1

Michał Grudzień

Całkowanie:

kwadratury Newtona-Cotesa

Wstęp

Często, aby obliczyć całkę oznaczoną funkcji jednej zmiennej korzysta się z metod
przybliżonych (np. gdy wyznaczenie funkcji pierwotnej jest niemożliwe). W
rachunku numerycznym obliczamy taką całkę za pomocą skończonej liczby działań
arytmetycznych.

Przybliżać całkę można np. funkcjonałami Q postaci:

0

( )

( )

n

i

i

i

Q f

A f x

=

=

∑

( )

( )

b

a

Q f

f x dx

≈

∫

Nazywamy je kwadraturami.
Pozwalają one zastąpić całkowanie sumowaniem skończonej liczby elementów.

Kwadratury Newtona-Cotesa

Kwadraturami Newtona-Cotesa przybliżającymi

( )

b

a

f x dx

∫

są nazywane

kwadratury ( )

( )

b

a

Q f

W x dx

=

∫

gdzie W(x) jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a funkcji f opartym na
równoodległych węzłach

i

x

a

ih

= +

i=0, 1, …, n,

b

a

h

n

−

=

Kwadratury oparte na tych węzłach są nazywane „zamkniętymi”. Rozważa się
również „otwarte” kwadratury Newtona-Cotesa (w przeciwieństwie do kwadratur
zamkniętych wartości funkcji na krańcach przedziału nie biorą udziału w
całkowaniu).

2

0

( )

( )

n

i

i

i

Q f

A f x

=

=

∑

Wielomian interpolacyjny Lagrange'a zapisujemy w postaci:

Podstawiając w miejsce funkcji podcałkowej f(x) wielomian W(x) otrzymujemy:

R(f)

oznacza błąd kwadratury ( resztę kwadratury).

Otrzymujemy kwadraturę:

ze współczynnikami

i

A

określonymi wzorem

0

0

n

n

i

j
j i

t

j

A

h

dt

i

j

=
≠

−

=

−

∏

∫

warto wiedzieć, że

i

n i

A

A

−

=

.

Błąd kwadratury

Ponieważ w przybliżonej metodzie całkowania zastępujemy funkcję podcałkową
wielomianem interpolacyjnym, zatem oszacowanie błędu metody przybliżonego
całkowania, jest oparte na szacowaniu błędu wzoru interpolacyjnego.
Błąd kwadratury można przedstawić następująco:
dla parzystej liczby węzłów:

dla nieparzystej liczby węzłów:

3

Przykłady najprostszych kwadratur Newtona-Cotesa

•

Dla n=1 węzłami kwadratury są krańce przedziału całkowania, tj.

0

x

a

= ,

1

x

b

=

Po obliczeniu współczynników

i

A

i wstawieniu do wzoru otrzymujemy:

( )

( ( )

( ))

2

b

a

Q f

f a

f b

−

=

−

Jest to tzw. wzór trapezów.

Reszta tej kwadratury jest postaci

3

(

)

( )

( )

12

b

a

R f

f

ξ

−

′′

= −

, gdzie

( , )

a b

ξ

∈

•

Dla n=2 otrzymujemy kwadraturę nazywaną wzorem parabol lub wzorem

Simpsona.

( )

( ( ) 4 (

)

( ))

6

2

b

a

a b

Q f

f a

f

f b

−

+

=

+

+

natomiast

5

(4)

1

( )

(

)

( ),

90

2

b

a

R f

f

ξ

−

= −

( , )

a b

ξ

∈

Złożone kwadratury Newtona-Cotesa

Okazuje się, że jedynie dla

7

n

≤ i n=9 wszystkie współczynniki kwadratur

Newtona-Cotesa są dodatnie, natomiast dla pozostałych n część współczynników
jest ujemna i
ciąg kwadratur nie jest zbieżny do całki.


Z tego powodu w praktyce raczej nie stosuje się kwadratur Newtona-Cotesa
wyższego rzędu. Na ogół bardziej celowym jest podzielenie przedziału

całkowania (a,b) na N równych przedziałów

1

( ,

)

i

i

x x

+

długości

b

a

h

N

−

=

punktami

i

x

a

ih

= +

dla i=0, 1, …, N i stosowanie na każdym z nich kwadratury

Newtona-Cotesa niskiego rzędu. Konstruowane w ten sposób kwadratury
nazywane są złożonymi kwadraturami Newtona-Cotesa.

4

Przykłady zastosowania kwadratur złożonych Newtona-Cotesa

•

W każdym z przedziałów

1

( ,

)

i

i

x x

+

zastosujmy wzór trapezów. Po prostych

obliczeniach otrzymujemy:

1

1

( )

( )

0

( )

( )

i

i

x

b

N

N f

N f

i

a

x

f x dx

f x dx

T

R

+

−

=

=

=

−

∑

∫

∫

gdzie otrzymana kwadratura

( )

N f

T

, nazywana złożonym wzorem trapezów, ma

postać:

1

( )

1

( ( )

2

(

)

( ))

2

N

N f

i

h

T

f a

f a

ih

f b

−

=

=

+

+

+

∑

a reszta jest równa:

3

1

( )

1

( )

12

N

N f

i

i

h

R

f

ξ

−

=

′′

= −

∑

•

Analogicznie jak w poprzednim przypadku można wyprowadzić złożoną
kwadraturę Simpsona:

1

1

4

(4)

0

0

( )

( ( ) 2

(

) 4

(

(2

1) )

( )) ( )

( )

6

2

2

180

b

N

N

i

i

a

h

h

h

b a

f x dx

f a

f a ih

f a

i

f b

f

ξ

−

−

=

=

−

=

+

+

+

+

−

+

−

∑

∑

∫

gdzie

( , ),

a b

ξ

∈

b

a

h

N

−

=

.

Z powyższych wzorów wynika, że dla dostatecznie regularnych funkcji f całki
mogą być przybliżane dowolnie blisko złożoną kwadraturą trapezów lub złożoną
kwadraturą Simpsona, o ile tylko weźmiemy odpowiednio małe h.

Ź

ródła:

•

notatki z wykładów

•

J. M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych