w oddziaływaniu dwóch ciał wyst˛epuj ˛

zawsze dwie siły o równych warto´sciach i przeciwnych kierunkach działaj ˛

ace na te ciała (sprawy

mog ˛

a si˛e jednakowo˙z nieco skomplikowa´c - do tego tematu powrócimy jeszcze analizuj ˛

ac siły

elektryczne i magnetyczne).

ROZDZIAŁ 7.

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

Poniewa˙z przyrost czasu dt wyst˛epuj ˛

acy w powy˙zszym równaniu zale˙zy od układu odniesie-

nia, spodziewamy si˛e, ˙ze równie˙z siła b˛edzie jako´s zale˙ze´c od pr˛edko´sci V przyj˛etego układu

współrz˛ednych. W jaki sposób? Przypomnijmy sobie, ˙ze ju˙z kiedy´s natrafili´smy na ten problem

rozwa˙zaj ˛

ac w podrozdziale 2.6 zagadnienie zwi ˛

azane z przyci ˛

aganiem ładunku elektrycznego

przez przewód z pr ˛

adem. Zauwa˙zyli´smy wówczas, ˙ze wszystkie paradoksy znikaj ˛

a o ile przyj-

miemy, ˙ze siła F

działaj ˛

aca w układzie poruszaj ˛

acym si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V mo˙ze by´c wyra˙zona

poprzez sił˛e F działaj ˛

ac ˛

a w układzie spoczywaj ˛

acym relacj ˛

1 − V

(7.17)

W ten sposób dostajemy wa˙zny wynik mówi ˛

acy, ˙ze je´sli siła transformuje si˛e zgodnie z po-

wy˙zszym prawem, to przyrost p˛edu pomi˛edzy okre´slonymi zdarzeniami jest zawsze taki sam:

dp = dp

. Jest to wynik zgodny z zasad ˛

a zachowania całkowitego p˛edu z czego oczywi´scie

bardzo si˛e cieszymy. Okazuje si˛e, ˙ze dodaj ˛

ac do siły jeszcze pewn ˛

a dodatkow ˛

a zerow ˛

a składow ˛

mo˙zna zbudowa´c z nich nowy czterowektor nazywany czterosił ˛

a. Naturalnie, wówczas wzór

transformacyjny (7.17) trzeba b˛edzie równie˙z uzupełni´c o dodatkowy element, a˙zeby czterosiła

transformowała si˛e jak przystało na przyzwoity czterowektor. Wychodzi bowiem na to, ˙ze wzór

(7.17) jest poprawny tylko, gdy siła F działa na cz ˛

astk˛e spoczywaj ˛

ac ˛

a b ˛

ad´z poruszaj ˛

ac ˛

a si˛e

(jak w przykładzie z przewodnikiem elektrycznym) prostopadle do kierunku działania tej siły.

Szczegóły ´sledztwa pozostawiamy Czytelnikowi.

7.5

ZTEROPRZYSPIESZENIE

yra˙zenie (7.2) nazwali´smy czteropr˛edko´sci ˛

a. Dlaczego? Widzimy, ˙ze w granicy c −→ ∞

zerowa składowa czterowektora d ˛

a˙zy do 1, a pozostałe składowe do v. Jednak nie to jest powo-

dem nadania czterowektorowi (7.2) nazwy czteropr˛edko´sci. Przecie˙z wyra˙ze´n posiadaj ˛

acych

podobne przej´scie graniczne mo˙zemy wymy´sli´c dowoln ˛

a ilo´s´c! Wa˙zne jest tu co innego.

Rozwa˙zmy cz ˛

astk˛e poruszaj ˛

ac ˛

a si˛e z pr˛edko´sci ˛

a, której poło˙zenie w ka˙zdej chwili czasu

opisane jest czteropoło˙zeniem (ct, r) i która porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v =

. W jaki sposób

z czterowektora (ct, r) otrzyma´c czteropr˛edko´s´c? Na pewno nie, jak by´c mo˙ze si˛e narzuca,

poprzez ró˙zniczkowanie po czasie

, gdy˙z dt zale˙zy od układu odniesienia! Zwró´cmy jednak

uwag˛e, ˙ze „czas własny” cz ˛

astki τ =

R p

1 − v

dt poruszaj ˛

acej si˛e od punktu r

do punktu

7.6.

RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY

nie zale˙zy od układu odniesienia. Na przykład je´sli w wagonie restauracyjnym poci ˛

agu za-

cz˛eto gotowa´c jajko w chwili gdy przeje˙zd˙zał on przez stacj˛e znajduj ˛

ac ˛

a si˛e w r

, a jajko ugo-

towało si˛e dokładnie gdy poci ˛

ag mijał inn ˛

a stacj˛e w r

, to czas τ jaki upłyn ˛

ał wewn ˛

atrz wagonu

oczywi´scie nie zale˙zy od tego kto i z jakiego układu odniesienia dokonuje obserwacji. Oz-

nacza to, ˙ze je´sli dowolne ciało przemie´sciło si˛e o dx z pr˛edko´sci ˛

a v, to odst˛ep czasu własnego

dτ =

1 − v

2 dx

nie zale˙zy od układu odniesienia.

Na wszelki wypadek dojdziemy do tego samego wniosku jeszcze inn ˛

a metod ˛

a. Je˙zeli dwa

bardzo bliskie zdarzenia oddziela interwał czasoprzestrzenny ds, który jak wiemy nie zale˙zy od

układu odniesienia, to zauwa˙zmy, ˙ze:

ds =

√

− dr

= c

1 −

dt = c dτ.

(7.18)

Czyli dτ jest tak˙ze niezale˙zne od obserwatora.

Wró´cmy wi˛ec do rozwa˙za´n na temat czteropr˛edko´sci: skoro długo´s´c czteropoło˙zenia r

jest

niezale˙zna od układu odniesienia, to równie˙z niezale˙zna od niego b˛edzie długo´s´c czterowektora:

dτ

dct

dτ

1 − v

= v

(7.19)

i wszystko staje si˛e jasne! Czteropr˛edko´s´c mo˙zna otrzyma´c ró˙zniczkuj ˛

ac po czasie własnym

czteropoło˙zenie. Widzimy ponadto, ˙ze mo˙zemy tak otrzymany czterowektor dalej ró˙zniczkowa´c

po czasie własnym τ otrzymuj ˛

ac czteroprzyspieszenie i tak dalej. Poniewa˙z, w przeciwie´nstwie

do czteroprzyspieszenia, owo „i tak dalej” jest prawie nigdy niepotrzebne, skupimy si˛e znalezie-

niu tylko tego pierwszego (czyli czteroprzyspieszenia). Ró˙zniczkuj ˛

ac ponownie (7.19) otrzymu-

jemy:

v · a/c

(1 − v

)

a(1 − v

) + v(v · a)/c

(1 − v

)

(7.20)

gdzie a =

. Powy˙zsze, przecudne wyra˙zenie, mimo odstraszaj ˛

acego wygl ˛

adu, oka˙ze si˛e

nieocenione, gdy zajmiemy si˛e analiz ˛

a relatywistycznego ruchu jednostajnie przyspieszonego.

7.6

UCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY

o wła´snie, jak w ogóle go zdefiniowa´c? Klasyczna definicja, mówi ˛

aca ˙ze ciało nabiera pr˛ed-

ROZDZIAŁ 7.

