1
Michał Grudzień
Całkowanie:
kwadratury Newtona-Cotesa
Wstęp
Często, aby obliczyć całkę oznaczoną funkcji jednej zmiennej korzysta się z metod
przybliżonych (np. gdy wyznaczenie funkcji pierwotnej jest niemożliwe). W
rachunku numerycznym obliczamy taką całkę za pomocą skończonej liczby działań
arytmetycznych.
Przybliżać całkę można np. funkcjonałami Q postaci:
0
( )
( )
n
i
i
i
Q f
A f x
=
=
∑
( )
( )
b
a
Q f
f x dx
≈
∫
Nazywamy je kwadraturami.
Pozwalają one zastąpić całkowanie sumowaniem skończonej liczby elementów.
Kwadratury Newtona-Cotesa
Kwadraturami Newtona-Cotesa przybliżającymi
( )
b
a
f x dx
∫
są nazywane
kwadratury ( )
( )
b
a
Q f
W x dx
=
∫
gdzie W(x) jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a funkcji f opartym na
równoodległych węzłach
i
x
a
ih
= +
i=0, 1, …, n,
b
a
h
n
−
=
Kwadratury oparte na tych węzłach są nazywane „zamkniętymi”. Rozważa się
również „otwarte” kwadratury Newtona-Cotesa (w przeciwieństwie do kwadratur
zamkniętych wartości funkcji na krańcach przedziału nie biorą udziału w
całkowaniu).
2
0
( )
( )
n
i
i
i
Q f
A f x
=
=
∑
Wielomian interpolacyjny Lagrange'a zapisujemy w postaci:
Podstawiając w miejsce funkcji podcałkowej f(x) wielomian W(x) otrzymujemy:
R(f)
oznacza błąd kwadratury ( resztę kwadratury).
Otrzymujemy kwadraturę:
ze współczynnikami
i
A
określonymi wzorem
0
0
n
n
i
j
j i
t
j
A
h
dt
i
j
=
≠
−
=
−
∏
∫
warto wiedzieć, że
i
n i
A
A
−
=
.
Błąd kwadratury
Ponieważ w przybliżonej metodzie całkowania zastępujemy funkcję podcałkową
wielomianem interpolacyjnym, zatem oszacowanie błędu metody przybliżonego
całkowania, jest oparte na szacowaniu błędu wzoru interpolacyjnego.
Błąd kwadratury można przedstawić następująco:
dla parzystej liczby węzłów:
dla nieparzystej liczby węzłów:
3
Przykłady najprostszych kwadratur Newtona-Cotesa
•
Dla n=1 węzłami kwadratury są krańce przedziału całkowania, tj.
0
x
a
= ,
1
x
b
=
Po obliczeniu współczynników
i
A
i wstawieniu do wzoru otrzymujemy:
( )
( ( )
( ))
2
b
a
Q f
f a
f b
−
=
−
Jest to tzw. wzór trapezów.
Reszta tej kwadratury jest postaci
3
(
)
( )
( )
12
b
a
R f
f
ξ
−
′′
= −
, gdzie
( , )
a b
ξ
∈
•
Dla n=2 otrzymujemy kwadraturę nazywaną wzorem parabol lub wzorem
Simpsona.
( )
( ( ) 4 (
)
( ))
6
2
b
a
a b
Q f
f a
f
f b
−
+
=
+
+
natomiast
5
(4)
1
( )
(
)
( ),
90
2
b
a
R f
f
ξ
−
= −
( , )
a b
ξ
∈
Złożone kwadratury Newtona-Cotesa
Okazuje się, że jedynie dla
7
n
≤ i n=9 wszystkie współczynniki kwadratur
Newtona-Cotesa są dodatnie, natomiast dla pozostałych n część współczynników
jest ujemna i
ciąg kwadratur nie jest zbieżny do całki.
Z tego powodu w praktyce raczej nie stosuje się kwadratur Newtona-Cotesa
wyższego rzędu. Na ogół bardziej celowym jest podzielenie przedziału
całkowania (a,b) na N równych przedziałów
1
( ,
)
i
i
x x
+
długości
b
a
h
N
−
=
punktami
i
x
a
ih
= +
dla i=0, 1, …, N i stosowanie na każdym z nich kwadratury
Newtona-Cotesa niskiego rzędu. Konstruowane w ten sposób kwadratury
nazywane są złożonymi kwadraturami Newtona-Cotesa.
4
Przykłady zastosowania kwadratur złożonych Newtona-Cotesa
•
W każdym z przedziałów
1
( ,
)
i
i
x x
+
zastosujmy wzór trapezów. Po prostych
obliczeniach otrzymujemy:
1
1
( )
( )
0
( )
( )
i
i
x
b
N
N f
N f
i
a
x
f x dx
f x dx
T
R
+
−
=
=
=
−
∑
∫
∫
gdzie otrzymana kwadratura
( )
N f
T
, nazywana złożonym wzorem trapezów, ma
postać:
1
( )
1
( ( )
2
(
)
( ))
2
N
N f
i
h
T
f a
f a
ih
f b
−
=
=
+
+
+
∑
a reszta jest równa:
3
1
( )
1
( )
12
N
N f
i
i
h
R
f
ξ
−
=
′′
= −
∑
•
Analogicznie jak w poprzednim przypadku można wyprowadzić złożoną
kwadraturę Simpsona:
1
1
4
(4)
0
0
( )
( ( ) 2
(
) 4
(
(2
1) )
( )) ( )
( )
6
2
2
180
b
N
N
i
i
a
h
h
h
b a
f x dx
f a
f a ih
f a
i
f b
f
ξ
−
−
=
=
−
=
+
+
+
+
−
+
−
∑
∑
∫
gdzie
( , ),
a b
ξ
∈
b
a
h
N
−
=
.
Z powyższych wzorów wynika, że dla dostatecznie regularnych funkcji f całki
mogą być przybliżane dowolnie blisko złożoną kwadraturą trapezów lub złożoną
kwadraturą Simpsona, o ile tylko weźmiemy odpowiednio małe h.
Ź
ródła:
•
notatki z wykładów
•
J. M. Jankowscy, Przegląd metod i algorytmów numerycznych