1
INSTYTUT
MASZYN
ROBOCZYCH
LABORATORIUM
z TEORII
MECHANIZMÓW I MASZYN
ZAKŁAD TEORII
MECHANIZMÓW I
MANIPULATORÓW
NR ĆW.:
TEMAT: PROSTOWODY PRZYBLIŻONE
1. WPROWADZENIE
Mechanizmem kierującym nazywamy mechanizm, którego określony punkt
porusza się po z góry założonym torze.
Wśród płaskich mechanizmów kierujących szczególne miejsce zajmują prostowody.
Prostowody dzielą się na :
a)
dokładne (tor wybranego punktu jest linią prostą)
b ) przybliżone (tor wybranego punktu na pewnym odcinku mało różni się od linii prostej).
Rys. 1. Prostowód dokładny Evansa. Rys. 2. Prostowód dokładny Peaucelliera
Rys.3a. „Odwrócony” prostowód
Rys. 3b. Krzywa łącznikowa zakreślona przez
prostowód Czebyszewa
pkt. E mechanizmu pokazanego na rys.3a
dla
AB
=
80
[mm].
x
E
66
63
y
E
64
-6
0
B
C
D
E
y
x
x
E
α
BC CE ED DB
=
=
=
Wybrany punkt E
Wybrany punkt E
α
AB=BC=BE
AB=CD
CB=2CE
4
5
AD
CD =
0
A
D
B
E
C
α
y
x
2
Klasycznym przykładem prostowodu przybliżonego jest mechanizm dźwigniowy oparty
na czworoboku przegubowym (rys. 3a), o odpowiednio dobranych długościach ogniw. Punkt
E łącznika zakreśla krzywą łącznikową (rys. 3b). Z praktycznego punktu widzenia
interesujące mogą być te fragmenty krzywej łącznikowej które dość dobrze przybliżają
poziomą lub pionową linię prostą.
Rys. 4.Mechanizm przesuwu Rys. 5. Żuraw portowy.
klatek
taśmy filmowej.
W technice ze względu na prostą strukturę i zwartą budowę, częściej stosowane są
prostowody przybliżone. I tak np. w konstrukcji mechanizmów przesuwu filmu w kamer i
projektorów występuje wymóg stałej chwilowej ekspozycji klatki filmowej przy szybkiej
zmianie klatki. To z kolei rodzi zagrożenie poszarpania filmu. Dzięki jednak wykorzystaniu
właściwości mechanizmów prostowodowych, opartych na czworoboku przegubowym (rys. 4)
- uzyskanie pożądanych cech stało się możliwe. Taką samą strukturę mają żurawie portowe
(rys. 5.), w których dąży się do tego, aby punkt, E – dzioba żurawia poruszał się po linii
poziomej gdyż eliminuje to pracę podnoszenia nosiwa w czasie zmiany wypadu.
Jakość przybliżenia linii prostej mogą opisywać parametry:
A) Błąd prostowodności
δ
definiowany jako iloraz:
L
d
∆
∆
=
δ
, (1)
gdzie:
∆d
- szerokość prostokątnego pasa tolerancji wewnątrz którego mieści się badany
fragment toru rzeczywistego,
∆
L - długość pasa tolerancji.
3
Rys. 6. Interpretacja błędu prostowodności
δ
- jako szerokości pasa tolerancji względem odcinka
∆
L
prostej regresji odpowiadającego rozważanemu fragmentowi krzywej łącznikowej.
B) Krzywizna toru k :
1
k
ρ
=
,
ρ
- promień krzywizny toru
(2)
Krzywiznę toru punktu E - k
E
(
α), danego współrzędnymi parametrycznymi x
E
(
α) i y
E
(
α), a
stanowiącymi analityczne funkcje kąta obrotu -
α ogniwa napędowego można wyrazić
wzorem:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1.5
2
2
E
E
E
E
E
E
E
dx
d y
dy
d x
d
d
d
d
k
dx
dy
d
d
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
⋅
−
⋅
=
+
. (3)
Znając zmienność wartości bezwzględnej krzywizny toru punktu E w funkcji kąta obrotu -
α ogniwa napędowego można wyznaczyć przedziały kątowe, gdzie jest prostowodność
mechanizmu jest najlepsza.