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

ko´sci w jednostajnym tempie jest nie do przyj˛ecia! Przecie˙z wiemy, ˙ze ciało nie mo˙ze rozp˛edza´c

si˛e bez ogranicze´n. Z drugiej strony poj˛ecie ruchu jednostajnie przyspieszonego jest dobrze

okre´slone gdy ruch odbywa si˛e z pr˛edko´sci ˛

a zaniedbywalnie mał ˛

a w porównaniu z pr˛edko´sci ˛

´swiatła. W zwi ˛

azku z tym relatywistyczne uogólnienie polega na przyj˛eciu, ˙ze ruch jest jedno-

stajnie przyspieszony, je˙zeli ciało porusza si˛e ze stałym przyspieszeniem z punktu widzenia iner-

cjalnego układu chwilowo współporuszaj ˛

acego si˛e, tzn takiego w którym ciało w danej chwili

spoczywa. Konstrukcja pozornie karkołomna: w ka˙zdej chwili musimy znale´z´c układ w którym

ciało spoczywa, ale „porusza si˛e” z okre´slonym przyspieszeniem - je´sli to mo˙zliwe, to mówimy

o relatywistycznym ruchu jednostajnie przyspieszonym. Ma to zreszt ˛

a niejaki zwi ˛

azek z ogóln ˛

teori ˛

a wzgl˛edno´sci, wedle której stoj ˛

ac w rakiecie poruszaj ˛

acej si˛e ze stałym przyspieszeniem,

nasze wszystkie odczucia i eksperymenty b˛ed ˛

a dawa´c wyniki takie, jak gdyby´smy przez cały

czas spoczywali w jednorodnym polu grawitacyjnym. W ka˙zdym razie definicja wydaje si˛e jasna.

Pytanie, jak wygl ˛

ada ruch jednostajnie przyspieszony z punktu widzenia jednego, ustalonego

obserwatora, który przez cały czas spoczywa? Sprawd´zmy to rozwa˙zaj ˛

ac jednowymiarowy

przypadek ruchu wzdłu˙z osi x. Przy okazji prze´cwiczymy u˙zycie nowo poznanego formalizmu

czterowektorów.

Wiemy, ˙ze w danej chwili w układzie współporuszaj ˛

acym si˛e pr˛edko´s´c ciała wynosi zero,

a przyspieszenie a jest skierowane wzdłu˙z osi x. Zatem czteroprzyspieszenie (7.20) w tym

układzie upraszcza si˛e do:

0¤

= (0, a, 0, 0).

(7.21)

Natomiast w układzie, który cały czas spoczywa chwilowa pr˛edko´s´c ciała skierowana wzdłu˙z osi

x wynosi v. Jego chwilowe przyspieszenie wynosi po prostu

. Zatem czteropr˛edko´s´c w tym

układzie jest postaci:

v/c

(1 − v

)

(1 − v

)

, 0, 0

(7.22)

Wiemy jednak, ˙ze długo´s´c czterowektora nie zale˙zy od układu odniesienia. Oznacza to, ˙ze za-

chodzi równo´s´c:

)

= (a

0¤

)

(7.23)

7.6.

RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY

Po podniesieniu do kwadratu i przyrównaniu obu czterowektorów otrzymujemy nast˛epuj ˛

ace rów-

nanie:

a =

dv/dt

(1 − v

)

3/2

1 − v

(7.24)

Rozwi ˛

azaniem z warunkiem pocz ˛

atkowym v(0) = 0 jest:

at =

1 − v

(7.25)

a po odwróceniu zale˙zno´sci:

v(t) =

1 + a

(7.26)

Z gł˛ebok ˛

a ulg ˛

a stwierdzamy, ˙ze gdy czas d ˛

a˙zy do niesko´nczono´sci, pr˛edko´s´c d ˛

a˙zy do c, co

utwierdza nas w przekonaniu, ˙ze pr˛edko´sci ´swiatła przekroczy´c si˛e nijak nie da, nawet poruszaj ˛

si˛e niesko´nczenie długo ze stałym przyspieszeniem.

Mo˙zemy jeszcze na dokładk˛e znale´z´c równanie ruchu ciała poruszaj ˛

acego si˛e ze stałym

przyspieszeniem. Szcz˛e´sliwie si˛e składa, ˙ze zadanie to jest w zasadzie trywialne, bo powy˙zsze

wyra˙zenie na pr˛edko´s´c jest pochodn ˛

a po czasie funkcji

1 + a

, zatem:

x(t) =

(

1 + a

− 1),

(7.27)

gdzie dodatkowa stała całkowania została wybrana w taki sposób, by w chwili pocz ˛

atkowej ciało

znajdowało si˛e w punkcie x = 0.

Pytania

• Podaj definicj˛e relatywistycznego ruchu jednostajnie przyspieszonego.

• Czy prawd ˛

a jest, ˙ze obiekt startuj ˛

acy z pewnego punktu i poruszaj ˛

acy si˛e relatywistycznym

ruchem jednostajnie przyspieszonym mo˙ze by´c dogoniony przez ´swiatło opuszczaj ˛

ace ten

punkt w dowolnej, pó´zniejszej chwili?

ROZDZIAŁ 7.

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

• Czy wektor siły jest równy przestrzennej cz˛e´sci pewnego czterowektora?

• Czy iloczyn masy i przyspieszenia cz ˛

astki mo˙ze mie´c inn ˛

a warto´s´c ni˙z pochodna p˛edu tej

cz ˛

astki po czasie?

• Czy iloczyn masy i wektora przyspieszenia cz ˛

astki mo˙ze mie´c inny kierunek ni˙z pochodna

wektora p˛edu tej cz ˛

astki po czasie?

• Czy w zderzeniach nieelastycznych musi by´c zachowana całkowita energia swobodna

układu cz ˛

astek, czy jest tak tylko w przypadku zderze´n elastycznych? Jaka byłaby odpowied´z

w fizyce nierelatywistycznej?

• Czy podgrzewaj ˛

ac ciało zwi˛ekszamy jego mas˛e spoczynkow ˛

Zadania

• Wyznacz wzory transformacyjne dla siły przy zmianie układu inercjalnego. Podaj posta´c

czterowektora, którego elementem jest siła. Jak ˛

a interpretacj˛e mo˙zna nada´c dodatkowej

składowej tego czterowektora?

• Wyznacz pr˛edko´s´c precesji orbity Merkurego zakładaj ˛

ac, ˙ze jego masa grawitacyjna wys-

t˛epuj ˛

aca w klasycznym wzorze Newtona na sił˛e grawitacyjnego oddziaływania dwóch ciał

zale˙zy od pr˛edko´sci jak: m(v) =

√

1−v

. Pozostałe efekty grawitacyjne zwi ˛

azane z

konsekwencjami ogólnej teorii wzgl˛edno´sci pomi´n.

• Udowodnij, ˙ze swobodny elektron nie mo˙ze pochłon ˛

a´c fotonu.

• Udowodnij, ˙ze swobodna para elektron-pozyton nie mo˙ze w wyniku anihilacji wyemi-

towa´c pojedynczego fotonu.

• Czy prawd ˛

a jest, ˙ze obiekt startuj ˛

acy z pewnego punktu i poruszaj ˛

acy si˛e relatywistycznym

ruchem jednostajnie przyspieszonym mo˙ze by´c dogoniony przez ´swiatło opuszczaj ˛

ace ten

punkt w dowolnej, pó´zniejszej chwili?

• Punkty A i B poruszaj ˛

a si˛e relatywistycznym ruchem jednostajnie przyspieszonym wzdłu˙z

osi x w taki sposób, ˙ze odległo´s´c mi˛edzy nimi nie zmienia si˛e w czasie. Czy pr˛et umieszc-

zony pomi˛edzy A i B w którym´s momencie p˛eknie?

Rozdział 8

LEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

ateriał przedstawiony w tym rozdziale został oparty na podr˛eczniku R. P. Feynmana [7], jed-

nego z twórców elektrodynamiki kwantowej. Celem rozdziału jest wykazanie, ˙ze tytuł „elektro-

dynamika relatywistyczna” jest jak „masło ma´slane”. Elektrodynamika, w przeciwie´nstwie do

mechaniki Newtona, od pocz ˛

atku jest i była teori ˛

a relatywistyczn ˛

8.1

RELUDIUM

równaniach Maxwella wyst˛epuj ˛

a dwie stałe, które mo˙zna wyznaczy´c eksperymentalnie:

stała dielektryczna ε

oraz przenikalno´s´c magnetyczna pró˙zni µ

∇ · E =

∇ · B = 0

∇ × E = −

∂B

∂t

∇ × B = µ

j + µ

∂E

∂t

Okazuje si˛e, ˙ze iloczyn tych dwóch stałych ma wymiar [

], czyli odwrotno´sci kwadratu pr˛ed-

ko´sci. Mo˙zemy zatem wprowadzi´c now ˛

a stał ˛

a o wymiarze pr˛edko´sci, z definicji równ ˛

a c =

√

. Jej warto´s´c mo˙zna wyznaczy´c eksperymentalnie na podstawie wyników pomiarów siły

ROZDZIAŁ 8.

ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

przyci ˛

agania dwóch ładunków elektrycznych oraz dwóch przewodów z pr ˛

adem, c ≈ 3 · 10

[

Jest to wła´snie pr˛edko´s´c ´swiatła, czyli pr˛edko´s´c propagacji pró˙zniowych rozwi ˛

aza´n równa´n

Maxwella. Aby si˛e przekona´c na przykład o tym, ˙ze zmiany potencjału elektrostatycznego ϕ

propaguj ˛

a si˛e z pr˛edko´sci ˛

a c, wystarczy kilka prostych przekształce´n równa´n (8.1) w wyniku

których otrzyma´c mo˙zna:

∂

∂t

− 4ϕ = 0.

(8.1)

Jest to po prostu równanie falowe, którego rozwi ˛

azania rozchodz ˛

a si˛e jak wiadomo z pr˛edko´sci ˛

c = 1/

√

. I oto nam wła´snie chodziło. Zaczyna ju˙z pachnie´c teori ˛

a wzgl˛edno´sci!

8.2

OTENCJAŁ PORUSZAJ ˛

ACEGO SI ˛

E ŁADUNKU

rzeja˙zd˙zk˛e po relatywistycznych skłonno´sciach elektrodynamiki klasycznej rozpoczniemy od

ciekawego przykładu. Spróbujmy znale´z´c potencjał elektrostatyczny pochodz ˛

acy od porusza-

j ˛

acego si˛e ładunku punktowego. Sprawa niby prosta. Zaraz jednak oka˙ze si˛e, jak łatwo si˛e

pomyli´c.

Zacznijmy od wypisania ogólnego wyra˙zenia na potencjał elektrostatyczny w punkcie r

i chwili t pochodz ˛

acy od dowolnego rozkładu ładunku elektrycznego %(r, t) (jak wida´c do-

puszczamy mo˙zliwo´s´c zale˙zno´sci rozkładu ładunku od czasu):

ϕ(r

, t) =

%(r

, t)

4πε

(8.2)

gdzie r = |r

− r

|. Oczywi´scie wzór ten jest niepoprawny, bo potencjał elektryczny w danej

chwili t nie mo˙ze zale˙ze´c od rozkładu ładunków w tej samej chwili! Potencjał ϕ nie mo˙ze

„dowiadywa´c si˛e” natychmiast o aktualnym rozkładzie ładunków, a wył ˛

acznie o rozkładzie

w chwilach wcze´sniejszych (w przeciwnym razie mo˙zna by u˙zywa´c pomiarów potencjału ϕ

do błyskawicznego przekazywania informacji). Ale poniewa˙z nie chcemy na razie stosowa´c

znajomo´sci teorii wzgl˛edno´sci, a jedynie prawa elektromagnetyzmu, wystarczy posłu˙zy´c si˛e

wnioskiem z poprzedniego podrozdziału: zaburzenia potencjału propaguj ˛

a si˛e z pr˛edko´sci ˛

a c.

Zatem poprawny wzór ma posta´c:

ϕ(r

, t) =

%(r

, t

ret

)

4πε

(8.3)

8.2.

POTENCJAŁ PORUSZAJ ˛

ACEGO SI ˛

E ŁADUNKU

B’

Rysunek 8.1:

Diagram czasoprzestrzenny naładowanego odcinka AB. Szukamy potencjału w punkcie

gdzie t

ret

= t −

r
c

jest tak zwanym czasem retardowanym (opó´znionym), czyli potencjał „czuje”

jedynie rozkład ładunków w chwilach wcze´sniejszych. W ten sposób uzyskujemy gwarancj˛e, ˙ze

zmiany potencjału propaguj ˛

a si˛e zawsze z pr˛edko´sci ˛

a c, dokładnie jak fale elektromagnetyczne

(czyli ´swiatło).

Spróbujmy wi˛ec odpowiedzie´c na interesuj ˛

ace nas pytanie: jaki jest potencjał generowany

przez punktowy ładunek q poruszaj ˛

acy si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v? Oczywi´scie, naturalnym rozwi ˛

aza-

niem jest:

ϕ(r

, t) =

4πε

ret

(8.4)

gdzie r

ret

jest odległo´sci ˛

a mi˛edzy ładunkiem a punktem w którym badamy pole w odpowiednio

wcze´sniejszej (retardowanej) chwili. Okazuje si˛e, ˙ze znów jeste´smy w bł˛edzie. Poprawny wynik

jest nieco bardziej skomplikowany:

ϕ(r, t) =

4πε

ret

(1 − v

/c)

ret

(8.5)

czyli pojawia si˛e dodatkowo wyraz ze składow ˛

a pr˛edko´sci w kierunku punktu w którym badamy

pole, w chwili retardowanej.

Sk ˛

ad bierze si˛e dodatkowy człon? Najłatwiej to zrozumie´c rozwa˙zaj ˛

ac przykład krótkiego

odcinka AB naładowanego ładunkiem q i poruszaj ˛

acego si˛e wzdłu˙z prostej na której le˙zy. Spróbu-

jmy znale´z´c potencjał na tej prostej w punkcie C. Odpowiedni diagram czasoprzestrzenny przed-

stawiony jest na rysunku 8.1. Szary obszar reprezentuje fragment czasoprzestrzeni zajmowany

ROZDZIAŁ 8.

ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

przez poruszaj ˛

acy si˛e, naładowany odcinek. Do punktu C dociera informacja o rozkładzie

ładunku, której linia ´swiata została zaznaczona na diagramie przerywan ˛

a kresk ˛

a. Oznacza to,

˙ze do punktu C dociera informacja o ładunkach znajduj ˛

acych si˛e na przeci˛eciu przerywanej linii

´swiata oraz szarego obszaru. Wida´c, ˙ze pozorna długo´s´c naładowanego odcinka nie jest równa

AB, tylko AB’. Zatem potencjał w punkcie C jest taki, jak gdyby był generowany przez ładunek

równy nie q, tylko q

|AB’|

|AB|

. Oznacza to, ˙ze musimy odpowiednio zmodyfikowa´c wyra˙zenie na po-

tencjał pochodz ˛

acy od naładowanego odcinka. Poniewa˙z |AB| = |AB’|(1 − v/c), gdzie v jest

pr˛edko´sci ˛

a odcinka, to we wszystkich wyra˙zeniach zamiast q nale˙zy wstawia´c

1−v/c

. Nasz ˛

a anal-

iz˛e nietrudno uogólni´c na przypadek trójwymiarowy. Wówczas nale˙zy tylko zast ˛

api´c pr˛edko´s´c

v jej rzutem v

na kierunek w którym szukamy potencjału. Ot, i cała filozofia.