0.15
k
E
(
α)
30
60
90
120 150 180 210 240 270 300 330 360
0
0.05
0.1
α
Rys. 7. Wykres zmienności wartości bezwzględnej krzywizny toru punktu E w funkcji kąta
obrotu -
α ogniwa napędowego mechanizmu przedstawionego na rys. 8
y
∆
d
∆L
Prosta regresji y = mx + b
x
y
E
ρ
4
Ponadto, ponieważ krzywizna toru wybranego punktu mechanizmu jest funkcją kąta -
α
ogniwa napędowego oraz długości ogniw mechanizmu l
1
, l
2
,.....l
m
. Różniczkując więc
cząstkowo funkcję (3) wzgl. długości poszczególnych ogniw możliwe jest badanie
zmienności składowych gradientu krzywizny (tab.1). Wartości składowych gradientu w
rozpatrywanym przedziale kąta
α stanowią miarę wrażliwości krzywizny toru na zmianę
długości poszczególnych ogniw.
Tab. 1. Tabela składowych gradientu krzywizny mechanizmu przedstawionego na rys.8
α[ ° ]
( )
1
E
k
l
α
∂
∂
( )
2
E
k
l
α
∂
∂
( )
3
E
k
l
α
∂
∂
( )
4
E
k
l
α
∂
∂
54 0.001 0.001 -0.001 0.001
64 0 0 -0.001 0
74
0 0 0 0
84
0 0 0 0
94
0 0 0 0
104
0 0 0 0
114
0 0 0 0
124
0 0 0 0
134
0 0 0 0
144 0.001
0
0
0
154
0.001 0 0 0.001
164 0 0.001
0.001
-0.001
174 -0.005 0.006 0.006 -0.008
2. CEL ĆWICZENIA
- poznanie własności i zastosowań mechanizmów kierujących na przykładzie prostowodów,
- prostowodność – jako funkcja celu w syntezie mechanizmów prostowodowych,
- miary prostowodności,
- analiza wpływu niedokładności geometrycznych ogniw na prostowodność (ocena
wrażliwości geometrycznej prostowodów).
3. PRZEBIEG ĆWICZENIA
3.1. Część pomiarowa
1) Narysować strukturę badanego modelu prostowodu oraz ustalić wymiary poszczególnych
ogniw mechanizmu (patrz rys.8).
2) Przyjąć układ współrzędnych o początku w osi obrotu ogniwa napędowego.
Uwaga!
Dla potrzeb analizy teoretycznej wygodnie jest na schemacie jedną z osi układu
przeprowadzić przez którąś z par przyostojowych. Może się jednak okazać, że układ
współrzędnych modelu, w stosunku do układu który został przyjęty w narysowanym
schemacie wykazuje przesunięcie fazowe o kąt -
φ
(jest obrócony o pewien stały kąt
φ
-
nazywany dalej kątem przesunięcia fazowego).
5
3) Identyfikacja kąta przesunięcia fazowego
φ
.
4) Określenie (przez prowadzącego) zakresu kątowego położeń ogniwa napędowego -
α
dla
których przeprowadzona zostanie analiza mechanizmu oraz kroku próbkowania –
∆α
(np. co 5
°),
[
]
max
min
α
α
α
=
−
. (4)
5) Ustawiwszy ogniwo napędowe w położeniu początkowym odpowiadającym kątowi
α
min
,
odczytać współrzędną x
E
(
α
min
) określoną przez położenie końca czujnika zegarowego na
listwie pomiarowej. Wskazania czujnika zegarowego
→ stanowią wartość współrzędnej
y
E
(
α
min
) (w układzie współrzędnych wyznaczonych przez listwę pomiarową).
6) Zmieniając położenia kątowe ogniwa napędowego o wartość
∆α
, dokonać pomiarów
przemieszczeń punktu E mechanizmu (tj. punktu zamocowania czujnika zegarowego),
wpisując otrzymane wartości współrzędnych x
E
(
α
) i y
E
(
α
) odpowiednio w kolumnach: 3 i
4 tabeli 1.
ZAŁOŻENIA
I. Pomiarów wartości x
E
(
α
) i y
E
(
α
) dokonuje się w układzie współrzędnych x 0 y,
związanym z listwą pomiarową,
a) oś 0 x pokrywa się z listwa pomiarową,
b) dla całego przedziału [
α
min
,
α
max
], czujnik zegarowy jest prostopadły do listwy
pomiarowej.