W wyniku dokonywanych przekształce´n okazało si˛e, ˙ze rezultat nie zale˙zy od długo´sci od-

cinka |AB|, wi˛ec nasze wzory s ˛

a poprawne równie˙z gdy odcinek jest niesko´nczenie krótki, czyli

gdy ładunek jest punktowy. W ten sposób docieramy szcz˛e´sliwie do poprawnego wyra˙zenia (8.5)

na potencjał generowany przez ładunek poruszaj ˛

acy si˛e z dowoln ˛

a pr˛edko´sci ˛

a. Wystarczy tylko,

znaj ˛

ac równanie ruchu ładunku, znale´z´c odpowiednie pr˛edko´sci i poło˙zenia retardowane. Wynik

nasz mo˙zemy jeszcze przepisa´c w równowa˙znej, eleganckiej postaci:

ϕ(r, t) =

4πε

(r − r · v/c)

ret

(8.6)

W identyczny sposób, korzystaj ˛

ac z zale˙zno´sci potencjału wektorowego A od rozkładu pr ˛

adów

elektrycznych mo˙zemy wyznaczy´c:

A(r, t) =

ret

4πε

(r − r · v/c)

ret

(8.7)

Nasze wzory nosz ˛

a nazwy pochodz ˛

ace od nazwisk swoich pierwszych odkrywców. S ˛

a to poten-

cjały Lienarda-Wiecherta. Ostatni ˛

a rzecz ˛

a jak ˛

a teraz uczynimy, b˛edzie znalezienie tych potenc-

jałów dla najprostszego mo˙zliwego przypadku: ruchu ładunku q ze stał ˛

a pr˛edko´sci ˛

a v wzdłu˙z osi

W przypadku jednostajnego ruchu mo˙zemy bez trudu obliczy´c retardowane czynniki wys-

t˛epuj ˛

ace w potencjałach Lienarda-Wiecherta. Po pierwsze retardowana odległo´s´c pomi˛edzy

poruszaj ˛

acym si˛e ładunkiem a punktem w którym badamy potencjał r

ret

wi ˛

a˙ze si˛e z czasem re-

tardowanym t

ret

w którym ładunek znajdował si˛e wła´snie w punkcie r

ret

zale˙zno´sci ˛

8.2.

POTENCJAŁ PORUSZAJ ˛

ACEGO SI ˛

E ŁADUNKU

ret

= t −

ret

(8.8)

Z drugiej strony, poniewa˙z równanie ruchu ładunku jest postaci x = vt, spełniony jest te˙z inny

zwi ˛

azek:

ret

(x − vt

ret

)

+ y

+ z

(8.9)

Wystarczy teraz rozwi ˛

aza´c układ powy˙zszych dwóch równa´n wyznaczaj ˛

ac t

ret

oraz r

ret

. Pozby-

waj ˛

ac si˛e z równa´n r

ret

dostajemy:

(t − t

ret

)

= (x − vt

ret

)

+ y

+ z

(8.10)

st ˛

ad natomiast

1 −

ret

= t −

−

(x − vt)

1 −

+ z

(8.11)

W celu obliczenia r

ret

wystarczy wykorzysta´c raz jeszcze wzór (8.8) razem z wyra˙zeniem powy˙zej.

Do obliczenia potencjału elektrostatycznego ϕ danego wyra˙zeniem (8.5), musimy ju˙z tylko

obliczy´c (1 − v

/c)

ret

. Retardowana składowa „radialna” v

jest równa:

)

ret

= v

x − vt

ret

(8.12)

Zatem retardowany mianownik wyra˙zenia (8.5) jest po prostu równy:

c(t − t

ret

) −

(x − vt

ret

) = c

t −

−

1 −

ret

(8.13)

Wstawiaj ˛

ac wyra˙zenie (8.11) dostajemy ostatecznie:

ϕ(r, t) =

4πε

1 − v





x − vt

1 − v

+ y

+ z





−1/2

(8.14)

ROZDZIAŁ 8.

ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

Do´s´c kr˛ecenia! Wida´c ju˙z jak na dłoni, ˙ze z analizy równa´n Maxwella (8.1) mo˙zna wywnios-

kowa´c posta´c transformacji Lorentza! We wzorach pojawiaj ˛

a si˛e ju˙z znane z poprzednich roz-

działów Lorentzowskie czynniki. Aby wyprowadzi´c wzór (8.14) musieli´smy solidnie si˛e napra-

cowa´c. Wniosek jest taki, ˙ze wystarczyło wzi ˛

a´c potencjał ładunku spoczywaj ˛

acego:

ϕ(r, t) =

4πε

+ y

+ z

(8.15)

i dokona´c transformacji Lorentza współrz˛ednych x, y i z! Oczywi´scie, ˙ze tak! Przecie˙z nasza

podstawowa zasada mówi, ˙ze nie da si˛e stwierdzi´c czy to my poruszamy si˛e w pobli˙zu spoczy-

waj ˛

acego ładunku, czy jest odwrotnie. Zatem od samego pocz ˛

atku wystarczyło powiedzie´c, ˙ze

wynik b˛edzie taki jakby to ładunek spoczywał, a obserwator był w ruchu. Je´sli jednak nie zna

si˛e prawidłowych transformacji Lorentza (jak to miało miejsce w XIX wieku), mo˙zna znale´z´c

ich posta´c, jak zrobił wła´snie Lorentz, poprzez analiz˛e równa´n Maxwella.

Dobrze, dobrze, ale ró˙znica pomi˛edzy wzorami (8.14) i (8.15) nie sprowadza si˛e wył ˛

acznie

do transformacji Lorentza. Pojawia si˛e jeszcze dodatkowy czynnik

1 − v

. Sk ˛

ad si˛e on

bierze? Otó˙z, gdyby go nie było, to całka z laplasjanu ϕ po całej przestrzeni byłaby ró˙zna

dla ładunku spoczywaj ˛

acego i poruszaj ˛

acego si˛e. Oznacza to, ˙ze w obu sytuacjach całkowity

ładunek w przestrzeni (czyli po prostu rozwa˙zany ładunek punktowy) byłby ró˙zny. Dodatkowy

wyraz pełni wi˛ec rol˛e czynnika normalizacyjnego, gwarantuj ˛

acego stało´s´c ładunku we wszyst-

kich układach odniesienia.

Wyprowadzili´smy tu posta´c potencjału elektrostatycznego ruchomego ładunku. Analogiczna

procedura prowadzi do wniosku, ˙ze potencjał wektorowy tego ładunku jest postaci:

A =

ϕ.

(8.16)

Wkrótce zreszt ˛

a oka˙ze si˛e, ˙ze zwi ˛

azek pomi˛edzy ϕ i A jest gł˛ebszy, wielko´sci te s ˛

a bowiem

składowymi jednego czterowektora.

8.3

POSZUKIWANIU KOLEJNYCH CZTEROWEKTORÓW

owoli naszym oczom ukazuje si˛e niezwykły, relatywistyczny charakter równa´n Maxwella.

Przyst ˛

apimy teraz do szczegółowej analizy tego zagadnienia. Do opisu wielko´sci fizycznych,

podobnie jak w mechanice klasycznej, u˙zyjemy poj˛ecia czterowektora.

8.3.

W POSZUKIWANIU KOLEJNYCH CZTEROWEKTORÓW

8.3.1

ZTEROGRADIENT

oniewa˙z równania elektrodynamiki s ˛

a lokalnymi równaniami ró˙zniczkowymi, musimy si˛e naj-

pierw zastanowi´c w jaki sposób uogólni´c trójwymiarowy operator ró˙zniczkowy ∇, który w dzia-

łaniu na pole skalarne dawał pole wektorowe niezale˙zne od układu odniesienia. Podobnie, jak we

wcze´sniejszych rozdziałach wprowadzali´smy czteropoło˙zenie jako (ct, r), tak obecnie narzuca

si˛e nast˛epuj ˛

aca definicja czterogradientu: ¤ = (

∂

c ∂t

, ∇). Przekonajmy si˛e, czy tak zdefiniowany

obiekt posiada wymagane własno´sci, to znaczy czy zachodzi warunek:

¤ϕ(t, r) = ¤

ϕ(t

, r

(8.17)

Operator ¤

znajduj ˛

acy si˛e po lewej stronie równo´sci powinien transformowa´c si˛e jak przystało

na czterowektor:

∂

c ∂t

∂

c ∂t

−

∇

1 − V

(8.18)

∇

−

∂

c ∂t

1 − V

Z drugiej strony, zwykłe zasady zamiany zmiennych przy ró˙zniczkowaniu wymagaj ˛

a by za-

chodził zwi ˛

azek

∂

c ∂t

∂

c ∂t

∂t

∂

∂x

c ∂t

∂

c ∂t

∇

1 − V

(8.19)

∇

= ∇

∂x

∂

c ∂t

∂x

∇

∂

c ∂t

1 − V

Wida´c, ˙ze z naszymi wzorami jest co´s nie tak, bo pojawia si˛e dodatkowy znak „−”. Wygl ˛

ada na

to, ˙ze nasz wybór czterogradientu nie był najlepszy. Jednak˙ze mo˙zemy w prosty sposób poprawi´c

nasz ˛

a definicj˛e otrzymuj ˛

ac operator transformuj ˛

acy si˛e jak nale˙zy. Wystarczy zdefiniowa´c:

¤ = (

∂

c ∂t

, −∇).

(8.20)

ROZDZIAŁ 8.

ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

Wida´c od razu, ˙ze ta definicja jest zgodna z transformacjami zamiany zmiennych ró˙zniczkowych

(8.19). Zatem powy˙zszy operator ¤ posiada odpowiednie własno´sci. Jest to wła´snie poszuki-

wany czterogradient.

8.3.2

ZTEROPR ˛

ró´cmy ponownie do równa´n Maxwella. Jak wiemy, wynika z nich (lokalne) równanie ci ˛

agło´sci

ładunku elektrycznego:

∂%

∂t

+ ∇ · j = 0.

(8.21)

Oczywi´scie, równanie to wyra˙zaj ˛

ace lokaln ˛

a zasad˛e zachowania ładunku musi by´c spełnione

we wszystkich układach odniesienia. Matematycznie oznacza to, ˙ze posta´c tego równania nie

zmienia si˛e przy zmianie układu. Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze lew ˛

a stron˛e tego równania mo˙zna za-

pisa´c jako czterowektorowy iloczyn czterogradientu i nast˛epuj ˛

acego nowego czterowektora j

(c%, j):

¤j

= 0.

(8.22)

I rzeczywi´scie, wszystko si˛e zgadza, bo wiemy ju˙z ˙ze iloczyn czterowektorów jest niezmienniczy

wzgl˛edem transformacji Lorentza. Znaczy to, ˙ze j

jest rzeczywi´scie czterowektorem, nazy-

wanym czteropr ˛

adem. Jego „czasowa” składowa to g˛esto´s´c ładunku elektrycznego, a składowa

„przestrzenna” to g˛esto´s´c pr ˛

adu. Mo˙zemy zreszt ˛

a zauwa˙zy´c co´s ciekawego: jakakolwiek para

wielko´sci spełniaj ˛

acych równanie ci ˛

agło´sci we wszystkich układach inercjalnych musi tworzy´c

czterowektor. Czteropr ˛

ad jest tylko przykładem.

8.3.3

ZTEROPOTENCJAŁ

apiszemy teraz równania Maxwella 8.1 w nieco zmienionej postaci. Dzi˛eki temu b˛edziemy

mogli zauwa˙zy´c co´s ciekawego. Przekonamy si˛e mianowicie jakie s ˛

a konsekwencje ich relaty-

wistycznej niezmienniczo´sci.

W tym celu, zamiast posługiwa´c si˛e polami E i B u˙zyjemy ich potencjałów. Z drugiego

z równa´n (8.1) wynika, ˙ze pole magnetyczne mo˙zna wyrazi´c jako rotacj˛e pola wektorowego:

B = ∇ × A. Wstawiaj ˛

ac to do trzeciego równania (8.1) dostajemy:

8.3.

W POSZUKIWANIU KOLEJNYCH CZTEROWEKTORÓW

∇ ×

E +

∂A

∂t

= 0

(8.23)

Poniewa˙z w przypadku elektrostatycznym rotacja pola elektrycznego znika, to zamiast niego

mo˙zemy posługiwa´c si˛e potencjałem skalarnym ϕ. Jest tak zawsze: ilekro´c rotacja jakiego´s pola

wektorowego znika, mo˙zemy równowa˙znie u˙zywa´c potencjału skalarnego z którego mo˙zemy

„odzyska´c” pole bior ˛

ac po prostu gradient. Wynika st ˛

ad, ˙ze wyra˙zenie znajduj ˛

ace si˛e pod ro-

tacj ˛

a w równaniu (8.23) mo˙zemy zast ˛

api´c (minus) gradientem pewnego potencjału skalarnego

ϕ. Wynika st ˛

ad, ˙ze:

E = −∇ϕ −

∂A

∂t

(8.24)

W szczególnym przypadku pól stałych w czasie dostajemy znany zwi ˛

azek E = −∇ϕ. Wsta-

wiaj ˛

ac wzór (8.24) do pozostałych dwóch równa´n Maxwella (8.1) dostajemy:

−4ϕ −

∂

∂t

∇ · A =

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − 4A = µ

j −

∂

∂t

∂

∂t

∇ϕ

Obydwa równania wygl ˛

adaj ˛

a teraz odra˙zaj ˛

aco. Zamiast obiecywanej prostoty mamy przed sob ˛

bardzo skomplikowanie wygl ˛

adaj ˛

ace wyra˙zenia. Jednak prostot˛e mo˙zna uzyska´c jednym spryt-

nym posuni˛eciem. Przypomnijmy sobie, ˙ze pole B nie okre´sla w sposób jednoznaczny potencja-

łu wektorowego A. Dowolno´s´c, która pozostaje, nazywana dowolno´sci ˛

a cechowania sprowadza

si˛e do faktu, ˙ze mo˙zemy narzuci´c dowolny warunek na dywergencj˛e potencjału wektorowego.

Aby upro´sci´c otrzymane wzory wybierzemy t˛e dywergencj˛e w bardzo szczególny sposób. Przyj-

miemy mianowicie warunek, zwany cechowaniem Lorentza:

∂ϕ

∂t

+ ∇ · A = 0.

(8.25)

Wówczas oba równania Maxwella uproszcz ˛

a si˛e do:

ROZDZIAŁ 8.

ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

∂

∂t

− 4

ϕ =

(8.26)

∂

∂t

− 4

A =

Nasze przekształcenia powoli zaczynaj ˛

a nabiera´c sensu. Teraz nast ˛

api rzecz najciekawsza. Otrzy-

mane wyra˙zenia mo˙zna zapisa´c w jeszcze prostszej postaci. Wystarczy wprowadzi´c nowy czterowek-

tor A

= (

, A), a wtedy mo˙zemy obydwa powy˙zsze równania zapisa´c jednym, czterowek-

torowym:

(8.27)

gdzie wykorzystali´smy zdefiniowany wcze´sniej operator ¤ (8.20). Wraz z warunkiem cechowa-

nia Lorentza i przepisem na wyra˙zanie pól E oraz B poprzez składowe czterowektora A

mamy tu wszystkie równania Maxwella w jednym! Widzimy te˙z natychmiast, ˙ze je´sli A

jest

rzeczywi´scie czterowektorem, to posta´c równania (8.27) nie zmienia si˛e przy przej´sciu do innego

układu inercjalnego. St ˛

ad za´s wynika, ˙ze równania Maxwella s ˛

a spełnione dla ka˙zdego obser-

watora inercjalnego. I czegó˙z jeszcze wi˛ecej pragn ˛

a´c od porz ˛

adnej teorii? A

musi by´c zatem

czterowektorem. Nazywamy go czteropotencjałem.

8.4

RANSFORMACJE PÓL

koro A

jest czterowektorem, to wiemy jak transformuje si˛e potencjał skalarny i wektorowy

przy zmianie układu odniesienia. Szukane przekształcenia s ˛

a po prostu transformacjami Lorentza.

Znaj ˛

ac własno´sci transformacyjne czteropotencjału powinni´smy równie˙z by´c w stanie odpowie-

dzie´c na kolejne pytanie: co dzieje si˛e z polem elektromagnetycznym przy zmianie układu?

W poprzednich rozdziałach otarli´smy si˛e ju˙z o ten problem. Doszli´smy wówczas do wniosku,

˙ze w ruchomym układzie mog ˛

a pojawi´c si˛e pola, których nie było w układzie spoczywaj ˛

acym.

W tym momencie mo˙zemy ju˙z zastanowi´c si˛e w jaki sposób wyznaczy´c te pola w sposób ogólny.