II. Pomiary i obliczenia dotyczą tych samych położeń mechanizmu
(spełnione po uwzględnieniu kąta przesunięcia fazowego
φ i zachowaniu jednakowego kroku próbkowania ∆α ).
3.2. Część obliczeniowa
1) W oparciu o przyjęty schemat kinematyczny mechanizmu wyznaczyć równania
parametryczne toru punktu E w funkcji kąta obrotu ogniwa napędowego -
α.
Rys. 8. Przykładowy schemat mechanizmu prostowodowego
( )
( )
( )
0
E
A
AE
x
l cos
l cos
α
α
β
=
+
,
(5)
( )
( )
( )
E
0 A
AE
y
l sin
l sin
α
α
β
=
+
.
(6)
E
β
C
B
0
α
x
y
A
γ
39
150
200
250
300
6
2) Na podstawie wyznaczonych równań parametrycznych narysować krzywą łącznikową
(trajektorię punktu E), zaś wyliczone wartości współrzędnych x
E
(
α
) i y
E
(
α
) odpowiednio
w kolumnach: 7 i 8 tabeli 2.
3) Wyznaczyć błąd prostowodności (1) badanego mechanizmu dla danego zakresu
zmienności kąta
α
:
a) rzeczywisty (w oparciu o wyniki pomiarów),
b) teoretyczny (w oparciu o wyznaczone równania parametryczne toru punktu E).
Tab. 2. Tabela wyników
DOŚWIADCZALNE TEORETYCZNE
α
i
x
E
(
α
i) y
E
(
α
i) d(
α
i) x
E
(
α
i+
φ
) y
E
(
α
i+
φ
) d(
α
i+
φ
)
i
2 3 4 5 7 8 9
1
α
1
2
α
2
+
∆α
3
α
3
+2
∆α
... ......
... ......
N
α
N
Σ
Wyliczenie błędu prostowodności wymaga określenia odległości punktów krzywej
łącznikowej od prostej regresji d(
αi), której wpółczynniki m i b należy uprzednio wyznaczyć
(rys. 6),
2
( )
( )
( )
1
E
i
E
i
i
m x
y
b
d
m
α
α
α
⋅
−
+
=
+
.
(7)
Długość pasa tolerancji
∆
L można wyznaczyć ze wzoru (7):
( )
( )
( )
( )
1
1
2
1
E
N
E
E
N
E
x
x
m y
y
L
m
α
α
α
α
−
+
⋅
−
∆ =
+
. (8)
Uwaga:
Po obróceniu układów współrzędnych o kąt
φ
= arc tg(m)
→ wówczas wprost:
( )
( )
,
o
i
E
i
d
y
α
α
=
(9)
( )
( )
1
.
o
o
E
N
E
L
x
x
α
α
∆ =
−
(10)
7
Patrz
→ Dodatek str. 7.
Pytania kontrolne
1. Co to są mechanizmy kierujące?
2. Podstawowy podział prostowodów.
3. Zastosowanie mechanizmów prostowodowych.
4. Miary prostowodności.
5. Gradient krzywizny – jako miara wrażliwości prostowodu na zmianę parametrów
geometrycznych.
LITERATURA
1. W. Moszyński: „Wykład elementów maszyn”, Część IV, str 112-125 PWT 1955 r.
2. A. Olędzki: „ Podstawy teorii maszyn i mechanizmów”, str 234-235 WNT 1987 r.
DODATEK:
A.
W programie Mathcad istnieją wbudowane operatory, działające na wektorach
współrzędnych punktów x i y wyznaczające metodą najmniejszych kwadratów współczynniki
prostej regresji:
x = [x
E
(
α
1
), x
E
(
α
2
),... x
E
(
α
i
),.. x
E
(
α
Ν
)]
T
⇒ m:= slope(x, y), b:= intercept(x, y), (10)
y = [y
E
(
α
1
), y
E
(
α
2
),... y
E
(
α
i
),.. x
E
(
α
Ν
)]
T
W programie Grapher prostą regresji można uzyskać wprost, jako aproksymację wykresu
funkcją liniową przy użyciu opcji „Fits”.
B.
Transformacja poprzez obrót układów współrzędnych o kąt ψ = arc tg(m):
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
cos
sin
,
sin
cos
o
E
i
E
i
o
E
i
E
i
x
x
y
y
ψ
ψ
α
α
ψ
ψ
α
α
=
⋅
−
. (11)
____________________________________________________________________________________
Opracował Stefan Chwastek