Poniewa˙z A

jest czterowektorem, to przy przej´sciu do układu poruszaj ˛

acego si˛e z pr˛edko´sci ˛

V wzdłu˙z osi x, potencjały zmieniaj ˛

a si˛e zgodnie z wzorami Lorentza:

8.4.

TRANSFORMACJE PÓL

, t

) =

ϕ(r, t) − V A

(r, t)

1 − V

(8.28)

, t

) =

(r, t) − ϕ(r, t)/c

1 − V

Widzimy, ˙ze poprawna transformacja wymaga przekształcenia nie tylko samych potencjałów,

ale tak˙ze współrz˛ednych od których te zale˙z ˛

a. Odpowied´z na pytanie o posta´c przetransfor-

mowanych pól wymaga ju˙z tylko odpowiedniego zró˙zniczkowania potencjałów. Pominiemy

szczegóły rachunkowe (zostawiamy je Czytelnikowi) i podamy od razu wynik:

= E

− V B

1 − V

+ V B

1 − V

(8.29)

= B

+ V E

1 − V

− V E

1 − V

gdzie opu´scili´smy w zapisie zale˙zno´s´c pól od odpowiednich współrz˛ednych (jest ona taka sama

jak we wzorach (8.28)).

Powy˙zsze, do´s´c skomplikowane wzory transformacyjne mo˙zemy te˙z zapisa´c w sposób bardziej

zwarty i ogólny:

ROZDZIAŁ 8.

ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

= E

⊥

(E + V × B)

⊥

1 − V

(8.30)

= B

⊥

(B − V × E/c

)

⊥

1 − V

Widzimy teraz, jak na dłoni, ˙ze składowe pól równoległe do kierunku pr˛edko´sci nie zmieniaj ˛

si˛e, w przeciwie´nstwie do składowych poprzecznych. To spostrze˙zenie jest jednak nie do ko´nca

słuszne. Pami˛etajmy bowiem, ˙ze niezale˙znie od transformacji pól, nale˙zy tak˙ze przekształci´c

współrz˛edne.

Mo˙zemy to prze´sledzi´c na konkretnym przypadku. Rozwa˙zmy pole elektryczne ładunku

punktowego poruszaj ˛

acego si˛e ze stał ˛

a pr˛edko´sci ˛

a v wzdłu˙z osi x. Pole to mo˙zemy znale´z´c trans-

formuj ˛

ac pole ładunku spoczywaj ˛

acego w układzie nieprimowanym o współrz˛ednych x, y, z, t do

układu o współrz˛ednych primowanych x

, y

, z

, t

poruszaj ˛

acego si˛e z pr˛edko´sci ˛

a −v (wyj ˛

atkowo

w tym wykładzie przyj˛eta została notacja odwrotna do dotychczas stosowanej - układ primowany

porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a −v, a nie v):

, y

, z

, t

) =

4πε

+ y

+ z

)

3/2

, y

, z

, t

) =

4πε

+ y

+ z

)

3/2

1 − v

(8.31)

, y

, z

, t

) =

4πε

+ y

+ z

)

3/2

1 − v

gdzie współrz˛edne nieprimowane nale˙zy traktowa´c jako funkcje współrz˛ednych primowanych.

Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze:

, y

, z

, t

) =

x
y

1 − v

− vt

(8.32)

8.5.

RELATYWISTYCZNA SIŁA LORENTZA I ŁAMANIE III ZASADY NEWTONA99

Rysunek 8.2:

Linie pola elektrycznego ładunku poruszaj ˛

acego si ˛e ze stał ˛

a pr ˛edko´sci ˛

a wzdłu˙z osi

czyli pole poruszaj ˛

acego si˛e ładunku jest skierowane radialnie. Jednak˙ze pole wzdłu˙z toru ruchu

jest słabsze ni˙z pole w płaszczy´znie prostopadłej:

, 0, 0, 0) =

4πε

1 −

(8.33)

(0, y

, 0, 0) =

4πε

1 − v

Jest jednak jeszcze ciekawiej. Pole elektryczne ruchomego ładunku jest dokładnie takie, jak

gdyby cała przestrze´n razem z polem uległa skróceniu Lorentza! - rysunek 8.2. Powiedzieli´smy

„jak gdyby”, bo nie mo˙zemy wyobra˙za´c sobie, ˙ze pole elektromagnetyczne ruchomego ładunku

po prostu si˛e „´sciska”. Pami˛etajmy, ˙ze pojawia si˛e dodatkowe pole magnetyczne, którego nie ma

gdy ładunek spoczywa. Pole to „okr ˛

a˙za” prost ˛

a po której porusza si˛e ładunek, a na samej osi jest

równe zeru.

8.5

ELATYWISTYCZNA SIŁA

ORENTZA I ŁAMANIE

III

SADY

EWTONA

iemy ju˙z co nieco na temat pola elektromagnetycznego. Do pełni szcz˛e´scia brakuje nam ju˙z

100

ROZDZIAŁ 8.

ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

Rysunek 8.3:

Czy III prawo Newtona jest łamane?

tylko wiedzy na temat tego w jaki sposób pole to wpływa na dynamik˛e ładunków elektrycznych.

Nie b˛edzie chyba niespodziank ˛

a II prawo Newtona (7.16) dla ładunku q umieszczonego w polu

E i B:

= q(E + v × B),

(8.34)

gdzie v jest pr˛edko´sci ˛

a ładunku w rozwa˙zanym układzie inercjalnym. Jest to po prostu siła

Lorentza, podobnie jak równania Maxwella, od pocz ˛

atku relatywistyczna.

Na koniec tego rozdziału podamy interesuj ˛

acy „paradoks”. Wyobra´zmy sobie dwa ładunki q

poruszaj ˛

ace si˛e jednostajnie wzdłu˙z prostopadłych prostych - rysunek 8.3. W rozwa˙zanej chwili

ładunek poruszaj ˛

acy si˛e pionowo akurat przecina tor ładunku poruszaj ˛

acego si˛e poziomo. Py-

tamy ile wynosz ˛

a siły działaj ˛

ace na oba ładunki. Udzielenie odpowiedzi nie jest trudne, bo

znamy wzór Lorentza oraz pole elektromagnetyczne poruszaj ˛

acego si˛e ładunku.

Siła działaj ˛

aca na ładunek poruszaj ˛

acy si˛e w dół jest czysto elektryczna, bo pole magnetyczne

na osi ruchu ładunku poruszaj ˛

acego si˛e poziomo znika. Na rysunku 8.3 jest to siła F

. Na drugi

ładunek działa analogiczna siła elektryczna F

, ale jej warto´s´c musi by´c wi˛eksza, gdy˙z pole

elektryczne w płaszczy´znie prostopadłej do ruchu jest silniejsze ni˙z wzdłu˙z toru - wzory (8.33).

Pojawia si˛e jeszcze dodatkowa siła magnetyczna F

działaj ˛

aca na ładunek poruszaj ˛

acy si˛e w

prawo. Działa ona prostopadle do obu pozostałych sił. Czy˙zby wi˛ec III prawo Newtona w teorii

wzgl˛edno´sci nie obowi ˛

azywało? Przypomnijmy w tym miejscu twierdzenie Noether: z symetrii

przestrzeni wzgl˛edem przesuni˛e´c musi wynika´c prawo zachowania p˛edu, z którego za´s wynika

III prawo Newtona. Rozwi ˛

azanie paradoksu pozostawiamy Czytelnikowi na długie, zimowe

wieczory...

8.5.

RELATYWISTYCZNA SIŁA LORENTZA I ŁAMANIE III ZASADY NEWTONA101

Pytania

Zadania

• W inercjalnym układzie odniesienia, w niesko´nczenie długim, prostoliniowym i oboj˛et-

nym elektrycznie przewodniku o polu przekroju poprzecznego S płynie pr ˛

ad o nat˛e˙zeniu

I. Oblicz pole elektromagnetyczne wytworzone przez przewodnik, a nast˛epnie dokonaj

transformacji tego pola do układu odniesienia poruszaj ˛

acego si˛e wzdłu˙z przewodnika z

pr˛edko´sci ˛

a V . Udowodnij, ˙ze identyczny wynik mo˙zna uzyska´c transformuj ˛

ac ´zródła pól

(g˛esto´sci ładunków oraz pr ˛

ady), a nast˛epnie obliczaj ˛

ac dla nich pola w nowym układzie.

• W inercjalnym układzie odniesienia, w niesko´nczenie długim, prostoliniowym i oboj˛etnym

elektrycznie przewodniku o polu przekroju poprzecznego S płynie pr ˛

ad o nat˛e˙zeniu I.

W pewnej odległo´sci d porusza si˛e z pr˛edko´sci ˛

a V prostopadł ˛

a do kierunku przepływu

pr ˛

adu ładunek q. Oblicz pole sił˛e oddziaływania przewodnika na ładunek, a nast˛epnie

podaj wynik w układzie zwi ˛

azanym z ładunkiem. Czy bez wykonywania oblicze´n mo˙zna

powiedzie´c sk ˛

ad si˛e bierze siła w drugim układzie?

102

ROZDZIAŁ 8.

ELEKTRODYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

Rozdział 9

IESPODZIANKA

9.1

K ˛

AD SI ˛

E BIERZE TRANSFORMACJA

ORENTZA

a zako´nczenie wykładu zostawili´smy sobie nie lada niespodziank˛e. Pewnie ju˙z zd ˛

a˙zyli´scie si˛e

przyzwyczai´c do tego, ˙ze wszystkie dziwne rzeczy zwi ˛

azane z teori ˛

a wzgl˛edno´sci, wynikaj ˛

ace z

niezwykłego charakteru transformacji Lorentza bior ˛

a si˛e z zało˙zenia, ˙ze ´swiatło w pró˙zni porusza

si˛e zawsze ze stał ˛

a pr˛edko´sci ˛

a równ ˛

a c (albo wr˛ecz bezpo´srednio z postaci równa´n Maxwella).

Przez cały ten wykład byli´smy zaskakiwani konsekwencjami tego faktu. Czeka nas tym razem

by´c mo˙ze jeszcze wi˛eksze zaskoczenie. Czy bowiem, gdyby elektrodynamika nie istniała i nie

byłoby ´swiatła, teoria wzgl˛edno´sci tak˙ze nie mogłaby istnie´c? A mo˙ze by mogła?

Przekonamy si˛e, ˙ze istnienie fundamentalnej stałej przyrody - pr˛edko´sci c, która nie zale˙zy od

układu odniesienia mo˙zna wydedukowa´c w elementarny sposób z pewnych do´s´c „oczywistych”

zało˙ze´n, mi˛edzy innymi z zasady demokracji. Jak pami˛etacie zasada ta mówi, ˙ze prawa przyrody

we wszystkich układach inercjalnych s ˛

a jednakowe, czyli nie da si˛e stwierdzi´c „bezwzgl˛ednego

ruchu” wykonuj ˛

ac jakikolwiek eksperyment. Zasad˛e t˛e wielokrotnie stosowali´smy przy ró˙znych

okazjach i kto´s z Was mógłby powiedzie´c, ˙ze nie ma w niej niczego niezwykłego. W niniejszym

rozdziale b˛edziecie mieli szans˛e zmieni´c zdanie...

Powró´cmy zatem do samego pocz ˛

atku i spójrzmy na rysunek 1.1 od którego rozpocz˛eli´smy

cał ˛

a podró˙z. Rozpatrzmy nast˛epuj ˛

ace zagadnienie: mamy dwa inercjalne układy odniesienia,

poruszaj ˛

ace si˛e wzgl˛edem siebie z pr˛edko´sci ˛

a V i chcemy dowiedzie´c si˛e jak wygl ˛

ada transfor-

macja współrz˛ednych przestrzennych i czasów pomi˛edzy tymi układami. W pierwszym rozdziale

Pomysł wyprowadzenia transformacji Lorentza przedstawion ˛

a metod ˛

a został omówiony w referencjach [8].

103

104

ROZDZIAŁ 9.

NIESPODZIANKA

powiedzieli´smy, ˙ze taka transformacja powinna by´c liniowa i ˙ze jeszcze do tego wrócimy. Jest

teraz dobry moment, ˙zeby skupi´c si˛e na tym problemie. Dlaczego transformacja powinna by´c

liniowa? Z jakiego fundamentalnego prawa przyrody to niby wynika? Dowiemy si˛e tego na-

jpewniej sprawdzaj ˛

ac co by było, gdyby transformacja nie była liniowa we współrz˛ednych albo

w czasie. Wówczas bowiem przesuwaj ˛

ac pocz ˛

atek układu współrz˛ednych, albo przestawiaj ˛

ac ze-

garek, musieliby´smy zmieni´c cał ˛

a transformacj˛e, w innym wypadku transformacja „działałaby”

inaczej ni˙z przed przesuni˛eciem! To znaczy, ˙ze nieliniowa transformacja odró˙zniałaby ró˙zne

chwile czasu, albo ró˙zne punkty przestrzeni. Gdyby´smy na przykład przenie´sli cały wszech´swiat

w jakim´s kierunku o jeden metr, albo w czasie o jedn ˛

a sekund˛e, operacja ta nie powinna zmieni´c

niczego w dynamice wszech´swiata. Nie powinno to wpłyn ˛

a´c na wyniki ˙zadnych eksperymen-

tów. Podobnie jak jedyn ˛

a krzyw ˛

a, która nie wyró˙znia ˙zadnego punktu jest prosta, tak jedyn ˛

transformacj ˛

a „nieczuł ˛

a” na translacje jest transformacja liniowa. Oto cały powód.

Zatem z zało˙zenia jednorodno´sci czasoprzestrzeni płynie wniosek, ˙ze transformacja współ-

rz˛ednych musi by´c liniowa. Wyra´zmy zatem współrz˛edn ˛

a przestrzenn ˛

a x

w nowym układzie

inercjalnym (poruszaj ˛

acym si˛e tradycyjnie z pr˛edko´sci ˛

a V wzdłu˙z osi x) poprzez współrz˛edne i

czas w nieruchomym układzie:

= A(V ) x + B(V ) t.

(9.1)

Współczynniki A(V ) i B(V ) mog ˛

a zale˙ze´c oczywi´scie tylko od pr˛edko´sci wzgl˛ednej układów.

Na przykład dla transformacji Galileusza mamy: A = 1 i B = −V . Jednak˙ze na razie nie

znamy zale˙zno´sci współczynników transformacji A i B od pr˛edko´sci V . Wiemy jednak (zasada

demokracji), ˙ze transformacja odwrotna musi by´c postaci:

x = A(−V ) x

+ B(−V ) t

(9.2)

Co mo˙zemy powiedzie´c o ogólnej postaci A i B? Wyobra´zmy sobie, ˙ze kierunek czasu został

odwrócony: t 7→ −t. Wówczas, je˙zeli zamienimy dodatkowo V 7→ −V , to sytuacja (a zatem

i transformacja) nie powinna si˛e zmieni´c. Poniewa˙z po wprowadzeniu zmian znaków równanie

(9.1) przechodzi w:

= A(−V ) x − B(−V ) t,

(9.3)

9.1.

SK ˛

AD SI ˛

E BIERZE TRANSFORMACJA LORENTZA?

105

otrzymujemy st ˛

ad dwa warunki:

A(−V ) = A(V )

(9.4)

B(−V ) = −B(V ).

Je˙zeli teraz rozwa˙zymy pocz ˛

atek układu primowanego x

= 0, którego równaniem ruchu w

układzie nieprimowanym jest x = V t, dostaniemy z równania (9.1) kolejny warunek:

B(V )

A(V )

= −V.

(9.5)

Mo˙zemy zatem przepisa´c równania (9.1) i (9.2) w nast˛epuj ˛

acej postaci:











= A(V )(x − V t)

= A(V )(x

+ V t

(9.6)

Z powy˙zszego układu równa´n mo˙zemy teraz wyprowadzi´c wzór transformacyjny dla pr˛edko´sci

jakiego´s punktu widzianego w dwóch układach inercjalnych. Wzór ten znajdziemy w taki sam

sposób w jaki zrobili´smy to w rozdziale 2.9. Powiedzmy, ˙ze w układzie primowanym co´s porusza

si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v

. Szukamy odpowiedzi na pytanie z jak ˛

a pr˛edko´sci ˛

a v =

obiekt ten

b˛edzie poruszał si˛e w układzie nieprimowanym. Z pierwszego z równa´n (9.6) wyznaczamy

t =

x−x

dzi˛eki czemu znajdujemy, ˙ze:

v =

+ V

1 + v

(V )−1

(V )

(9.7)

Wzór ten przypomina troch˛e relatywistyczny wzór odwrotny do (2.16). Wkrótce podobie´nstwo

stanie si˛e jeszcze bardziej uderzaj ˛

ace. Skorzystajmy raz jeszcze z zasady demokracji układów

inercjalnych. W rozwa˙zanej sytuacji mamy do czynienia z trzema obiektami: punktem, który

oddala si˛e z pr˛edko´sci ˛

a v

od pocz ˛

atku układu primowanego, który oddala si˛e z kolei z pr˛ed-

ko´sci ˛

a V od pocz ˛

atku układu nieprimowanego. Znaleziona pr˛edko´s´c v jest pr˛edko´sci ˛

a odda-

lania rozwa˙zanego punktu od pocz ˛

atku układu nieprimowanego. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze je˙zeli

106

ROZDZIAŁ 9.

NIESPODZIANKA

odwrócimy role i zamienimy v

↔ V , to warto´s´c v nie powinna si˛e zmieni´c. Dlaczego? Dlat-

ego, ˙ze rozwa˙zany punkt porusza si˛e wzgl˛edem pocz ˛

atku układu nieprimowanego z tak ˛

a sam ˛

pr˛edko´sci ˛

a co ów pocz ˛

atek wzgl˛edem rozwa˙zanego punktu. Wynika st ˛

ad, ˙ze:

+ V

1 + v

(V )−1

(V )

V + v

1 + V v

0 A

)−1

)

(9.8)

z czego z kolei musi wynika´c, ˙ze

(V ) − 1

(V )

) − 1

)

(9.9)

Poniewa˙z jest to równo´s´c pewnej funkcji pr˛edko´sci w dwóch, dowolnych „punktach” V oraz v

oznacza to, ˙ze funkcja ta musi by´c stała:

(V ) − 1

(V )

= K.

(9.10)

Z tego warunku mo˙zemy bez trudu wyznaczy´c zale˙zno´s´c A(V ):

A(V ) =

√

1 − KV

(9.11)

Wstawiaj ˛

ac otrzymany wynik do pierwszego z równa´n (9.6) otrzymujemy w niespodziewany

sposób transformacj˛e Lorentza!

x − V t

√

1 − KV

(9.12)

Wygl ˛

ada na to, ˙ze wydarzył si˛e cud! Udało nam si˛e stwierdzi´c, ˙ze z zasady demokracji wynika

istnienie pewnej fundamentalnej stałej K, o wymiarze

, czyli odwrotno´sci kwadratu pr˛ed-

ko´sci! Nie potrafimy co prawda stałej tej obliczy´c i mo˙ze ona by´c równa zeru (jak w transforma-

cji Galileusza),

(jak w transformacji Lorentza) albo dowolnej innej warto´sci. Stał ˛

a t˛e mo˙zna

po prostu wyznaczy´c z do´swiadczenia. Cała reszta teorii wzgl˛edno´sci w zasadzie wynika, jak

ju˙z doskonale wiecie z transformacji współrz˛ednych. Jednym z wniosków jest oczywi´scie, ˙ze

„nic nie mo˙ze porusza´c si˛e szybciej ni˙z

√

” (patrz rozdział 1.4).

9.1.

SK ˛

AD SI ˛

E BIERZE TRANSFORMACJA LORENTZA?

107

W tym miejscu mogliby´smy ju˙z zako´nczy´c, gdyby nie fakt, ˙ze niemal˙ze przeoczyli´smy co´s

istotnego. Zwró´ccie uwag˛e, ˙ze nasza ogólniejsza posta´c transformacji pozwala przyj ˛

a´c tak˙ze

K < 0. Je˙zeli podstawimy K = −

, otrzymany układ równa´n transformacyjnych b˛edzie

postaci:







+V x

√

1+V

−V t

√

1+V

(9.13)

Czy tego typu transformacja tak˙ze mogłaby opisywa´c ´swiat? Zapewne spełnia ona narzucone

przez nas warunki: zasad˛e demokracji oraz jednorodno´s´c czasoprzestrzeni. Có˙z zatem sprawia,

˙ze prawdziwa transformacja zawiera dodatni ˛

a stał ˛

a K? I co by było, gdyby K była ujemna?

Z pewno´sci ˛

a mo˙zna by udzieli´c odpowiedzi przynajmniej na ostatnie pytanie. Przypomnij-

my sobie, jak na pocz ˛

atku wykładu, w rozdziale 1.6 powiedzieli´smy, ˙ze stało´s´c interwału cza-

soprzestrzennego jest bardzo wa˙zna, bo dzi˛eki niej ´swiat mo˙ze zosta´c opisany przez szczególn ˛

teori˛e wzgl˛edno´sci w sposób deterministyczny. Okazuje si˛e, ˙ze teoria z ujemn ˛

a warto´sci ˛

a K

nie posiada tej wa˙znej własno´sci. Gdyby K było ujemne, kolejno´s´c nast˛epstw pozornie „przy-

czynowego” ci ˛

agu zdarze´n zale˙załaby od układu odniesienia. Poniewa˙z jednak na zbadanie tak

dziwnej teorii musieliby´smy po´swi˛eci´c kolejny skrypt, zadanie to pozostawimy Czytelnikowi.

Pytania

Zadania

108

ROZDZIAŁ 9.

NIESPODZIANKA

Bibliografia

[1] L. D. Landau i E. M. Lifszyc, Teoria Pola (PWN, Warszawa 1958).

[2] W. Rindler, Length Contraction Paradox, Amer. J. Phys. 29, 365 (1961).

[3] R. P. Feynman, Elementary Particles and the Laws of Physics (Cambridge University Press,

Cambridge 1995).

[4] A. Nowojewski, J. Kallas i A. Dragan, On the appearance of moving bodies, Amer. Math.

Month. 11 (2004); A. Nowojewski, J. Kallas i A. Dragan, O wygl ˛

adzie ciał w ruchu, Delta

(2003).

[5] M. L. Boas, Apparent Shape of Large Objects at Relativistic Speeds, Amer. J. Phys. 5, 283

(1961).

[6] G. D. Scott i H. J. Van Driel, Geometrical Appearances at Relativistic Speeds, Amer. J.

Phys. 38, 971 (1970).

[7] R. P. Feynman, Feynmana wykłady z fizyki (PWN, Warszawa 2001), tom II.

[8] P. Frank i H. Rothe, Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden

auf bewegte Systeme, Ann. der Phys. 339, 825 (1911); A. Szymacha, Przestrze´n i ruch

(Wydawnictwo Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa 1997).

109

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Niezwykle szczegolna teoria względności
Szczególna teoria względności Einstaina, Fizyka
szczególna teoria względności, Fizyka - hasło fizyka, Fizyka(1)
pawlikowski, fizyka, szczególna teoria względności
einstein-teoria-fiza, SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI - szybkość światła C w próżni jest jednakowa dla
9 szczegolna teoria wzglednosci Nieznany (2)
07 Szczegolna teoria wzglednosci
Logunow, Czugriew Szczególna teoria względności i efekt Sagnaca
,fizyka2,Szczególna teoria względności
SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI
Szczególna teoria względności 2
49 SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI 21 05 2006 r
SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI CZY NADAL OBOWIĄZUJE
Co to jest teoria względności podstawy geometryczne
F3 teoria wzglednosci

więcej podobnych podstron